테트로미노는 4개의 정사각형을 연결하여 만든 도형으로, 자유, 단면, 고정 테트로미노의 세 가지 종류가 있다. 자유 테트로미노는 5가지, 단면 테트로미노는 7가지, 고정 테트로미노는 19가지가 존재한다. 테트로미노는 직사각형 채우기, 테트라큐브 등 다양한 퍼즐과 게임에 활용되며, 특히 테트리스는 테트로미노를 사용한 가장 유명한 게임이다.
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테트로미노
테트로미노
모든 자유 테트로미노의 레이아웃
종류
구성
정사각형 4개
변의 연결
변과 변이 연결됨 (edge-to-edge)
대칭성
고정된 테트로미노: 8개 한쪽면만 있는 테트로미노: 7개 자유 테트로미노: 5개
역사
명명
솔로몬 W. 골롬이 명명함
성질
타일링
모든 테트로미노는 평면을 채울 수 있음
폴리오미노
테트로미노는 n=4인 폴리오미노임
2. 종류
테트로미노는 자유, 단면, 고정 테트로미노로 분류할 수 있다. 자유 테트로미노는 5가지, 단면 테트로미노는 7가지, 고정 테트로미노는 19가지가 있다. J와 L, S와 Z는 자유 테트로미노에서는 각각 같은 모양이지만, 단면 테트로미노와 고정 테트로미노에서는 회전과 반사가 제한되므로 다른 모양으로 취급된다.
2. 1. 자유 테트로미노 (Free tetromino)
폴리오미노는 변을 따라 단위 정사각형을 연결하여 형성된다. 자유 폴리오미노는 합동까지 고려된 폴리오미노이다. 즉, 두 개의 자유 폴리오미노는 하나를 다른 것으로 변환하는 평행 이동, 회전, 반사의 조합이 존재하면 동일하다. 자유 테트로미노는 네 개의 정사각형으로 만들어진 자유 폴리오미노이다. 다섯 개의 자유 테트로미노가 있다.
자유 테트로미노는 다음과 같은 대칭성을 갖는다.
직선: 수직 및 수평 반사 대칭, 그리고 2배 회전 대칭
정사각형: 수직 및 수평 반사 대칭, 그리고 4배 회전 대칭
T자: 수직 반사 대칭만
L자: 대칭 없음
S자: 2배 회전 대칭만
2. 2. 단면 테트로미노 (One-sided tetromino)
단면 테트로미노는 7가지가 있으며, 테트리스에 사용되는 테트로미노로 잘 알려져 있다. 단면 테트로미노는 이동 및 회전은 가능하지만 뒤집을 수는 없다.
I
O
T
J
L
S
Z
"I", "O", "T" 테트로미노는 반사 대칭을 가지므로 자유 테트로미노와 단면 테트로미노로 간주하는 것에 큰 차이가 없다. 그러나 "J", "L", "S", "Z" 테트로미노는 카이랄성을 가진다. J와 L, S와 Z는 각각 서로 뒤집은 모양이지만, 2차원에서는 뒤집지 않고는 J를 L로, S를 Z로 변환할 수 없다.
2. 3. 고정 테트로미노 (Fixed tetromino)
자유 테트로미노 5가지, 단면 테트로미노 7가지, 고정 테트로미노 19가지가 있다. J와 L, S와 Z는 자유 테트로미노에서는 각각 같은 모양이지만, 고정 테트로미노에서는 회전이나 반사가 아닌 이동만 허용되므로 다른 모양으로 취급된다. 고정 테트로미노의 종류는 다음과 같다.
I: 2가지 (--, --)
J: 4가지 (--, --, --, --)
L: 4가지 (--, --, --, --)
O: 1가지 (--)
S: 2가지 (--, --)
T: 4가지 (--, --, --, --)
Z: 2가지 (--, --)
따라서 고정 테트로미노는 총 19가지이다.
3. 직사각형 채우기
폴리폼류에는 일반적으로 "세트에 포함된 모든 조각을 사용하여 형태를 만들기" 문제가 있다. 테트로미노도 예외는 아니어서, 직사각형 채우기 문제가 연구되었다.
T 테트로미노는 한 색깔 3개, 다른 색깔 1개로 구성되어, 짝수 칸을 가진 직사각형은 짝수 개의 T 테트로미노를, 홀수 칸을 가진 직사각형은 홀수 개의 T 테트로미노를 포함해야 한다.
컴퓨터 검색 결과, 19개의 고정 테트로미노는 4×19 직사각형에 들어갈 수 없는 것으로 밝혀졌다.
3. 1. 한 세트 사용
5가지의 자유 테트로미노를 1조각씩 사용해서는 직사각형을 만들 수 없지만, 2조각씩 사용하여 5×8과 4×10 크기의 직사각형을 만들 수 있다.
5×8의 해답 예
4×10의 해답 예
자유 테트로미노 한 세트 또는 일면 테트로미노 한 세트는 직사각형에 들어갈 수 없다. 이는 훼손된 체스판 논증과 유사한 증명으로 보일 수 있다. 체커보드 패턴을 가진 5×4 직사각형은 20개의 사각형을 가지며, 10개의 밝은 사각형과 10개의 어두운 사각형을 포함하지만, 자유 테트로미노의 완전한 세트는 11개의 어두운 사각형과 9개의 밝은 사각형, 또는 11개의 밝은 사각형과 9개의 어두운 사각형을 갖는다. T 테트로미노는 3개의 어두운 사각형과 1개의 밝은 사각형, 또는 3개의 밝은 사각형과 1개의 어두운 사각형을 가지는 반면, 다른 모든 테트로미노는 각각 2개의 어두운 사각형과 2개의 밝은 사각형을 가지기 때문이다.[6]
마찬가지로 7×4 직사각형은 28개의 사각형을 가지며, 각 색상별로 14개의 사각형을 포함하지만, 일면 테트로미노 세트는 15개의 어두운 사각형과 13개의 밝은 사각형, 또는 15개의 밝은 사각형과 13개의 어두운 사각형을 갖는다. 확장하면, 두 유형 모두 홀수 개의 세트는 직사각형에 들어갈 수 없다.
테트로미노 1세트는 정사각형 20개 분의 면적이므로 4×5의 직사각형을 생각할 수 있지만, 이는 만들 수 없다. 각 조각을 바둑판 무늬로 칠하면, 흰색과 검은색의 수가 다르다. 직사각형을 바둑판 무늬로 칠하면 흰색과 검은색은 동일한 수가 되므로, 이것을 테트로미노 1세트로 채울 수는 없다 (패리티 참조).[6]
3. 2. 두 세트 사용
5가지의 자유 테트로미노를 1조각씩 사용해서는 직사각형을 만들 수 없지만, 2조각씩 사용하여 5×8과 4×10 크기의 직사각형을 만들 수 있다.
두 세트의 자유 테트로미노 또는 일면 테트로미노는 아래 그림과 같이 다양한 방식으로 직사각형에 맞출 수 있다.
폴리폼류에는 일반적으로 "세트에 포함된 모든 조각을 사용하여 형태를 만든다"는 문제가 있다.
테트로미노 1세트는 정사각형 20개 분의 면적이므로 4×5의 직사각형을 생각할 수 있지만, 이는 만들 수 없다. 각 조각을 바둑판 무늬로 칠하면 (오른쪽 그림 참조), 흰색과 검은색의 수가 다르다. 직사각형을 바둑판 무늬로 칠하면 흰색과 검은색은 동일한 수가 되므로, 이것을 테트로미노 1세트로 채울 수는 없다 (패리티도 참조).
이 문제와 조각 수의 적음을 해소하기 위해, 2세트를 사용하여 직사각형을 만드는 문제가 있다. 아래 그림과 같이, 5×8[6]・4×10의 직사각형에는 해답이 있다.
텐요(Tenyo)에서 발매되고 있는 플라스틱 퍼즐에서도 "2세트로 직사각형을 만든다"는 문제가 채용되고 있다.
3. 3. 변형된 직사각형 채우기
5가지 자유 테트로미노를 1조각씩 사용해서는 직사각형을 만들 수 없지만, 2조각씩 사용하여 5×8과 4×10 크기의 직사각형을 만들 수 있다.
5×8:
4×10:
테트로미노 1세트는 정사각형 20개와 면적이 같으므로 4×5 직사각형을 만들 수 있다고 생각할 수 있지만, 실제로는 만들 수 없다. 각 조각을 바둑판 무늬로 칠하면 흰색과 검은색의 수가 다르기 때문이다. 직사각형을 바둑판 무늬로 칠하면 흰색과 검은색의 수가 같아지므로, 테트로미노 1세트로는 채울 수 없다. (패리티 참조)
이러한 문제와 적은 조각 수를 해결하기 위해 2세트를 사용하여 직사각형을 만드는 문제가 있다. 아래 그림과 같이 5×8[6]과 4×10 크기의 직사각형은 만들 수 있다.
텐요(Tenyo)에서 판매하는 플라스틱 퍼즐에서도 "2세트로 직사각형 만들기" 문제를 사용하고 있다.
세 종류의 테트로미노 세트는 구멍이 있는 직사각형에 맞출 수 있다.
5개의 자유 테트로미노는 모두 구멍이 있는 7×3 직사각형에 맞는다.
7개의 일면 테트로미노는 모두 같은 "체커보드 색상"의 구멍 두 개가 있는 6×5 직사각형에 맞는다.
19개의 고정 테트로미노는 모두 구멍이 있는 11×7 직사각형에 맞는다.
4. 테트라큐브
다섯 개의 자유 테트로미노는 각각 해당 테트라큐브를 가지는데, 이는 테트로미노를 압출하여 한 단위를 더한 것이다. J와 L은 동일한 테트라큐브이고, S와 Z도 마찬가지인데, 테트로미노의 평면에 평행한 축을 중심으로 회전하여 서로를 만들 수 있기 때문이다. 구부러진 트리큐브에 단위 큐브를 배치하여 다른 세 개의 테트라큐브를 만들 수 있다.
테트라큐브는 상자의 치수와 포함 기준에 따라 여러 가지 방법으로 2층 3D 상자에 채워 넣을 수 있다. 아래는 그림 및 텍스트 다이어그램이다. 동일한 조각 두 세트를 사용하는 상자의 경우, 그림 다이어그램은 각 세트를 동일한 색상의 더 밝거나 어두운 음영으로 나타낸다. 텍스트 다이어그램은 각 세트를 대문자 또는 소문자로 나타낸다. 텍스트 다이어그램에서 상단 레이어는 왼쪽에 있고 하단 레이어는 오른쪽에 있다.
1.) 자유 테트로미노 두 세트로 채워진 2×4×5 상자:
```
Z Z T t I l T T T i
L Z Z t I l l l t i
L z z t I o o z z i
L L O O I o o O O i
```
2.) 자유 테트로미노 두 세트로 채워진 2×2×10 상자:
```
L L L z z Z Z T O O o o z z Z Z T T T l
L I I I I t t t O O o o i i i i t l l l
```
3.) 모든 테트로미노 한 세트로 채워진 2×4×4 상자:
```
F T T T F Z Z B
F F T B Z Z B B
O O L D L L L D
O O D D I I I I
```
4.) 모든 테트로미노 한 세트로 채워진 2×2×8 상자:
```
D Z Z L O T T T D L L L O B F F
D D Z Z O B T F I I I I O B B F
```
5.) 테트로미노로 채워지고, 거울상 조각이 제거된 2×2×7 상자:
```
L L L Z Z B B L C O O Z Z B
C I I I I T B C C O O T T T
5. 테트로미노를 사용한 게임 및 퍼즐
테트리스는 테트로미노를 사용한 가장 유명한 게임으로 여겨진다. 이 게임에서는 한 면만 있는 7종류의 테트로미노가 사용된다. 단, 이 게임에서는 "테트'''리'''미노"라는 명칭을 사용한다.[7]
LITS는 테트로미노를 이용한 펜슬 퍼즐이다. 이름은 이 퍼즐에 사용되는 4종류[7] 조각의 모양에서 유래되었다.
참조
[1]
서적
Polyominoes
Princeton University Press
[2]
논문
Counting polyominoes: yet another attack
[3]
웹사이트
About Tetris
http://tetris.com/ab[...]
2014-04-19
[4]
웹사이트
Polyomino
https://www.daviddar[...]
2020-05-23
[5]
문서
テトラミノ（Tetramino）と表記される場合もある。
[6]
문서
783解ある。これは後述のプラパズルの商品名にもなっている。
[7]
문서
5種類のうち、正方形のものはルール上使用できない。
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