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기하종수

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목차

1. 개요

기하종수는 n차원 복소 비특이 대수다양체의 호지 수 hn,0으로 정의되며, 리만 곡면의 경우 곡면의 종수와 같다. 복소 차원 n의 다양체 V에 대해, V에서 찾을 수 있는 선형 독립적인 정칙 n-형식의 개수이며, 이는 표준 선형계의 차원에 1을 더한 값이다. 특이점을 가진 복소 대수다양체의 경우, 쌍유리 사상을 통해 특이점이 없는 다양체로 변환하여 기하 종수를 정의한다. 비특이 곡선, 즉 리만 곡면에서 기하 종수는 2g-2 차수를 가지며, 리만-로흐 정리와 리만-휘르비츠 공식에 나타난다.

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2. 정의

n차원 복소 비특이 대수다양체의 '''기하 종수'''는 호지 수 h^{n,0}이다. 리만 곡면의 경우, 이는 곡면의 종수와 일치한다.

기하 종수는 비특이 복소 투영 다양체 및 더 일반적인 복소다양체에 대해 호지 수 h^{n,0}( 세르 쌍대성에 의해 h^{0,n}과 같음)로 정의할 수 있으며, 이는 표준 선형계의 차원에 1을 더한 값이다.

복소 차원이 n인 다양체 V에서, 선형 독립적인 정칙 n-형식의 개수가 기하 종수이다.[1] 이는 켈러 미분의 층 \Omega를 이용하여 H^0(V, \Omega^n)의 차원으로 표현할 수 있으며, 여기서 \Omega^n은 표준 선다발이다.

기하 종수는 다중종수 P_n의 첫 번째 불변량 p_g = P_1이다.

2. 1. 특이점을 가진 다양체의 경우

특이점이 있는 복소 대수다양체의 경우, 이를 특이점이 없는 대수다양체로 쌍유리 사상을 가해 기하 종수를 정의할 수 있다.

기하 종수의 정의는 특이 곡선 C|C영어까지 확장되는데, C|C영어의 기하 종수는 정규화 C′|C′영어의 기하 종수로 정의한다. 즉, 다음의 사상

: C′ → C|C′ → C영어

은 쌍유리 사상이므로, 기하 종수는 쌍유리 불변성에 의해 정의가 확장된다.

3. 곡선의 경우

복소 비특이 곡선은 리만 곡면이며, 이 경우 기하 종수는 위상적 종수와 일치한다. 비특이 곡선에서 표준 선다발의 차수는 2g-2이다.

종수의 개념은 리만-로흐 정리(대수 곡선에 대한 리만-로흐 정리 참조) 및 리만-휘르비츠 공식에서 중요하게 사용된다. 리만-로흐 정리에 따르면, 차수 ''d''인 기약 평면 곡선은 기하학적 종수를 갖는다.

:g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-s,

여기서 ''s''는 특이점의 개수를 나타낸다.

사영 평면에서 차수 ''d''인 다항식으로 정의된 기약 초곡면 C의 표준 선다발은 접합 공식에 의해 다음과 같이 주어진다.

: \mathcal K_C = \left[ \mathcal K_{\mathbb P^2} + \mathcal O(d) \right]_{\vert C} = \mathcal O(d-3)_{\vert C}


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