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뉴시스 작도

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1. 개요

뉴시스 작도는 주어진 선분을 두 곡선 또는 직선 사이에 맞춰, 그 선분이나 연장선이 특정 점을 지나도록 하는 작도법이다. 자와 컴퍼스만으로는 해결할 수 없는 문제, 예를 들어 각의 3등분이나 정육면체 배적 문제를 해결하는 데 사용되었으나, 현재는 거의 사용되지 않는다. 뉴시스 작도는 극점, 지향선, 멈춤선, 디아스테마 등의 용어를 사용하며, 극점에 핀을 꽂고 눈금자를 사용하여 작도한다. 뉴시스 작도를 이용하면 각의 3등분과 정육면체 배적 문제 해결이 가능하며, 특정 형태의 정다각형 작도에도 활용될 수 있다. 그러나 플라톤 철학의 영향과 다른 작도 방법의 발전으로 인해 쇠퇴하였다.

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뉴시스 작도
개요
이름뉴시스 작도
로마자 표기Neusiseu jakdo
분야기하학
기원고대 그리스 수학
목적특정 기하학적 문제 해결
상세 내용
정의주어진 두 직선에 접촉하면서 주어진 점을 지나는 직선을 찾는 작도법
특징유클리드 기하학의 공리만으로는 해결할 수 없는 문제 해결에 사용
도구눈금 있는 자 (길이 측정 가능)
방법자의 눈금을 이용하여 특정 길이만큼 표시하고, 이를 이용하여 직선을 그림
중요성고대 그리스 수학에서 중요한 위치를 차지하며, 여러 기하학적 문제 해결에 기여
예시입방체 배적 문제, 각의 삼등분 문제 등
역사
기원고대 그리스 시대
사용고대 그리스 수학자들이 다양한 기하학적 문제 해결에 활용
비판플라톤은 뉴시스 작도를 기하학의 순수성을 해치는 것으로 비판
관련 개념
관련 개념자명한 작도
설명자와 컴퍼스만을 사용하여 수행하는 작도법

2. 뉴시스 작도의 정의 및 방법

뉴시스 작도는 주어진 길이의 선분을 두 개의 주어진 곡선 (또는 직선) 사이에 맞춰, 그 선분 (또는 연장선)이 주어진 점 (극점)을 지나도록 하는 작도법이다.

> 를 만족하는 각을 삼등분하는 각 를, 원의 반지름과 같은 길이를 가진 자를 사용한 뉴시스 작도에 의해 구하는 방법.


여기서 점 는 뉴시스의 극점, 직선 은 지향선 또는 안내선, 직선 은 멈춤선이라고 불린다. 길이 는 ''디아스테마''(διάστημα|거리el)라고 불린다.[1]

2. 1. 용어

극점 (Pole): 주어진 점으로, 선분 (또는 연장선)이 반드시 지나야 하는 점이다.[1]
지향선/안내선 (Directrix/Guide line): 주어진 곡선 중 하나로, 선분의 한쪽 끝점이 이 곡선 위에 놓여야 한다.[1]
멈춤선 (Catch line): 주어진 곡선 중 다른 하나로, 선분의 다른 쪽 끝점이 이 곡선 위에 놓여야 한다.[1]
디아스테마 (Diastema): 주어진 선분의 길이를 의미하며, διάστημα|디아스테마el라고도 불린다.[1]

2. 2. 작도 방법

뉴시스 작도는 극점 에 핀을 꽂고, 핀에 눈금자를 대고 누르는 방식으로 수행할 수 있다. 눈금자의 한쪽 끝(그림에서 십자선이 있는 노란색 눈)은 눈금 분할의 원점으로 기준점 역할을 한다. 눈금자상의 두 번째 표식(파란색 눈)은 원점으로부터 διάστημα|디아스테마el(거리) 길이 를 나타낸다. 기준점을 지향선 위에서 움직이며, 동시에 디아스테마 표시(파란색 눈)가 멈춤선 위에 올 때까지 눈금자를 회전시킨다. 찾은 선분의 위치는 그림에서 짙은 파란색 막대로 표시된다.

3. 뉴시스 작도의 활용

뉴시스 작도는 자와 컴퍼스 작도만으로는 풀 수 없는 각의 삼등분, 큐브 배가와 같은 기하학적 문제들을 해결하는 수단을 제공한다.[1][4] 시라쿠사의 아르키메데스(기원전 287–212년), 알렉산드리아의 파푸스(290–350년), 아이작 뉴턴(1642–1726)과 같은 수학자들이 뉴시스 작도를 사용했다.[2][6]

3. 1. 각의 3등분

뉴시스 작도를 이용해서 각을 3등분한 모습


뉴시스 작도를 이용하면 주어진 각을 3등분할 수 있다. 방법은 다음과 같다.

# 주어진 각을 중심으로 하는 원을 그리고, 원의 반지름 길이를 눈금으로 표시한다.

# 주어진 각의 반대 방향으로 반직선 BD를 그린다.

# 원 위에 있는 각의 한 점 A와 점 D를 잇는 선분 AD를 그린다. 이때 선분 AD와 원의 교점인 점 C와 반직선 BD 위에 있는 점 D를 잇는 선분 CD의 길이가 반지름의 길이와 같아야 한다.

위의 과정에서 삼각형 BCD는 \overline{BC} = \overline{CD}이등변 삼각형이고, 삼각형 ABC는 \overline{AB} = \overline{BC}이등변 삼각형이다. 따라서, c = 2b이고, a = b + c이므로 a = 3b이다.

인접한 그림에서 수평선은 ''l''이다. 각도 ''a'' (점 ''B''의 왼쪽)가 삼등분 작도의 대상이다. 먼저, 점 ''A''를 각도의 한 변 위에, ''B''에서 한 단위 떨어진 곳에 그린다. 반지름이 ''AB''인 원을 그린다. 그런 다음, 눈금자 표시가 사용된다. 눈금자 한쪽 눈금을 ''A''에, 다른 쪽 눈금을 ''B''에 맞춘다. 눈금자가 ''A''에 닿도록 유지하면서 (표시는 제외), 눈금자를 미끄러뜨리고 회전시켜 한쪽 표시는 원 위에, 다른 쪽 표시는 선 ''l'' 위에 오도록 한다. 원 위의 표시는 ''C''로, 선 위의 표시는 ''D''로 표시한다. 각도 ''b'' = ''CDB''는 각도 ''a''의 1/3과 같다.

뉴시스 작도는 자(定規)와 컴퍼스만으로는 풀 수 없는 기하학적 문제인 각의 삼등분을 해결하는 수단을 제공한다.[4][1] 시라쿠사의 아르키메데스, 알렉산드리아의 파푸스, 아이작 뉴턴과 같은 수학자들이 뉴시스 작도를 사용했다.[2]

3. 2. 정육면체 배적 (델로스 문제)

뉴시스 작도를 이용해서 주어진 선분의 배 길이를 구한 모습


주어진 정육면체의 부피를 두 배로 하는 정육면체의 한 변의 길이를 작도하는 문제(델로스 문제)는 자와 컴퍼스만으로는 불가능하지만, 뉴시스 작도를 이용하면 가능하다. 뉴시스 작도를 통해 주어진 선분의 ∛2|세제곱근 2영어배 길이를 작도하는 방법은 다음과 같다.

  • 1. 원 3개를 이용해서 정삼각형 ABC를 작도한다.
  • 2. 정삼각형의 한 변의 길이를 눈금으로 표기하고, 정삼각형의 꼭짓점 B에서 정삼각형의 반대 방향으로 정삼각형의 한 변의 길이만큼 연장해 선분 BD를 그린다.
  • 3. 정삼각형의 꼭짓점 C에서 정삼각형과 반대 방향으로 뻗어나가는 반직선 CE를 그린다.
  • 4. 점 D와 점 C를 잇는 반직선 DF를 그린다.
  • 5. 반직선 CE 상에 있는 점 H와 정삼각형 ABC의 꼭짓점 A를 잇는 선분 AH를 그린다. 이때 반직선 DF와 선분 AH의 교점인 G와 H를 잇는 선분 GH의 길이가 정삼각형의 한 변의 길이와 같아야 한다.


이 과정을 통해 작도되는 선분 AG의 길이는 정삼각형의 한 변의 길이의 ∛2|세제곱근 2영어배 길이다.[4][1][8][5]

4. 뉴시스 작도와 정다각형

뉴시스 작도는 자(定規)와 컴퍼스만으로는 풀 수 없는 기하학적 문제를 해결하는 수단을 제공하기 때문에 중요하게 여겨져 왔다. 예를 들어, 각의 삼등분과 큐브 배가가 있다.[4][1] 시라쿠사의 아르키메데스(기원전 287–212년)와 알렉산드리아의 파푸스(290–350년)와 같은 수학자들은 뉴시스 작도를 자유롭게 사용했고, 아이작 뉴턴 경(1642–1726) 또한 그들의 사고 방식을 따랐다.[2]

A. Baragar는 2002년에 뉴시스 작도를 통해 구성 가능한 점으로 얻을 수 있는 체의 확대 \Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K의 확대 차수가 2, 3, 5, 6 중 하나임을 보였다.

일반적인 작도로는 정삼각형, 정오각형, 정십칠각형이 작도 가능하고, 각의 삼등분을 허용하면 정칠각형, 정구각형, 정십삼각형, 정십구각형, 정이십칠각형, 정삼십칠각형, 정칠십삼각형, 정팔십일각형, 정구십칠각형 (및 이들의 2의 거듭제곱 배의 꼭짓점을 갖는 정다각형)이 작도 가능하다.

4. 1. 작도 가능한 정다각형

뉴시스 작도를 이용하면 각의 3등분을 할 수 있으므로, 2^u 3^v각형은 모두 작도가 가능하다. 소수각형 p각형에 대해 p가 페르마 소수(2^{2^n} + 1 꼴)이거나 피어폰트 소수(2^u 3^v + 1 꼴)인 경우에 뉴시스 작도가 가능하다.[9] 2^u 3^v 5^w + 1 꼴이 아닌 경우 뉴시스 작도가 불가능하다. 5^w각형과, 11각형이 아닌 p= 2^u 3^v 5^w + 1 꼴(p>11)의 소수각형은 작도 가능 여부를 알 수 없다.

2014년에 벤저민(Benjamin)과 스나이더(Snyder)가 정십일각형이 뉴시스 작도가 가능하다는 사실을 밝혔다.[9]

뉴시스 작도가 가능한 정다각형은 다음과 같다.

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 97, 99, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 129, 130



뉴시스 작도가 불가능한 정다각형은 다음과 같다.

23, 29, 43, 46, 47, 49, 53, 58, 59, 67, 69, 71, 79, 83, 86, 87, 89, 92, 94, 98, 103, 106, 107, 113, 115, 116, 118, 121, 127



뉴시스 작도 가능 여부가 밝혀지지 않은 정다각형은 다음과 같다.

25, 31, 41, 50, 61, 62, 75, 82, 93, 100, 101, 122, 123, 124, 125



일반적으로, 오차 방정식이 뉴시스 작도 가능한 해를 갖는지는 아직 알려져 있지 않다. 또한, 이 문제는 이십오, 삼십일, 사십일, 육십일의 작도 가능성과 관련이 있다.[7]

비음의 정수 r, s 및 양의 정수 t를 사용하여 2^r3^s5^t+1의 형태로 나타낼 수 있는 11보다 큰 소수 p개의 꼭짓점을 갖는 정다각형이나, 꼭짓점의 수가 5보다 큰 5의 거듭제곱인 정다각형의 뉴시스 작도 가능성은 미해결 문제이다.[7]

4. 2. 작도 불가능한 정다각형

2^u 3^v 5^w + 1 꼴이 아닌 경우 뉴시스 작도가 불가능하다. (단, 5^w 각형은 예외)[9][3][7] 정23각형, 정29각형, 정43각형, 정47각형, 정49각형 등은 뉴시스 작도가 불가능하다.[9]

다음은 뉴시스 작도가 불가능한 정다각형들이다.

: 23, 29, 43, 46, 47, 49, 53, 58, 59, 67, 69, 71, 79, 83, 86, 87, 89, 92, 94, 98, 103, 106, 107, 113, 115, 116, 118, 121, 127, ...

A. Baragar는 2002년에 눈금 없는 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 점이 \Q 위에서 \Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K와 같은 일련의 에 속하며, 각 단계에서 확장의 차수가 6 이하임을 보였다. 이것은 정23각형, 정29각형, 정43각형, 정47각형, 정49각형, 정53각형, 정59각형, 정67각형, 정71각형, 정79각형, 정83각형, 정89각형, 정103각형, 정107각형, 정113각형, 정121각형, 정127각형이 뉴시스 작도가 불가능함을 보여주기에 충분하다.[3] 정 ''p''각형이 작도 가능하다면, \zeta_p = e^\frac{2\pi i}{p}가 작도 가능하며, 이 경우 ''p'' − 1은 5보다 큰 소인수를 가진다.[3]

4. 3. 작도 가능성이 밝혀지지 않은 정다각형

p= 2^u 3^v 5^w + 1 꼴 (p>11)의 소수각형 중 11각형이 아닌 경우 (예: 정25각형, 정31각형, 정41각형)는 작도 가능 여부가 아직 밝혀지지 않았다.[3][7] 특히, 5의 거듭제곱 꼴의 정다각형 (예: 정25각형, 정125각형)의 작도 가능성은 중요한 미해결 문제로 남아있다.[3][7]

5. 뉴시스 작도의 쇠퇴

T. L. 히스는 그리스 수학자 오이노피데스()가 컴퍼스와 자 작도를 뉴시스 작도보다 우선시한 최초의 인물이라고 제안했다. 가능한 한 뉴시스 작도를 피하려는 원칙은 오이노피데스와 같은 섬 출신이며, 체계적으로 정리된 기하학 교과서를 최초로 저술한 것으로 알려진 히포크라테스()에 의해 퍼졌을 수 있다. 그로부터 100년 후 유클리드 역시 그의 매우 영향력 있는 교과서인 ''원론''에서 뉴시스 작도를 기피했다.

플라톤관념론이 기원전 4세기부터 세력을 얻으면서 뉴시스 작도에 대한 공격이 시작되었다. 그 영향으로 기하학적 작도는 "추상적이고 고귀한" 것에서 "기계적이고 세속적인" 것으로 내려오는 세 가지 계층으로 구분되었다.

# 직선과 원만을 이용한 작도 (컴퍼스와 자)

# 타원, 포물선, 쌍곡선 등 원뿔 곡선을 사용하는 작도

# 뉴시스 작도와 같이 다른 작도 수단이 필요한 작도

결국, 뉴시스 작도는 다른 두 가지, 더 높은 범주의 작도가 해결책을 제시하지 못할 때만 허용되었다. 뉴시스 작도는 다른 모든, 더 존경받는 방법들이 실패했을 때에만 사용되는 일종의 최후의 수단이 되었다. 다른 작도 방법을 사용할 수 있는 곳에서 뉴시스 작도를 사용하는 것은 후기 그리스 수학자 알렉산드리아의 파푸스()에 의해 "무시할 수 없는 오류"로 낙인 찍혔다.

참조

[1] 웹사이트 Neusis Construction http://mathworld.wol[...]
[2] 서적 Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, Issue 4 https://books.google[...] M.I.T Press
[3] 논문 Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge 2002
[4] 간행물 On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass https://www.research[...] 2020-09-26
[5] 웹사이트 Neusis Construction http://mathworld.wol[...]
[6] 서적 Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, Issue 4 https://books.google[...] M.I.T Press
[7] 논문 Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge 2002
[8] 간행물 On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass https://www.research[...] 2020-09-26
[9] 간행물 Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society156.3 2014-05



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