다운샘플링

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1. 개요
2. 정수배 다운샘플링 (Downsampling by an integer factor)
3. 유리수배 다운샘플링 (Downsampling by a rational factor)
- 3.1. 다운샘플링 과정
- 3.2. 안티 앨리어싱 필터
참조

1. 개요

다운샘플링은 신호의 샘플링 속도를 줄이는 과정이다. 정수 M에 의한 다운샘플링은 고주파 신호를 제거하는 저역 통과 필터와 디시메이션(M번째 샘플만 유지) 단계를 거쳐 구현된다. 앨리어싱을 방지하기 위해 안티 앨리어싱 필터를 사용하며, 다상 필터로 구현할 수 있다. 유리수 M/L에 의한 다운샘플링은 업샘플링과 감산을 차례로 수행하며, 안티 앨리어싱 필터가 사용된다.

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다운샘플링
다운샘플링
유형	멀티레이트 신호 처리
신호 처리
관련 항목	업샘플링 샘플링 속도 변환 나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리 앨리어싱
상세 정보
다운샘플링 (신호 처리)	다운샘플링은 이산 시간 신호의 샘플링 속도를 줄이는 과정이다.
목적	데이터 양을 줄이거나, 특정 응용 분야에 더 적합한 표현을 얻기 위함이다.
방법	샘플 제거 (decimation): 단순히 신호에서 일부 샘플을 버리는 방식 필터링 후 샘플 제거: 앨리어싱을 방지하기 위해 먼저 신호를 필터링한 다음 샘플을 버리는 방식
앨리어싱	다운샘플링 과정에서 발생할 수 있는 신호 왜곡 현상. 나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리에 따라 샘플링 속도가 신호의 최대 주파수의 두 배 이상이어야 앨리어싱을 피할 수 있다.
활용	이미지 및 비디오 처리: 이미지 크기 축소, 비디오 프레임 속도 감소 오디오 처리: 오디오 샘플링 속도 감소 통신: 데이터 전송 속도 감소
참고 문헌
f.harris	Harris 2004. "6.1". p 128.

2. 정수배 다운샘플링 (Downsampling by an integer factor)

정수 M에 의한 다운샘플링은 신호의 샘플링 속도를 1/M로 줄이는 과정이다.^[5] 이는 저역 통과 필터를 사용하여 고주파 성분을 줄이고, 필터링된 신호를 M개씩 솎아내는(decimation) 두 단계로 이루어진다. 이때 매 M번째 샘플만 남기고 나머지는 버린다.

오버샘플링된 함수와 원래 속도의 1/3로 샘플링된 함수의 스펙트럼 분포. 이 예에서 대역폭 B는 느린 샘플링이 중첩(앨리어싱)을 일으키지 않을 정도로 충분히 작다.

솎아내기(decimation) 과정에서는 앨리어싱이 발생할 수 있는데, 이는 고주파 성분이 낮은 주파수로 오인되는 현상이다. 안티 앨리어싱 필터는 이러한 현상을 방지한다.

2. 1. 다운샘플링 과정

다운샘플링은 다음 두 단계로 이루어진다.^[5]

# 저역 통과 필터를 사용하여 신호의 고주파 성분을 줄인다.

# 필터링된 신호를 ''M''으로 ''디시메이션''한다. 즉, 매 ''M''^번째 샘플만 남긴다.

2단계만 거치면 앨리어싱 현상이 발생할 수 있다. 앨리어싱은 고주파 성분이 낮은 주파수 대역으로 복사되어 낮은 주파수로 오인되는 현상이다. 1단계에서는 이러한 앨리어싱 현상을 억제하기 위해 안티 앨리어싱 필터를 사용하며, 이 필터의 설계는 아래에서 더 자세히 설명한다. 언더샘플링을 참고하면 대역 통과 함수 및 신호를 디시메이션하는 방법에 대한 정보를 얻을 수 있다.

안티 앨리어싱 필터가 IIR 필터인 경우, 두 번째 단계 이전에 출력에서 입력으로의 피드백에 의존한다. 그러나 FIR 필터링을 사용하면 매 ''M''^번째 출력만 쉽게 계산할 수 있다. 디시메이션 FIR 필터가 ''n''^번째 출력 샘플에 대해 수행하는 계산은 다음과 같은 내적이다.

:

y[n] = \sum_{k=0}^{K-1} x[nM-k]\cdot h[k],

여기서 ''h''[•]는 임펄스 응답이고, ''K''는 그 길이이다. ''x''[•]는 다운샘플링되는 입력 시퀀스를 나타낸다. ''y''[''n'']을 계산한 후 ''y''[''n''+1]을 계산하는 가장 쉬운 방법은 ''x''[•] 배열에서 시작 인덱스를 ''M''만큼 증가시키고 내적을 다시 계산하는 것이다. ''M''=2인 경우, ''h''[•]는 계수의 거의 절반이 0이고 내적에 포함될 필요가 없는 하프 밴드 필터로 설계할 수 있다.

간격이 ''M''인 임펄스 응답 계수는 부분 시퀀스를 형성하며, 이러한 부분 시퀀스(''위상'')는 ''M''개가 함께 다중화된다. 내적은 각 부분 시퀀스의 내적과 ''x''[•] 시퀀스의 해당 샘플의 합이다. 또한, ''M''에 의한 다운샘플링으로 인해, ''M''개의 내적 중 어느 하나에 관여하는 ''x''[•] 샘플 스트림은 다른 내적에는 관여하지 않는다. 따라서 ''M''개의 낮은 차수의 FIR 필터는 각각 입력 스트림의 ''M''개의 다중화된 ''위상'' 중 하나를 필터링하며, ''M''개의 출력이 합산된다. 이러한 관점은 다중 프로세서 아키텍처에서 유리할 수 있는 다른 구현을 제공한다. 입력 스트림은 역다중화되어 M개 필터 뱅크를 통과하며, 그 출력은 합산된다. 이 방식으로 구현될 때, 이를 '''다상''' 필터라고 한다.

각 위상의 가능한 구현(그러나 가능성은 낮음)은 다른 위상의 계수를 ''h''[•] 배열의 복사본에서 0으로 대체하고, 원래의 ''x''[•] 시퀀스를 입력 속도로 처리하며(0을 곱하는 것), 출력을 ''M''인수로 디시메이션하는 것이다. 이 비효율적인 방법과 위에 설명된 구현의 등가성은 ''첫 번째 노블 항등식''으로 알려져 있다.^[6]

2. 2. 다상 필터(Polyphase filter) 구현

정수 인수 ''M''에 의한 다운샘플링은 다음 두 단계의 과정으로 구현할 수 있으며, 이는 다상 필터 구조를 통해 효율성을 높일 수 있다.^[5]

# 안티 앨리어싱 저역 통과 필터를 사용하여 고주파 신호 성분을 줄인다.

# 필터링된 신호를 ''M''으로 디시메이션한다. 즉, 매 ''M''번째 샘플만 남긴다.

이때, 1단계에서 앨리어싱을 억제하지 않고 2단계만 수행하면 앨리어싱이 발생하여 고주파 성분이 낮은 주파수로 잘못 해석될 수 있다.^[5] 따라서 안티 앨리어싱 필터를 통해 앨리어싱을 허용 가능한 수준으로 억제해야 한다.

안티 앨리어싱 필터가 IIR 필터인 경우, 두 번째 단계 이전에 출력에서 입력으로의 피드백이 필요하다. 반면 FIR 필터를 사용하면 매 ''M''번째 출력만 계산하면 되므로 더 간편하다. 디시메이션 FIR 필터의 ''n''번째 출력 샘플은 다음과 같이 내적으로 계산된다.

:

y[n] = \sum_{k=0}^{K-1} x[nM-k]\cdot h[k],

여기서 ''h''[•]는 임펄스 응답(길이 ''K'')이고, ''x''[•]는 다운샘플링되는 입력 시퀀스이다. ''y''[''n'']을 계산한 후 ''y''[''n''+1]을 계산하려면 ''x''[•] 배열에서 시작 인덱스를 ''M''만큼 증가시켜 내적을 다시 계산하면 된다. ''M''=2인 경우, ''h''[•]는 하프 밴드 필터로 설계할 수 있으며, 이때 계수의 거의 절반이 0이 되어 계산 효율성이 높아진다.

임펄스 응답 계수를 간격 ''M''으로 나누면 ''M''개의 부분 시퀀스(위상)가 생성된다. 각 부분 시퀀스와 ''x''[•] 시퀀스의 해당 샘플 간의 내적을 계산하고, 그 결과들을 합하면 최종 출력이 된다. ''M''에 의한 다운샘플링으로 인해 각 부분 시퀀스에 사용되는 ''x''[•] 샘플은 다른 부분 시퀀스에는 사용되지 않는다.

이러한 원리를 바탕으로 다상 필터 구조가 구현된다. ''M''개의 낮은 차수 FIR 필터가 입력 스트림의 ''M''개 위상 각각을 필터링하고, 그 출력들을 합산하는 방식이다. 이러한 구현은 다중 프로세서 아키텍처에서 유리할 수 있다.

다상 필터의 각 위상은 다른 위상의 계수를 0으로 대체하고 원래 ''x''[•] 시퀀스를 처리한 후 출력을 ''M''만큼 디시메이션하는 방식으로 구현할 수 있다. 이러한 비효율적인 방법과 다상 필터 구현의 동등성은 ''첫 번째 노블 항등식''으로 알려져 있다.^[6]

2. 3. 안티 앨리어싱 필터(Anti-aliasing filter)

앨리어싱은 다운샘플링 과정에서 고주파 성분이 저주파 성분으로 잘못 해석되는 현상이다.^[5] 앨리어싱은 ''X''(''f'')의 인접한 복사본이 겹칠 때 발생한다. 안티 앨리어싱 필터는 이러한 앨리어싱을 방지하기 위해 다운샘플링 전에 고주파 성분을 제거하는 저역 통과 필터이다.

안티 앨리어싱 필터의 목적은 감소된 주기성이 겹침을 생성하지 않도록 하는 것이다. ''X''(''f'')의 복사본들이 서로 겹치지 않도록 하는 조건은

B < \tfrac{0.5}{T} \cdot \tfrac{1}{M}

이며, 따라서 이것은 "이상적인" 안티 앨리어싱 필터의 최대 차단 주파수이다. 여기서,

B: 신호의 대역폭
T: 샘플링 주기
M: 다운샘플링 비율

3. 유리수배 다운샘플링 (Downsampling by a rational factor)

Downsampling by a rational factor^영어 (유리수배 다운샘플링)에서 ''M/L''은 감산비율을 나타내며,^[7] 여기서 이다. 유리수 M/L (M > L)에 의한 다운샘플링은 샘플링 속도를 L/M 배로 줄이는 과정이다. 이 방법은 다항식 보간법 및 페로우 구조를 사용한다.^[7]

3. 1. 다운샘플링 과정

유리수배 다운샘플링은 다음 두 단계로 이루어진다.

1. 시퀀스를 ''L''배로 증가(업샘플링) (재샘플링). 이를 업샘플링 또는 ''보간법''이라고 한다.

2. ''M''배로 감산

1단계에서는 데이터 속도를 증가(''확장'')시킨 후 로우패스 필터가 필요하고, 2단계에서는 감산 전에 로우패스 필터가 필요하다. 따라서 두 연산 모두 두 컷오프 주파수 중 더 낮은 주파수를 가진 단일 필터로 수행할 수 있다. ''M'' > ''L''의 경우, 앤티 앨리어싱 필터 컷오프,

\tfrac{0.5}{M}

''중간 샘플당 사이클''이 더 낮은 주파수이다.

3. 2. 안티 앨리어싱 필터

업샘플링과 다운샘플링 과정 모두 저역 통과 필터가 필요하지만, 두 필터의 차단 주파수 중 낮은 주파수를 갖는 단일 필터로 대체할 수 있다. M > L인 경우, 안티 앨리어싱 필터의 차단 주파수는

\tfrac{0.5}{M}

(중간 샘플당 사이클)이다.

참조

_[1] 서적 Discrete-Time Signal Processing https://archive.org/[...] Prentice Hall
_[2] 웹사이트 Upsampling and downsampling http://www.eetimes.c[...] EE Times 2008-04-21
_[3] 서적 Multirate Digital Signal Processing https://kupdf.net/do[...] Prentice-Hall
_[4] 서적 Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing CRC Press 1998-09
_[5] 서적 Multirate Signal Processing for Communication Systems Prentice Hall PTR 2004-05-24
_[6] 서적 Wavelets and Filter Banks https://archive.org/[...] Wellesley-Cambridge Press 1996-10-01
_[7] 서적 Multirate Filtering for Digital Signal Processing Hershey 2009

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