특이점 (대수기하학)

3. 성질

스킴 $(X,\mathcal O_X)$가 임의의 점 $x\in X$에 대하여 줄기 국소환 $\mathcal O_{X,x}$가 정칙 국소환이면, '''정칙 스킴'''(regular scheme^영어)이라고 한다. 마찬가지로, 스킴 $X$의 '''특이점'''은 $\mathcal O_{X,x}$가 정칙 국소환이 아닌 점 $x\in X$이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X\to\operatorname{Spec}K$에 대하여, $X$가 정칙 스킴이라면, $X$를 '''비특이 대수다양체'''(nonsingular variety^영어)라고 한다.^[5]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

즉, 모든 정칙 스킴은 정규 스킴이며, 임의의 체 $K$에 대하여 모든 매끄러운 $K$-스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체 $K$ 위의 $K$-스킴 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X\to\operatorname{Spec}K$는 매끄러운 사상이다.
• 정칙 스킴이며, $X\to\operatorname{Spec}K$는 국소 유한형 사상이다.

3. 1. 야코비 행렬을 이용한 판별

• $x$는 $X$의 특이점이 아니다.
• $\backslash mathfrak\; a$가 $(f\_1,\backslash dots,f\_k)$으로 생성된다면, $k\backslash times\; n$ 행렬 $(\backslash partial\; f\_i/\backslash partial\; x\_j)(x)$의 계수는 $n-\backslash dim\; X$이다.^[5]

4. 예시

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 아핀 공간 $\mathbb{A}^n_K$와 사영 공간 $\mathbb{P}^n_K$는 비특이 대수다양체이다.

복소 평면 대수 곡선 $\{(x, y) : y^2 - x^2(x+1) = 0\} \subset \mathbb{A}^2$를 살펴보자. 이 곡선의 1×2 야코비 행렬은 $(-(3x+2)x,2y)$이며, $(x,y)=(0,0)$일 때 계수가 0이다. $(0,0)$은 곡선 위에 있으므로, 이 점이 특이점이다.^[1]

일반적으로 초곡면 $F(x,y,z,\ldots) = 0$의 특이점은 모든 편미분이 동시에 0이 되는 점이다. 여러 다항식의 공통 근으로 정의되는 일반적인 대수적 다양체 $V$의 점 $P$가 특이점일 조건은 다항식의 1차 편미분의 야코비 행렬이 $P$에서 다양체의 다른 점에서의 계수보다 낮은 계수를 갖는 것이다.

4. 1. 특이점의 종류

5. 매끄러운 사상의 특이점

특이점의 개념은 순전히 국소적인 성질이므로, 위의 정의는 더 넓은 부류의 매끄러운 사상(''M''에서 '''R'''ⁿ으로의 함수로, 모든 도함수가 존재하는 경우)으로 확장될 수 있다. 이러한 특이점에 대한 분석은 사상의 제트를 고려하여 대수적 다양체 경우로 축소될 수 있다. ''k''차 제트는 차수 ''k''에서 잘리고 상수항이 삭제된 사상의 테일러 급수이다.

참조

_[1] 서적 Algebraic Geometry Springer Science+Business Media
_[2] 서적 Singular Points of Complex Hypersurfaces Princeton University Press
_[3] 서적 Algebraic Geometry
_[4] 서적
_[5] 서적 Algebraic Geometry