기하종수

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1. 개요

기하종수는 n차원 복소 비특이 대수다양체의 호지 수 h^n,0으로 정의되며, 리만 곡면의 경우 곡면의 종수와 같다. 복소 차원 n의 다양체 V에 대해, V에서 찾을 수 있는 선형 독립적인 정칙 n-형식의 개수이며, 이는 표준 선형계의 차원에 1을 더한 값이다. 특이점을 가진 복소 대수다양체의 경우, 쌍유리 사상을 통해 특이점이 없는 다양체로 변환하여 기하 종수를 정의한다. 비특이 곡선, 즉 리만 곡면에서 기하 종수는 2g-2 차수를 가지며, 리만-로흐 정리와 리만-휘르비츠 공식에 나타난다.

기하종수

개요

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대수 곡선의 종수, 리만 곡면의 종수, 대수체의 종수 간의 관계를 보여주는 다이어그램

유형	쌍유리 불변량
연구	대수기하학

정의

기하종수 (곡면)	곡면의 기하종수 p는 H(X,O)의 차원이다.
기하종수 (사영 대수 다양체)	사영 대수 다양체 V의 기하종수는 H(V,O)의 차원이다.
불변량	기하종수는 쌍유리 기하학에서 중요한 쌍유리 불변량이다.

관련 개념

산술 종수	산술 종수

참고 문헌

참고 문헌	"Geometric genus". PlanetMath. Griffiths, Phillip; Harris, Joe (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 특이점을 가진 다양체의 경우
3. 곡선의 경우

2. 정의

$n$ 차원 복소 비특이 대수다양체의 기하 종수는 호지 수 $h^{n,0}$ 이다. 리만 곡면의 경우, 이는 곡면의 종수와 일치한다.

기하 종수는 비특이 복소 투영 다양체 및 더 일반적인 복소다양체에 대해 호지 수 $h^{n,0}$ ( 세르 쌍대성에 의해 $h^{0,n}$ 과 같음)로 정의할 수 있으며, 이는 표준 선형계의 차원에 1을 더한 값이다.

복소 차원이 $n$ 인 다양체 $V$ 에서, 선형 독립적인 정칙 $n$ -형식의 개수가 기하 종수이다. 이는 켈러 미분의 층 $\Omega$ 를 이용하여 $H^0(V, \Omega^n)$ 의 차원으로 표현할 수 있으며, 여기서 $\Omega^n$ 은 표준 선다발이다.

기하 종수는 다중종수 $P_n$ 의 첫 번째 불변량 $p_g = P_1$ 이다.

2.1. 특이점을 가진 다양체의 경우

특이점이 있는 복소 대수다양체의 경우, 이를 특이점이 없는 대수다양체로 쌍유리 사상을 가해 기하 종수를 정의할 수 있다.

기하 종수의 정의는 특이 곡선 C^영어까지 확장되는데, C^영어의 기하 종수는 정규화 C′^영어의 기하 종수로 정의한다. 즉, 다음의 사상

: C′ → C^영어

은 쌍유리 사상이므로, 기하 종수는 쌍유리 불변성에 의해 정의가 확장된다.

3. 곡선의 경우

복소 비특이 곡선은 리만 곡면이며, 이 경우 기하 종수는 위상적 종수와 일치한다. 비특이 곡선에서 표준 선다발의 차수는 $2g-2$ 이다.

종수의 개념은 리만-로흐 정리(대수 곡선에 대한 리만-로흐 정리 참조) 및 리만-휘르비츠 공식에서 중요하게 사용된다. 리만-로흐 정리에 따르면, 차수 d인 기약 평면 곡선은 기하학적 종수를 갖는다.

: $g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-s,$

여기서 s는 특이점의 개수를 나타낸다.

사영 평면에서 차수 d인 다항식으로 정의된 기약 초곡면 $C$ 의 표준 선다발은 접합 공식에 의해 다음과 같이 주어진다.

: $\mathcal K_C = \left[ \mathcal K_{\mathbb P^2} + \mathcal O(d) \right]_{\vert C} = \mathcal O(d-3)_{\vert C}$