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이십이각형

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목차

1. 개요

정이십이각형은 22개의 변과 꼭짓점을 갖는 다각형이다. 정이십이각형의 내각은 약 163.636°이며, 중심각과 외각은 약 16.363°이다. 한 변의 길이가 a인 정이십이각형의 면적 S는 S = \frac{22}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{22} \simeq 38.25334 a^2로 계산할 수 있다. 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도하는 것은 불가능하며, 종이접기로도 작도할 수 없다. 뉴시스 작도를 통해서는 작도가 가능하다.

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이십이각형

2. 정이십이각형의 성질

정이십이각형의 중심각과 외각은 16.363…°이며, 내각은 163.636…°이다. 한 변의 길이가 a인 정이십이각형의 면적 S는 다음과 같다.

:S = \frac{22}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{22} \simeq 38.25334 a^2

\cos (2\pi/22)의 값은 거듭제곱근을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. 정11각형도 참조.

:\begin{align}

\cos \frac{2\pi}{22} =& \cos \frac{\pi}{11} = \cos\left(\pi- \frac{10\pi}{11} \right) = -\cos \frac{10\pi}{11} \\

=& \frac{1}{10}\\

&-\frac{-1-\sqrt{5}+i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{40}\left \lbrace \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89+25\sqrt{5}+\left (45\sqrt{5-2\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace } + \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89-25\sqrt{5}-\left (5\sqrt{5-2\sqrt{5}}+45\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace} \right \rbrace \\

&-\frac{-1-\sqrt{5}-i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{40}\left \lbrace \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89+25\sqrt{5}-\left (45\sqrt{5-2\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace } + \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89-25\sqrt{5}+\left (5\sqrt{5-2\sqrt{5}}+45\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace} \right \rbrace \\

=& 0.959492...

\end{align}

2. 1. 각

정이십이각형의 중심각과 외각은 약 16.363°이며, 내각은 약 163.636°이다. cos(2π/22)의 값은 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다. 자세한 내용은 정11각형을 참고하라.

2. 2. 면적

한 변의 길이가 a인 정이십이각형의 면적 S는 다음과 같다.

:S = \frac{22}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{22} \simeq 38.25334 a^2

:\cos (2\pi/22)의 값은 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다. 자세한 내용은 정11각형을 참고하라.

2. 3. 삼각함수 값

정이십이각형의 중심각과 외각은 16.363…°이며, 내각은 163.636…°이다. 한 변의 길이가 a인 정22각형의 면적 S는 다음과 같다.

:S = \frac{22}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{22} \simeq 38.25334 a^2

\cos (2\pi/22)의 값은 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다. 자세한 내용은 정11각형을 참조하라.



:\begin{align}

\cos \frac{2\pi}{22} =& \cos \frac{\pi}{11} = \cos\left(\pi- \frac{10\pi}{11} \right) = -\cos \frac{10\pi}{11} \\

=& \frac{1}{10}\\

&-\frac{-1-\sqrt{5}+i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{40}\left \lbrace \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89+25\sqrt{5}+\left (45\sqrt{5-2\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace } + \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89-25\sqrt{5}-\left (5\sqrt{5-2\sqrt{5}}+45\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace} \right \rbrace \\

&-\frac{-1-\sqrt{5}-i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{40}\left \lbrace \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89+25\sqrt{5}-\left (45\sqrt{5-2\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace } + \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89-25\sqrt{5}+\left (5\sqrt{5-2\sqrt{5}}+45\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace} \right \rbrace \\

=& 0.959492...

\end{align}


3. 정이십이각형의 작도

정이십이각형은 자와 컴퍼스를 사용한 작도가 불가능한 도형이다.

정이십이각형은 종이접기로는 작도가 불가능한 도형이다.

정이십이각형은 뉴시스 작도(Neusis)를 사용하여 작도가 가능하다.[1]

3. 1. 작도 불가능성

정22각형은 자와 컴퍼스를 사용한 작도가 불가능한 도형이다. 종이접기로도 작도가 불가능하다. 정22각형은 뉴시스 작도(Neusis)를 사용하여 작도가 가능하다.

3. 2. 뉴시스 작도

정이십이각형은 뉴시스 작도를 사용하여 작도할 수 있다.[1]


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