난부-고토 작용

1. 개요

난부-고토 작용은 1970년대 초 난부 요이치로와 고토 데쓰오가 끈 이론 연구 과정에서 발견한 작용으로, 강입자를 끈으로 모형화하여 강한 상호작용을 설명하려는 시도에서 도입되었다. 이 작용은 끈의 운동을 기술하며, 목표 공간의 좌표, 끈의 월드시트 좌표, 계량 텐서를 사용하여 월드시트 면적을 계산하고, 여기에 끈의 장력을 곱하여 무차원화한 값으로 정의된다. 난부-고토 작용은 끈이 월드시트 면적을 최소화하는 방식으로 움직인다는 정지 작용의 원리에 기반하며, 제곱근을 포함하여 양자역학적으로 다루기 어려워 폴랴코프 작용이 자주 사용된다.

2. 역사

시카고 대학교의 난부 요이치로와 니혼 대학의 고토 데쓰오(後藤鉄男^일본어)가 하드론을 다루기 위하여 독자적으로 도입하였다.

3. 정의

목표 공간(target space)의 좌표를 $X^\backslash mu$, 끈의 월드시트 좌표를 $\backslash xi^\backslash alpha$, 목표 공간의 계량 텐서를 $g\_\{\backslash mu\backslash nu\}$라고 할 때, 월드시트에 유도되는 계량 텐서 $g\_\{\backslash alpha\backslash beta\}$는 다음과 같다.

:$g\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=g\_\{\backslash mu\backslash nu\}X^\backslash mu\_\{,\backslash alpha\}X^\backslash nu\_\{,\backslash beta\}$

월드시트의 총 면적은 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash int\backslash mathrm\; d\; A=\backslash int\backslash sqrt\{-\backslash det\; g\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\}\backslash ;\backslash mathrm\; d^2\backslash xi$.

난부-고토 작용은 이 면적에 끈의 장력 $T$를 곱하여 무차원화한 값이다.

:$S\_\backslash text\{Nambu--Goto\}=-T\backslash int\backslash sqrt\{-\backslash det\; g\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\}\backslash ;\backslash mathrm\; d^2\backslash xi$.

이는 끈이 월드시트 면적을 최소화하는 방식으로 움직인다는 것을 의미한다.

3.1. 라그랑주 역학 관점

라그랑주 역학의 기본 원리는 정지 작용의 원리이다. 외부 영향을 받는 물체는 '작용'을 극값으로 만드는 경로를 따른다. 작용은 함수이며, 전체 경로를 입력받아 단일 숫자를 출력한다. 물체가 실제로 따르는 '물리적 경로'는 작용이 "정지"(극값)인 경로이다. 작용은 보통 특정 시공간 지점에서 물체의 상태에 따라 달라지는 공식인 라그랑지안을 사용하여 작성된다.

예를 들어, 비상대론적 역학에서 점입자의 라그랑지안은 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이($L=K-U$)이다. 작용은 보통 $S$로 표기되며, 시작 시간부터 끝 시간까지 라그랑지안을 적분한 값이다.

:$S\; =\; \backslash int\_\{t\_\backslash text\{i\}\}^\{t\_\backslash text\{f\}\}\; L\; \backslash ,\; dt.$

이러한 접근 방식은 쉽게 확장하고 일반화할 수 있다는 장점이 있다. 예를 들어, 입자가 광속에 가까운 속도로 이동하더라도 유효한 상대론적 입자에 대한 라그랑지안을 작성할 수 있다. 로렌츠 불변성을 유지하려면 작용은 모든 로렌츠 관찰자에게 동일한 양, 즉 로렌츠 스칼라여야 한다. 가장 간단한 양은 입자가 운반하는 시계로 측정한 시간인 '고유 시간'이다. 특수 상대성 이론에 따르면, 움직이는 입자를 관찰하는 모든 로렌츠 관찰자는 다음 양에 대해 동일한 값을 계산한다.

:$-ds^2\; =\; -(c\; \backslash ,\; dt)^2\; +\; dx^2\; +\; dy^2\; +\; dz^2,\; \backslash$

그리고 $ds/c$는 무한소 고유 시간이다. 외부 힘을 받지 않는 점입자(관성 운동을 하는 점입자)의 경우, 상대론적 작용은 다음과 같다.

:$S\; =\; -mc\; \backslash int\; ds.$

난부-고토 작용은 이러한 라그랑주 역학의 정지 작용 원리에 기반한다. 끈은 작용을 최소화하는 경로, 즉 월드시트 면적을 최소화하는 방식으로 움직인다.

3.2. 변수와 표기법

월드시트 상의 점은 두 개의 매개변수 $\backslash tau$와 $\backslash sigma$로 지정된다. 함수 $X^\backslash mu\; (\backslash tau,\backslash sigma)$는 월드시트가 취하는 형태를 결정한다.

$(d+1)$차원 시공간의 측도를 $\backslash eta\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}$라고 하면, $g\_\{ab\}\; =\; \backslash eta\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; X^\backslash mu\}\{\backslash partial\; y^a\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; X^\backslash nu\}\{\backslash partial\; y^b\}\; \backslash$는 월드시트의 유도 측도이다. 여기서 $a,b\; =\; 0,1$이고 $y^0\; =\; \backslash tau\; ,\; y^1\; =\; \backslash sigma$이다.

월드시트의 면적 $\backslash mathcal\{A\}$에 대해 다음이 성립한다. $\backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathcal\{A\}\; =\; \backslash mathrm\{d\}^2\; \backslash Sigma\; \backslash sqrt\{-g\}$ 여기서 $\backslash mathrm\{d\}^2\backslash Sigma\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash sigma\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash tau$이고 $g\; =\; \backslash mathrm\{det\}\; \backslash left(\; g\_\{ab\}\; \backslash right)\; \backslash$이다.

다음 표기법을 사용한다.
* $\backslash dot\{X\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; X\}\{\backslash partial\; \backslash tau\}$
* $X\text{'}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; X\}\{\backslash partial\; \backslash sigma\}$

측도 텐서 $g\_\{ab\}$는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$g\; =\; \backslash dot\{X\}^2\; X\text{'}^2\; -\; (\backslash dot\{X\}\; \backslash cdot\; X\text{'})^2$

난부-고토 작용은 다음과 같이 정의된다.

여기서 $X\; \backslash cdot\; Y\; :=\; \backslash eta\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}X^\backslash mu\; Y^\backslash nu$이다. 적분 앞의 인자는 작용에 올바른 단위(에너지 × 시간)를 제공한다. $T\_0$는 현의 장력이고, $c$는 빛의 속도이다. $T\_0$ 대신 기울기 매개변수 $\backslash alpha\text{'}$를 사용하면 난부-고토 작용은 다음과 같이 된다.
$\backslash mathcal\{S\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\backslash alpha\text{'}\}\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^2\; \backslash Sigma$
\sqrt{(\dot{X} \cdot X')^2 - (\dot{X})^2 (X')^2}.

4. 폴랴코프 작용과의 관계

난부-고토 작용은 제곱근을 포함하여 양자적으로 다루기 힘드므로, 세계면 계량 텐서를 보조장으로 승격시킨 폴랴코프 작용을 자주 대용한다. 난부-고토 작용과 폴랴코프 작용은 고전적으로 동등하며, 임계 차원인 26차원에서는 양자적으로도 동등하다.

5. 제약 조건과 게이지 대칭

난부-고토 작용은 일차 제약 조건과 이차 제약 조건을 갖는다. 켤레 운동량 $P$를 정의하면, 일차 제약 조건은 다음과 같이 주어진다.

:$P^2\; =\; -T^2\{X\text{'}\}^2$

이차 제약 조건은 다음과 같다.

:$P\backslash cdot\; X\text{'}=0$

이러한 제약 조건은 월드시트에서 시간적 미분 동형과 공간적 미분 동형을 생성한다. 해밀토니안 역학에서 해밀토니안은 0이다.

:$H=P\backslash cdot\; \backslash dot\; X-\backslash mathcal\{L\}=0$

확장된 해밀토니안은 라그랑주 승수 $\backslash lambda$와 $\backslash rho$를 포함하여 다음과 같이 주어진다.

:$H=\backslash int\; d\backslash sigma\; \backslash left[\backslash lambda(P^2+T^2\{X\text{'}\}^2)+\backslash rho\; P\backslash cdot\; X\text{'}\backslash right]$

운동 방정식은 비라소로 제약 조건 $\{\backslash dot\; X\}^2+X\text{'}^2=0$ 및 $\backslash dot\; X\backslash cdot\; X\text{'}=0$을 만족한다.