티소 타원

2. 티소 타원의 개념 및 특징

티소 타원 이론은 지도 분석의 맥락에서 개발되었다. 일반적으로 기하학적 모델은 지구를 나타내며, 구 또는 타원체 형태로 나타난다.

티소 타원은 지도의 선형, 각도, 면적 왜곡을 보여준다. 지도가 투영 표면에 투영된 무한히 짧은 선의 길이와 지구 모델에서 원래의 길이 사이의 비율이 1에서 벗어나는 곳마다 거리를 왜곡한다(선형 왜곡). 그 비율을 ''축척 계수''라고 한다. 투영이 고려 중인 지점에서 등각이 아닌 한, 축척 계수는 지점 주위의 방향에 따라 달라진다. 지도가 지구 모델에서 측정된 각도가 투영에서 보존되지 않는 곳마다 각도를 왜곡한다. 이는 원이 아닌 왜곡의 타원으로 표현된다. 지도가 지구 모델에서 측정된 면적이 투영에서 보존되지 않는 곳마다 면적을 왜곡한다. 이는 면적이 지도 전체에서 달라지는 왜곡의 타원으로 표현된다.

각 지점이 기하학적 모델에서 투영된 각도를 보존하는 등각 지도에서, 티소 타원은 위치에 따라 크기가 달라지는 모든 원이며, 방향도 달라질 수 있다(자오선과 병행으로 분할된 4개의 원 사분면을 고려). 등면적 투영에서 객체 간의 면적 비율이 보존되는 경우, 티소 타원은 모양과 방향이 위치에 따라 달라지지만 모두 동일한 면적을 갖는다. 임의 투영에서는 면적과 모양이 모두 지도 전체에서 달라진다.

2. 1. 기본 원리

2. 2. 왜곡의 종류

• 지도가 투영 표면에 투영된 무한히 짧은 선의 길이와 지구 모델에서 원래의 길이 사이의 비율이 1에서 벗어나는 곳에서 거리를 왜곡한다(선형 왜곡). 그 비율을 ''축척 계수''라고 한다. 투영이 고려 중인 지점에서 등각이 아닌 경우, 축척 계수는 지점 주위의 방향에 따라 달라진다.
• 지도가 지구 모델에서 측정된 각도가 투영에서 보존되지 않는 곳에서 각도를 왜곡한다. 이는 원이 아닌 왜곡의 타원으로 표현된다.
• 지도가 지구 모델에서 측정된 면적이 투영에서 보존되지 않는 곳에서 면적을 왜곡한다. 이는 면적이 지도 전체에서 달라지는 왜곡의 타원으로 표현된다.

2. 3. 주요 특징

• 지도가 투영 표면에 투영된 무한히 짧은 선의 길이와 지구 모델에서 원래의 길이 사이의 비율이 1에서 벗어나는 곳마다 거리를 왜곡한다(선형 왜곡). 그 비율을 ''축척 계수''라고 한다. 투영이 고려 중인 지점에서 등각이 아닌 한, 축척 계수는 지점 주위의 방향에 따라 달라진다.
• 지도가 지구 모델에서 측정된 각도가 투영에서 보존되지 않는 곳마다 각도를 왜곡한다. 이는 원이 아닌 왜곡의 타원으로 표현된다.
• 지도가 지구 모델에서 측정된 면적이 투영에서 보존되지 않는 곳마다 면적을 왜곡한다. 이는 면적이 지도 전체에서 달라지는 왜곡의 타원으로 표현된다.

3. 티소 타원의 수학적 이해

아래 그림에서 원 $ABCD$는 구의 표면에서 정의된 단위 면적을 갖는다. 원 $\{A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}\}$는 $ABCD$를 평면에 투영한 결과로 얻은 티소 타원이다. $\{OA\text{'}\; \backslash ncong\; OA\}$ 및 $OB\text{'}\; \backslash ncong\; OB$이므로 선형 축척은 이 투영에서 유지되지 않는다. $\{\backslash angle\; M\text{'}OA\text{'}\; \backslash ncong\; \backslash angle\; MOA\}$이므로 각도 왜곡이 있음을 알 수 있다. $\backslash operatorname\{Area\}(A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'})\; \backslash ne\; \backslash operatorname\{Area\}(ABCD)$이므로 면적 왜곡이 있음을 알 수 있다.

위 예시에서 원래 원의 반지름은 1이었지만, 티소 타원을 다룰 때는 무한소 반지름의 타원을 다루게 된다. 원래 원과 왜곡 타원의 반지름은 모두 무한소이지만, 미분 적분학을 사용하면 그 비율을 의미 있게 계산할 수 있다. 예를 들어, 입력 원의 반지름과 투영된 원의 반지름의 비율이 1과 같으면 타원은 면적이 1인 원으로 그려진다. 타원이 지도에 그려지는 크기는 임의적이다. 모든 타원은 서로의 크기에 비례하도록 동일한 인수로 축척된다.

그림의 $M$과 마찬가지로, 평행선과 자오선을 따라 $O$에서 시작하는 축은 투영 중에 길이가 변경되고 회전될 수 있다. 주어진 점에 대해, 문헌에서는 자오선을 따라의 축척을 $h$로, 평행선을 따라의 축척을 $k$로 나타내는 것이 일반적이다. 투영이 정각 투영이 아닌 한, 타원의 장축과 단축이 이루는 각도를 제외한 모든 각도가 변경될 수도 있다. 특정 각도는 가장 많이 변경되며, 이 최대 변경 값은 각도 변형으로 알려져 있으며, $\backslash theta$로 표시된다. 일반적으로 어떤 각도가 어떻게 방향을 갖는지, 그 방향이 왜곡 분석에 두드러지게 나타나지는 않는다. 중요한 것은 변화의 크기이다. $h$, $k$, $\backslash theta$의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다. ^[2]

:$$\backslash begin\{align\}$$

h &= \frac{1}{R}\sqrt } \right)}^2} + } \right)}^2}} \\[4pt]

k &= \frac{1}\sqrt } \right)}^2} + } \right)}^2}} \\[4pt]

\sin \theta ' &= \frac{1}\left( {\frac\frac - \frac\frac} \right) \\[4pt]

a' &= \sqrt {{h^2} + {k^2} + 2h k\sin \theta '}, \quad b' = \sqrt {{h^2} + {k^2} - 2h k\sin \theta '} \\[4pt]

a &= \frac{2}, \quad b = \frac{2} \\[4pt]

s &= h k \sin \theta ' \\[4pt]

\omega &= 2 \arcsin\frac{b'}{a'}

\end{align}

여기서 $\backslash varphi$와 $\backslash lambda$는 점의 위도 및 경도 좌표이고, $R$은 지구의 반지름이며, $x$와 $y$는 투영 후 점의 결과 좌표이다.

주어진 점의 결과에서, $a$와 $b$는 다이어그램에서 장축 및 단축과 유사한 최대 및 최소 축척 요소이다. $s$는 면적의 팽창 또는 수축의 양을 나타내고, $\backslash omega$는 최대 각도 왜곡을 나타낸다.

정각 투영법(예: 메르카토르 도법)의 경우, $h\; =\; k$이고 $\backslash theta\; =\; \{\backslash pi\; \backslash over\; 2\}$이므로 각 점에서 타원은 원으로 축소되며, 반지름은 축척 요소와 같다.

정적 면적 투영법(예: 사인 도법)의 경우, 타원의 장축은 단축의 역수이므로 모든 타원은 이심률이 달라지더라도 동일한 면적을 갖는다.

임의의 투영의 경우, 각 점에서의 타원의 모양과 면적은 서로 크게 독립적이다. ^[3]

==== 미분 기하학적 접근 ====

티소 타원을 이해하고 유도하는 또 다른 방법은 곡면의 미분 기하학을 이용하는 것이다.^[4] 이 접근 방식은 티소 타원의 매개변수를 특이값 분해(SVD)와 중앙 차분 근사를 사용하여 계산할 수 있으므로 현대적인 수치적 방법론에 적합하다.

타원체 위의 3차원 점 $\backslash hat\{X\}$는 다음과 같이 매개변수화된다.

:$$

\hat{X}(\lambda, \phi) = \left[

\begin{matrix}

N\cos{\lambda}\cos{\phi}\\

• N(1-e^2)\sin{\phi}\\

N\sin{\lambda}\cos{\phi}

\end{matrix}

\right]



여기서 $(\backslash lambda,\; \backslash phi)$는 각각 경도와 위도이며, $N$은 적도 반지름 $R$과 이심률 $e$의 함수이다.

:$N\; =\; \backslash frac\{R\}\{\backslash sqrt\{1-e^2\; \backslash sin^2(\backslash phi)\}\}$

구면 위의 거리 요소 $ds$는 제1 기본 형식으로 정의된다.

:$$

ds^2 =

\begin{bmatrix}

d\lambda & d\phi

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

E & F\\

F & G

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

d\lambda\\

d\phi

\end{bmatrix}



이 형식의 계수는 다음과 같이 정의된다.

:$$

\begin{align}

&E = \frac{\partial \hat{X}}{\partial \lambda} \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \hat{X}}{\partial \lambda}\\

&F = \frac{\partial \hat{X}}{\partial \lambda} \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \hat{X}}{\partial \phi}\\

&G = \frac{\partial \hat{X}}{\partial \phi} \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \hat{X}}{\partial \phi}\\

\end{align}



필요한 미분을 계산하면 다음과 같다.

:$$

\frac{\partial \hat{X}}{\partial \lambda} = \left[

\begin{matrix}

• N\sin{\lambda} \cos{\phi}\\

0\\

N\cos{\lambda} \cos{\phi}

\end{matrix}

\right]

\qquad\qquad

\frac{\partial \hat{X}}{\partial \phi} = \left[

\begin{matrix}

• M\cos{\lambda} \sin{\phi}\\
• M\cos{\phi}\\

M\sin{\lambda} \sin{\phi}

\end{matrix}

\right]



여기서 $M$은 적도 반지름 $R$과 타원체 이심률 $e$의 함수이다.

:$$

M = \frac{R(1 - e^2)}{(1 - e^2 \sin^2(\phi))^\frac{3}{2}}



이 값들을 제1 기본 형식에 대입하면 타원체 위의 거리 요소에 대한 공식이 다음과 같이 얻어진다.

:$$

ds^2 = \left(N \cos{\phi}\right)^2 d\lambda^2 + M^2 d\phi^2



이 결과는 타원체 표면에서의 거리 측정을 구면 좌표계의 함수로 나타낸다.

티소 타원도법의 목적은 구면에서의 거리가 평면상에 투영될 때 어떻게 변하는지 연관시키는 것이다. 구체적으로, 원하는 관계는 구면 좌표계의 기저를 따라가는 미분 거리와 평면 지도 상의 데카르트 좌표계의 기저를 따라가는 미분 거리를 연관시키는 변환 $\backslash mathcal\{T\}$이다. 이는 다음과 같은 관계로 표현할 수 있다.

:$$

\begin{bmatrix}

dx \\

dy

\end{bmatrix}

= \mathcal{T}

\begin{bmatrix}

ds(\lambda, 0)\\

ds(0, \phi)

\end{bmatrix}



여기서 $ds(\backslash lambda,\; 0)$과 $ds(0,\; \backslash phi)$는 각각 경도 및 위도 축을 따라 $ds$를 계산한 값을 나타낸다. $ds(\backslash lambda,\; 0)$과 $ds(0,\; \backslash phi)$의 계산은 위의 식에서 직접 수행할 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻는다.

:$$

\begin{align}

&ds(\lambda, 0) = N \cos(\phi) d\lambda \\

&ds(0, \phi) = M d\phi

\end{align}



이 계산을 위해, 이 관계를 행렬 연산으로 표현하는 것이 유용하다.

:$$

\begin{bmatrix}

d\lambda\\

d\phi

\end{bmatrix}

=

K

\begin{bmatrix}

ds(\lambda, 0)\\

ds(0, \phi)

\end{bmatrix}

, \qquad

K = \begin{bmatrix}

\frac{1}{N\cos{\phi}} & 0\\

0 & \frac{1}{M}

\end{bmatrix}



이제, 타원체 표면에서의 거리를 평면에서의 거리와 연관시키기 위해, 좌표계를 연관시킬 필요가 있다. 연쇄 법칙으로부터 다음을 쓸 수 있다.

:$$

\begin{bmatrix}

dx \\

dy

\end{bmatrix}

= J

\begin{bmatrix}

d\lambda \\

d\phi

\end{bmatrix}



여기서 J는 야코비 행렬이다.

:$$

J = \begin{bmatrix}

\frac{\partial x}{\partial \lambda} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\

\frac{\partial y}{\partial \lambda} & \frac{\partial y}{\partial \phi}

\end{bmatrix}



$d\backslash lambda$과 $d\backslash phi$에 대한 행렬 표현을 대입하면, 타원으로 표현되는 변환 $\backslash mathcal\{T\}$의 정의가 얻어진다.

:$$

\begin{bmatrix}

dx \\

dy

\end{bmatrix}

= JK

\begin{bmatrix}

ds(\lambda, 0)\\

ds(0, \phi)

\end{bmatrix}



:$$

\mathcal{T} = JK



이 변환 $\backslash mathcal\{T\}$는 타원체 표면에서 평면으로의 매핑을 캡슐화한다. 이러한 형태로 표현하면, SVD를 사용하여 국소 변환의 중요한 구성요소를 분리할 수 있다.

==== 수치적 계산 ====

티소 타원을 이해하고 유도하는 또 다른 방법은 곡면의 미분 기하학을 이용하는 것이다.^[4] 이 접근 방식은 티소 타원의 매개변수를 특이값 분해(SVD)와 중앙 차분 근사를 사용하여 계산할 수 있으므로 현대적인 수치적 방법론에 적합하다.

구면 좌표계의 특정 위치에서 왜곡 정보를 추출하기 위해, 해당 위치에서의 값을 직접 계산할 수 있다. 야코비 행렬은 매핑 함수 자체로부터 해석적으로 계산할 수 있지만, 중앙 차분을 사용하여 지도상의 임의 위치에서 값을 수치적으로 근사하는 것이 더 간단한 경우가 많다. 이러한 값들이 계산되면, 각 변환 행렬에 SVD를 적용하여 지역 왜곡 정보를 추출할 수 있다. 왜곡은 지역적이므로 지도상의 모든 위치가 자체적인 변환을 갖는다는 점에 유의해야 한다.

변환 $\backslash mathcal\{T\}$는 소스 영역(예: 타원체 표면)에서의 회전 $V^T$, 기저를 따른 스케일링 $\backslash Lambda$, 그리고 그 다음의 두 번째 회전 $U$로 분해될수 있다. 첫 번째 회전은 원의 축을 회전시킬 뿐 타원의 최종 방향에는 영향을 미치지 않기 때문에 왜곡을 이해하는 데 있어서는 무관하다. 대각 특이값 행렬로 표현되는 다음 연산은, 원을 축을 따라 스케일링하여 타원으로 변형한다. 따라서 특이값은 타원 축을 따라의 스케일 팩터를 나타낸다. 첫 번째 특이값은 장반경 $a$를 제공하고, 두 번째 특이값은 단반경 $b$를 제공하며, 이는 왜곡의 방향 스케일 팩터이다. 스케일 왜곡은 타원의 면적 $ab$ 또는 동등하게 $\backslash mathcal\{T\}$의 행렬식으로 계산할 수 있다. 마지막으로, 타원의 방향 $\backslash theta$는 $U$의 첫 번째 열에서 추출할 수 있다.

3. 1. 미분 기하학적 접근

티소 타원을 이해하고 유도하는 또 다른 방법은 곡면의 미분 기하학을 이용하는 것이다.^[4] 이 접근 방식은 티소 타원의 매개변수를 특이값 분해(SVD)와 중앙 차분 근사를 사용하여 계산할 수 있으므로 현대적인 수치적 방법론에 적합하다.

타원체 위의 3차원 점 $\backslash hat\{X\}$는 다음과 같이 매개변수화된다.

:$$

\hat{X}(\lambda, \phi) = \left[

\begin{matrix}

N\cos{\lambda}\cos{\phi}\\

• N(1-e^2)\sin{\phi}\\

N\sin{\lambda}\cos{\phi}

\end{matrix}

\right]



여기서 $(\backslash lambda,\; \backslash phi)$는 각각 경도와 위도이며, $N$은 적도 반지름 $R$과 이심률 $e$의 함수이다.

:$N\; =\; \backslash frac\{R\}\{\backslash sqrt\{1-e^2\; \backslash sin^2(\backslash phi)\}\}$

구면 위의 거리 요소 $ds$는 제1 기본 형식으로 정의된다.

:$$

ds^2 =

\begin{bmatrix}

d\lambda & d\phi

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

E & F\\

F & G

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

d\lambda\\

d\phi

\end{bmatrix}



이 형식의 계수는 다음과 같이 정의된다.

:$$

\begin{align}

&E = \frac{\partial \hat{X}}{\partial \lambda} \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \hat{X}}{\partial \lambda}\\

&F = \frac{\partial \hat{X}}{\partial \lambda} \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \hat{X}}{\partial \phi}\\

&G = \frac{\partial \hat{X}}{\partial \phi} \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \hat{X}}{\partial \phi}\\

\end{align}



필요한 미분을 계산하면 다음과 같다.

:$$

\frac{\partial \hat{X}}{\partial \lambda} = \left[

\begin{matrix}

• N\sin{\lambda} \cos{\phi}\\

0\\

N\cos{\lambda} \cos{\phi}

\end{matrix}

\right]

\qquad\qquad

\frac{\partial \hat{X}}{\partial \phi} = \left[

\begin{matrix}

• M\cos{\lambda} \sin{\phi}\\
• M\cos{\phi}\\

M\sin{\lambda} \sin{\phi}

\end{matrix}

\right]



여기서 $M$은 적도 반지름 $R$과 타원체 이심률 $e$의 함수이다.

:$$

M = \frac{R(1 - e^2)}{(1 - e^2 \sin^2(\phi))^\frac{3}{2}}



이 값들을 제1 기본 형식에 대입하면 타원체 위의 거리 요소에 대한 공식이 다음과 같이 얻어진다.

:$$

ds^2 = \left(N \cos{\phi}\right)^2 d\lambda^2 + M^2 d\phi^2



이 결과는 타원체 표면에서의 거리 측정을 구면 좌표계의 함수로 나타낸다.

티소 타원도법의 목적은 구면에서의 거리가 평면상에 투영될 때 어떻게 변하는지 연관시키는 것이다. 구체적으로, 원하는 관계는 구면 좌표계의 기저를 따라가는 미분 거리와 평면 지도 상의 데카르트 좌표계의 기저를 따라가는 미분 거리를 연관시키는 변환 $\backslash mathcal\{T\}$이다. 이는 다음과 같은 관계로 표현할 수 있다.

:$$

\begin{bmatrix}

dx \\

dy

\end{bmatrix}

= \mathcal{T}

\begin{bmatrix}

ds(\lambda, 0)\\

ds(0, \phi)

\end{bmatrix}



여기서 $ds(\backslash lambda,\; 0)$과 $ds(0,\; \backslash phi)$는 각각 경도 및 위도 축을 따라 $ds$를 계산한 값을 나타낸다. $ds(\backslash lambda,\; 0)$과 $ds(0,\; \backslash phi)$의 계산은 위의 식에서 직접 수행할 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻는다.

:$$

\begin{align}

&ds(\lambda, 0) = N \cos(\phi) d\lambda \\

&ds(0, \phi) = M d\phi

\end{align}



이 계산을 위해, 이 관계를 행렬 연산으로 표현하는 것이 유용하다.

:$$

\begin{bmatrix}

d\lambda\\

d\phi

\end{bmatrix}

=

K

\begin{bmatrix}

ds(\lambda, 0)\\

ds(0, \phi)

\end{bmatrix}

, \qquad

K = \begin{bmatrix}

\frac{1}{N\cos{\phi}} & 0\\

0 & \frac{1}{M}

\end{bmatrix}



이제, 타원체 표면에서의 거리를 평면에서의 거리와 연관시키기 위해, 좌표계를 연관시킬 필요가 있다. 연쇄 법칙으로부터 다음을 쓸 수 있다.

:$$

\begin{bmatrix}

dx \\

dy

\end{bmatrix}

= J

\begin{bmatrix}

d\lambda \\

d\phi

\end{bmatrix}



여기서 J는 야코비 행렬이다.

:$$

J = \begin{bmatrix}

\frac{\partial x}{\partial \lambda} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\

\frac{\partial y}{\partial \lambda} & \frac{\partial y}{\partial \phi}

\end{bmatrix}



$d\backslash lambda$과 $d\backslash phi$에 대한 행렬 표현을 대입하면, 타원으로 표현되는 변환 $\backslash mathcal\{T\}$의 정의가 얻어진다.

:$$

\begin{bmatrix}

dx \\

dy

\end{bmatrix}

= JK

\begin{bmatrix}

ds(\lambda, 0)\\

ds(0, \phi)

\end{bmatrix}



:$$

\mathcal{T} = JK



이 변환 $\backslash mathcal\{T\}$는 타원체 표면에서 평면으로의 매핑을 캡슐화한다. 이러한 형태로 표현하면, SVD를 사용하여 국소 변환의 중요한 구성요소를 분리할 수 있다.

3. 2. 수치적 계산

티소 타원을 이해하고 유도하는 또 다른 방법은 곡면의 미분 기하학을 이용하는 것이다.^[4] 이 접근 방식은 티소 타원의 매개변수를 특이값 분해(SVD)와 중앙 차분 근사를 사용하여 계산할 수 있으므로 현대적인 수치적 방법론에 적합하다.

구면 좌표계의 특정 위치에서 왜곡 정보를 추출하기 위해, 해당 위치에서의 값을 직접 계산할 수 있다. 야코비 행렬은 매핑 함수 자체로부터 해석적으로 계산할 수 있지만, 중앙 차분을 사용하여 지도상의 임의 위치에서 값을 수치적으로 근사하는 것이 더 간단한 경우가 많다. 이러한 값들이 계산되면, 각 변환 행렬에 SVD를 적용하여 지역 왜곡 정보를 추출할 수 있다. 왜곡은 지역적이므로 지도상의 모든 위치가 자체적인 변환을 갖는다는 점에 유의해야 한다.

변환 $\backslash mathcal\{T\}$는 소스 영역(예: 타원체 표면)에서의 회전 $V^T$, 기저를 따른 스케일링 $\backslash Lambda$, 그리고 그 다음의 두 번째 회전 $U$로 분해될수 있다. 첫 번째 회전은 원의 축을 회전시킬 뿐 타원의 최종 방향에는 영향을 미치지 않기 때문에 왜곡을 이해하는 데 있어서는 무관하다. 대각 특이값 행렬로 표현되는 다음 연산은, 원을 축을 따라 스케일링하여 타원으로 변형한다. 따라서 특이값은 타원 축을 따라의 스케일 팩터를 나타낸다. 첫 번째 특이값은 장반경 $a$를 제공하고, 두 번째 특이값은 단반경 $b$를 제공하며, 이는 왜곡의 방향 스케일 팩터이다. 스케일 왜곡은 타원의 면적 $ab$ 또는 동등하게 $\backslash mathcal\{T\}$의 행렬식으로 계산할 수 있다. 마지막으로, 타원의 방향 $\backslash theta$는 $U$의 첫 번째 열에서 추출할 수 있다.