관측 가능성

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1. 개요
2. 정의
3. 선형 시불변 시스템
4. 선형 시변 시스템
- 4.1. 관측 가능성 행렬 일반화
  - 4.1.1. 예시
5. 비선형 시스템
6. 정적 시스템 및 일반 위상 공간
참조

1. 개요

관측 가능성은 상태 공간으로 표현된 물리 시스템에서, 시스템의 출력 정보만 사용하여 현재 상태를 추정할 수 있는 성질을 의미한다. 이는 센서를 통해 얻은 정보만으로 시스템의 전체 동작을 파악할 수 있음을 의미하며, 시스템의 관측 가능 여부는 시스템의 설계와 제어에 중요한 영향을 미친다. 선형 시불변 시스템의 경우, 관측 가능성 행렬의 랭크를 통해 관측 가능성을 판단할 수 있으며, 관측 가능 표준형을 통해 시스템을 표현할 수 있다. 관측 가능성과 관련된 개념으로는 관측 가능성 지수, 관측 불가능한 부분 공간, 탐지 가능성이 있으며, 이는 센서 네트워크의 설계 및 성능과 관련하여 중요한 의미를 지닌다. 선형 시변 시스템과 비선형 시스템, 그리고 정적 시스템 및 일반적인 위상 공간에서도 관측 가능성을 정의하고 분석할 수 있다.

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관측 가능성

2. 정의

상태 공간 표현으로 모델링된 물리적 시스템에서, 모든 가능한 상태 및 제어 벡터의 전개에 대해, 현재 상태가 출력 정보만 사용하여 추정할 수 있다면(물리적으로, 이는 일반적으로 센서에 의해 얻어진 정보에 해당) 이 시스템은 '''관측 가능'''하다고 한다. 달리 말하면, 시스템의 출력만으로 전체 시스템의 동작을 결정할 수 있는 경우를 의미한다. 관측 가능하지 않은 시스템의 경우, 출력 측정만으로는 구별할 수 없는 상태 궤적이 존재한다.

3. 선형 시불변 시스템

상태 공간 표현의 시간 불변 선형 시스템의 경우, 관측 가능성을 확인하는 편리한 방법이 있다. 아래의 내용은 '''선형 시불변 시스템(linear time-invariant system)'''에 대해서만 적용 가능하다.

선형 시불변 시스템의 상태 변수 방정식은 다음과 같다.

: $\dot{\mathbf x} (t) = \mathbf A \mathbf x(t) + \mathbf B u(t)$

: $y (t) = \mathbf C \mathbf x(t) + D u(t)$

이러한 시스템에 대한 관측 가능성 및 관측 가능 표준형은 하위 섹션에서 설명한다.

3. 1. 관측 가능성 행렬

n

개의 상태 변수를 갖는 SISO 시스템 (또는 MIMO 시스템)에서, 다음 상태 변수 방정식을 고려한다.

:

\dot{\mathbf x} (t) = \mathbf A \mathbf x(t) + \mathbf B u(t)

:

y (t) = \mathbf C \mathbf x(t) + D u(t)

'''관측 가능성 행렬(observability matrix)'''

\mathbf M_O

는 다음과 같이 정의된다.

:

{\mathbf M_O} = \begin{bmatrix} \mathbf C \\ \mathbf C \mathbf A \\ \mathbf C \mathbf A^2 \\ \vdots \\ \mathbf C \mathbf A^{n-1} \end{bmatrix}

여기에서

n

은 이 시스템의 차수이다.

관측 가능성 행렬의 계수가

n

과 같으면 (즉, 역행렬이 존재하면) 시스템은 관측 가능하다.

3. 2. 관측 가능 표준형

어떤 시스템이 다음과 같은 미분방정식으로 표현될 때,

:

\frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{d y(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_{n-1} \frac{d^{n-1} u(t)}{dt^{n-1}} + b_{n-2} \frac{d^{n-2} u(t)}{dt^{n-2}} + \cdots + b_1 \frac{d u(t)}{dt} + b_0 u(t)

이 시스템이 관측 가능하다면 다음과 같은 형태의 상태 변수 방정식을 쓸 수 있다.

:

\dot{\mathbf x} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix} \mathbf x + \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ \vdots \\ b_{n-1} \end{bmatrix} u

:

y = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \mathbf x

이러한 형태의 상태 변수 방정식을 '''관측 가능 표준형'''이라고 한다.

3. 3. 관련 개념

관측 가능성과 관련된 개념에는 다음이 있다.

'''관측 가능성 지수''': 선형 시불변 이산 시스템에서 관측 가능성 지수 $v$ 는 특정 조건을 만족하는 가장 작은 자연수이다.
'''관측 불가능한 부분 공간''': 선형 시스템에서 관측 불가능한 부분 공간은 특정 선형 맵의 커널로 정의된다.
'''탐지 가능성''': 관측 가능성보다 약간 약한 개념으로, 모든 관측 불가능한 상태가 안정적인 경우 시스템은 탐지 가능하다.^[4] 탐지 가능성 조건은 센서 네트워크의 맥락에서 중요하다.^[5]^[6]

3. 3. 1. 관측 가능성 지수

선형 시불변 이산 시스템의 ''관측 가능성 지수''

v

는 다음을 만족하는 가장 작은 자연수이다.

:

\text{rank}{(\mathcal{O}_v)} = \text{rank}{(\mathcal{O}_{v+1})}

여기서

:

\mathcal{O}_v=\begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{v-1} \end{bmatrix}.

3. 3. 2. 관측 불가능한 부분 공간

선형 시스템의 "관측 불가능한 부분 공간"

N

은 다음 식으로 주어진 선형 맵

G

의 커널이다.^[3]

$\begin{align}G \colon \mathbb{R}^{n} &\rightarrow \mathcal{C}(\mathbb{R};\mathbb{R}^n) \\x(0) &\mapsto C e^{A t} x(0)\end{align}$

여기서

\mathcal{C}(\mathbb{R};\mathbb{R}^n)

는

\mathbb{R}

에서

\mathbb{R}^n

로의 연속 함수 집합이다.

N

은 다음과 같이 쓸 수도 있다.^[3]

:

N = \bigcap_{k=0}^{n-1} \ker(CA^k)= \ker{\mathcal{O}}

시스템이

\operatorname{rank}(\mathcal{O}) = n

인 경우에만 관측 가능하므로,

N

이 영 공간인 경우에만 시스템이 관측 가능하다.

관측 불가능한 부분 공간은 다음 속성을 갖는다.^[3]

$N \subset Ke(C)$
$A(N) \subset N$
$N= \bigcup \{ S \subset R^n \mid S \subset Ke(C), A(S) \subset N \}$

3. 3. 3. 탐지 가능성

관측 가능성보다 약간 약한 개념은 ''탐지 가능성''이다. 시스템은 모든 관측 불가능한 상태가 안정적이면 탐지 가능하다.^[4]

탐지 가능성 조건은 센서 네트워크의 맥락에서 중요하다.^[5]^[6]

4. 선형 시변 시스템

다음과 같은 연속 함수 선형 시간 가변 시스템을 고려한다.

: $\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t) \,$

: $\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t). \,$

행렬 $A$ , $B$ , $C$ 와 모든 $t \in [t_0,t_1]$ 에 대한 입력 $u$ 와 출력 $y$ 가 주어졌을 때, $x(t_0)$ 는 다음과 같이 정의된 $M(t_0,t_1)$ 의 영공간에 있는 가산 상수 벡터 내에서 결정될 수 있다.

: $M(t_0,t_1) = \int_{t_0}^{t_1} \varphi(t,t_0)^{T}C(t)^{T}C(t)\varphi(t,t_0) \, dt$

여기서 $\varphi$ 는 상태 천이 행렬이다.

$M(t_0,t_1)$ 이 비특이인 경우 고유한 $x(t_0)$ 를 결정할 수 있다. 만약 초기 상태 $x_1$ 과 $x_2$ 의 차이가 $M(t_0,t_1)$ 의 영공간에 존재한다면, 서로 다른 초기 상태를 구별하는 것은 불가능하다.

위에 정의된 행렬 $M$ 은 다음과 같은 속성을 갖는다.

$M(t_0,t_1)$ 은 대칭 행렬이다.
$M(t_0,t_1)$ 은 $t_1 \geq t_0$ 에 대해 양의 준정부호 행렬이다.
$M(t_0,t_1)$ 은 선형 행렬 미분 방정식을 만족한다.

::

\frac{d}{dt}M(t,t_1) = -A(t)^{T}M(t,t_1)-M(t,t_1)A(t)-C(t)^{T}C(t), \; M(t_1,t_1) = 0

$M(t_0,t_1)$ 은 다음 방정식을 만족한다.

::

M(t_0,t_1) = M(t_0,t) + \varphi(t,t_0)^T M(t,t_1)\varphi(t,t_0)

^[7]

4. 1. 관측 가능성 행렬 일반화

어떤 시스템이 행렬

M(t_0,t_1)

가 비특이인 구간

[t_0,t_1]

이

\mathbb{R}

에 존재하면, 그 구간

[t_0,t_1]

에서 관측 가능하다고 정의한다.^[8]

만약

A(t), C(t)

가 해석적이면, 다음 조건을 만족하는

\bar{t} \in [t_0,t_1]

와 양의 정수 ''k''가 존재할 경우, 그 시스템은 구간 [

t_0

,

t_1

]에서 관측 가능하다.^[8]

:

\operatorname{rank} \begin{bmatrix} N_0(\bar{t})  \\ N_1(\bar{t})  \\ \vdots  \\ N_{k}(\bar{t}) \end{bmatrix} = n,

여기서

N_0(t):=C(t)

이며,

N_i(t)

는 다음 식과 같이 재귀적으로 정의된다.

:

N_{i+1}(t) := N_i(t)A(t) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}N_i(t),\  i = 0, \ldots, k-1

4. 1. 1. 예시

\

(-\infty,\infty)

에서 해석적으로 변하는 시스템과 행렬을 고려하면 다음과 같다.

\

\ $A(t) = \begin{bmatrix}t & 1 & 0\\0 & t^{3} & 0\\0 & 0 & t^{2}\end{bmatrix},\, C(t) = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\end{bmatrix}.$ \

이때, \

\begin{bmatrix}N_0(0) \\N_1(0) \\N_2(0)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1& 0 & 0\end{bmatrix}

이고, 이 행렬의 랭크는 3이다. 따라서 이 시스템은 \

\mathbb{R}

의 모든 비자명 구간에서 관측 가능하다.

5. 비선형 시스템

다음 시스템을 고려한다. $\dot{x} = f(x) + \sum_{j=1}^mg_j(x)u_j$ , $y_i = h_i(x), i \in p$ . 여기서 $x \in \mathbb{R}^n$ 은 상태 벡터, $u \in \mathbb{R}^m$ 은 입력 벡터, $y \in \mathbb{R}^p$ 는 출력 벡터이다. $f,g,h$ 는 매끄러운 벡터장이다.

관측 가능 공간 $\mathcal{O}_s$ 를 반복되는 모든 리 미분을 포함하는 공간으로 정의하면, 다음 시스템은 $x_0$ 에서 관측 가능한데, 이는 $\dim(d\mathcal{O}_s(x_0)) = n$ 일 때와 동치이며, 여기서

: $d\mathcal{O}_s(x_0) = \operatorname{span}(dh_1(x_0), \ldots , dh_p(x_0), dL_{v_i}L_{v_{i-1}}, \ldots , L_{v_1}h_j(x_0)),\ j\in p, k=1,2,\ldots.$ ^[9]

비선형 동적 시스템의 관측 가능성에 대한 초기 기준은 그리피스(Griffith)와 쿠마르(Kumar),^[10] 쿠(Kou), 엘리엇(Elliot)과 턴(Tarn),^[11] 그리고 싱(Singh)에 의해 발견되었다.^[12]

또한 비선형 시변 시스템에 대한 관측 가능성 기준도 존재한다.^[13]

6. 정적 시스템 및 일반 위상 공간

관측 가능성은 정상 상태 시스템(일반적으로 대수 방정식과 부등식으로 정의되는 시스템) 또는 더 일반적으로 $\mathbb{R}^n$ 의 집합에 대해서도 특징지을 수 있다.^[14]^[15] 동적 시스템의 경우 관측 가능성 기준이 칼만 필터 또는 다른 관측기의 동작을 예측하는 데 사용되는 것처럼, $\mathbb{R}^n$ 의 집합에 대한 관측 가능성 기준은 데이터 검증 및 조정 및 기타 정적 추정기의 동작을 예측하는 데 사용된다. 비선형의 경우, 관측 가능성은 개별 변수에 대해서, 그리고 전역적 동작뿐만 아니라 국부적 추정기 동작에 대해서도 특징지을 수 있다.

참조

_[1] 논문 On the general theory of control systems
_[2] 논문 Mathematical Description of Linear Dynamical Systems
_[3] 서적 Mathematical Control Theory Texts in Applied Mathematics
_[4] 웹사이트 Controllability and Observability http://www.ece.rutge[...] 2024-05-19
_[5] 논문 A Weightedly Uniform Detectability for Sensor Networks 2018-11
_[6] 논문 On Boundedness of Error Covariances for Kalman Consensus Filtering Problems 2019
_[7] 서적 Finite Dimensional Linear Systems John Wiley & Sons
_[8] 문서 Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems.
_[9] 문서 Lecture notes for Nonlinear Systems Theory
_[10] 논문 On the observability of nonlinear systems: I
_[11] 논문 Observability of nonlinear systems
_[12] 논문 Observability in non-linear systems with immeasurable inputs
_[13] 논문 Extension of the Observability Rank Condition to Time-Varying Nonlinear Systems https://ieeexplore.i[...] 2022
_[14] 논문 Observability and redundancy in process data estimation https://gregstanleya[...]
_[15] 논문 Observability and redundancy classification in process networks https://gregstanleya[...]

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