기르사노프 정리

3. 의의

기르사노프 정리는 확률 과정 이론에서 매우 중요한 위치를 차지한다. 이 정리는 어떤 확률 측도 ''P''에 대해 절대 연속인 다른 확률 측도 ''Q''가 존재할 때, 모든 ''P''-세미마팅게일은 ''Q''-세미마팅게일이 된다는 것을 보여준다. 이 결과는 확률 과정의 일반 이론에서 핵심적인 역할을 한다.

만약 ''Q''가 ''P''에 관하여 측도가 절대 연속이라면, 모든 ''P''-세미마팅게일은 ''Q''-세미마팅게일이라는 핵심적인 결과를 가능하게 한다.

4. 정리의 내용

확률공간 $(\backslash Omega,\backslash mathcal\{F\},\backslash mathbb\{P\})$와 위너 과정을 따르는 확률 변수 $W\_\{t\}$, 그리고 여과 $\backslash mathcal\{F\}\_\{t\}^\{W\}$에 순응하는 가측 함수 $X\_\{t\}$가 있다고 가정한다. 만약 $X\_\{0\}=0$일 경우 다음이 성립한다.

:$Z\_t=\backslash mathcal\{E\}\; (X)\_t\backslash ,$

여기서 $\backslash mathcal\{E\}(X)$는 $X$의 $W$에 대한 돌레앙 지수(Doléans exponential}})이며 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash mathcal\{E\}(X)\_t=\backslash exp\; \backslash left\; (\; X\_t\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; [X]\_t\; \backslash right\; )$

여기서 $[X]$는 $X$의 이차변동성을 나타낸다.

따라서 $Z\_t$는 항상 양의 값을 갖는 국소 마팅게일(local martingale)이며, 확률공간 $(\backslash Omega,\backslash mathcal\{F\})$에 대해 다음과 같은 라돈-니코딤 도함수를 갖는 새로운 확률 측도 $\backslash mathbb\{Q\}$를 정의할 수 있다.

:$\backslash frac\{d\; \backslash mathbb\{Q\}\}\{d\; \backslash mathbb\{P영어|\_\{\backslash mathcal\{F\}\_t\}\; =\; Z\_t\; =\; \backslash mathcal\{E\}\; (X\; )\_t$

이 경우 만약 어떤 확률과정 $Y\_t$가 확률 측도 $\backslash mathbb\{P\}$ 하에서 마팅게일이라면 아래와 같이 정의된 확률과정 $\backslash tilde\{Y\}\_t$는 여과확률공간 $(\backslash Omega,\backslash mathcal\{F\},\backslash mathcal\{F\}\_\{t\},\backslash mathbb\{Q\})$의 국소 마팅게일이다.

:$\backslash tilde\; Y\_t\; =\; Y\_t\; -\; \backslash left[\; Y,X\; \backslash right]\_t$

우선 기본적인 확률 과정이 비너 과정인 특수한 경우에 대해 정리를 제시한다. 이 특수한 경우는 블랙-숄즈 모형에서 위험 중립적 가격 결정을 하기에 충분하다.

$\backslash \{W\_t\backslash \}$를 비너 확률 공간 $\backslash \{\backslash Omega,\backslash mathcal\{F\},P\backslash \}$에서 비너 과정이라고 하자. $X\_t$를 비너 과정 $\backslash \{\backslash mathcal\{F\}^W\_t\backslash \}$의 자연 여과에 적응된 가측 과정이라고 하자. 일반적인 조건이 충족되었다고 가정한다.

적응 과정 $X\_t$가 주어졌을 때, 다음을 정의한다.

:$Z\_t=\backslash mathcal\{E\}\; (X)\_t,\backslash ,$

여기서 $\backslash mathcal\{E\}(X)$는 ''W''에 대한 ''X''의 확률 지수이다. 즉,

:$\backslash mathcal\{E\}(X)\_t=\backslash exp\; \backslash left\; (\; X\_t\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; [X]\_t\; \backslash right\; ),$

그리고 $[X]\_t$는 과정 ''X''의 2차 변동을 나타낸다.

만약 $Z\_t$가 마팅게일이면, 확률 척도 ''Q''를 라돈-니코딤 도함수를 사용하여 $\backslash \{\backslash Omega,\backslash mathcal\{F\}\backslash \}$에서 정의할 수 있다.

:$\backslash left\; .\backslash frac\{d\; Q\}\{d\; P\}\; \backslash right|\_\{\backslash mathcal\{F\}\_t\}\; =\; Z\_t\; =\; \backslash mathcal\{E\}\; (X\; )\_t$

그런 다음 각 ''t''에 대해 보강되지 않은 시그마 필드 $\backslash mathcal\{F\}^o\_t$로 제한된 척도 ''Q''는

:$\backslash mathcal\{F\}^o\_t.\backslash ,$

로 제한된 ''P''와 동치이다.

또한, 만약 $Y\_t$가 ''P'' 하에서 국소 마팅게일이면, 과정

:$\backslash tilde\; Y\_t\; =\; Y\_t\; -\; \backslash left[\; Y,X\; \backslash right]\_t$

는 필터링된 확률 공간 $\backslash \{\backslash Omega,F,Q,\backslash \{\backslash mathcal\{F\}^W\_t\backslash \}\backslash \}$에서 ''Q'' 국소 마팅게일이다.

4. 1. 기본 가정

4. 2. 돌레앙 지수 (Doléans Exponential)

4. 3. 확률 측도 변경

4. 4. 마팅게일 성질 보존

4. 5. 따름정리 (Corollary)

4. 6. 추가 설명

5. 응용

금융공학에서, 기르사노프 정리는 실제 측도(physical measure)로부터 위험중립측도를 도출해내는 데 사용되며, 이렇게 도출한 위험중립측도는 파생상품의 가치를 계산하는 과정에서 매우 유용하게 쓰인다. 위험중립측도를 활용한 가격 결정 방법 가운데 대부분은 자산 가격이 위너 과정을 따른다고 가정하기 때문에, 확률 과정이 위너 과정이라는 특수한 경우에 대해서만 이 정리를 증명하더라도 실제로 활용하는 데 큰 문제가 없다.

이 정리는 블랙-숄즈 모형에서 유일한 위험 중립 측도, 즉 파생 상품의 공정 가치가 할인된 기대값인 측도를 구하는데 사용될수 있다.

한국의 파생상품 시장에서도, 특히 ELS와 같은 상품의 가격 결정에 기르사노프 정리가 활용된다.

기르사노프 정리는 확률 미분 방정식의 해를 구하는 데에도 응용된다. 특히, 랑주뱅 방정식과 같이 드리프트 항(drift term)을 포함하는 확률 미분 방정식을 분석하는 데 유용하다.

구체적으로 다음 방정식을 고려해 볼 수 있다.

:dX_t=μ(t, X_t)dt+dW_t,

여기서 W_t는 브라운 운동을 나타내며, μ 와 σ는 고정된 결정론적 함수이다. 이 방정식이 [0,T] 에서 고유한 강한 해를 가진다고 가정하면, 기르사노프 정리를 사용하여 X_t의 함수를 브라운 운동과 관련된 함수를 통해 직접 계산할 수 있다.

연속 함수 C([0,T]) 에 대한 모든 유계 함수 Φ 에 대해 다음이 성립한다.

:EΦ(X)=E[Φ(W)exp(∫₀^T μ(s,W_s)dW_s-(1/2)∫₀^Tμ(s,W_s)²ds)].

이는 기르사노프 정리와 위의 관찰을 마팅게일 과정

:Y_t=∫₀^tμ(s,W_s)dW_s.

에 적용하여 얻을 수 있다.

과정

:W̃_t=W_t-∫₀^tμ(s,W_s)ds

는 Q 브라운 운동이며, 이를 미분 형태로 다시 쓰면

:dW_t=dW̃_t+μ(t,W_t)dt,

가 된다. W̃_t 가 Q 브라운 운동이므로, Q 하에서 W_t 의 법칙은 X_t 를 정의하는 방정식을 푼다는 것을 알 수 있다.

만약 다음 두 방정식

:dX_t=μ(X_t,t)dt+σ(X_t,t)dW_t,

:dY_t=(μ(Y_t,t)+ν(Y_t,t))dt+σ(Y_t,t)dW_t,

이 모두 [0,T] 에서 고유한 강한 해를 허용한다면, C([0,T]) 에 대한 모든 유계 함수에 대해 다음이 성립한다.

:EΦ(X)=E[Φ(Y)exp(-∫₀^T (ν(Y_s,s)/σ(Y_s,s))dW_s-(1/2)∫₀^T (ν(Y_s,s)²/σ(Y_s,s)²)ds)].

5. 1. 금융 공학

5. 2. 랑주뱅 방정식 (Langevin Equation)