대역폭 (신호 처리)

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1. 개요
2. 아날로그 신호 및 시스템 대역폭
3. 디지털 신호 및 시스템 대역폭
- 3.1. 샤논-하틀리 정리
- 3.2. 디지털 통신에서의 대역폭
4. 상대 대역폭
- 4.1. 분율 대역폭 (Fractional Bandwidth)
- 4.2. 비율 대역폭 (Ratio Bandwidth)
5. 광통신에서의 대역폭
6. 한국의 통신 환경과 대역폭
7. 기타 응용 분야
- 7.1. 잡음 등가 대역폭 (Noise Equivalent Bandwidth)
- 7.2. 음성 통신에서의 대역폭
참조

1. 개요

대역폭은 신호 처리에서 신호가 가질 수 있는 주파수 범위의 폭을 의미하며, 아날로그 및 디지털 신호, 통신 시스템, 광통신 등 다양한 분야에서 사용되는 중요한 개념이다. 아날로그 신호의 경우, 푸리에 변환을 통해 주파수 범위를 정의하며, 시스템 대역폭은 시스템이 처리할 수 있는 신호의 대역폭을 나타낸다. 디지털 통신에서는 샤논-하틀리 정리를 통해 채널 용량과 대역폭 간의 관계를 설명하며, 통신 속도를 결정하는 중요한 요소로 작용한다. 또한, 분율 대역폭과 비율 대역폭과 같은 상대적인 개념을 사용하여 대역폭을 표현하기도 하며, 잡음 등가 대역폭은 시스템의 잡음 특성을 분석하는 데 활용된다. 광통신에서는 광원의 출력, 광섬유의 전송 능력, 광 증폭기의 이득 등 다양한 의미로 사용되며, 음성 통신에서는 음질과 정보량의 균형을 위해 대역폭을 조절한다.

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대역폭 (신호 처리)
대역폭
정의	신호 처리에서 대역폭은 주파수 범위 내에서 측정되는 신호의 범위를 의미한다.
단위	헤르츠(Hz)
주요 사용 분야	전파 통신 신호 처리 음향학 분광학 전자기학
설명	대역폭은 신호가 포함하는 주파수 범위를 나타낸다.
수학적 정의	신호의 주파수 스펙트럼에서, 신호 에너지의 대부분이 집중된 주파수 범위
대역폭 측정 방법	반전력점(half-power point) 기준 -3dB 지점 기준 특정 에너지 비율 기준
분수 대역폭
정의	중심 주파수에 대한 대역폭의 비율
공식	(f_H - f_L) / f_C
f_H	상위 차단 주파수
f_L	하위 차단 주파수
f_C	중심 주파수
상대 대역폭
정의	대역폭을 중심 주파수로 나눈 값
공식	B / f_c
B	대역폭
f_c	중심 주파수
관련 개념
옥타브	두 주파수 사이의 비율이 2:1인 경우
데케이드	두 주파수 사이의 비율이 10:1인 경우
채널 용량	대역폭은 채널 용량과 관련이 있다.
나이퀴스트 속도	대역폭은 나이퀴스트 속도와 관련이 있다.
섀넌-하틀리 정리	대역폭은 섀넌-하틀리 정리에서 정보 전달 용량을 결정하는 데 사용된다.
기타 정보
오디오 신호 대역폭	사람의 가청 주파수 범위는 일반적으로 20Hz에서 20kHz 사이이다.
비디오 신호 대역폭	비디오 신호는 오디오 신호보다 훨씬 넓은 대역폭을 필요로 한다.

2. 아날로그 신호 및 시스템 대역폭

아날로그 신호는 시간에 따라 연속적으로 변하는 신호로, 푸리에 변환을 통해 다양한 주파수 성분으로 분해할 수 있다. 이때, 신호의 대역폭은 신호를 구성하는 주파수 성분들의 범위를 의미하며, 단위는 헤르츠(Hz)를 사용한다.^[3] 일반적으로 신호의 주파수 성분은 넓게 분포하므로, 실용적인 대역폭 정의는 어느 정도 세기의 주파수 범위를 기준으로 한다. 주로 최대값의 절반, 즉 -3dB 지점을 기준으로 대역폭을 정의한다.

대역폭은 신호의 변화 속도를 나타내는 척도이다. 대역폭이 넓을수록 신호의 진폭이나 위상과 같은 매개변수가 빠르게 변하며, 반대로 대역폭이 좁을수록 매개변수는 느리게 변한다.

'시스템 대역폭'은 해당 시스템이 처리할 수 있는 신호의 주파수 범위를 의미한다.^[3] 예를 들어, FM 라디오 수신기의 튜너는 특정 주파수 범위만을 선택하여 수신하며, 이는 시스템 대역폭의 한 예이다. 미국의 연방통신위원회와 같은 기관은 방송 허가를 통해 사용 가능한 대역폭을 할당하여 신호 간의 간섭을 방지한다.

샤논-하틀리 정리에 따르면, 통신 채널을 통해 안정적으로 전송할 수 있는 데이터 전송률은 사용되는 주파수 대역폭에 비례한다. 따라서 대역폭은 데이터 전송률과 같은 의미로 사용되기도 한다.

전파를 이용한 통신에서는 반송파의 변조에서 차지하는 주파수 범위를 점유 주파수 대역폭 또는 간단히 대역폭이라고 한다.

2. 1. 신호 대역폭

신호 대역폭(Hz)은 신호의 스펙트럼 밀도(W/Hz 또는 V²/Hz)가 0이 아니거나 작은 임계값을 넘는 주파수 범위를 의미한다. 임계값은 종종 최대값에 대해 정의되며, 가장 일반적으로는 3dB 점 즉, 스펙트럼 밀도가 최대값의 절반(또는

\mathrm{V}

또는

\mathrm{V/\sqrt{Hz}}

단위의 스펙트럼 진폭이 최대값의 70.7%)인 지점이다.^[3]

간단히 말해 신호 대역폭은 신호의 주파수 스펙트럼에서 유효한 성분이 차지하는 범위를 나타낸다. 일반적으로 최대값의 절반(-3dB)이 되는 주파수 범위를 사용한다.

아날로그 신호는 수학적으로 시간의 함수이며, '''대역폭'''

\Delta f

는 신호를 푸리에 변환했을 때 0이 아닌 값을 갖는 주파수 범위의 폭(헤르츠)이다.

신호의 대역폭은 그 매개변수(진폭이나 위상)가 시간에 따라 변화하는 속도의 척도이다. 대역폭이 크면 신호의 매개변수는 빨리 변한다.

베이스밴드 대역폭은 신호 주파수 범위의 상한만을 가리킨다. 베이스밴드 이외의 대역폭은 상한과 하한의 차이다.

자주 사용되는 양은 "비대역폭(fractional bandwidth)"이다. 이는 대역폭을 중심 주파수로 나눈 값이다. 예를 들어, 중심 주파수가 10MHz이고 대역폭이 2MHz라면, 비대역폭은 2/10 또는 20%가 된다.

2. 2. 시스템 대역폭

시스템이 특정 대역폭을 가진다는 것은 시스템이 해당 주파수 범위의 신호를 처리할 수 있거나, 시스템이 백색 잡음 입력의 대역폭을 해당 대역폭으로 줄인다는 것을 의미한다.^[3]

전자 필터 또는 통신 채널의 3dB 대역폭은 시스템 주파수 응답 중 피크 응답의 3dB 이내에 있는 부분이다. 이는 통과 대역 필터의 경우 일반적으로 중심 주파수에서 또는 그 근처에 있으며, 저역 통과 필터의 경우 차단 주파수에서 또는 그 근처에 있다. 최대 이득이 0dB인 경우 3dB 대역폭은 감쇠가 3dB 미만인 주파수 범위이다. 3dB 감쇠는 또한 전력이 최대값의 절반인 지점이다. 이러한 동일한 ''반전력 이득'' 규칙은 스펙트럼 너비에도 사용되며, 더 일반적으로는 반치폭(FWHM)과 같이 함수의 범위에 사용된다.^[3]

전자 필터 설계에서 필터 사양은 필터 통과 대역 내에서 이득이 예를 들어 ±1dB 구간 내에서 명목상 0dB이고 작은 변동이 있는 것을 요구할 수 있다. 차단 대역에서는 데시벨 단위로 요구되는 감쇠가 특정 수준(예: >100dB) 이상이다. 전이 대역에서는 이득이 지정되지 않는다. 이 경우 필터 대역폭은 통과 대역폭에 해당하며, 이 예에서는 1dB 대역폭이다. 필터가 통과 대역 내에서 진폭 리플을 보이는 경우, ''x'' dB 점은 최대 이득보다 ''x'' dB 낮은 지점이 아니라 명목 통과 대역 이득보다 ''x'' dB 낮은 지점을 나타낸다.

신호 처리나 제어 이론에서는, 피크로부터 이득이 3dB 감쇠하는 주파수의 범위를 대역폭이라고 한다.

통신 시스템에서 섀넌-하틀리 채널 용량 계산에서 대역폭은 3dB 대역폭을 의미한다. 최대 심볼 레이트, 나이키스트 표본화율, 및 하틀리 법칙에 따른 최대 비트 전송률 계산에서는 대역폭은 이득이 0이 아닌 주파수 범위를 의미한다.

전파를 이용한 통신에서는 반송파의 변조에서 차지하는 주파수 범위를 '''점유 주파수 대역폭''' 또는 간단히 대역폭이라고 한다.

2. 3. 베이스밴드 및 패스밴드 대역폭

베이스밴드 대역폭은 신호 주파수 범위의 상한값을 가리키며, 베이스밴드 이외의 대역폭(패스밴드 대역폭)은 상한과 하한의 차이를 나타낸다.^[1]

예를 들어, 그림에 나타낸 것과 같은 비베이스밴드의 3-dB 대역폭은

\Delta f = f_2 - f_1

이지만, 다른 정의에서는 다른 결과값을 가진다.

자주 사용되는 개념으로 "비대역폭(fractional bandwidth)"이 있다. 이것은 대역폭을 중심 주파수로 나눈 값이다. 예를 들어, 중심 주파수가 10MHz이고 대역폭이 2MHz라면, 비대역폭은 2/10 또는 20%가 된다.

실수의 베이스밴드는 양의 주파수와 음의 주파수의 합성이며, 이것은 대역폭의 혼란을 야기한다(실신호는 복소 평면상에서 우회전하는 벡터와 좌회전하는 벡터의 합성으로 표현되며, 각주파수의 부호는 반대이다). 대역폭으로 양의 부분만을 가리키는 경우가 있으며, 예를 들어

B = 2W

가 전체 대역폭을 나타낸다고 했을 때,

W

는 양의 대역폭이다. 실제로, 신호를 유지하려면, 적어도

W

의 차단 주파수를 가지는 로우패스 필터가 필요하다.

3-dB 대역폭의 밴드패스 필터는 중심 주파수 부근의 피크로부터 3dB 이내의 주파수 응답이 되는 범위를 가지는 필터이다.

3. 디지털 신호 및 시스템 대역폭

디지털 신호 처리에서 대역폭은 표본화 정리에 따라 표본화 주파수와 관련되어 있다.^[3] 디지털 통신에서 "대역폭"은 전송 용량(전송 가능한 비트 전송률)을 나타내는 경우도 많아, 비유적인 표현으로 사용되기도 한다. 관련 통계량으로 네트워크 전체 대역폭의 총합을 나타내는 "2분할 대역폭(bisection bandwidth)"이 있는데, 이는 네트워크를 둘로 나누고 그 사이에 있는 모든 링크의 대역폭을 합산한 것이다.

3. 1. 샤논-하틀리 정리

샤논-하틀리 정리는 통신 채널의 대역폭(전송 용량)과 신호대잡음비 간의 관계를 나타내며, 신뢰할 수 있는 통신의 데이터 전송률이 통신에 사용되는 주파수의 폭에 비례한다는 것을 보여준다. 이 의미에서 대역폭과 데이터 전송률은 같은 의미로 사용되기도 한다.^[7]

디지털 통신 채널에 가산성 백색 가우스 잡음이 있을 때, 샤논-하틀리 정리에 의해 채널 용량 '''C''' (bps)가 규정된다. 여기서 '''C'''는 통신 채널이 오류 없이 또는 낮은 오류율로 전송 가능한 최대 속도(이론값)를 의미한다.^[8]

실제 전송 속도 '''R''' (bps)은 효율적인 부호화 방식을 사용함으로써 C에 가깝게 할 수 있다. '''R'''이 '''C'''를 초과하면 오류율^[9]이 증가하여 정상적인 디지털 통신이 불가능해진다. 따라서 '''C'''는 이상적인 통신 채널에서의 최대 전송 속도이다.

3. 2. 디지털 통신에서의 대역폭

디지털 통신에서 "대역폭"이라는 용어는 데이터 전송률(bps)을 의미하는 경우가 많다. 예를 들어 비트 전송률이 66 Mbps이고 32개의 데이터선으로 구성된 버스의 대역폭은 33MHz이며, 용량은 2.1Gbps이다. 하지만, 이를 "대역폭이 2.1Gbps이다"라고 표현하는 경우도 종종 있다.^[3]

이는 샤논-하틀리 정리에 따라 신뢰할 수 있는 통신의 데이터 전송률이 통신에 사용되는 주파수의 폭에 비례하기 때문이다. 이러한 관점에서 대역폭과 데이터 전송률은 유사한 의미로 사용되기도 한다.^[3] 그러나 이는 비유적인 표현이며, 실제 주파수 대역폭과는 다를 수 있으므로 주의해야 한다.

가청 대역의 모뎀을 예로 들면, 전화 회선의 실제 대역폭은 4kHz에 불과하지만, 56kbps의 정보를 전송할 수 있다.

4. 상대 대역폭

절대 대역폭이 항상 가장 적절한 대역폭 측정값은 아니다. 예를 들어 안테나 분야에서는 특정 절대 대역폭을 충족하도록 안테나를 제작하는 것이 저주파보다 고주파에서 더 쉽다. 따라서 대역폭은 종종 동작 주파수에 대한 상대적인 값으로 표기되는데, 이는 해당 장치에 필요한 구조와 정교함을 더 잘 나타낸다.^[4]

상대 대역폭의 측정값에는 분율 대역폭( $B_\mathrm F$ )과 비율 대역폭( $B_\mathrm R$ )이 있다. 절대 대역폭은 다음과 같이 정의된다.

: $B = \Delta f = f_\mathrm H - f_\mathrm L$

여기서 $f_\mathrm H$ 와 $f_\mathrm L$ 는 해당 대역의 상한 주파수와 하한 주파수이다.

4. 1. 분율 대역폭 (Fractional Bandwidth)

분율 대역폭은 절대 대역폭을 중심 주파수(

f_\mathrm C

)로 나눈 값이다.^[4]

:

B_\mathrm F = \frac {\Delta f}{f_\mathrm C} \, .

중심 주파수는 일반적으로 상한 주파수와 하한 주파수의 산술 평균으로 정의된다.

:

f_\mathrm C = \frac {f_\mathrm H + f_\mathrm L}{2} \

:

B_\mathrm F = \frac {2 (f_\mathrm H - f_\mathrm L)}{f_\mathrm H + f_\mathrm L} \, .

중심 주파수는 때때로 상한 주파수와 하한 주파수의 기하 평균으로 정의되기도 한다.

:

f_\mathrm C = \sqrt {f_\mathrm H f_\mathrm L}

:

B_\mathrm F = \frac {f_\mathrm H - f_\mathrm L}{\sqrt {f_\mathrm H f_\mathrm L}} \, .

기하 평균은 산술 평균보다 덜 사용되지만(명시적으로 언급되지 않으면 산술 평균을 사용한다고 가정할 수 있다), 수학적으로 더 엄밀하게 여겨진다. 기하 평균은 주파수 증가에 따른 분수 대역폭의 로그 관계를 더 정확하게 반영한다.^[5] 협대역 응용 분야에서는 두 정의 사이에 미미한 차이만 존재하며, 기하 평균 버전이 무시할 만큼 더 크다. 광대역 응용 분야에서는 산술 평균 버전이 2에 가까워지는 반면 기하 평균 버전은 무한대로 발산하면서 두 정의 사이의 차이가 상당히 커진다.

분율 대역폭은 중심 주파수의 백분율(

\%B

)로 표현되기도 하는데, 이를 퍼센트 대역폭(percent bandwidth)이라고 한다.

:

\%B_\mathrm F = 100 \frac {\Delta f}{f_\mathrm C} \, .

4. 2. 비율 대역폭 (Ratio Bandwidth)

비율 대역폭은 대역의 상한 주파수와 하한 주파수의 비율로 정의된다.^[4]

:

B_\mathrm R= \frac {f_\mathrm H}{f_\mathrm L} \, .

비율 대역폭은

B_\mathrm R:1

로 표기할 수 있다. 비율 대역폭과 분율 대역폭의 관계는 다음과 같다.

:

B_\mathrm F = 2 \frac {B_\mathrm R - 1}{B_\mathrm R + 1}

그리고

:

B_\mathrm R = \frac {2 + B_\mathrm F}{2 - B_\mathrm F} \, .

백분율 대역폭은 광대역 응용 분야에서는 덜 의미있는 척도이다. 100%의 백분율 대역폭은 3:1의 비율 대역폭에 해당한다. 무한대까지의 모든 더 높은 비율은 100~200%의 범위로 압축된다.

비율 대역폭은 광대역 응용 분야에서 종종 옥타브 (즉, 주파수 레벨로)로 표현된다. 옥타브는 2:1의 주파수 비율이며, 이는 옥타브 수에 대한 다음과 같은 식으로 이어진다.

:

\log_2 \left(B_\mathrm R\right) .

5. 광통신에서의 대역폭

광자공학에서 "대역폭"이라는 용어는 다양한 의미를 가지는데, 광통신에서는 다음과 같은 의미로 사용된다.^[2]

ASE 광원이나 레이저와 같은 어떤 광원의 출력 대역폭. 빛의 주파수는 매우 높기 때문에, 대역폭은 커진다.
광섬유와 같은 매체가 전송할 수 있는 주파수의 범위.
광 증폭기의 이득 대역폭.
어떤 현상에서의 범위(반사, 비선형 프로세스에서의 위상 맞춤, 공진 등)
광 변조 장치의 최대 변조 주파수(또는 변조 주파수의 범위)
측정 장치가 작동할 수 있는 주파수의 범위
광통신 시스템의 데이터 전송률(G비트/초)

6. 한국의 통신 환경과 대역폭

한국은 세계 최고 수준의 통신 인프라를 갖추고 있으며, 넓은 대역폭을 기반으로 다양한 고품질 서비스를 제공하고 있다.

7. 기타 응용 분야

신호 처리에서 대역폭은 다양한 분야에 응용된다.

음성 통신에서 음성 품질은 음성 주파수의 대역폭에 의존한다. 인간의 가청 주파수 범위를 고려하여, 디지털 음성에서는 음질과 정보량의 균형을 맞추기 위해 표본화 주파수를 설정한다. 대역폭에 따라 다음과 같은 명칭이 사용된다.^[10]

일반적인 음성 대역폭
명칭	대역폭	(일반적인) 표본화 주파수	참고
협대역	0.3kHz ~ 3.4kHz	8kHz	전화
광대역	~ 7kHz	16kHz
초광대역	~ 14kHz
전대역	0.02kHz ~ 21kHz	44.1kHz, 48kHz	전 가청 영역, CD 음질

7. 1. 잡음 등가 대역폭 (Noise Equivalent Bandwidth)

'''등가 잡음 대역폭'''(Equivalent Noise Bandwidth, ENBW)은 시스템의 잡음 특성을 평가하는 지표이다. 주파수 응답

H(f)

를 갖는 시스템의 등가 잡음 대역폭은, 시스템의 중심 주파수를 중심으로 한 직사각형 주파수 응답을 갖는 이상적인 필터의 대역폭과 같다. 이 이상적인 필터는

H(f)

와 동일한 평균 출력 전력을 생성하며, 두 시스템 모두 백색 잡음 소스로 여기된다.^[6]

주파수 응답 $H(f)$ 를 갖는 시스템의 등가 잡음 대역폭 $B_n$ 측정 설정

등가 잡음 대역폭의 값은 사용된 이상적인 필터 기준 이득에 따라 달라진다. 일반적으로 이득은 중심 주파수에서

|H(f)|

와 같지만,^[6]

|H(f)|

의 최댓값과 같을 수도 있다.

등가 잡음 대역폭

B_n

은

H(f)

를 사용하여 주파수 영역에서 계산하거나, 시스템 임펄스 응답

h(t)

에 대한 파르세발 정리를 이용하여 시간 영역에서 계산할 수 있다.

H(f)

가 중심 주파수가 0인 저역 통과 시스템이고 필터 기준 이득이 이 주파수를 참조하는 경우 다음과 같이 계산된다.

B_n = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 df}{2|H(0)|^2} =  \frac{\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|^2 dt}{2\left|\int_{-\infty}^{\infty} h(t)dt\right|^2} \, .

같은 식은

H(f)

에 대한 등가 베이스밴드 주파수 응답을 대입하여 대역 통과 시스템에도 적용할 수 있다.

등가 잡음 대역폭은 잡음이 존재하는 통신 시스템의 분석을 단순화하는 데 널리 사용된다.

7. 2. 음성 통신에서의 대역폭

음성의 품질은 음성 주파수의 대역폭에 의존한다. 인간은 가청주파수를 가지며 그 이외의 대역은 들을 수 없다. 따라서 디지털 음성에서는 음질과 정보량의 균형을 고려하여 표본화 주파수를 설정한다. 대역폭의 넓이에 따라 몇 가지 명칭이 있다.^[10]

일반적인 음성 대역폭
명칭	대역폭	(일반적인) 표본화 주파수	참고
협대역	0.3kHz ~ 3.4kHz	8kHz	전화에서 사용
광대역	~ 7kHz	16kHz
초광대역	~ 14kHz
전대역	0.02kHz ~ 21kHz	44.1kHz, 48kHz	전 가청 영역을 커버, CD 음질

참조

_[1] 서적 Microwave and Millimeter-wave Remote Sensing for Security Applications Artech House
_[2] 서적 A Practical Approach to Signals and Systems https://books.google[...] John Wiley & Sons 2009-03-04
_[3] 서적 Network Analysis https://archive.org/[...] Prentice-Hall 2008-06-22
_[4] 서적 Antenna Theory and Design
_[5] 서적 The Art and Science of Ultrawideband Antennas Artech House
_[6] 서적 Simulation of Communication Systems. Modeling, Methodology, and Techniques. Kluwer Academic
_[7] 문서 S는 신호전력, N는 정규분포 노이즈 전력(이 노이즈는 이상적인 것을 가정)
_[8] 문서 통신로의, 본래 의미에서의, 아날로그적인, 주파수 대역폭
_[9] 문서 [[오류정정]]등을 시행하기 전의, 통신로의 순수한 오류율
_[10] 간행물 White Paper: G.719: The First ITU-T Standard for Full-Band Audio http://docs.polycom.[...] POLYCOM

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