주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여
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1. 개요
"주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여"는 베른하르트 리만이 발표한 수론 논문으로, 소수의 분포에 대한 연구에 지대한 영향을 미쳤다. 이 논문은 리만 제타 함수, 리만 크사이 함수, 이산 함수 J(x) 등 새로운 개념을 도입하고, 해석적 연속, 선적분, 푸리에 변환 등 새로운 기법을 활용했다. 또한 리만 가설을 제시하여 소수의 분포에 대한 더 정밀한 기술을 가능하게 했다. 이 논문은 현대 해석적 수론의 필수적인 개념과 도구로 자리 잡았으며, 한국을 포함한 전 세계 수론 연구에 큰 영향을 미쳤다.
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| 주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여 | |
|---|---|
| 논문 정보 | |
| 제목 (원어) | Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse |
| 제목 (번역) | 주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여 |
| 발표 | 1859년 |
| 발표지 | 베를린 왕립 프로이센 과학 아카데미 월보 |
| 관련 인물 | |
| 저자 | 베른하르트 리만 |
| 주제 | |
| 분야 | 수학 |
| 세부 분야 | 정수론, 해석적 정수론 |
| 주요 개념 | 리만 제타 함수, 소수 정리 |
| 리만 제타 함수 | |
| 변수 | 복소수 s, z (s = σ + it, z = x + iy) |
| 특별한 경우 | s = 1/2 + it, z = 1/2 + iy |
2. 리만의 생애와 업적
베른하르트 리만은 수론에 관한 유일한 논문을 발표했지만, 이 논문은 19세기 후반과 현재까지 수천 명의 연구자들에게 큰 영향을 미쳤다. 그의 논문은 주로 정의, 발견법, 증명의 개요, 그리고 강력한 해석적 방법을 적용하는 방식으로 구성되어 있으며, 이 모든 것은 현대 해석적 수론의 필수적인 개념과 도구가 되었다.
리만이 새롭게 소개한 정의, 아이디어 및 표기법은 다음과 같다.
- 오일러가 이전에 언급한 함수에 그리스 문자 제타 (ζ)를 사용.
- 이 제타 함수 ζ(''s'')를 모든 복소수 ''s'' ≠ 1로의 해석적 연속.
- 전체 함수 ξ(''s''), 감마 함수를 통해 제타 함수와 관련됨.
- ''x'' ≥ 0에 대해 정의된 이산 함수 ''J''(''x''), ''J''(0) = 0이고 각 소수 거듭제곱 ''p''''n''에서 1/''n''만큼 점프함. (리만은 이 함수를 ''f''(''x'')라고 부름.)
리만은 증명 및 증명 개요를 다음과 같이 제시했다.
- ζ(''s'')의 함수 방정식에 대한 두 가지 증명.
- ξ(''s'')의 곱 표현에 대한 증명 개요.
- 허수부가 0과 ''T'' 사이에 있는 ξ(''s'')의 근의 수에 대한 근사에 대한 증명 개요.
또한, 리만은 다음과 같은 추측을 제시했다.
- 리만 가설: ζ(''s'')의 모든 (자명하지 않은) 영점은 실수부가 1/2이다. 리만은 관련 ξ 함수의 근과 관련하여 "모든 근이 실수일 가능성이 매우 높다. 그러나 이에 대한 엄격한 증명을 원할 것이다. 하지만 몇 번의 헛된 시도 후에, 나는 일단 이 조사를 보류해 두었는데, 이것이 나의 다음 조사 목표에 불필요해 보였기 때문이다."라고 언급했다.
그의 논문에는 수론에 사용된 새로운 방법 및 기술이 포함되어 있다.
- 오토모픽 형식에서 발생하는 함수 방정식.
- 해석적 연속.
- 선적분.
- 푸리에 역변환.
리만은 스틸체스 적분의 척도로서 함수 ''J''(''x'')를 사용하여 ζ(''s'')와 소수의 분포 간의 관계에 대해 논의했다. 그는 ln(ζ(''s''))와 비교하여 ''J''(''x'')에 대한 공식을 얻었고, 소수 계량 함수 (''x'') (그는 이를 ''F''(''x'')라고 부름)에 대한 공식을 찾았다. 그는 자신의 방정식이 (''x'')가 로그 적분보다 느리게 증가한다는 사실을 설명한다고 언급했다.
3. 리만 제타 함수와 해석적 연속
오일러가 이전에 사용했던 함수에 대한 표기로 그리스 문자 제타(ζ)를 사용하였다.[6] 리만 제타 함수 ζ(''s'')는 ''s'' = 1을 제외한 모든 복소수에서 정의되도록 해석적 연속을 통해 확장되었으며, 이는 바이어슈트라스의 방법과는 다른 접근 방식이었다.[7]
3. 1. 해석적 연속
리만 제타 함수 ζ(''s'')를 ''s'' = 1을 제외한 모든 복소수에서 정의되도록 확장하는 방법이다.[6] 리만은 해석적 연속이라는 방법을 사용하여, 원래 정의된 영역 밖에서도 함수가 의미를 갖도록 확장했다. 이는 바이어슈트라스의 방법과는 다른 접근 방식이었다.[7]4. 리만 크사이 함수(ξ(s))
감마 함수를 통해 리만 제타 함수와 관련된 전해석 함수인 ξ(''s'')를 정의했다.[6]
4. 1. 감마 함수와의 관계
감마 함수를 통해 리만 제타 함수와 관련된 전해석 함수인 ξ(''s'')를 정의했다.[6]4. 2. 크사이 함수의 곱 표현
ξ(t)de의 곱 표시[8]의 증명 개요를 제시하였다. (1896년에 자크 아다마르가 완전하게 증명)5. 이산 함수 J(x)
''x'' ≥ 0에 대해 정의된 이산 함수 ''J''(''x'')는 ''J''(0) = 0이고 각 소수 거듭제곱 ''p''''n''에서 1/''n''만큼 증가한다. 리만은 이 함수를 ''f''(''x'')라고 불렀다.[7]
5. 1. 스틸체스 적분과의 관계
리만은 함수 J|''x''영어를 본질적으로 스틸체스 적분의 척도로 사용하여, ζ|''s''영어와 소수 분포와의 관계를 논했다. 그리고 log ''ζ''(''s'')영어와의 비교를 통해, 논문의 주 결과로서 J|''x''영어를 정식화했다.6. 주요 결과 및 증명
리만은 논문에서 다음과 같은 주요 결과들을 제시하고 증명했다.
- ζ(''s'')의 함수 방정식에 대한 두 가지 증명[8]
- ξ(''s'')의 곱 표현에 대한 증명 개요
- 허수부가 0과 ''T'' 사이에 있는 ξ(''s'')의 근의 수에 대한 근사에 대한 증명 개요
또한, 다음과 같은 중요한 추측을 제시했다.
- 리만 가설: ζ(''s'')의 모든 (자명하지 않은) 영점은 실수부가 1/2이다.
리만은 이 가설을 ξ 함수의 근과 관련하여 "모든 근이 실수일 가능성이 매우 높다"고 언급했지만, 엄밀한 증명은 당시에는 불가능하다고 판단하여 연구를 보류했다.
이 외에도, 리만은 해석적 연속, 경로적분법, 푸리에 역변환 등 새로운 수학적 기법들을 도입하여 수론 연구에 큰 영향을 미쳤으며, 이는 현대 해석적 수론의 필수적인 개념과 도구가 되었다.
6. 1. 제타 함수의 함수 방정식
ζ(''s'')의 함수 방정식에 대한 두 가지 증명이 제시되었다.[8] 오토모픽 형식에서 함수 방정식이 발생한다.6. 2. 크사이 함수의 영점 분포
ξ(''t'')의 영점 중 허수부가 0과 ''T'' 사이인 것의 근사적인 개수에 대한 증명 개요가 제시되었다. 이 증명은 1905년에 Hans Carl Friedrich von Mangoldt에 의해 완전하게 증명되었다.[8]6. 3. 리만 소수 공식
리만 소수 공식의 증명 개요 (1895년에 폰 망골트가 완전하게 증명)7. 리만 가설
리만 제타 함수 ζ(''s'')의 모든 자명하지 않은 영점의 실수부가 1/2이라는 추측이다. 리만은 "모든 근이 실수일 가능성이 매우 높다. 그러나 이에 대한 엄격한 증명을 원할 것이다. 하지만 몇 번의 헛된 시도 후에, 나는 일단 이 조사를 보류해 두었는데, 이것이 나의 다음 조사 목표에 불필요해 보였기 때문이다."라고 언급했다.
리만 가설은 수론에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나로 여겨지며, 소수의 분포에 대한 정보를 담고 있다.
7. 1. 리만 가설의 표현
리만 가설은 다음과 같이 표현할 수 있다.:"의 모든 영점은 실수이다."
를 의 영점으로 하면, 의 음의 짝수를 제외한 영점은 로 쓸 수 있으므로, 이는 다음과 같은 형태로 바꿔 말할 수 있다.
:"의 비자명한 영점의 실수는 와 같다."
7. 2. 리만 가설과 소수 분포
리만 가설은 "의 모든 영점은 실수이다."라는 가설이다. 를 의 영점으로 하면, 의 음의 짝수를 제외한 영점은 로 쓸 수 있으므로, 이는 " 의 비자명한 영점의 실수는 와 같다."라는 형태로 바꿔 말할 수 있다. 이 가설이 증명될 경우, 소수 분포를 더욱 정밀하게 기술할 수 있다.8. 논문에 사용된 새로운 기법
리만은 수론 연구에 다음과 같은 새로운 기법들을 도입했다.[1]
이러한 기법들은 19세기 후반부터 현재까지 수천 명의 연구자들에게 영향을 미쳤으며, 현대 해석적 수론의 필수적인 개념과 도구가 되었다.[1]
리만은 스틸체스 적분을 활용하여 ζ(''s'')와 소수의 분포 사이의 관계를 설명하고,[1] 소수 계량 함수 π(''x'')에 대한 공식을 유도했다.[1]
9. 소수 분포 연구에 미친 영향
이 논문은 수론에 관해 리만이 발표한 유일한 논문이지만, 19세기 후반과 현재까지 수천 명의 연구자들에게 영향을 미친 아이디어를 담고 있다. 이 논문은 주로 정의, 발견법, 증명의 개요, 강력한 해석적 방법의 적용으로 구성되어 있으며, 이 모든 것은 현대 해석적 수론의 필수적인 개념과 도구가 되었다.
리만은 이 논문에서 다음과 같은 새로운 정의, 아이디어 및 표기법을 소개했다.
- 오일러가 이전에 언급한 함수에 그리스 문자 제타 (ζ)를 사용
- 이 제타 함수 ζ(''s'')를 모든 복소수 ''s'' ≠ 1로의 해석적 연속
- 전체 함수 ξ(''s''), 감마 함수 (또는 리만의 사용법에 따른 Π 함수)를 통해 제타 함수와 관련됨
- ''x'' ≥ 0에 대해 정의된 이산 함수 ''J''(''x''), ''J''(0) = 0이고 각 소수 거듭제곱 ''p''''n''에서 1/''n''만큼 점프함. (리만은 이 함수를 ''f''(''x'')라고 부름.)
또한, 다음과 같은 증명 및 증명 개요를 제시했다.
- ζ(''s'')의 함수 방정식에 대한 두 가지 증명
- ξ(''s'')의 곱 표현에 대한 증명 개요
- 허수부가 0과 ''T'' 사이에 있는 ξ(''s'')의 근의 수에 대한 근사에 대한 증명 개요
리만은 이 논문에서 리만 가설을 제기했는데, 이는 ζ(''s'')의 모든 (자명하지 않은) 영점은 실수부가 1/2이라는 것이다. 리만은 관련 ξ 함수의 근과 관련하여 "모든 근이 실수일 가능성이 매우 높다. 그러나 이에 대한 엄격한 증명을 원할 것이다."라고 언급했다.[1]
이 논문은 오토모픽 형식에서 발생하는 함수 방정식, 해석적 연속, 선적분, 푸리에 역변환 등 수론 연구에 사용된 새로운 방법 및 기술을 제시했다.
9. 1. 소수 정리
리만은 해석적 접속(바이어슈트라스의 방법과는 다름), 선적분, 푸리에 역변환 등의 도구를 사용하여 함수 를 스틸체스 적분의 척도로 사용, 와 소수 분포와의 관계를 논했다. 그리고 와의 비교를 통해, 논문의 주 결과로서 를 정식화했다. 리만은 더 나아가, 일부 어려움이 남아있음을 인정하면서, 소수의 개수를 나타내는 함수 의 근사 공식의 유도를 시도했다. 소수 분포를 어느 정도 정확하게 기술하는 소수 정리는, 이후 1896년에 드 라 발레 푸생과 아다마르에 의해 독립적으로 증명되었다. 만약 리만 가설이 증명된다면, 더욱 정밀한 소수 분포가 유도될 것이 알려져 있다.[1]9. 2. 소수 계량 함수와의 비교
리만은 스틸체스 적분의 척도를 사용하여, 함수를 통해 ζ(''s'')와 소수 분포와의 관계를 논했다. log ζ(''s'')와의 비교를 통해, J(''x'')를 정식화했다. 리만은 소수의 개수를 나타내는 함수 π(''x'')의 근사 공식 유도를 시도했으나, 일부 어려움이 남아있음을 인정했다. 소수 분포를 어느 정도 정확하게 기술하는 소수 정리는, 이후 1896년에 Charles Jean de la Vallée-Poussin|샤를 장 드 라 발레푸생프랑스어과 아다마르에 의해 독립적으로 증명되었다. 만약 리만 가설이 증명된다면, 더욱 정밀한 소수 분포가 유도될 것이 알려져 있다.10. 현대적 관점과 영향
이 논문은 수론에 관해 리만이 발표한 유일한 논문이지만, 19세기 후반과 현재까지 수천 명의 연구자들에게 영향을 미친 아이디어를 담고 있다. 이 논문은 주로 정의, 발견법, 증명의 개요, 강력한 해석적 방법의 적용으로 구성되어 있으며, 이 모든 것은 현대 해석적 수론의 필수적인 개념과 도구가 되었다.
수론에 사용된 새로운 방법 및 기술은 다음과 같다.
- 오토모픽 형식에서 발생하는 함수 방정식
- 해석적 연속 (바이어슈트라스의 정신은 아님)
- 선적분
- 푸리에 역변환.
리만은 또한 스틸체스 적분의 척도로서 함수 ''J''(''x'')를 사용하여 ζ(''s'')와 소수의 분포 간의 관계에 대해 논의했다. 그런 다음 그는 ln(ζ(''s''))와 비교하여 ''J''(''x'')에 대한 논문의 주요 결과인 공식을 얻었다. 리만은 그런 다음 소수 계량 함수 (''x'') (그는 이를 ''F''(''x'')라고 부름)에 대한 공식을 찾았다. 그는 자신의 방정식이 카를 프리드리히 가우스와 카를 볼프강 벤자민 골드슈미트가 발견한 것처럼 (''x'')가 로그 적분보다 느리게 증가한다는 사실을 설명한다고 언급했다.
이 논문에는 현대 독자들에게 몇 가지 특이한 점이 있는데, 예를 들어 Γ(''s'') 대신 Π(''s'' − 1)을 사용하고, ''t''2 대신 ''tt''를 쓰고, 경계 ∞에서 ∞를 사용하여 선적분을 나타내는 것이다.
11. 일본어 번역
다음은 베른하르트 리만의 논문 "주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여"의 일본어 번역본들이다.
참조
[1]
서적
鹿野(1991)
[2]
서적
[3]
서적
[4]
서적
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문서
[6]
문서
[7]
문서
[8]
문서
[9]
웹사이트
与えられた数より小さな素数の個数について
https://hdl.handle.n[...]
信州大学
2012-01-27
[10]
웹사이트
주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여
http://www.maths.tcd[...]
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