캣멀롬 스플라인
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1. 개요
캣멀롬 스플라인은 네 개의 제어점과 노트를 사용하여 정의되는 곡선이다. 이 곡선은 주어진 점들을 부드럽게 연결하며, 0에서 1 사이의 알파 값을 통해 다양한 형태를 가질 수 있다. 파이썬으로 구현된 코드 예제를 통해 캣멀롬 스플라인의 사용법을 확인할 수 있다.
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스플라인 보간법은 주어진 데이터 점들을 부드럽게 연결하는 곡선을 생성하는 방법으로, 원래 기술 도면을 그릴 때 사용된 탄성 자에서 유래되었으며, 수학적으로는 일련의 다항식을 사용하여 곡선을 모델링하고, 3차 스플라인을 포함한 다양한 형태가 존재하며, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 활용된다. - 스플라인 - B-스플라인 곡선
B-스플라인 곡선은 제어점을 연결하여 부드러운 곡선을 생성하는 수학적 표현 방식이며, B-스플라인 기저 함수와 제어점의 선형 결합으로 표현되고, 매듭의 배치에 따라 균일, 개방 균일, 비균일 B-스플라인으로 분류되며, CAD, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 활용된다.
캣멀롬 스플라인 | |
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개요 | |
종류 | 스플라인 보간 |
개발자 | 에드윈 캣멀 로멜 에.롬 |
발표 | 1974년 |
관련 항목 | 컴퓨터 그래픽스 스플라인 (수학) 3차 베지어 곡선 에르미트 곡선 B-스플라인 |
상세 정보 | |
정의 | 3차 스플라인, 각 제어점에서의 접선은 인접한 세그먼트의 연결선을 반으로 나눈 값이다. |
연속성 | C1 연속 |
장점 | 구현 용이 낮은 계산 비용 시각적으로 부드러운 곡선 생성 |
단점 | 제어점 위치 변경에 따른 전역적 곡선 형태 변화 가능성 |
2. 정의
python
점은 와 같이 표현하기로 하자. 네 개의 점 과 노트 으로 정의되는 곡선 일부 '''C'''(캣멀롬 스플라인)는 다음과 같이 표현할 수 있다:
:
이는 다음과 같다.
:
:
:
:
:
또한
:
노트 매개변수화에서 가 0부터 1 사이의 범위를 가지고 일 때 이다. 구심적(centripetal) 캣멀롬 스플라인에서 값은 이다. 일 때, 곡선은 표준(uniform) 캣멀롬 스플라인의 모양을 가진다. 일 때, 코달(chordal) 스플라인의 모양을 가진다.
3. 코드 예제
import numpy
import pylab as plt
def CatmullRomSpline(P0, P1, P2, P3, nPoints=100):
"""
P0, P1, P2, P3는 캣멀롬 스플라인을 정의하는 (x, y) 점 쌍이어야 합니다.
nPoints는 이 곡선 세그먼트에 포함할 점의 개수입니다.
"""
# 점들을 numpy 배열로 변환하여 배열 곱셈을 할 수 있도록 합니다.
P0, P1, P2, P3 = map(numpy.array, [P0, P1, P2, P3])
# t0부터 t4까지 계산합니다.
alpha = 0.5
def tj(ti, Pi, Pj):
xi, yi = Pi
xj, yj = Pj
return ( ( (xj-xi)2 + (yj-yi)2 )0.5 )alpha + ti
t0 = 0
t1 = tj(t0, P0, P1)
t2 = tj(t1, P1, P2)
t3 = tj(t2, P2, P3)
# P1과 P2 사이의 점만 계산합니다.
t = numpy.linspace(t1,t2,nPoints)
# P0부터 P3까지의 점들과 곱하여 t의 각 값에 대한 점을 얻을 수 있도록 형태를 변경합니다.
t = t.reshape(len(t),1)
A1 = (t1-t)/(t1-t0)*P0 + (t-t0)/(t1-t0)*P1
A2 = (t2-t)/(t2-t1)*P1 + (t-t1)/(t2-t1)*P2
A3 = (t3-t)/(t3-t2)*P2 + (t-t2)/(t3-t2)*P3
B1 = (t2-t)/(t2-t0)*A1 + (t-t0)/(t2-t0)*A2
B2 = (t3-t)/(t3-t1)*A2 + (t-t1)/(t3-t1)*A3
C = (t2-t)/(t2-t1)*B1 + (t-t1)/(t2-t1)*B2
return C
def CatmullRomChain(P):
"""
일련의 점들에 대한 캣멀롬 스플라인을 계산하고 결합된 곡선을 반환합니다.
"""
sz = len(P)
# 곡선 C는 (x, y) 점들의 배열을 포함합니다.
C = []
for i in range(sz-3):
c = CatmullRomSpline(P[i], P[i+1], P[i+2], P[i+3])
C.extend(c)
return C
# 곡선이 통과할 점들의 집합을 정의합니다.
Points = 0,1.5],[2,2],[3,1],[4,0.5],[5,1],[6,2],[7,3
# 점들을 통과하는 캣멀롬 스플라인을 계산합니다.
c = CatmullRomChain(Points)
# 캣멀롬 곡선 점들을 x와 y 배열로 변환하고 플롯합니다.
x,y = zip(*c)
plt.plot(x,y)
# 제어점을 플롯합니다.
px, py = zip(*Points)
plt.plot(px,py,'or')
plt.show()
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