스플라인 보간법

3. 스플라인 보간법의 특징 및 조건

스플라인 보간법은 국소적으로 급격히 변하는 함수의 형태를 잘 근사할 수 있다. 하지만 너무 높은 차수의 다항식을 사용하면 과적합 문제가 발생할 수 있고 계산량이 증가하므로, 적절히 낮은 차수의 다항식을 사용한다.

3. 1. 조건

• 각 소구간에서 보간점이 정의될 수 있어야 한다.
• 각 소구간에서 (n-1)차 연속 미분가능해야 한다.
• 각 소구간에서 n차 다항식으로 표현 가능하다.

3. 2. 3차 스플라인 보간법

• 각 3차 다항식은 양 끝의 매듭점을 모두 지나야 한다.
• 전체 스플라인 곡선은 2차 미분까지 연속이어야 한다. 즉, 각 다항식은 연결 지점에서 동일한 값, 1차 미분값, 2차 미분값을 가져야 한다.

• '''자연 3차 스플라인''': 양 끝점에서의 2차 미분값이 0이다. ($q\text{'}\text{'}\_1(x\_0)\; =\; q\text{'}\text{'}\_n(x\_n)\; =\; 0$)
• '''고정 3차 스플라인''': 양 끝점에서의 기울기가 주어진 함수의 기울기와 같다. ($q\text{'}\_1(x\_0)\; =\; f\text{'}(x\_0)$ 및 $q\text{'}\_n(x\_n)\; =\; f\text{'}(x\_n)$)
• '''매듭이 아닌 스플라인''': 양 끝에서 두 번째 매듭점에서의 3차 미분값이 연속이다. ($q\text{'}\text{'}\text{'}\_1(x\_1)\; =\; q\text{'}\text{'}\text{'}\_2(x\_1)$ 및 $q\text{'}\text{'}\text{'}\_\{n-1\}(x\_\{n-1\})\; =\; q\text{'}\text{'}\text{'}\_\{n\}(x\_\{n-1\})$)^[2]

4. 3차 스플라인 보간법 알고리즘

3차 스플라인 보간법은 주어진 점들을 부드럽게 연결하는 곡선을 생성하는 방법 중 하나로, 각 구간별로 3차 다항식을 사용하며, 이 다항식들은 서로 매끄럽게 연결되도록 계수가 결정된다.

$(x\_i,\; y\_i)$ ($i\; =\; 0,\; 1,\; ...,\; n$) 형태의 $n+1$개의 점이 주어졌을 때, $i$번째 구간의 3차 다항식 $q\_i(x)$는 다음과 같이 표현된다.^[1]

:$q\_i\; =\; (1\; -\; t)\backslash ,y\_\{i-1\}\; +\; t\backslash ,y\_i\; +\; t(1\; -\; t)\backslash big((1\; -\; t)\backslash ,a\_i\; +\; t\backslash ,b\_i\backslash big)$

여기서 $t\; =\; \backslash tfrac\{x\; -\; x\_\{i-1\}\}\{x\_i\; -\; x\_\{i-1\}\}$ 이며, $a\_i$와 $b\_i$는 다음과 같이 정의된다.

:$a\_i\; =\; k\_\{i-1\}(x\_i\; -\; x\_\{i-1\})\; -\; (y\_i\; -\; y\_\{i-1\})$

:$b\_i\; =\; -k\_i(x\_i\; -\; x\_\{i-1\})\; +\; (y\_i\; -\; y\_\{i-1\})$

$k\_i$는 각 점에서의 기울기를 나타내며, 다음을 만족한다.

:$k\_0\; =\; q\_1\text{'}(x\_0)$

:$k\_i\; =\; q\_i\text{'}(x\_i)\; =\; q\_\{i+1\}\text{'}(x\_i),\; \backslash qquad\; i\; =\; 1,\; \backslash dots,\; n\; -\; 1,$

:$k\_n\; =\; q\_n\text{'}(x\_n)$

이 다항식들이 부드럽게 연결되기 위해서는 1차 미분값과 2차 미분값이 연속이어야 한다. 즉, $q\text{'}\_i(x\_i)\; =\; q\text{'}\_\{i+1\}(x\_i)$ 와 $q\text{'}\text{'}\_i(x\_i)\; =\; q\text{'}\text{'}\_\{i+1\}(x\_i)$ 조건을 만족해야 한다.

2차 미분 연속 조건으로부터 $k\_i$에 대한 다음 선형 방정식을 얻을 수 있다.^[1]

:$\backslash frac\{k\_\{i-1\}\}\{x\_i\; -\; x\_\{i-1\}\}\; +\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{x\_i\; -\; x\_\{i-1\}\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_\{i+1\}\; -\; x\_i\}\backslash right)\; 2k\_i\; +\; \backslash frac\{k\_\{i+1\}\}\{x\_\{i+1\}\; -\; x\_i\}\; =\; 3\; \backslash left(\backslash frac\{y\_i\; -\; y\_\{i-1\}\}\{(x\_i\; -\; x\_\{i-1\})^2\}\; +\; \backslash frac\{y\_\{i+1\}\; -\; y\_i\}\{(x\_\{i+1\}\; -\; x\_i)^2\}\backslash right)$

이는 $i\; =\; 1,\; \backslash dots,\; n\; -\; 1$ 에 대한 $n-1$개의 선형 방정식이다.

자연 스플라인(natural spline)의 경우, 양 끝점에서 2차 미분값이 0이라는 추가 조건이 필요하다. 즉,

:$q\text{'}\text{'}\_1(x\_0)\; =\; 0$

:$q\text{'}\text{'}\_n(x\_n)\; =\; 0$

이를 통해 2개의 선형 방정식을 더 얻는다.^[1]

:$\backslash frac\{2\}\{x\_1\; -\; x\_0\}\; k\_0\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_1\; -\; x\_0\}\; k\_1\; =\; 3\; \backslash frac\{y\_1\; -\; y\_0\}\{(x\_1\; -\; x\_0)^2\}$

:$\backslash frac\{1\}\{x\_n\; -\; x\_\{n-1\}\}k\_\{n-1\}\; +\; \backslash frac\{2\}\{x\_n\; -\; x\_\{n-1\}\}\; k\_n\; =\; 3\; \backslash frac\{y\_n\; -\; y\_\{n-1\}\}\{(x\_n\; -\; x\_\{n-1\})^2\}$

결과적으로 $n+1$개의 미지수 $k\_0,\; k\_1,\; ...,\; k\_n$에 대한 $n+1$개의 선형 방정식 시스템을 얻게 된다. 이 시스템을 풀면 각 구간의 기울기 $k\_i$를 구할 수 있다.

"고정 스플라인"이나 "노트가 아닌 매듭 스플라인"과 같은 다른 끝 조건을 사용할 수도 있다. "노트가 아닌 매듭 스플라인"의 경우 3차 미분값이 연속이라는 조건이 사용된다.^[1]

이와 같이 연립 선형 방정식을 풀어 $k\_i$값을 구하고, 이를 통해 $a\_i$와 $b\_i$를 계산하여 각 구간의 3차 다항식 $q\_i(x)$를 결정한다.

4. 1. 기본 원리

• $q(x\_1)\; =\; y\_1$
• $q(x\_2)\; =\; y\_2$
• $q\text{'}(x\_1)\; =\; k\_1$ ( $k\_1$는 $x\_1$에서의 기울기)
• $q\text{'}(x\_2)\; =\; k\_2$ ( $k\_2$는 $x\_2$에서의 기울기)

• $t(x)\; =\; \backslash frac\{x\; -\; x\_1\}\{x\_2\; -\; x\_1\}$
• $a\; =\; k\_1\; (x\_2\; -\; x\_1)\; -\; (y\_2\; -\; y\_1)$
• $b\; =\; -k\_2\; (x\_2\; -\; x\_1)\; +\; (y\_2\; -\; y\_1)$

• $a\_i\; =\; k\_\{i-1\}(x\_i\; -\; x\_\{i-1\})\; -\; (y\_i\; -\; y\_\{i-1\})$
• $b\_i\; =\; -k\_i(x\_i\; -\; x\_\{i-1\})\; +\; (y\_i\; -\; y\_\{i-1\})$
• $k\_0\; =\; q\_1\text{'}(x\_0)$
• $k\_i\; =\; q\_i\text{'}(x\_i)\; =\; q\_\{i+1\}\text{'}(x\_i)$ ($i\; =\; 1,\; \backslash dots,\; n\; -\; 1$)
• $k\_n\; =\; q\_n\text{'}(x\_n)$

4. 2. 수식 표현

5. 예제

세 점이 주어졌을 때, 3차 스플라인 보간법을 이용하여 곡선을 구하는 과정을 예시로 살펴본다. 3차 스플라인 보간법은 삼중 대각 선형 방정식 시스템을 풀어 각 점에서의 기울기를 나타내는 $k\_0,\; k\_1,\; k\_2$ 값을 구하여 적용한다. 주어진 세 점을 이용하여 보간한 결과는 오른쪽 그림과 같다.

5. 1. 주어진 점

• $k\_0\; =\; -0.6875,\backslash \; k\_1\; =\; -0.1250,\backslash \; k\_2\; =\; 1.5625$
• $a\_1\; =\; k\_0(x\_1\; -\; x\_0)\; -\; (y\_1\; -\; y\_0)\; =\; -0.1875$
• $b\_1\; =\; -k\_1(x\_1\; -\; x\_0)\; +\; (y\_1\; -\; y\_0)\; =\; -0.3750$
• $a\_2\; =\; k\_1(x\_2\; -\; x\_1)\; -\; (y\_2\; -\; y\_1)\; =\; -3.3750$
• $b\_2\; =\; -k\_2(x\_2\; -\; x\_1)\; +\; (y\_2\; -\; y\_1)\; =\; -1.6875$

5. 2. 계산 과정

여기서,

세 점 $(-1,\; 0.5),\; (0,\; 0),\; (3,\; 3)$의 경우,

그림에서 두 개의 3차 다항식 $q\_1(x)$와 $q\_2(x)$로 구성된 스플라인 함수가 표시된다.

5. 3. 결과

참조

_[1] 논문 Optimal Error Bounds for Cubic Spline Interpolation 1976
_[2] 서적 Numerical Analysis Cengage Learning
_[3] 저널 Optimal Error Bounds for Cubic Spline Interpolation 1976