미분 형식

1. 개요

미분 형식은 매끄러운 다양체 위에서 정의되는 개념으로, 접공간의 외대수를 통해 구성된 단면을 의미한다. 미분 형식은 좌표계에 의존하지 않는 다변수 미적분학적 접근 방식을 제공하며, 쐐기곱, 외미분, 적분, 당김 등의 연산을 통해 분석된다. 외미분은 함수의 미분을 일반화한 것으로, 닫힌 형식과 완전 형식의 개념을 정의하며, 스토크스 정리와 드람 코호몰로지를 통해 미분 형식의 적분과 외미분 사이의 관계를 설명한다. 미분 형식은 전자기학, 게이지 이론 등 물리학 분야에서 중요한 역할을 하며, 특히 맥스웰 방정식과 양-밀스 이론에서 핵심적인 도구로 활용된다.

2. 정의

differential form^영어은 매끄러운 다양체 위에서 정의되는 특별한 종류의 텐서장으로, 각 점에서의 접공간의 외대수(exterior algebra)의 원소로 표현된다.

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 공변접다발 $\backslash mathrm\; T^*M$은 $n$차원 벡터 다발이다. 각 올에 대하여 외대수를 취하면 $2^n$차원 벡터 다발
:$\backslash bigwedge\backslash mathrm\; T^*M$
을 얻는다. 이 다발의 단면을 $M$ 위의 미분 형식이라고 하며, 미분 형식의 공간은 다음과 같이 표기한다.
:$\backslash Omega(M)\; =\; \backslash Gamma\backslash left(\backslash bigwedge\backslash mathrm\; T^*M\backslash right)$

외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다.
:$\backslash bigwedge\backslash mathrm\; T^*M=\backslash bigoplus\_\{k=0\}^n\backslash bigwedge^k\backslash mathrm\; T^*M$
:$\backslash Omega(M)\; =\; \backslash bigoplus\_\{k=0\}^n\backslash Omega^n(M)=\backslash bigoplus\backslash Gamma\backslash left(\backslash bigwedge^k\backslash mathrm\; T^*M\backslash right)$
여기서 $\backslash Omega^k(M)$의 매끄러운 단면이 $k$차 미분 형식이다.

미분 형식은 좌표계에 의존하지 않는 다변수 미적분학에 대한 접근 방식을 제공한다. 엘리 카르탕이 미분 방정식을 기하학적으로 파악하려는 시도에서 비롯된 미분 형식은, 해석학이나 기하학의 다양한 개념과 공식을 통일적인 시점에서 정리하고, 형식적인 계산을 통해 많은 결과를 얻었으며, 다양체 등의 도형을 연구하는데 매우 강력한 도구가 되었다.

$n$ 차원 유클리드 공간에서 좌표가 $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_n)$으로 주어져 있을 때, $n$ 변수 함수 $f(x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_n)$를 미분 0 형식이라 하고, 여접벡터장 $f\_1\; dx\_1\; +\; f\_2\; dx\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; f\_n\; dx\_n$을 미분 1 형식이라고 한다. 이것은 함수의 전미분에서 나타나는 식과 같다.

2차 이상의 미분 형식은 미분 형식끼리 텐서곱으로 곱함으로써 얻어진다. 예를 들어 $p$ 차의 미분 형식 $\backslash xi$ 와 $q$ 차의 미분 형식 $\backslash eta$ 의 텐서곱은
:$\backslash xi\; \backslash otimes\; \backslash eta$
로 쓰여진다. 그러나 일반적으로 이런 일반적인 곱 대신에 어떠한 대칭성을 부여한 대칭 미분 형식이나 교대 미분 형식이 사용된다. 어느 쪽이든, 좌표의 선택에 의존하지 않는 기하학적인 양을 나타내는 것이지만, 구별하기 위해서, 이 텐서곱 기호는 그다지 사용되지 않는다.

가우스가 곡면론에서 보인 것처럼, 리만 계량과 같은 대칭 미분 형식은 다양체 상의 각 점에서의 접벡터의 크기를 정하는 것이며, 국소적으로 선소의 "길이"를 정하고 있는 셈이 된다. 이러한 국소적인 정보로부터, 다양체 전체의 형태나 크기를 상당 부분 알 수 있다.

교대 미분 형식은, 텐서곱 대신에 외대수의 곱으로서의 기호 $\backslash wedge$ 를 사용하여
:$\backslash sum\; a\_\{ij\}\; \backslash ,dx\_i\; \backslash wedge\; dx\_j$
의 형태로 쓰여진다. 교대 미분 형식은, 방향이 주어진 기하학적인 양을 나타낸다.
:$dx\_i\; \backslash wedge\; dx\_j=-dx\_j\backslash wedge\; dx\_i$
라는 관계식을 만족하고 $\backslash \{dx\_k\backslash \}$ 의 배열 순서의 교체에 따라 부호가 바뀐다(대칭 미분 형식에서는 부호는 바뀌지 않는다). 이와 같은 부호의 반전을 내포시킴으로써 적분하는 변수의 "방향"을 파악할 수 있게 된다. 따라서 미분 형식의 적분으로 얻어지는 면적이나 부피 등의 양에도 부호가 도입되어, 음의 면적이나 음의 부피와 같은 것도 나타나지만, 그렇게 함으로써 중적분에서의 좌표 변환 공식 등이 매우 간명하게 계산할 수 있게 된다.

더욱이 교대 미분 형식의 미분으로부터 드람 코호몰로지가 얻어지고, 해석적인 계산에 의해 다양체 전체의 형태를 조사할 수 있다.

미분 형식의 대수적 구성을 처음 시도한 것은 1899년 논문을 발표한 엘리 카르탕으로 여겨진다. 미분 형식의 외대수에 대한 몇 가지 측면은 헤르만 그라스만의 1844년 저서 『선형 확장의 이론, 수학의 새로운 분야』에 나타난다.

2.1. 미분 형식

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 각 점 $p$에서, $k$차 미분 형식은 $k$개의 접벡터를 입력받아 실수를 출력하는 교대 다중 선형 사상이다. 1차 미분 형식은 여접벡터(covector)와 같은 개념이며, 국소 좌표계에서 $\backslash \{dx^i\backslash \}\_\{i=1,\backslash dots,n\}$를 기저로 사용하여 표현할 수 있다. 일반적인 $k$차 미분 형식은 국소 좌표계에서 다음과 같이 표현된다.

:$A=\backslash frac1\{k!\}A\_\{i\_1\backslash dots\; i\_k\}dx^\{i\_1\}\backslash wedge\; dx^\{i\_2\}\backslash wedge\backslash cdots\backslash wedge\; dx^\{i\_k\}$

여기서 $A\_\{i\_1\backslash dots\; i\_k\}$는 성분 함수이며, $\backslash wedge$는 쐐기곱(wedge product)을 나타낸다.

2.2. 외미분

미분 형식의 외미분(外微分, Exterior derivative^영어)은 미분 형식의 차수를 1만큼 증가시키는 연산이다. 이는 함수의 미분을 일반화한 개념으로 볼 수 있다.

0차 형식(함수)에 대한 외미분은 일반적인 기울기와 같다. 즉, 함수 $f$에 대하여, $df=\backslash sum\_\{i=1\}^n(\backslash partial\; f/\backslash partial\; x^i)dx^i$이다.

일반적으로, $k$차 미분 형식 $A$의 외미분 $dA$는 다음과 같이 정의된다.
:$dA=\backslash frac1\{k!\}(\backslash partial\_\{i\_0\}A\_\{i\_1\backslash dots\; i\_k\})dx^\{i\_0\}\backslash wedge\; dx^\{i\_1\}\backslash wedge\backslash cdots\backslash wedge\; dx^\{i\_k\}$
=\frac1{(k+1)!k!}(\partial_{[i_0}A_{i_1\dots i_k]})dx^{i_0}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}

여기서 $[\backslash cdots]$는 완전 반대칭화를 나타낸다.

예를 들어, 1차 형식의 경우
:$(dA)\_\{ij\}=\backslash partial\_iA\_j-\backslash partial\_jA\_i$
이고, 2차 형식의 경우
:$(dA)\_\{ijk\}=\backslash partial\_iA\_\{jk\}+\backslash partial\_jA\_\{ki\}+\backslash partial\_kA\_\{ij\}$
이다.

외미분 연산자는 외대수 곱과 함께 사용되며, 미분 형식의 외미분은 함수의 미분을 일반화한 것이다. $f\; \backslash in\; C^\backslash infty(M)\; =\; \backslash Omega^0(M)$의 외미분은 $f$의 미분과 같다. 고차 형식으로 일반화하면, $\backslash omega\; =\; f\; dx^I$가 단순한 $k$-형식이라면, 외미분 $d\backslash omega$는 $(k+1)$-형식이다.
: $d\backslash omega\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x^i\}\; \backslash ,\; dx^i\; \backslash wedge\; dx^I.$

외미분은 미분 기하학, 미분 위상수학 등에서 널리 사용되는 중요한 개념이다.

2.3. 무한 차원 다양체 위의 미분 형식

국소 볼록 공간을 모델로 하는 무한 차원 다양체 위에서도 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 경우, 접다발은 잘 정의되지만, 위상 벡터 공간의 위상 쌍대 공간이 복잡하기 때문에 일반적으로 공변접다발은 잘 정의되지 않는다. 따라서 미분 형식의 개념을 직접적으로 정의해야 한다.

$E$-다양체 $M$ 위의 $k$차 미분 형식은 다음 데이터로 구성된다.

* 각 $x\backslash in\; M$에 대하여, 완전 반대칭 $k$-선형 변환 $\backslash omega\_x\backslash colon\backslash textstyle\backslash bigwedge^k\backslash mathrm\; T\_xM\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

:열린집합 $U\backslash subseteq\; M$ 위의 국소 좌표 $\backslash phi\backslash colon\; U\; \backslash to\; E$에 대하여, $\backslash omega\; \backslash circ\; U^\{-1\}\; \backslash colon\; U\; \backslash times\; \backslash textstyle\backslash bigwedge^kE\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$는 매끄러운 함수이다.

이 경우 쐐기곱과 외미분이 잘 정의된다.

3. 연산

미분 형식 위에는 쐐기곱, 외미분, 내부곱, 적분, 당김 등 다양한 연산이 정의된다. 다양체에 리만 계량이 추가되면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

3.1. 쐐기곱

쐐기곱(wedge product^영어)은 두 미분 형식을 결합하여 더 높은 차수의 미분 형식을 만드는 연산이다. 이는 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다.

임의의 $\backslash alpha\backslash in\backslash Omega^k(M)$과 $\backslash beta,\backslash beta\text{'}\backslash in\backslash Omega^l(M)$, $f\backslash in\backslash Omega^0(M)$에 대하여, 쐐기곱은 다음 성질들을 만족시킨다.

* $f\backslash wedge\backslash alpha=f\backslash alpha$
* (분배법칙) $\backslash alpha\backslash wedge(\backslash beta+\backslash beta\text{'})=\backslash alpha\backslash wedge\backslash beta+\backslash alpha\backslash wedge\backslash beta\text{'}$
* (반대칭성) $\backslash alpha\backslash wedge\backslash beta=(-1)^\{kl\}\backslash beta\backslash wedge\backslash alpha$

$k$-형식 $\backslash alpha$와 $l$-형식 $\backslash beta$의 쐐기곱은 $\backslash alpha\; \backslash wedge\; \backslash beta$로 표시하며, 이는 $(k+l)$-형식이 된다.

쐐기곱은 쌍선형이며, 왜곡 가환적(또는 등급 가환적이라고도 함)이다. 이는 형식의 차수에 따라 달라지는 반가환성의 변형을 만족한다는 것을 의미한다. 만약 $\backslash alpha$가 $k$-형식이고 $\backslash beta$가 $l$-형식이라면,
:$\backslash alpha\; \backslash wedge\; \backslash beta\; =\; (-1)^\{k\backslash ell\}\; \backslash beta\; \backslash wedge\; \backslash alpha\; .$
또한 등급 라이프니츠 규칙도 적용된다.

$d(\backslash alpha\backslash wedge\backslash beta)=d\backslash alpha\backslash wedge\backslash beta\; +\; (-1)^\{k\}\backslash alpha\backslash wedge\; d\backslash beta.$

3.2. 외미분

Exterior derivative^영어라고 하는 미분 형식의 외미분은 다음 세 가지 조건에 의해 유일하게 정의되는 연산이다.

* 외미분은 상수 계수에 대한 선형변환이다.
* 0차 형식(함수)에 대한 외미분은 일반적인 기울기와 같다. 즉, 0차 형식 $f$에 대해, $df=\backslash sum\_\{i=1\}^n(\backslash partial\; f/\backslash partial\; x^i)dx^i$이다.
* 모든 0차 형식에 대해, $d^2f=0$이다.
* 임의의 $k$차 미분형식 $\backslash alpha$와 임의의 미분형식 $\backslash beta$에 대하여 $d(\backslash alpha\backslash wedge\backslash beta)=d\backslash alpha\backslash wedge\backslash beta+(-1)^k\backslash alpha\backslash wedge\; d\backslash beta$이다.

이를 성분으로 표현하면 다음과 같다. (아인슈타인 표기법 사용)
임의의 $k$차 미분 형식
:$A=\backslash frac1\{k!\}A\_\{i\_1\backslash dots\; i\_k\}dx^\{i\_1\}\backslash wedge\backslash cdots\backslash wedge\; dx^\{i\_k\}$
에 대하여,
:$dA=\backslash frac1\{k!\}(\backslash partial\_\{i\_0\}A\_\{i\_1\backslash dots\; i\_k\})dx^\{i\_0\}\backslash wedge\; dx^\{i\_1\}\backslash wedge\backslash cdots\backslash wedge\; dx^\{i\_k\}$
=\frac1{(k+1)!k!}(\partial_{[i_0}A_{i_1\dots i_k]})dx^{i_0}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}
이다. 즉,
:$(dA)\_\{i\_0\backslash dots\; i\_k\}=\backslash frac1\{k!\}\backslash partial\_\{[i\_0\}A\_\{i\_1\backslash dots\; i\_k]\}=\backslash partial\_\{i\_0\}A\_\{i\_1\backslash dots\; i\_k\}-\backslash partial\_\{i\_1\}A\_\{i\_0i\_2\backslash dots\; i\_k\}$
+\partial_{i_2}A_{i_1i_0i_3\dots i_k}+\cdots+(-1)^p\partial_{i_p}A_{i_1i_2\dots i_{p-1}i_0i_{p+1}\dots i_k}+\cdots+(-)^k\partial_{i_k}A_{i_1\dots i_{k-1}i_0}
이다. 여기서 $[\backslash cdots]$는 완전 반대칭화를 나타낸다.

예를 들어, 1차 형식의 경우
:$A=A\_idx^i$
:$dA=\backslash frac12(\backslash partial\_iA\_j-\backslash partial\_jA\_i)dx^i\backslash wedge\; dx^j=\backslash frac12(dA)\_\{ij\}dx^i\backslash wedge\; dx^j$
:$(dA)\_\{ij\}=\backslash partial\_iA\_j-\backslash partial\_jA\_i$
이고, 2차 형식의 경우
:$A=\backslash frac12A\_\{ij\}dx^i\backslash wedge\; dx^j$
:$dA=\backslash frac16(\backslash partial\_iA\_\{jk\}+\backslash partial\_jA\_\{ki\}+\backslash partial\_kA\_\{ij\})dx^i\backslash wedge\; dx^j\backslash wedge\; dx^k=\backslash frac16(dA)\_\{ijk\}dx^i\backslash wedge\; dx^j\backslash wedge\; dx^k$
:$(dA)\_\{ijk\}=\backslash partial\_iA\_\{jk\}+\backslash partial\_jA\_\{ki\}+\backslash partial\_kA\_\{ij\}$
이다.

외미분 연산자는 외대수 곱과 함께 사용되며, 함수의 미분을 일반화한 것이다. 0차 형식(함수) $f$의 외미분은 $f$의 미분과 같다. 고차 형식으로 일반화하면, 단순한 $k$-형식 $\backslash omega\; =\; f\; dx^I$의 외미분 $d\backslash omega$는 계수 함수를 미분하여 정의되는 $(k+1)$-형식이다.
: $d\backslash omega\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x^i\}\; \backslash ,\; dx^i\; \backslash wedge\; dx^I.$
선형성을 통해 일반적인 $k$-형식으로 확장하면 다음과 같다. $\backslash tau\; =\; \backslash sum\_\{I\; \backslash in\; \backslash mathcal\{J\}\_\{k,n\}\}\; a\_I\; \backslash ,\; dx^I\; \backslash in\; \backslash Omega^k(M)$이면, 외미분은 다음과 같다.
: $d\backslash tau\; =\; \backslash sum\_\{I\; \backslash in\; \backslash mathcal\{J\}\_\{k,n\}\}\backslash left(\backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash frac\{\backslash partial\; a\_I\}\{\backslash partial\; x^j\}\; \backslash ,\; dx^j\backslash right)\backslash wedge\; dx^I\; \backslash in\; \backslash Omega^\{k+1\}(M)$

외미분은 미분 기하학, 미분 위상수학 등 여러 분야에서 사용되는 강력한 도구이며, 특히 다양체에 대한 적분에 대한 자연스러운 접근 방식을 제공하고, 스토크스 정리를 유도하는데 사용된다.

3.3. 적분

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위에 방향 및 $n$차 미분 형식 $\backslash alpha$가 주어졌다면, $\backslash alpha$의 적분
:$\backslash int\_M\backslash alpha\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash cup\backslash \{-\backslash infty,\backslash infty\backslash \}$
을 정의할 수 있다.

구체적으로, $M$의 좌표근방계 $\backslash \{(U\_i,\backslash phi\_i)\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$ 및 이에 종속되는 단위 분할 $\backslash \{f\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김 $(\backslash phi\_i^\{-1\})^*$으로서 각 $\backslash phi\_i(U\_i)\backslash subset\backslash mathbb\; R^n$에 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의 $n$차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형
:$\backslash Omega^n(\backslash phi\_i(U\_i))\backslash xrightarrow\{\backslash iota\}\backslash Omega^0(\backslash phi\_i(U\_i))=\backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash phi\_i(U\_i),\backslash mathbb\; R)$
을 정의할 수 있다.

그렇다면
:$\backslash int\_M=\backslash sum\_\{i\backslash in\; I\}\backslash int\_\{\backslash phi\_i(U\_i)\}\backslash iota\backslash left((\backslash phi\_i^\{-1\})^*\backslash alpha\backslash right)\backslash ,d^n\backslash lambda$
이다. 여기서 $\backslash int\; d^n\backslash lambda$는 $n$차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은 $-1$배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다.

$k$차 미분 형식은 $k$차원 다양체의 방향을 가진 다양체에 대해 적분될 수 있다. 미분 $1$-형식은 무한소 방향 길이나 1차원 방향 밀도를 측정하는 것으로 생각할 수 있다. 미분 $2$-형식은 무한소 방향 면적 또는 2차원 방향 밀도를 측정하는 것으로 생각할 수 있다.

미분 형식의 적분은 방향을 가진 다양체에서만 잘 정의된다. 1차원 다양체의 예시는 구간 $[a,\; b]$이며, 구간에는 방향을 부여할 수 있다. 즉, 이면 양의 방향을 갖고, 그렇지 않으면 음의 방향을 갖는다. 만약 이면, 구간 $[a,\; b]$ (자연스러운 양의 방향을 가짐)에 대한 미분 $1$-형식 $f(x)\; dx$의 적분은 다음과 같다.
:$\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,dx$
이는 같은 미분 형식을 같은 구간에 대해 반대 방향을 부여했을 때의 적분의 음수이다. 즉,
:$\backslash int\_b^a\; f(x)\backslash ,dx\; =\; -\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx.$
이것은 구간의 방향이 반대로 바뀌면 부호가 바뀐다는 1차원 적분의 관례에 대한 기하학적 맥락을 제공한다.

더 일반적으로, $m$-형식은 $m$-차원 방향 다양체에 대해 적분될 수 있는 방향 밀도이다. 만약 $M$이 방향 $m$-차원 다양체이고, $M\text{'}$이 반대 방향을 가진 동일한 다양체이며, $\backslash omega$가 $m$-형식이라면, 다음이 성립한다.
:$\backslash int\_M\; \backslash omega\; =\; -\; \backslash int\_\{M\text{'}\}\; \backslash omega\; \backslash ,.$

$U$가 $\backslash mathbb\{R\}^n$의 열린 부분 집합이라고 하자. $\backslash mathbb\{R\}^n$에 표준 방향을 부여하고, $U$에는 해당 방향의 제한을 부여한다. $U$상의 모든 매끄러운 $n$-형식 $\backslash omega$는 다음과 같은 형태를 갖는다.
:$\backslash omega\; =\; f(x)\backslash ,dx^1\; \backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; dx^n$
여기서 $f\; :\; \backslash mathbb\{R\}^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$는 어떤 매끄러운 함수이다. 이러한 함수는 일반적인 리만 적분 또는 르베그 적분 의미에서 적분을 갖는다. 이를 통해 $\backslash omega$의 적분을 $f$의 적분으로 정의할 수 있다.
:$\backslash int\_U\; \backslash omega\backslash \; \backslash stackrel\{\backslash text\{def\}\}\{=\}\; \backslash int\_U\; f(x)\backslash ,dx^1\; \backslash cdots\; dx^n.$
이것이 잘 정의되려면 방향을 고정하는 것이 필수적이다.

$M$을 $n$-다양체, $\backslash omega$를 $M$ 위의 $n$-형식이라고 하자. 먼저, 유클리드 공간의 열린 부분 집합으로 $M$을 매개변수화할 수 있다고 가정하자. 즉, 다음과 같은 미분 동형 사상이 존재한다고 가정한다.
:$\backslash varphi\; \backslash colon\; D\; \backslash to\; M$
여기서 $D\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{R\}^n$. $\backslash varphi$에 의해 유도된 $M$의 방향을 부여한다. 그러면 $M$ 위에서 $\backslash omega$의 적분을 $\backslash varphi^*\backslash omega$의 $D$ 위에서의 적분으로 정의한다.

좌표계에서, 이는 다음과 같은 식으로 표현된다. $M$을 좌표 $x^1,\; \backslash dots,\; x^I$을 갖는 $\backslash mathbb\{R\}^I$에 삽입한다고 하자. 그러면
:
$\backslash varphi$가 다음과 같이 정의된다고 가정하자.
:$\backslash varphi(\backslash mathbf\{u\})\; =\; (x^1(\backslash mathbf\{u\}),\backslash ldots,x^I(\backslash mathbf\{u\})).$
그러면 적분은 좌표로 다음과 같이 쓸 수 있다.
:
여기서
:$\backslash frac\{\backslash partial(x^\{i\_1\},\backslash ldots,x^\{i\_n\})\}\{\backslash partial(u^\{1\},\backslash ldots,u^\{n\})\}$
는 야코비 행렬의 행렬식이다.

일반적으로, $n$-다양체는 $\backslash mathbb\{R\}^n$의 열린 부분 집합으로 매개변수화될 수 없다. 그러나 이러한 매개변수화는 항상 국소적으로 가능하므로, 임의의 다양체에 대한 적분은 국소 매개변수화 모음 위에서 적분들의 합으로 정의함으로써 정의할 수 있다.

$D\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^n$에서 정의된 미분 $k$ 형식
:$\backslash xi\; =\; f\; \backslash ,dx\_1\; \backslash wedge\; \backslash dotsb\; \backslash wedge\; dx\_k$
에 대해, $D$상의 적분을
:$\backslash int\_\{D\}\; \backslash xi\; =\; \backslash int\_\{D\}\; f\; \backslash ,d\; x\_1\; \backslash dotsm\; d\; x\_k$
로 정의한다. 우변은 $D$에서 정의된 중적분이다. 그리고 이 정의는 좌표에 의존하지 않는다.

가향 가능한 $n$ 차원 미분 가능 다양체 $M$에 대해, 좌표 근방 $\backslash \{(U\_k,\; \backslash phi\_k)\backslash \}$가 모두 양의 방향의 좌표계로 주어지고, $\backslash \{U\_k\backslash \}$가 국소 유한한 열린 덮개일 때, 이에 종속된 1의 분할 $\backslash \{f\_k\backslash \}$가 존재한다. $M$ 위의 미분 $n$ 형식 $\backslash xi$가, $U\_k$ 위에서 $\backslash xi\_k$로 표현될 때,
:$\backslash int\_M\; \backslash xi\; =\; \backslash sum\_k\; \backslash int\_\{U\_k\}\; f\_k\; \backslash xi\_k$
에 의해, $M$ 위의 $\backslash xi$의 적분을 정의할 수 있다.

3.4. 내부곱

리만 계량이 주어진 경우, 미분 형식의 내적을 정의할 수 있다.

만약 $n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위에 (유사) 리만 계량 $g$가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 내적 $\backslash langle\backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle\backslash colon\backslash Omega^\backslash bullet(M)\backslash times\backslash Omega^\backslash bullet(M)\backslash to\backslash Omega^0(M)$을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.

* 서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다.
* 내적은 쌍선형이다.
* 임의의 $k$개의 1차 형식 $\backslash eta\_i$, $\backslash eta\text{'}\_j$에 대하여,
:$\backslash langle\backslash eta\_1\backslash wedge\backslash dots\backslash wedge\backslash eta\_k,\backslash eta\text{'}\_1\backslash wedge\backslash dots\backslash wedge\backslash eta\text{'}\_k\backslash rangle=\backslash det(g(\backslash eta\_i,\backslash eta\_j))\_\{ij\}$

이다. 즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자)

:$\backslash left\backslash langle\backslash frac1\{k!\}A\_\{i\_1\backslash dots\; i\_k\}\; dx^\{i\_1\}\backslash wedge\backslash cdots\backslash wedge\; dx^\{i\_n\},$
\frac1{k!}B_{j_1\dots j_k} dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}\right\rangle=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}B_{j_1\dots j_k}g^{i_1j_1}\dots g^{i_kj_k}

이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.

:$\backslash langle\backslash omega,\backslash omega\backslash rangle=\backslash frac1\{n!\}(\backslash det\; g)\backslash epsilon\_\{i\_1\backslash dots\; i\_n\}\backslash epsilon\_\{j\_1\backslash dots\; j\_n\}g^\{i\_1j\_1\}\backslash dots\; g^\{i\_nj\_n\}=1$.

3.5. 호지 쌍대

$n$차원 유향 (유사) 리만 다양체 $(M,g,\backslash omega)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호지 쌍대 연산자를 정의할 수 있다.
:$*\backslash colon\backslash Omega^\backslash bullet(M)\backslash to\backslash Omega^\{n-\backslash bullet\}(M)$
이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.
:$\backslash alpha\backslash wedge*\backslash beta=\backslash langle\backslash alpha,\backslash beta\backslash rangle\backslash omega$
성분으로 쓰면 다음과 같다.
:$(*A)\_\{j\_\{k+1\}\backslash dots\; j\_n\}=\backslash frac1\{k!\}\backslash sqrt$