곰퍼츠 분포

1. 개요

곰퍼츠 분포는 척도 모수와 모양 모수를 가지는 확률 분포이다. 확률 밀도 함수와 누적 분포 함수가 정의되며, 오른쪽으로 긴 꼬리를 갖는 유연한 분포이다. 곰퍼츠 분포는 귐벨 분포, 감마 분포, 와이블 분포 등과 관련이 있으며, 수문학에서 연간 최대 일강수량 및 하천 유출과 같은 극단적인 사건의 분석에 활용된다.

2. 정의

곰퍼츠 분포는 벤자민 곰퍼츠의 이름을 따서 지어졌으며, 주로 사망률 증가 패턴을 설명하는 데 사용되는 분포이다.

2.1. 확률 밀도 함수

곰퍼츠 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

:$f\backslash left(x;\backslash eta,\; b\backslash right)=b\backslash eta\; \backslash exp\backslash left(\backslash eta\; +\; b\; x\; -\backslash eta\; e^\{bx\}\; \backslash right)\backslash text\{for\; \}x\; \backslash geq\; 0,\; \backslash ,$

여기서 $b\; >\; 0\backslash ,\backslash !$는 곰퍼츠 분포의 척도 모수이고, $\backslash eta\; >\; 0\backslash ,\backslash !$는 모양 모수이다.

2.2. 누적 분포 함수

곰퍼츠 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같다.

:$F\backslash left(x;\backslash eta,\; b\backslash right)=\; 1-\backslash exp\backslash left(-\backslash eta\backslash left(e^\{bx\}-1\; \backslash right)\backslash right)\; ,$

여기서 $\backslash eta,\; b>0,$ 이고 $x\; \backslash geq\; 0\; \backslash ,\; .$ 이다.

3. 성질

곰퍼츠 분포는 오른쪽과 왼쪽으로 왜곡될 수 있는 유연한 분포이다. 이 분포의 위험 함수는 $h(x)=\backslash eta\; b\; e^\{bx\}$이며, $F\backslash left(x;\backslash eta,\; b\backslash right)$의 볼록 함수이다. 이 모델은 혁신-모방 패러다임에 맞춰볼 수 있는데, $p\; =\; \backslash eta\; b$는 혁신 계수이고 $b$는 모방 계수이다. $t$가 커지면, $z(t)$는 $\backslash infty$에 접근한다. 또한, 이 모델은 채택 성향 패러다임에도 속할 수 있으며, $\backslash eta$는 채택 성향, $b$는 새로운 제품의 전반적인 매력을 나타낸다.

3.1. 모양

모양 모수 $\backslash eta$에 따라 곰퍼츠 분포의 최빈값은 다음과 같이 결정된다.

* $\backslash eta\; \backslash geq\; 1$일 때, 확률 밀도 함수의 최빈값은 0이다.
* 일 때, 확률 밀도 함수의 최빈값은 다음과 같다.

::

3.2. 적률 생성 함수

곰퍼츠 분포의 적률 생성 함수는 다음과 같다.

:$\backslash text\{E\}\backslash left(e^\{-t\; X\}\backslash right)=\backslash eta\; e^\{\backslash eta\}\backslash text\{E\}\_\{t/b\}\backslash left(\backslash eta\backslash right)$

여기서

:$\backslash text\{E\}\_\{t/b\}\backslash left(\backslash eta\backslash right)=\backslash int\_1^\backslash infin\; e^\{-\backslash eta\; v\}\; v^\{-t/b\}dv,\backslash \; t>0.$이다.

3.3. 쿨백-라이블러 발산

두 곰퍼츠 분포의 확률 밀도 함수 $f\_1$과 $f\_2$가 있을 때, 그들의 쿨백-라이블러 발산은 다음과 같이 계산된다.

:$$
\begin{align}
D_{KL} (f_1 \parallel f_2)
& = \int_{0}^{\infty} f_1(x; b_1, \eta_1) \, \ln \frac{f_1(x; b_1, \eta_1)}{f_2(x; b_2, \eta_2)} dx \\
& = \ln \frac{e^{\eta_1} \, b_1 \, \eta_1}{e^{\eta_2} \, b_2 \, \eta_2}
+ e^{\eta_1} \left[ \left(\frac{b_2}{b_1} - 1 \right) \, \operatorname{Ei}(- \eta_1)
+ \frac{\eta_2}{\eta_1^{\frac{b_2}{b_1}}} \, \Gamma \left(\frac{b_2}{b_1}+1, \eta_1 \right) \right]
- (\eta_1 + 1)
\end{align}


여기서 $\backslash operatorname\{Ei\}(\backslash cdot)$는 지수 적분을 나타내고 $\backslash Gamma(\backslash cdot,\backslash cdot)$는 상부 불완전 감마 함수를 나타낸다.

4. 관련 분포

* X가 음수 값 Y가 생성될 때까지 귐벨 분포에서 표본 추출한 결과로 정의되고 X=-Y로 설정되면, X는 곰퍼츠 분포를 갖는다.
* 감마 분포는 알려진 척도 매개변수 $b\; \backslash ,\backslash !$를 가진 곰퍼츠 우도에 대한 자연스러운 켤레 사전 분포이다.
* $\backslash eta\backslash ,\backslash !$가 모양 매개변수 $\backslash alpha\backslash ,\backslash !$와 척도 매개변수 $\backslash beta\backslash ,\backslash !$(평균 = $\backslash alpha/\backslash beta\backslash ,\backslash !$)를 가진 감마 분포에 따라 변할 때, $x$의 분포는 감마/곰퍼츠이다.
* 만약 $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Gompertz\}$이면, $X\; =\; \backslash exp(Y)\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Weibull\}^\{-1\}$이고, 따라서 $\backslash exp(-Y)\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Weibull\}$이다.

5. 응용

곰퍼츠 분포는 다양한 분야에서 활용된다.

5.1. 수문학

수문학에서 곰퍼츠 분포는 연간 최대 일강수량 및 하천 유출과 같은 극단적인 사건에 적용된다. 파란색 그림은 연간 최대 일강수량을 곰퍼츠 분포에 맞춘 예시를 보여주며, 이항 분포를 기반으로 한 90% 신뢰 벨트도 함께 나타낸다. 강수량 데이터는 누적 빈도 분석의 일부로 플로팅 위치로 표시된다.

5.2. 기타

곰퍼츠 분포는 오른쪽과 왼쪽으로 왜곡될 수 있는 유연한 분포이다. 이 분포의 위험 함수는 볼록 함수이다. 이 모델은 혁신-모방 패러다임에 맞출 수 있는데, 여기서 $p\; =\; \backslash eta\; b$는 혁신 계수이고 $b$는 모방 계수이다. 이 모델은 채택 성향 패러다임에도 속할 수 있는데, 여기서 $\backslash eta$는 채택 성향이고 $b$는 새로운 제품의 전반적인 매력이다.