이토 적분

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1. 개요

이토 적분은 확률 미적분학의 핵심 개념으로, 위너 과정과 같은 확률 과정에 대한 적분을 정의한다. 단순 예측 가능 과정에 대한 적분을 시작으로, 연속 선형 확장을 통해 브라운 운동과 같은 다양한 과정으로 확장된다. 이토 적분은 국소 마팅게일, 제곱 적분 가능 마팅게일 등 마팅게일의 성질을 보존하며, 이토의 보조정리와 같은 중요한 결과를 통해 확률 미분 방정식을 다루는 데 사용된다. 이토 적분은 다양한 형태로 정의되며, 세미마팅게일에 대해서도 정의될 수 있다.

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이토 적분

2. 정의

위너 확률 과정에 대한 이토 적분은 다음과 같이 정의된다. 보다 일반적으로, 준마팅게일에 대하여 이토 적분을 정의할 수 있다.

우선, 확률 공간 $(\Omega,\mathcal F_\infty,\Pr)$ 위의 (표준) 위너 확률 과정 $(W_t\colon\Omega \to \mathbb R)_{t\in[a,b]}$ 이 주어졌다고 가정하고, ‘위너 확률 과정으로 알려진 정보’ + ‘시간에 의존하지 않는 추가 정보’를 나타내는 여과 확률 공간 $(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)_{t\in[a,b]}$ 을 정의한다.

이 여과 확률 공간 위의 순응 확률 과정 $(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[a,b]}$ 이 다음 두 조건을 만족시키면, ''' $(W,\mathcal G,(t_i)_{i=0}^N)$ -기초 확률 과정'''이라고 한다.

임의의 $t\in[a,b]$ 에 대하여, $(X\restriction [0,t]\times\Omega) \colon [0,t] \times \Omega \to \mathbb R$ 는 시그마 대수 $\mathcal B([0,t]) \times \mathcal F_t$ 에 대한 가측 함수이다.
$\forall i\in\{0,\dotsc,N-1\}\forall t\in[t_i,t_{i+1}) \colon X_t = X_{t_i}$ 이다.

이러한

(W,\mathcal G,(t_i)_{i=0}^N)

-기초 확률 과정

(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[a,b]}

의 '''이토 적분'''은 다음과 같은 확률 변수로 정의된다.

:

\int_a^b X_t\,\mathrm dW_t = \sum_{i=0}^{N-1}X_{t_i} (W_{t_{i+1}} - W_{t_i})

일반적인 평균 제곱 적분 가능 확률 과정

X \in \mathcal S^2(\Omega,[a,b])

의 경우,

X

로 수렴하는 기초 확률 과정들의 열

Y^{(1)}, Y^{(2)},\dotsc

을 선택할 수 있다. 이때, 확률 변수들의 열

\textstyle\int_a^b Y^{(i)}_t\,\mathrm dW_t \colon \Omega \to \mathbb R

은 르베그 공간

\operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)

의 원소이며, 항상 극한을 갖는다.

(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[a,b]}

의 '''이토 적분'''

\textstyle\int_a^bX_t\,\mathrm dW_t \in \operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)

은 이 극한으로 정의된다.

:

\lim_{i\to\infty}^{\operatorname L^2}\int_a^bY^{(i)}_t\,\mathrm dW_t = \int_a^bX_t\,\mathrm dW_t \in \operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)

이 값은

Y^{(i)}

의 선택에 의존하지 않는다.

2. 1. 평균 제곱 적분 가능 확률 과정의 바나흐 공간

확률 공간

\Omega

위의 확률 과정

(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[a,b]}

을 생각하자. 만약

\mathbb E\left(\int_a^b X_t^2\,\mathrm dt\right) < \infty

라면,

X

를 '''평균 제곱 적분 가능 확률 과정'''(mean-square-integrable stochastic process^영어)이라고 한다.

\Omega\times[a,b]\to \mathbb R

평균 제곱 적분 확률 과정들의 공간을

\mathcal S^2(\Omega,[a,b])

로 표기한다. 이 위에는 자연스러운 반노름

\|X\|_{\mathcal S^2} = \mathbb E\left(\int_a^bX_t^2\,\mathrm dt\right)

이 존재한다. 이 반노름이 0인 확률 과정들(거의 어디서나 값이 0인 것들)의 부분 공간

\mathcal N \subseteq \mathcal S^2(\Omega,[a,b])

에 대한 몫공간

\operatorname S^2(\Omega,[a,b]) = \frac{\mathcal S^2(\Omega,[a,b])}{\mathcal N}

은 노름 공간이며, 바나흐 공간을 이룬다.

2. 2. 기초 확률 과정

확률 공간

(\Omega,\mathcal F_\infty,\Pr)

위의 (표준) 위너 확률 과정

(W_t\colon\Omega \to \mathbb R)_{t\in[a,b]}

이 주어졌다고 하자. 여과 확률 공간

(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)_{t\in[a,b]}

을 정의할 수 있다. 이 여과 확률 공간은 ‘위너 확률 과정으로 알려진 정보’ + ‘시간에 의존하지 않는 추가 정보’를 나타낸다.

(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)

위의 순응 확률 과정

(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[a,b]}

이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, '''

(W,\mathcal G,(t_i)_{i=0}^N)

-기초 확률 과정'''(基礎確率過程, elementary stochastic process^영어)이라고 한다.

임의의 $t\in[a,b]$ 에 대하여, $(X\restriction [0,t]\times\Omega) \colon [0,t] \times \Omega \to \mathbb R$ 는 시그마 대수 $\mathcal B([0,t]) \times \mathcal F_t$ 에 대한 가측 함수이다.
$\forall i\in\{0,\dotsc,N-1\}\forall t\in[t_i,t_{i+1}) \colon X_t = X_{t_i}$ 이다.

(W,\mathcal G,(t_i)_{i=0}^N)

-기초 확률 과정

(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[a,b]}

의 '''이토 적분'''은 다음과 같은 확률 변수이다.

:

\int_a^b X_t\,\mathrm dW_t = \sum_{i=0}^{N-1}X_{t_i} (W_{t_{i+1}} - W_{t_i})

2. 3. 이토 적분

임의의 평균 제곱 적분 가능 확률 과정

X \in \mathcal S^2(\Omega,[a,b])

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

X

로 (

\operatorname S^2

-노름에 대하여) 수렴하는 기초 확률 과정들의 열

Y^{(1)}, Y^{(2)},\dotsc

을 항상 고를 수 있다. 그렇다면, 확률 변수들의 열

:

\int_a^b Y^{(i)}_t\,\mathrm dW_t \colon \Omega \to \mathbb R

을 정의할 수 있다. 이는 르베그 공간

\operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)

의 원소이며, 항상 (

\operatorname L^2

-노름에 대한) 극한을 갖는다.

(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[a,b]}

의 '''이토 적분'''

:

\int_a^bX_t\,\mathrm dW_t \in \operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)

은

\textstyle\int_a^b Y^{(i)}_t\,\mathrm dW_t

들의 (

\operatorname L^2

-노름) 극한이다.

:

\lim_{i\to\infty}^{\operatorname L^2}\int_a^bY^{(i)}_t\,\mathrm dW_t = \int_a^bX_t\,\mathrm dW_t \in \operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)

이는 사용한

Y^{(i)}

에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

3. 표기법

앞서 정의된 과정 는 다음과 같이 표기된다.

$Y_t = \int_0^t H\,dX\equiv\int_0^t H_s\,dX_s$

이는 시간 매개변수 ''t''를 갖는 확률 과정 자체이며, 로도 쓰인다. 또는 적분은 종종 미분 형식 로 쓰이며, 이는 와 동등하다. 이토 미적분학은 연속 시간 확률 과정을 다루므로, 기본 여과된 확률 공간이 주어졌다고 가정한다.

$(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\ge 0},\mathbb{P}) .$

시그마 대수 '' $\mathcal{F}_t$ ''는 시간 까지 사용 가능한 정보를 나타내며, 과정 가 가 $\mathcal{F}_t$ -가측일 경우 적응된다고 한다. 브라운 운동 는 $\mathcal{F}_t$ -브라운 운동으로 이해되며, 이는 가 $\mathcal{F}_t$ -가측이고 모든 에 대해 가 $\mathcal{F}_t$ 와 독립이라는 속성을 가진 표준 브라운 운동이다.

4. 브라운 운동에 대한 적분

이토 적분은 리만-스틸체스 적분과 유사하게 정의될 수 있는데, 이는 확률 수렴에서 리만 합의 극한으로 정의된다. 이러한 극한은 경로별로는 반드시 존재하지 않을 수 있다. $B$ 가 비너 과정(브라운 운동)이고, $H$ 가 우연속(càdlàg), 적응 및 국소 유계 과정이라고 가정한다. 만약 $\{\pi_n\}$ 이 메쉬 폭이 0으로 가는 $[0,t]$ 의 구간 분할 시퀀스라면, 시간 $t$ 까지 $B$ 에 대한 $H$ 의 이토 적분은 확률 변수이다.

$\int_0^t H \,d B =\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{[t_{i-1},t_i]\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}).$

이 극한이 확률 수렴한다는 것을 보일 수 있다.

마팅게일 표현 정리 및 국소 시간과 같은 일부 응용 분야에서는 연속적이지 않은 과정에 대한 적분이 필요하다. 예측 가능 과정은 시퀀스의 극한을 취하는 것에 대해 닫혀 있고 모든 적응 좌연속 과정을 포함하는 가장 작은 클래스를 형성한다. 만약 $H$ 가 모든 $t\ge 0$ 에 대해 $\int_0^t H^2\,ds < \infty$ 인 예측 가능 과정이라면, $B$ 에 대한 $H$ 의 적분을 정의할 수 있으며, $H$ 는 $B$ -적분 가능하다고 한다. 이러한 과정은 좌연속, 적응 및 국소 유계 과정의 시퀀스 $H_n$ 에 의해 근사될 수 있다.

$\int_0^t (H-H_n)^2\,ds\to 0$

확률에서. 그런 다음 이토 적분은 다음과 같다.

$\int_0^t H\,dB = \lim_{n\to\infty}\int_0^t H_n\,dB$

여기서도 극한이 확률 수렴한다는 것을 보일 수 있다. 확률 적분은 이토 등거리 변환을 만족한다.

$\mathbb{E}\left[ \left(\int_0^t H_s \, dB_s\right)^2\right] = \mathbb{E} \left[ \int_0^t H_s^2\,ds\right ]$

이는 $H$ 가 유계이거나, 더 일반적으로 오른쪽 항의 적분이 유한할 때 성립한다.

5. 이토 프로세스

'''이토 프로세스'''는 브라운 운동에 대한 적분과 시간에 대한 적분의 합으로 표현될 수 있는 적응된 확률 과정이다.

:

X_t=X_0+\int_0^t\sigma_s\,dB_s + \int_0^t\mu_s\,ds.

여기서 }는 브라운 운동이고, 는 예측 가능한 적분 가능 과정이어야 하며, 는 예측 가능하고 (르베그) 적분 가능해야 한다. 즉,

:

\int_0^t(\sigma_s^2+|\mu_s|)\,ds<\infty

는 각 에 대해 성립한다. 확률 적분은 이러한 이토 프로세스로 확장될 수 있다.

:

\int_0^t H\,dX =\int_0^t H_s\sigma_s\,dB_s + \int_0^t H_s\mu_s\,ds.

이는 모든 국소적으로 유계이고 예측 가능한 피적분 함수에 대해 정의된다. 더 일반적으로, 가 적분 가능하고 가 르베그 적분 가능하여

:

\int_0^t \left(H^2 \sigma^2 + |H\mu| \right) ds < \infty.

가 되도록 요구된다. 이러한 예측 가능한 과정 를 적분 가능이라고 한다.

이토의 보조정리는 이토 프로세스 연구에 중요한 결과이다. 가장 간단한 형태로, 실수에 대한 임의의 두 번 연속적으로 미분 가능한 함수 와 위에서 설명한 이토 프로세스 에 대해

Y_t=f(X_t)

는 다음을 만족하는 자체 이토 프로세스이다.

:

d Y_t = f^\prime(X_t) \mu_t\,d t + \tfrac{1}{2} f^{\prime\prime} (X_t) \sigma_t^2 \, d t + f^\prime(X_t) \sigma_t \,dB_t .

이는 변수 변환 공식 및 연쇄 법칙의 확률 미적분학 버전이다. 브라운 운동이 0이 아닌 2차 변동을 갖는다는 속성에서 비롯된 의 2차 도함수를 포함하는 추가 항으로 인해 표준 결과와 다르다.

6. 적분자로서의 세미마팅게일

이토 적분은 세미마팅게일에 대해 정의된다. 이는 로컬 마팅게일과 유한 변동 과정의 합으로 분해될 수 있는 과정이다. 이러한 과정의 중요한 예로는 마팅게일인 브라운 운동과 레비 과정이 있다. 좌연속이고 지역적으로 유계이며 적응적인 과정 에 대해 적분 가 존재하며, 리만 합의 극한으로 계산할 수 있다. 을 구간 의 메쉬가 0으로 수렴하는 분할 수열이라고 하면,

:

이 극한은 확률적으로 수렴한다. 좌연속 과정의 확률 적분은 확률 미적분학의 많은 부분을 연구하기에 충분히 일반적이다. 예를 들어, 이토의 보조정리, 기르사노프 정리를 통한 측도의 변화 및 확률 미분 방정식 연구에 충분하다. 그러나 마팅게일 표현 정리 및 로컬 시간과 같은 다른 중요한 주제에는 부적절하다.

이 적분은 지배 수렴 정리가 성립하도록 예측 가능하고 지역적으로 유계인 모든 피적분 함수로 고유한 방식으로 확장된다. 즉, 이고 인 지역적으로 유계인 과정 가 있다면,

:

확률적으로. 좌연속에서 예측 가능한 피적분 함수로의 확장의 고유성은 단조 클래스 보조정리의 결과이다.

일반적으로 확률 적분 는 예측 가능한 과정 가 지역적으로 유계가 아닌 경우에도 정의될 수 있다. 만약 이면 와 는 유계이다. 확률 적분의 결합성은 이고 인 경우에만 인 -적분 가능함을 의미한다. -적분 가능 과정의 집합은 로 표시된다.

7. 성질

확률 적분은 Càdlàg 과정이며, 세미마팅게일이기도 하다.

확률 적분의 불연속성은 피적분 함수에 곱해진 적분 함수의 점프에 의해 주어진다. 시간 t에서의 Càdlàg 과정의 점프는 이며, 종종 로 표시된다. 이 표기법에서 이다. 연속 과정에 대한 적분은 항상 그 자체가 연속적이라는 특별한 결과가 나타난다.

'''결합 법칙'''. , 를 예측 가능한 과정이라고 하고, 가 -적분 가능하다면, 는 적분 가능하고, 그 경우 는 -적분 가능하며, 다음이 성립한다.

: $J\cdot (K\cdot X) = (JK)\cdot X$

'''지배 수렴'''. 이고 라고 가정하면, 여기서 는 -적분 가능한 과정이다. 그러면 가 된다. 수렴은 각 시간 에서 확률적으로 이루어진다. 사실, 확률적으로 컴팩트 집합에서 균등하게 수렴한다.

확률 적분은 이차 공분산을 취하는 연산과 교환 가능하다. 와 가 세미마팅게일이면, 모든 -적분 가능한 과정은 또한 -적분 가능하며, 이다. 확률 적분의 이차 변동 과정이 이차 변동 과정의 적분과 같다는 결과가 나타난다.

: $[H\cdot X] = H^2\cdot[X]$

8. 이토의 보조정리

이토의 보조정리는 연쇄 법칙 또는 치환 적분 공식의 변형으로, 이토 적분에 적용된다. 확률 미적분학에서 가장 강력하고 자주 사용되는 정리 중 하나이다. 연속적인 n차원 세미마팅게일 $X = (X^1, ..., X^n)$ 와 $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}$로 가는 두 번 연속 미분 가능한 함수 $f$에 대해, $f(X)$가 세미마팅게일이고,

$df(X_t)= \sum_{i=1}^n f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n f_{i,j}(X_{t}) \, d[X^i,X^j]_t.$

가 성립한다. 이 공식은 이차 공변동 $[X^i, X^j]$를 포함하는 항 때문에 표준 미적분학에서 사용되는 연쇄 법칙과 다르다. 이 공식은 $f$에 명시적인 시간 의존성을 포함하도록 일반화될 수 있으며, 다른 방법으로도 일반화될 수 있다.

9. 마팅게일 적분자

이토 확률 적분은 유계 적분 함수에 대해 제곱 적분 가능 마팅게일 공간을 보존한다. 즉, 모든 t에 대해 E[''M''_''t''²]가 유한한 càdlàg 마팅게일 M의 집합을 보존한다. 이러한 제곱 적분 가능 마팅게일 M에 대해 2차 변동 과정 [''M'']은 적분 가능하며, '''이토 등거리 공식'''은 다음과 같다.

: $\mathbb{E}\left [(H\cdot M_t)^2\right ]=\mathbb{E}\left [\int_0^t H^2\,d[M]\right ].$

이 등식은 H² · [''M'']_''t''가 적분 가능한 모든 마팅게일 M에 대해 일반적으로 성립한다. 이토 등거리 공식은 확률 적분을 구성하는 데 종종 사용된다.

임의의 p에 대해, 유계 예측 적분함수의 경우 확률 적분은 p-적분 가능 마팅게일 공간을 보존한다. 이러한 마팅게일은 모든 t에 대해 $M_t^p$ 가 유한한 càdlàg 마팅게일이다.

버크홀더-데이비스-건디 부등식에 따르면, 주어진 p에 대해, $M_t^*$ 에 의존하지 않는 양의 상수 c, C가 존재하여 모든 càdlàg 국소 마팅게일 M에 대해 다음 부등식이 성립한다.

: $c\mathbb{E} \left [ [M]_t^{\frac{p}{2}} \right ] \le \mathbb{E}\left [(M^*_t)^p \right ]\le C\mathbb{E}\left [ [M]_t^{\frac{p}{2}} \right ]$

9. 1. 국소 마팅게일

이토 적분은 국소 마팅게일 성질을 보존한다. 만약 ''M''이 국소 마팅게일이고 ''H''가 국소 유계 예측 과정이라면, ''H'' · ''M'' 역시 국소 마팅게일이다. 국소 유계가 아닌 피적분 함수에 대해서는 ''H'' · ''M''이 국소 마팅게일이 아닌 경우가 있다. 그러나 이러한 경우는 ''M''이 연속적이지 않을 때만 발생할 수 있다. 만약 ''M''이 연속적인 국소 마팅게일이라면, 예측 과정 ''H''가 ''M''-적분 가능할 필요충분조건은 다음과 같다.

:

\int_0^t H^2 \, d[M] <\infty,

각 ''t''에 대해 성립하며, ''H'' · ''M''은 항상 국소 마팅게일이다.

불연속 국소 마팅게일 ''M''에 대한 가장 일반적인 진술은, 만약 (''H''² · [''M''])^1/2가 국소 적분 가능하다면, ''H'' · ''M''이 존재하고 국소 마팅게일이라는 것이다.

9. 2. 제곱 적분 가능 마팅게일

유계 적분 함수에 대해 이토 확률 적분은 ''제곱 적분 가능'' 마팅게일의 공간을 보존하며, 이는 모든 t에 대해 E[''M''_''t''²]가 유한한 càdlàg 마팅게일 M의 집합이다. 이러한 제곱 적분 가능 마팅게일 M에 대해 2차 변동 과정 [''M'']은 적분 가능하며, '''이토 등거리 공식'''은 다음과 같다.

\mathbb{E}\left [(H\cdot M_t)^2\right ]=\mathbb{E}\left [\int_0^t H^2\,d[M]\right ].

이 등식은 H² · [''M'']_''t''가 적분 가능한 모든 마팅게일 M에 대해 일반적으로 성립한다. 이토 등거리 공식은 종종 확률 적분의 구성에서 중요한 단계로 사용되며, 특정 단순 적분 함수의 클래스에서 모든 유계 및 예측 가능한 과정으로 이 등거리 공식을 확장하여 H · M을 정의한다.

9. 3. ''p''-적분 가능 마팅게일

임의의 에 대해, 유계 예측 적분함수의 경우, 확률 적분은 -적분 가능 마팅게일 공간을 보존한다. 이러한 마팅게일은 모든 에 대해 가 유한한 càdlàg 마팅게일이다. 그러나, 인 경우에는 이것이 항상 참인 것은 아니다. 마팅게일에 대한 유계 예측 과정의 적분 중 그 자체가 마팅게일이 아닌 예가 있다.

càdlàg 과정 의 최대 과정은 .로 표기된다. 임의의 과 유계 예측 적분함수에 대해, 확률 적분은 모든 에 대해 가 유한한 càdlàg 마팅게일 의 공간을 보존한다. 만약 이면, 이는 두브의 부등식에 의해 -적분 가능 마팅게일의 공간과 같다.

'''버크홀더-데이비스-건디 부등식'''은 주어진 에 대해, 에 의존하지만 또는 에 의존하지 않는 양의 상수 , 가 존재하여

c\mathbb{E} \left [ [M]_t^{\frac{p}{2}} \right ] \le \mathbb{E}\left [(M^*_t)^p \right ]\le C\mathbb{E}\left [ [M]_t^{\frac{p}{2}} \right ]

모든 càdlàg 국소 마팅게일 에 대해 성립한다고 말한다. 이 부등식은 가 적분 가능하고 가 유계 예측 과정일 때

\mathbb{E}\left [ ((H\cdot M)_t^*)^p \right ] \le C\mathbb{E}\left [(H^2\cdot[M]_t)^{\frac{p}{2}} \right ] < \infty

이고, 결과적으로 가 -적분 가능 마팅게일임을 보이는 데 사용된다. 더 일반적으로, 이 명제는 가 적분 가능할 때마다 참이다.

10. 적분의 존재성

이토 적분이 잘 정의되었음을 증명하는 방법은, 우선 적분을 명시적으로 계산할 수 있는 간단한 피적분 함수를 살펴보는 것에서 시작한다. 이러한 함수를 "단순 예측 가능" 과정이라고 부르며, 정지 시점 와 -측정 가능한 확률 변수 에 대해 형태 항의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 이때 적분은 다음과 같이 정의된다.

: $H\cdot X_t\equiv \mathbf{1}_{\{t>T\}}A(X_t-X_T).$

이 정의는 에 대한 의 선형성을 통해 모든 단순 예측 가능 과정으로 확장할 수 있다.

브라운 운동 의 경우, 평균이 0이고 분산이 인 독립 증분을 갖는다는 성질을 이용하여, 단순 예측 가능 피적분 함수에 대한 이토 등거리성을 다음과 같이 증명할 수 있다.

: $\mathbb{E} \left [ (H\cdot B_t)^2\right ] = \mathbb{E} \left [\int_0^tH_s^2\,ds\right ].$

연속 선형 확장을 통해, 이토 등거리성이 유지되는 방식으로 적분을

: $\mathbb{E} \left[ \int_0^t H^2 \, ds \right ] < \infty,$

를 만족하는 모든 예측 가능 피적분 함수로 유일하게 확장할 수 있다. 그 후, 지역화를 통해 모든 -적분 가능한 과정으로 확장할 수 있다. 이 방법을 통해 임의의 이토 과정에 대한 적분을 정의할 수 있다.

일반적인 세미마팅게일 의 경우, 로컬 마팅게일 과 유한 변동 과정 로의 분해 를 사용할 수 있다. 과 에 대해 적분이 개별적으로 존재하므로, 선형성 를 이용하여 ''X''에 대한 적분을 얻을 수 있다. 표준 르베그-스틸티스 적분을 사용하면 유한 변동 과정에 대해 적분을 정의할 수 있으므로, 세미마팅게일에 대한 이토 적분의 존재는 로컬 마팅게일에 대한 구성에서 도출된다.

càdlàg 제곱 적분 가능한 마팅게일 의 경우, 일반화된 형태의 이토 등거리성을 사용할 수 있다. 우선, 두브-마이어 분해 정리를 사용하여 분해가 존재함을 보인다. 여기서 은 마팅게일이고, 은 0에서 시작하는 오른쪽 연속, 증가, 예측 가능한 과정이다. 은 의 "예측 가능 이차 변동"이라고 불리며, 이를 통해 제곱 적분 가능한 마팅게일에 대한 이토 등거리성은 다음과 같이 표현된다.

: $\mathbb{E} \left [(H\cdot M_t)^2\right ]= \mathbb{E} \left [\int_0^tH^2_s\,d\langle M\rangle_s\right].$

이는 단순 예측 가능 피적분 함수에 대해 직접 증명할 수 있다. 브라운 운동의 경우와 같이, 연속 선형 확장을 사용하여 를 만족하는 모든 예측 가능 피적분 함수로 유일하게 확장할 수 있다. 이 방법은 지역화를 통해 모든 로컬 제곱 적분 가능한 마팅게일로 확장 가능하다. 마지막으로, 두브-마이어 분해를 통해 임의의 로컬 마팅게일을 로컬 제곱 적분 가능한 마팅게일과 유한 변동 과정의 합으로 분해할 수 있으며, 이를 통해 임의의 세미마팅게일에 대한 이토 적분을 구성할 수 있다.

이토 등거리성을 사용하지 않고도 유사한 방법을 적용할 수 있는 다른 증명 방법도 존재한다. 예를 들어, 이차 변동 [''M'']을 사용하거나, 서브마팅게일에 대한 돌레앙스 측도를 사용하거나, 이토 등거리성 대신 버크홀더-데이비스-건디 부등식을 사용하는 방법이 있다.

대안적인 증명 방법으로는 가 càdlàg이고 적응적이며, 집합 {''H'' · ''X_t'': |''H''| ≤ 1 is simple previsible}이 각 시간 에 대해 확률적으로 경계가 있다는 사실만을 사용하여 존재성을 증명하는 방법이 있다. 이는 가 세미마팅게일이 되기 위한 대안적인 정의이다. 연속 선형 확장을 사용하여 모든 좌연속 및 적응 피적분 함수에 대해 적분을 구성할 수 있으며, 이는 어디에서나 오른쪽 극한(caglad 또는 L-과정)을 갖는다.

11. 이토 미적분학에서의 미분

이토 미적분학은 위에서 설명한 대로 적분 미적분학으로 정의된다. 그러나 브라운 운동과 관련하여 "미분"의 여러 개념이 존재한다.

11. 1. 말리야뱅 도함수

말리야뱅 미적분학은 비너 공간에서 정의된 확률 변수에 대한 미분 이론을 제공하며, 부분 적분 공식을 포함한다.^[1]

11. 2. 마팅게일 표현

다음 결과는 마팅게일을 이토 적분으로 표현할 수 있게 해준다. 만약 M^영어이 브라운 운동 B^영어에 의해 생성된 여과에 대해 시간 구간 [0, ''T'']에서 제곱 적분 가능한 마팅게일이라면, 다음을 만족하는 고유한 적응된 제곱 적분 가능 과정

\alpha

가 [0, ''T'']에 존재한다.

:

M_{t} = M_{0} + \int_{0}^{t} \alpha_{s} \, \mathrm{d} B_{s}

거의 확실하게, 그리고 모든 t^영어 ∈ [0, ''T'']에 대해. 이 표현 정리는 α가 결정론적 미적분학에서와 같이 M_t − M₀^영어을 얻기 위해 시간 t^영어까지 적분해야 하는 과정이므로, α가 브라운 운동 B^영어에 대한 M^영어의 "시간 도함수"라고 말하는 것으로 공식적으로 해석될 수 있다.

12. 물리학자를 위한 이토 미적분학

물리학에서는 일반적으로 확률 미분 방정식(SDE)이 사용되며, 이는 랑제뱅 방정식과 같다. 여기서 이토 확률 미분 방정식(SDE)은 종종 다음과 같이 공식화된다.

: $\dot{x}_k = h_k + g_{kl} \xi_l,$

여기서 $\xi_j$ 는 다음과 같은 가우시안 백색 잡음이다.

: $\langle\xi_k(t_1)\,\xi_l(t_2)\rangle = \delta_{kl}\delta(t_1-t_2)$

그리고 아인슈타인 표기법이 사용된다.

만약 $y = y(x_k)$ 가 $x_k$ 의 함수라면, 이토의 보조정리를 사용해야 한다.

: $\dot{y}=\frac{\partial y}{\partial x_j}\dot{x}_j+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x_k \, \partial x_l} g_{km}g_{ml}.$

위의 이토 SDE는 또한 다음과 같이 표현되는 스트라토노비치 적분에 해당한다.

: $\dot{x}_k = h_k + g_{kl} \xi_l - \frac{1}{2} \frac{\partial g_{kl}}{\partial {x_m}} g_{ml}.$

SDE는 잡음 항의 상관 시간이 0에 가까워지면 유색 잡음에 의해 구동되는 확률 미분 방정식의 극한으로 물리학에서 스트라토노비치 형태로 자주 나타난다.

13. 역사

독일의 수학자 볼프강 되블린(Wolfgang Döblin^de)은 1940년에 이미 이와 유사한 이론을 유도하였으나, 출판하지 못했다. 유대인이었던 되블린은 나치 독일을 피해 프랑스로 피난하였다가, 프랑스가 점령되자 1940년 자살하였다. 이후 되블린의 업적은 2000년에 와서야 재발견되었다.

되블린과 독자적으로, 일본의 수학자 이토 기요시는 이토 적분의 이론을 1944년에 출판하였다.^[1]^[2]

참조

_[1] 저널 109. Stochastic integral 1944
_[2] 서적 On stochastic differential equations https://bookstore.am[...] American Mathematical Society 1951

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