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중심 (기하학)

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1. 개요

중심은 기하학적 객체의 특정 지점을 나타내는 용어이다. 원의 중심은 원주상의 모든 점으로부터 같은 거리에 있는 점이며, 구의 중심은 구면상의 모든 점으로부터 같은 거리에 있는 점이다. 선분의 중심은 중점이라고 불리며, 좌표 평면에서 선분의 양 끝점을 이용하여 계산할 수 있다. 대칭 도형의 중심은 대칭의 고정점이며, 삼각형의 중심은 삼각형 내에서 특정 직선들이 만나는 점을 의미하며, 외심, 무게중심, 내심, 수심 등이 있다. 다각형의 중심은 꼭짓점, 변, 면적을 기준으로 정의될 수 있으며, 사영 기하학에서는 원뿔 곡선과 관련된 개념으로 사용된다.

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    구면기하학에서 대원은 구의 중심을 지나는 평면과 구의 교선으로, 유클리드 공간의 직선에 대응하며, 서로 대극점이 아닌 두 점을 잇는 최단 거리인 대원 거리를 정의하고, 자오선이나 적도처럼 항해, 천문학 등 다양한 분야에서 응용된다.
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중심 (기하학)
기하학적 중심
정의기하학적 객체의 중간 지점
특징객체의 대칭성, 균형, 중심점과 관련됨
다양한 객체의 중심
선분두 끝점 사이의 중간점
삼각형무게중심
내심
외심
방심
구점원의 중심
원/구중심점
사각형두 대각선의 교점
타원중심점
쌍곡선중심점
일반적인 다각형/다면체모든 꼭짓점의 평균 위치
대칭과의 관계
대칭 중심어떤 객체가 점 대칭을 가질 때, 그 대칭의 중심
다른 유형의 중심
질량 중심물체의 질량 분포에 따른 평균 위치
바깥원바깥원의 중심
구면의 중심구면의 중심
활용
응용 분야물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등
예시물체의 균형 유지, 이미지 처리, 데이터 분석

2. 원, 구, 선분

의 중심은 가장자리 점들로부터 등거리에 있는 점이다. 마찬가지로, 의 중심은 표면의 점들로부터 등거리에 있는 점이다. 원의 중심에서 원주 상의 점까지의 거리반지름 길이와 같고, 구의 중심에서 구면 상의 점까지의 거리도 어느 방향으로든 반지름 길이와 같다.

원의 중심은 모든 지름중점이며, 지름은 서로 원의 중심에서 교차한다. 구의 중심 또한 모든 지름의 중점이자 교점이다.[1]

중심 구하는 법 (예시)


서로 다른 세 점 A, B, C를 지나는 원이 주어졌을 때, 원의 중심은 자(定規)와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 있다. 예를 들어, 삼각형 ABC의 각 변에 대한 수직이등분선의 교점(외심)으로 원의 중심을 구할 수 있다. 반면에 자만 사용하여 원의 중심을 작도하는 것은 불가능하다.[1]

2. 1. 중점

중점


어떤 선분의 중심은 '''중점'''이라고 불린다. 좌표에서 양 끝점이 각각 (x₁, y₁), (x₂, y₂)인 선분의 중점은 ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)이다.

3. 대칭 도형

대칭을 가진 객체의 경우, 대칭 중심은 대칭적인 작용에 의해 변하지 않는 점이다. 따라서 정사각형, 직사각형, 마름모 또는 평행사변형의 중심은 대각선이 교차하는 지점이며, 이는 회전 대칭의 고정점이다(다른 속성 중 하나). 마찬가지로 타원의 중심은 축이 교차하는 지점이다.

원의 경우, 중심에서 원주 상의 점까지의 거리는 일정하며, 이는 원의 반지름 길이와 같다. 구의 경우에도 중심에서 구면 상의 점까지의 거리는 어느 방향으로든 일정하며, 구의 반지름 길이에 해당한다. 원의 중심은 모든 지름중점이며, 지름은 서로 원의 중심에서 교차한다. 구의 중심 또한 모든 지름의 중점이자 교점이다.

서로 다른 세 점 A영어, B영어, C영어를 지나는 원이 주어졌을 때, 원의 중심은 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 있다. 예를 들어, 삼각형 ABC영어의 각 변에 대한 수직이등분선의 교점 (외심)으로 원의 중심을 구할 수 있다. 반면에 자만 사용하여 원의 중심을 작도하는 것은 불가능하다.

타원의 경우, 중심에서 타원 주상의 점까지의 거리는 일정하지 않다. 타원의 중심은 장축과 단축의 교점이다. 그 외에 직사각형, 마름모, 평행사변형과 같은 점대칭 도형의 무게중심을 중심 (또는 대칭의 중심)이라고 부르기도 한다.

4. 삼각형

삼각형의 몇몇 특수한 점들은 종종 삼각형의 중심으로 묘사된다. 삼각형 중심의 엄격한 정의는 삼선 좌표가 ''f''(''a'',''b'',''c'') : ''f''(''b'',''c'',''a'') : ''f''(''c'',''a'',''b'')인 점이며, 여기서 ''f''는 삼각형의 세 변의 길이 ''a'', ''b'', ''c''의 함수로서 다음 조건을 만족해야 한다.

# ''f''는 ''a'', ''b'', ''c''에 대해 동차적이다. 즉, ''f''(''ta'',''tb'',''tc'')=''t''''h''''f''(''a'',''b'',''c'')이며, 여기서 ''h''는 어떤 실수 거듭제곱이다. 따라서 중심의 위치는 크기 변화에 영향을 받지 않는다.

# ''f''는 마지막 두 인수에 대해 대칭적이다. 즉, ''f''(''a'',''b'',''c'')= ''f''(''a'',''c'',''b'')이다. 따라서 거울상 삼각형에서 중심의 위치는 원래 삼각형에서 위치의 거울상이다.[1]

이 엄격한 정의는 브로카 점과 같은 이중 중심 점의 쌍은 제외한다(이 점들은 거울상 반사에 의해 서로 바뀐다).

4. 1. 오심

삼각형에서 세 직선이 한 점에서 만날 때 그 만나는 점을 삼각형의 중심이라 부른다. 그 중 특히 잘 알려진 다섯 가지 예를 삼각형의 오심이라 한다.

  • 외심: 세 꼭짓점을 모두 지나는 원의 중심
  • 무게중심 또는 질량 중심: 균일한 밀도를 가진 삼각형이 균형을 이룰 점
  • 내심: 삼각형의 세 변에 모두 내접하는 원의 중심
  • 수심: 삼각형의 세 높이의 교점
  • 구점원의 중심: 삼각형의 아홉 개의 주요 점을 지나는 원의 중심


정삼각형의 경우, 이 점들은 동일하며, 삼각형의 세 대칭축의 교점에 위치하며, 밑변에서 꼭대기까지 거리의 3분의 1 지점에 있다.[1]

4. 2. 삼각형의 중심 백과사전

클라크 킴벌링은 삼각형의 중심을 39,000개 이상 목록으로 작성하여 '삼각형의 중심 백과사전'을 만들었다.[2]

5. 접선 다각형과 원내 다각형

접선 다각형은 각 변이 내접원이라고 하는 특정 원에 접선으로 접해 있다. 내접원의 중심인 내심은 다각형의 중심으로 간주할 수 있다.

원내 다각형은 각 꼭짓점이 외접원이라고 하는 특정 원 위에 있다. 외접원의 중심인 외심은 다각형의 중심으로 간주할 수 있다.

다각형이 접선 다각형이자 원내 다각형이면, 이를 이중심 다각형이라고 한다. (예를 들어, 모든 삼각형은 이중심 다각형이다.) 이중심 다각형의 내심과 외심은 일반적으로 동일한 점이 아니다.

6. 일반 다각형

일반적인 다각형의 중심은 여러 가지 방식으로 정의될 수 있다. "꼭짓점 무게중심"은 다각형이 비어 있지만 꼭짓점에 동일한 질량을 가진 것으로 간주하여 얻어진다. "변 무게중심"은 변이 단위 길이당 일정한 질량을 갖는 것으로 간주하여 얻어진다. 일반적으로 무게중심(면적 중심)이라고 불리는 일반적인 중심은 다각형의 표면이 일정한 밀도를 갖는 것으로 간주하여 얻어진다. 이 세 점은 일반적으로 모두 동일한 점이 아니다.

7. 사영 원뿔 곡선

사영 기하학에서 모든 직선은 자신과 평행한 모든 직선과 교차하는 무한 원점 또는 "비유적 점"을 갖는다. 유클리드 기하학의 타원, 포물선 및 쌍곡선은 사영 기하학에서 '''원뿔 곡선'''이라고 불린다.[3] 주어진 원뿔 곡선을 갖는 사영 평면의 대칭은 모든 점 또는 극을 극선이라고 하는 직선과 연결한다. 사영 기하학의 중심 개념은 이러한 관계를 사용한다.


  • 유한 선분의 끝점을 기준으로 하는 무한 원점의 사영 조화 공액은 해당 선분의 '중심'이다.
  • 특정 원뿔 곡선에 대한 무한 직선의 극은 해당 원뿔 곡선의 '중심'이다.
  • 임의의 비유적 점의 극선은 원뿔 곡선의 중심에 있으며 '지름'이라고 한다.
  • 임의의 타원의 중심은 그 안에 있다. 왜냐하면 그 극선은 곡선을 만나지 않으므로 곡선에서 접선이 없기 때문이다. 포물선의 중심은 비유적 직선의 접점이다.
  • 쌍곡선의 중심은 비유적 직선이 곡선을 교차하므로 곡선 밖에 있다. 중심에서 쌍곡선에 대한 접선을 '점근선'이라고 한다. 그들의 접점은 곡선 위의 두 개의 무한 원점이다.

참조

[1] 웹사이트 Algebraic Highways in Triangle Geometry http://faculty.evans[...] 2008-01-19
[2] 웹사이트 This is PART 20: Centers X(38001) - X(40000) https://faculty.evan[...]
[3] 서적 Synthetic Projective Geometry



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