토랄프 스콜렘
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1. 개요
토랄프 스콜렘은 노르웨이의 수학자이자 논리학자로, 집합론, 모형 이론, 격자 이론, 수학적 논리 분야에 기여했다. 1920년에 뢰벤하임-스콜렘 정리의 증명을 단순화하고, 스콜렘의 역설을 지적했으며, 비표준 산술 모형 및 원시 재귀 산술을 연구했다. 또한, 스콜렘은 격자 이론 연구의 선구자였으며, 스콜렘-노에터 정리의 증명을 발표하기도 했다.
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| 토랄프 스콜렘 - [인물]에 관한 문서 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
| 이름 | 토랄프 알베르트 스콜렘 |
| 원어 이름 | Thoralf Albert Skolem |
| 로마자 표기 | Thorallf Albert Skollem |
| 출생 | 1887년 5월 23일 |
| 출생지 | 노르웨이 콩스베르그 |
| 사망 | 1963년 3월 23일 |
| 사망지 | 노르웨이 오슬로 |
 | |
| 학문 | |
| 분야 | 수학 |
| 소속 | 오슬로 대학교 |
| 소속 기관 | 크리스티안 미켈센 연구소 |
| 모교 | 오슬로 대학교 |
| 박사 지도교수 | 악셀 투에 |
| 박사 학위 제자 | 외위스테인 오레 |
| 주요 업적 | 뢰벤하임-스콜렘 정리 스콜렘 역설 스콜렘 표준형 정리 스콜렘-뇌터 정리 |
2. 생애
스콜렘은 오슬로에서 학교를 다녔고, 1905년에 대학 입학 시험을 통과하여 오슬로 대학교에서 수학을 공부하였다. 1909년부터 물리학자 크리스티안 비르켈란의 조수로 있었으며, 비르켈란과 함께 수단으로 여행하기도 하였다.
1916년 오슬로 대학교 연구원이 되었고, 1918년에 조교수가 되었다. 1926년 박사 학위 논문을 제출하여 박사가 되었는데, 지도 교수는 악셀 투에였으나 그는 이미 1922년 사망한 뒤였다. 1927년 에디트 빌헬미네 하스볼(Edith Wilhelmine Hasvoldno)과 결혼하였다.
1930년 베르겐의 크리스티안 미켈센 연구소 연구원이 되었으나, 베르겐에서는 필요한 논문들을 볼 수 없어 1938년 다시 오슬로 대학교 교수가 되었다. 1957년 은퇴하였고, 1963년에 사망하였다.
2. 1. 초기 생애 및 교육 (1887-1913)
스콜렘의 아버지는 초등학교 교사였고, 그의 친척들은 대부분 농부였다. 스콜렘은 크리스티아니아(오슬로)에서 중학교를 다녔고, 1905년에 대학 입학 시험에 합격했다. 그 후 Det Kongelige Frederiks Universitet(오슬로 대학교)에 입학하여 수학을 공부했으며, 물리학, 화학, 동물학, 식물학도 수강했다.1909년에는 자화된 구체에 전자를 충돌시켜 오로라와 유사한 효과를 얻는 것으로 알려진 물리학자 크리스티안 비르켈란의 조수로 일하기 시작했다. 스콜렘의 첫 번째 출판물은 비르켈란과 공동으로 작성한 물리학 논문이었다. 1913년, 스콜렘은 우수한 성적으로 국가 시험에 합격했고, "논리 대수학에 관한 연구"라는 제목의 논문을 완성했다. 그는 또한 비르켈란과 함께 황도광을 관측하기 위해 수단으로 여행을 가기도 했다.
2. 2. 괴팅겐 유학과 연구 활동 (1915-1926)
1915년 겨울 학기에 스콜렘은 수학적 논리, 메타수학, 추상대수학 분야에서 당시 선도적인 연구 중심지였던 괴팅겐 대학교에서 공부했으며, 이 분야들에서 뛰어난 능력을 발휘하게 된다. 1916년 Det Kongelige Frederiks Universitet의 연구원으로 임명되었고, 1918년에는 수학 강사가 되었으며 노르웨이 과학 문학 아카데미 회원으로 선출되었다.스콜렘은 처음에는 노르웨이에서 박사 학위가 필요하지 않다고 생각하여 공식적으로 박사 과정 후보로 등록하지 않았으나, 나중에 생각을 바꾸어 1926년에 "특정 대수 방정식과 부등식의 정수 해에 관한 몇 가지 정리"라는 제목의 논문을 제출했다. 그의 형식적인 논문 지도교수는 1922년에 사망한 악셀 투에였다.
2. 3. 베르겐과 오슬로에서의 연구 (1927-1963)
1927년에 스콜렘은 에디트 빌헬미네 하스볼(Edith Wilhelmine Hasvoldno)과 결혼하였다.1930년까지 오슬로 대학교의 전신인 Det kongelige Frederiks Universitet에서 가르쳤고, 이후 베르겐의 크리스티안 미켈센 연구소(Chr. Michelsen Institute) 연구원으로 임명되었다. 이 직책을 통해 스콜렘은 행정 및 교육 의무 없이 연구를 수행할 수 있었으나, 당시 베르겐에는 대학교가 없어 연구 도서관이 없었기 때문에 수학 문헌을 접하기 어려웠다. 1938년, 오슬로로 돌아와 대학교의 수학 교수를 맡았다. 그는 대수학과 정수론 대학원 과정을 가르쳤고, 수학적 논리는 가끔씩만 가르쳤다. 스콜렘의 박사 과정 학생인 외스테인 오레(Øystein Ore)는 미국에서 경력을 쌓았다.
스콜렘은 노르웨이 수학회 회장을 역임했으며, 여러 해 동안 "Norsk Matematisk Tidsskrift"("노르웨이 수학 저널")를 편집했다. 또한 "Mathematica Scandinavica"의 창립 편집자였다.
1957년 은퇴 후, 미국을 여러 차례 방문하여 현지 대학에서 강연하고 가르쳤다. 그는 갑작스럽고 예상치 못한 죽음이 있기 전까지 지적으로 활동적이었다.
3. 주요 업적
스콜렘은 디오판토스 방정식, 군론, 격자 이론, 집합론, 수학적 논리 등 다양한 분야에서 약 180편의 논문을 발표했다. 그는 주로 노르웨이 학술지에 발표하여 그의 결과가 다른 학자들에 의해 재발견되는 경우가 종종 있었는데, 스콜렘-노에터 정리가 대표적인 예이다.
격자 연구의 선구자 중 한 명인 스콜렘은 분배 격자와 스콜렘 격자에 대한 중요한 결과를 발표했다. 모형 이론의 발전에도 크게 기여하여 뢰벤하임-스콜렘 정리를 통해 스콜렘의 역설을 지적하고 비표준 산술 모형을 개척했다.
또한, 스콜렘은 수학의 유한주의 창시자 중 한 명으로, 원시 재귀 산술을 제시하고 스콜렘 산술을 증명하는 등 수학기초론 연구에도 업적을 남겼다.
하오 왕은 스콜렘에 대해 "매우 '자유로운 정신'이었고, ... 매우 혁신적이었으며 그의 논문의 대부분은 전문 지식이 많지 않은 사람들도 읽고 이해할 수 있다."라고 평가했다.
3. 1. 스콜렘-노에터 정리
스콜렘은 디오판토스 방정식, 군론, 격자 이론 등과 무엇보다도 집합론과 수학적 논리에 관해 약 180편의 논문을 발표하였다. 그는 주로 국제적인 유통이 제한된 노르웨이 학술지에 발표했기 때문에, 그의 결과는 때때로 다른 사람들에 의해 재발견되기도 하였다. 한 예로 단순 대수의 자기 동형 사상을 특징짓는 스콜렘-노에터 정리가 있는데, 스콜렘은 1927년에 이 정리의 증명을 발표했지만, 에미 노에터는 몇 년 후 독립적으로 이를 재발견하였다.3. 2. 격자 이론 연구
스콜렘은 격자에 관해 글을 쓴 최초의 학자 중 한 명이었다. 1912년에 그는 ''n''개의 원소로 생성된 자유 분배 격자를 처음으로 설명했다. 1919년에는 모든 함축 격자(현재는 스콜렘 격자라고도 함)가 분배적이며, 부분적인 역으로 모든 유한 분배 격자가 함축적임을 보였다. 이러한 결과가 다른 사람들에 의해 재발견된 후, 스콜렘은 1936년에 독일어로 "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices"라는 논문을 발표하여 격자 이론에 대한 이전 작업을 개괄했다.3. 3. 모형 이론과 뢰벤하임-스콜렘 정리
스콜렘은 선구적인 모형 이론가였다. 1920년에 그는 레오폴트 뢰벤하임이 1915년에 처음 증명한 정리의 증명을 크게 단순화하여 뢰벤하임-스콜렘 정리가 탄생했다. 이 정리는 가산 일차 논리 이론이 무한 모형을 가지면 가산 모형을 갖는다는 것이다. 그의 1920년 증명은 선택 공리를 사용했지만, 그는 나중에 (1922년 및 1928년) 그 공리 대신 쾨니그의 보조 정리를 사용하여 증명을 제시했다. 스콜렘은 뢰벤하임처럼 동료 선구적인 모형 이론가인 찰스 샌더스 퍼스와 에른스트 슈뢰더의 표기법을 사용하여 수학적 논리와 집합론에 대해 글을 썼으며, 변수 바인딩 양화사로 Π, Σ를 포함했다. 이는 페아노, 수학 원리, 수학 논리의 원리의 표기법과는 대조적이다. 스콜렘(1934)은 비표준 산술 모형 및 집합론의 구성을 개척했다.스콜렘(1922)은 집합론에 대한 체르멜로의 공리를 체르멜로의 모호한 "확정적인" 속성에 일차 논리로 코딩할 수 있는 모든 속성을 대체하여 개선했다. 결과적인 공리는 현재 집합론의 표준 공리의 일부이다. 스콜렘은 또한 뢰벤하임-스콜렘 정리의 결과가 현재 스콜렘의 역설로 알려진 것임을 지적했다. 즉, 체르멜로의 공리가 일관성이 있다면, 그것은 가산 영역 내에서 만족되어야 함에도 불구하고, 비가산 집합의 존재를 증명한다.
3. 4. 스콜렘의 역설
스콜렘은 뢰벤하임-스콜렘 정리의 결과, 즉 체르멜로의 공리가 일관성이 있다면 비가산 집합의 존재를 증명함에도 불구하고 가산 영역 내에서 만족되어야 한다는 점이 현재 스콜렘의 역설로 알려져 있음을 지적했다.3. 5. 비표준 산술 모형
스콜렘(1934)은 비표준 산술 모형을 개척했다.3. 6. 유한주의와 원시 재귀 산술
스콜렘은 완성된 무한을 불신했으며 수학의 유한주의 창시자 중 한 명이었다. 스콜렘(1923)은 무한의 역설을 피하기 위한 수단으로 원시 재귀 산술을 제시했는데, 이는 계산 가능 함수 이론에 대한 매우 초기의 기여였다. 그는 먼저 원시 재귀로 객체를 정의한 다음, 첫 번째 시스템으로 정의된 객체의 속성을 증명하기 위한 또 다른 시스템을 고안하여 자연수의 산술을 개발했다. 이 두 시스템을 통해 그는 소수를 정의하고 상당한 양의 수론을 제시할 수 있었다. 첫 번째 시스템을 객체를 정의하기 위한 프로그래밍 언어로, 두 번째 시스템을 객체에 대한 속성을 증명하기 위한 프로그래밍 논리로 간주한다면, 스콜렘은 이론 전산학의 의도하지 않은 선구자로 볼 수 있다.3. 7. 스콜렘 산술
1929년에 프레스버거는 곱셈이 없는 페아노 산술이 무모순, 완전하고 결정 가능함을 증명했다. 이듬해, 스콜렘은 덧셈이 없는 페아노 산술, 즉 그를 기리기 위해 스콜렘 산술이라고 명명된 시스템에 대해서도 같은 내용이 적용됨을 증명했다. 괴델의 유명한 1931년 결과는 덧셈과 곱셈을 모두 포함하는 페아노 산술 자체가 불완전하며 따라서 ''사후적''으로 결정 불가능하다는 것이다.4. 평가
- 브레이디는 2000년에 '퍼스에서 스콜렘까지'라는 저서를 통해 스콜렘을 평가하였다.
- 옌스 에릭 펜스타드는 1970년에 스콜렘의 추모글을 작성하였다.
- 왕 하오는 1970년에 논리학에서의 스콜렘의 연구를 조사하였다.
5. 참고 문헌
- Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen|유한 또는 가산 무한 개의 숫자 변수만을 사용하는 명제로 숫자열을 특징지을 수 없음de
- 스콜렘, T. A., 1970. ''논리 선집''(Selected works in logic), 페네스타드, J. E. 편. 오슬로: 스칸디나비아 대학교 서적. 독일어 논문 22편, 영어 논문 26편, 프랑스어 논문 2편, 원래 노르웨이어로 출판된 논문의 영어 번역 1편, 그리고 완전한 참고 문헌을 포함.
- 장 반 헤이에누르트, 1967. 《프레게에서 괴델까지: 수학 논리학 자료집, 1879–1931》. 하버드 대학교 출판부.
- 1920. "수학 명제의 만족도 또는 증명 가능성에 대한 논리 조합적 연구: 뢰벤하임의 정리에 대한 단순화된 증명," 252–263.
- 1922. "공리화된 집합론에 대한 몇 가지 언급," 290-301.
- 1923. "초등 산술의 기초," 302-33.
- 1928. "수학 논리에 관하여," 508–524.
- 브레이디, 제럴딘, 2000. ''퍼스에서 스콜렘까지''. 노스 홀랜드.
- 펜스타드, 옌스 에릭, 1970, "토랄프 알베르트 스콜렘 추모" in 스콜렘 (1970: 9–16).
- 왕 하오, 1970, "논리학에서의 스콜렘의 연구 조사" in 스콜렘 (1970: 17–52).
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