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그래프 모형

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목차

1. 개요

그래프 모형은 확률 변수 간의 관계를 그래프 형태로 표현하여, 복잡한 확률적 문제를 해결하는 데 사용되는 모델이다. 유향 그래프 모형과 무향 그래프 모형으로 분류되며, 베이즈 네트워크, 마르코프 확률장 등이 대표적이다. 이러한 모형들은 인과 추론, 정보 추출, 음성 인식, 컴퓨터 비전 등 다양한 분야에 응용된다.

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  • 그래프 모형 - 베이즈 네트워크
    베이즈 네트워크는 확률 변수 간의 관계를 방향성 비순환 그래프로 표현하여 복잡한 확률 추론 및 인과 관계 분석을 가능하게 하는 확률적 그래픽 모델이다.
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그래프 모형

2. 그래프 모형의 종류

확률적 그래프 모형은 다차원 공간에 대한 분포를 나타내기 위해 그래프 기반 표현을 사용하며, 특정 분포에서 유지되는 독립성을 간결하게 표현한다. 확률 분포를 나타내는 그래프 표현에는 주로 베이즈 네트워크와 마르코프 무작위장 두 가지가 사용된다.[1]

두 모형 모두 요인화와 독립성 속성을 가지지만, 표현 가능한 독립성의 집합과 분포의 요인화 방식에서 차이를 보인다.[1]

2. 1. 베이즈 네트워크 (Bayesian Network)

베이즈 네트워크는 모델의 네트워크 구조가 방향 비순환 그래프인 경우, 모든 확률 변수의 결합 확률의 인수 분해를 나타내는 확률적 그래프 모형이다.

4개의 정점으로 구성된 방향 비순환 그래프의 예.


사건이 X_1,\ldots,X_n이면, 결합 확률은 다음을 만족한다.

:P[X_1,\ldots,X_n]=\prod_{i=1}^nP[X_i|\text{pa}(X_i)]

여기서 \text{pa}(X_i)는 노드 X_i의 부모 노드 집합이다(노드 X_i를 향하는 에지가 있는 노드). 즉, 결합 분포는 조건부 분포의 곱으로 인수 분해된다. 예를 들어, 그림에 표시된 방향 비순환 그래프에서 이 인수 분해는 다음과 같다.

:P[A,B,C,D] = P[A]\cdot P[B | A]\cdot P[C | A] \cdot P[D|A,C].

임의의 두 노드는 부모의 값을 조건으로 조건부 독립이다. 일반적으로 임의의 두 노드 집합은 ''d''-분리라는 기준이 그래프에서 충족되면 세 번째 집합을 조건으로 조건부 독립이다. 베이즈 네트워크에서는 지역적 독립성과 전역적 독립성이 동일하다.

이러한 유형의 그래픽 모델은 방향 그래픽 모델, 베이즈 네트워크 또는 신념 네트워크로 알려져 있다. 은닉 마르코프 모델, 인공 신경망과 같은 고전적인 기계 학습 모델과 가변 차수 마르코프 모델과 같은 새로운 모델은 베이즈 네트워크의 특수한 경우로 간주될 수 있다.[1]

2. 1. 1. 나이브 베이즈 분류기 (Naive Bayes Classifier)

나이브 베이즈 분류기는 가장 간단한 베이즈 네트워크 중 하나이다. 나이브 베이즈 분류기는 모든 변수가 서로 조건부 독립이라고 가정하며, 스팸 메일 필터링, 텍스트 분류 등에서 널리 사용된다.

2. 2. 마르코프 무작위장 (Markov Random Field)

마르코프 확률장(마르코프 네트워크)은 무향 그래프 상의 모델이다.
4개의 정점을 가진 무방향 그래프.
4개의 정점을 가진 무방향 그래프.


무향 그래프는 여러 해석을 가질 수 있는데, 공통적인 특징은 간선이 존재하면 해당 확률 변수 간에 어떤 종류의 의존성이 있다는 것을 의미한다. 이 그래프에서 B, C, D는 A가 주어지면 모두 조건부 독립이라고 추론할 수 있다. 즉, A의 값을 알면 B, C, D의 값은 서로에게 더 이상 정보를 제공하지 않는다. (이 경우) 결합 확률 분포는 다음과 같이 인수분해될 수 있다.[1]

:P[A,B,C,D] = f_{AB}[A,B] \cdot f_{AC}[A,C] \cdot f_{AD}[A,D]

여기서 f_{AB}, f_{AC}, f_{AD}는 음수가 아닌 함수이다.

반복적인 구조를 많이 가진 그래피컬 모델은 Plate notation|플레이트 표기법영어을 사용하여 나타낼 수 있다.[5]

2. 3. 순환 유향 그래프 모형 (Cyclic Directed Graphical Models)

순환 유향 그래프 모형은 변수 간의 순환적인 의존성을 허용하는 그래프 모형이다. 각 변수가 부모의 값에 '의존'하는 방식으로 해석될 수 있다.

방향, 순환 그래프 모형의 예시. 각 화살표는 종속성을 나타냅니다. 이 예시에서: D는 A, B, C에 의존하고, C는 B와 D에 의존하며, A와 B는 각각 독립적입니다.


표시된 특정 그래프는 다음과 같이 인수분해되는 결합 확률 밀도를 나타낸다.[2]

:P[A,B,C,D] = P[A]\cdot P[B]\cdot P[C,D|A,B]

하지만 다른 해석도 가능하다.[2]

2. 4. 기타 그래프 모형


  • 요인 그래프는 변수와 요인(factor)을 연결하는 무방향 이분 그래프이다. 각 요인은 연결된 변수에 대한 함수를 나타낸다. 이는 믿음 전파를 이해하고 구현하는 데 유용한 표현이다.[1]
  • 클리크 트리 또는 정션 트리는 클리크의 트리로, 정션 트리 알고리즘에 사용된다.[1]
  • 체인 그래프는 방향성 및 무방향성 엣지를 모두 가질 수 있지만 방향성 사이클이 없는 그래프이다. 유향 비순환 그래프와 무향 그래프는 모두 체인 그래프의 특수한 경우이므로 베이지안 네트워크와 마르코프 네트워크를 통합하고 일반화하는 방법을 제공할 수 있다.[3]
  • 조상 그래프는 방향성, 양방향성 및 무방향성 엣지를 갖는 추가 확장이다.[4]

3. 응용 분야

확률적 그래프 모형은 다양한 분야에서 복잡한 문제를 해결하는 데 활용된다.


  • 인과 추론: 변수 간의 인과 관계를 파악하고 예측한다.
  • 정보 추출: 텍스트, 이미지 등에서 유용한 정보를 추출한다.
  • 음성 인식: 음성 신호를 텍스트로 변환한다.
  • 컴퓨터 비전: 이미지 분류, 객체 탐지, 장면 이해 등에 사용된다.
  • 저밀도 패리티 검사 부호의 복호: 오류 정정 부호의 일종인 저밀도 패리티 검사 부호의 해독에 사용된다.
  • 유전자 조절 네트워크 모델링, 유전자 발견 및 질병 진단, 단백질 구조 모델링 등에 사용된다.[1][5]

4. 관련 자료


  • 데이비드 바버(David Barber)의 Bayesian Reasoning and Machine Learning영어(베이지안 추론과 기계 학습, 2012) [1]
  • 크리스토퍼 비숍(Christopher M. Bishop)의 Pattern Recognition and Machine Learning영어(패턴 인식과 기계 학습, 2006) [2]
  • 로버트 G. 코웰(Robert G. Cowell), 필립 다위드(A. Philip Dawid), 스테픈 L. 로리첸(Steffen L. Lauritzen), 데이비드 스피겔할터(David J. Spiegelhalter)의 Probabilistic networks and expert systems영어(확률적 네트워크와 전문가 시스템, 1999) [3]
  • 핀 옌센(Finn Jensen)의 An introduction to Bayesian networks영어(베이지안 네트워크 입문, 1996) [4]
  • 주디아 펄(Judea Pearl)의 Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems영어(지능형 시스템의 확률적 추론, 1988) [5]
  • 에도아르도 M. 아이롤디(Edoardo M. Airoldi)의 Getting Started in Probabilistic Graphical Models영어(확률적 그래프 모형 시작하기, 2007) [6]
  • 마이클 I. 조던(Michael I. Jordan)의 Graphical Models영어(그래프 모형, 2004) [7]
  • 주빈 가라마니(Zoubin Ghahramani)의 Probabilistic Machine Learning and Artificial Intelligence영어(확률적 머신 러닝과 인공 지능, 2015)
  • 허커만(Heckerman)의 베이즈넷 학습 튜토리얼
  • 그래프 모형 및 베이즈 네트워크에 대한 간략한 소개
  • 사르구르 스리하리(Sargur Srihari)의 확률적 그래프 모형 강의 슬라이드
  • 다프네 콜러(Daphne Koller)와 프리드먼(N. Friedman)의 Probabilistic Graphical Models영어(확률적 그래프 모델, 2009)

참조

[1] 서적 Probabilistic Graphical Models http://pgm.stanford.[...] MIT Press
[2] 서적 Proceedings of the Twelfth Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence
[3] 간행물 The Chain Graph Markov Property
[4] 간행물 Ancestral graph Markov models
[5] 서적 Probabilistic Graphical Models MIT Press
[6] 간행물 The Chain Graph Markov Property
[7] 간행물 Ancestral graph Markov models


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