광자 로켓

1. 개요

광자 로켓은 광자를 추진체로 사용하는 가상의 로켓이다. 광자 로켓의 속도는 초기 질량과 최종 질량의 비율에 따라 달라지며, 이론적으로 광속에 근접할 수 있지만, 핵분열 및 핵융합을 이용하는 탑재형 광자 로켓은 에너지 변환 효율의 한계로 인해 속도에 제한이 있다. 빔 레이저 추진 방식은 광속에 가까운 속도를 낼 수 있는 가능성을 제시한다.

2. 광자 로켓의 속도

이상적인 광자 로켓이 도달할 속도는 외부 힘이 없을 때 초기 질량과 최종 질량의 비율에 따라 달라진다.

:$v\; =\; c\; \backslash frac\{\backslash left(\backslash frac\{m\_\backslash text\{i\}\}\{m\_\backslash text\{f\}\}\backslash right)^\{2\}-1\}\{\backslash left(\backslash frac\{m\_\backslash text\{i\}\}\{m\_\backslash text\{f\}\}\backslash right)^\{2\}+1\}$

여기서 $m\_\backslash text\{i\}$는 초기 질량이고 $m\_\backslash text\{f\}$는 최종 질량이다.

광자 로켓 속도에 해당하는 감마 인자는 다음과 같은 간단한 표현을 갖는다.

:$\backslash gamma\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{m\_\backslash text\{i\}\}\{m\_\backslash text\{f\}\}\; +\; \backslash frac\{m\_\backslash text\{f\}\}\{m\_\backslash text\{i\}\}\backslash right)$

광속의 10%에서 감마 인자는 약 1.005이며, 이는 $\backslash frac\{m\_\backslash text\{f\}\}\{m\_\backslash text\{i\}\}$가 거의 0.9임을 의미한다.

2.1. 예시: 헬륨-3 융합 로켓

예를 들어, 우주선에 순수한 헬륨-3^영어 융합로가 장착되어 있고 초기 질량이 2300kg이며, 1000kg의 헬륨-3^영어을 포함한다고 가정한다. 이 모든 에너지가 이동 방향의 반대 방향으로 광자로 방출된다고 가정하고 융합 생성물(헬륨-4^영어 및 수소)이 탑재되어 있다고 가정하면 최종 질량은 2297.7kg가 되며 우주선은 빛의 속도의 1/1000의 속도에 도달한다. 융합 생성물이 우주로 방출되면 속도가 더 빨라지지만, 위의 방정식은 모든 질량 감소가 에너지로 변환된다고 가정하기 때문에 이를 계산하는 데 사용할 수 없다.

3. 광자 로켓 속도 유도

로켓의 정지 상태에서의 사차원 운동량을 $P\_\backslash text\{i\}$, 연료를 모두 연소한 후의 로켓을 $P\_\backslash text\{f\}$, 방출된 광자의 사차원 운동량을 $P\_\{\backslash text\{ph\}\}$라고 표기한다. 사차원 운동량 보존 법칙에 따라:

:$P\_\{\backslash text\{ph\}\}\; =\; P\_\backslash text\{i\}\; -\; P\_\backslash text\{f\}$

양변을 제곱하면 (즉, 양변에 로렌츠 내적을 취하면):

:$P\_\{\backslash text\{ph\}\}^\{2\}\; =\; P\_\backslash text\{i\}^\{2\}\; +\; P\_\backslash text\{f\}^\{2\}\; -\; 2P\_\backslash text\{i\}\backslash cdot\; P\_\backslash text\{f\}.$

에너지-운동량 관계 $E^2-(pc)^\{2\}=(mc^\{2\})^\{2\}$에 따르면, 사차원 운동량의 제곱은 질량의 제곱과 같으며, 광자는 질량이 0이므로 $P\_\{\backslash text\{ph\}\}^\{2\}=0$이다.

로켓의 정지 좌표계(즉, 0-운동량 좌표계)에서 시작하므로, 로켓의 초기 사차원 운동량은 다음과 같다.

:$\{P\}\_\backslash text\{i\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash frac\{c\}\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash end\{pmatrix\},$

최종 사차원 운동량은 다음과 같다.

:$\{P\}\_\backslash text\{f\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash \; \{\backslash gamma\}\{m\}\_\backslash text\{f\}\; c\; \backslash \backslash \; \{\backslash gamma\}\{m\}\_\backslash text\{f\}\{v\}\_\backslash text\{f\}\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash end\{pmatrix\}.$

따라서 민코프스키 내적(사차원 벡터 참조)을 취하면 다음을 얻는다.

:$0\; =\; m\_\backslash text\{i\}^\{2\}\; +\; m\_\backslash text\{f\}^\{2\}\; -\; 2\; m\_\backslash text\{i\}m\_\backslash text\{f\}\backslash gamma.$

이제 감마 인자를 구하기 위해 풀면 다음과 같다.

:$\backslash gamma\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{m\_\backslash text\{i\}\}\{m\_\backslash text\{f\}\}\; +\; \backslash frac\{m\_\backslash text\{f\}\}\{m\_\backslash text\{i\}\}\backslash right).$

4. 광자 로켓의 속도 제한

표준 이론에 따르면 광자 로켓의 이론적인 속도 제한은 광속보다 낮다. 최근 Haug는 이상적인 광자 로켓의 최대 속도 제한이 광속 바로 아래에 있다고 제안했지만, Tommasini et al.은 이 속도가 상대론적 질량에 대해 공식화되었기 때문에 프레임에 의존한다고 반박했다.

핵분열 및 핵융합으로 구동되는 탑재형 광자 로켓은 효율성 문제로 속도 제한이 있지만, 광자 레이저 추진과 같은 빔 레이저 추진은 원리적으로 광속 c에 근접하는 최대 속도를 낼 수 있다.

4.1. 핵 동력 광자 로켓의 한계

표준 이론에 따르면 광자 로켓의 이론적인 속도 제한은 광속보다 낮다. 최근 Haug는 이상적인 광자 로켓의 최대 속도 제한이 광속 바로 아래에 있다고 제안했다. 그러나 그의 주장은 Tommasini et al.에 의해 반박되었는데, 이러한 속도가 상대론적 질량에 대해 공식화되었고 따라서 프레임에 의존하기 때문이다.

핵분열 및 핵융합으로 구동되는 탑재형 광자 로켓은 이러한 과정의 효율성으로 인해 속도 제한이 있다. 추진 시스템이 단일 단계라고 가정하고, 광자 로켓/우주선의 총 질량이 M이고, 질량 αM의 연료가 포함되어 있으며 α < 1이라고 가정한다. 연료 질량 대 추진 시스템의 에너지 변환 효율 γ 및 추진 시스템 에너지 대 광자 에너지 변환 효율 δ ≪ 1이라고 가정하면, 추진을 위해 생성되는 최대 총 광자 에너지 E_p는 다음과 같다.

:$E\_\backslash text\{p\}\; =\; \backslash alpha\backslash gamma\backslash delta\; M\; c^2$

총 광자 플럭스가 100% 효율로 추진력을 생성하도록 지시할 수 있다면, 총 광자 추력 T_p는 다음과 같다.

:$T\_\backslash text\{p\}\; =\; \backslash frac\{E\_\backslash text\{p\}\}\{c\}\; =\; \backslash alpha\backslash gamma\backslash delta\; M\; c$

V_max ≪ c에 대한 광자 추진 시스템의 최대 도달 가능한 우주선 속도 V_max는 다음과 같다.

:$V\_\backslash text\{max\}\; =\; \backslash frac\{T\_\backslash text\{p\}\}\{M\}\; =\; \backslash alpha\backslash gamma\backslash delta\; c$

가정된 매개변수를 사용하여 탑재형 핵 동력 광자 로켓으로 달성할 수 있는 대략적인 최대 속도는 아래 표와 같다. 이러한 핵 동력 로켓의 최대 속도 제한은 광속의 0.02% 미만(60000m/s)이다. 따라서 탑재형 핵 광자 로켓은 성간 임무에 적합하지 않다.

4.2. 빔 레이저 추진의 가능성

표준 이론에 따르면 광자 로켓의 이론적인 속도 제한은 광속보다 낮다. 최근 Haug는 이상적인 광자 로켓의 최대 속도 제한이 광속 바로 아래에 있다고 제안했다. 그러나 그의 주장은 Tommasini et al.에 의해 반박되었는데, 이러한 속도가 상대론적 질량에 대해 공식화되었고 따라서 프레임에 의존하기 때문이다.

핵분열 및 핵융합으로 구동되는 탑재형 광자 로켓은 이러한 과정의 효율성으로 인해 속도 제한이 있다. 추진 시스템이 단일 단계라고 가정하고, 광자 로켓/우주선의 총 질량이 M이고, 질량 αM의 연료가 포함되어 있으며 α < 1이라고 가정한다. 연료 질량 대 추진 시스템의 에너지 변환 효율 γ 및 추진 시스템 에너지 대 광자 에너지 변환 효율 δ ≪ 1이라고 가정하면, 추진을 위해 생성되는 최대 총 광자 에너지 E_p는 다음과 같다.

:$E\_\backslash text\{p\}\; =\; \backslash alpha\backslash gamma\backslash delta\; M\; c^2$

총 광자 플럭스가 100% 효율로 추진력을 생성하도록 지시할 수 있다면, 총 광자 추력 T_p는 다음과 같다.

:$T\_\backslash text\{p\}\; =\; \backslash frac\{E\_\backslash text\{p\}\}\{c\}\; =\; \backslash alpha\backslash gamma\backslash delta\; M\; c$

V_max ≪ c에 대한 광자 추진 시스템의 최대 도달 가능한 우주선 속도 V_max는 다음과 같다.

:$V\_\backslash text\{max\}\; =\; \backslash frac\{T\_\backslash text\{p\}\}\{M\}\; =\; \backslash alpha\backslash gamma\backslash delta\; c$

예를 들어, 가정된 매개변수를 사용하여 탑재형 핵 동력 광자 로켓으로 달성할 수 있는 대략적인 최대 속도는 아래 표와 같다. 이러한 핵 동력 로켓의 최대 속도 제한은 광속의 0.02% 미만이다(60000m/s). 따라서 탑재형 핵 광자 로켓은 성간 임무에 적합하지 않다.