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단위하중법

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목차

1. 개요

단위하중법은 가상 일의 원리를 기반으로 하는 구조 해석 방법으로, 구조물의 변위를 계산하는 데 사용된다. 이 방법은 이산 시스템과 일반 시스템 모두에 적용 가능하며, 실제 변형과 가상 하중을 이용하여 변위를 구한다. 특히, 단위하중법은 시스템의 복잡성과 관계없이 적분을 포함하지 않고, 기본 시스템 선택에 독립적인 결과를 제공하여 가상 단위 하중법의 고전적인 형태보다 편리하게 사용될 수 있다.

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단위하중법

2. 이산 시스템

트러스, 보, 프레임과 같이 노드에서 상호 연결된 부재를 갖는 이산 시스템에서, 부재의 변형 집합(\mathbf{q}_{M \times 1} )은 부재 강성 관계를 사용하여 계산할 수 있다. 이러한 부재 변형은 노드 변위(\mathbf{r}_{N \times 1} )를 발생시킨다.

단위하중법을 적용하기 위해, 각 원하는 변위 ''r''에 대해 가상 노드 하중 \mathbf{R}^*_{N \times 1} 을 적용하고, 이와 평형을 이루는 가상 부재 하중 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} 을 찾는다. 이 관계는 다음과 같이 표현된다.

:\mathbf{Q}^*_{M \times 1} = \mathbf{B}_{M \times N} \mathbf{R}^*_{N \times 1}

정정 불능 시스템의 경우, 노드 평형을 만족하는 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} 집합이 무한하므로 행렬 '''B'''는 고유하지 않다. 이는 원래 시스템에서 파생된 임의의 기본 시스템의 노드 평형 행렬의 역수로 계산할 수 있다.

가상 일의 원리에 따르면, 외부 가상 일(\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} )과 내부 가상 일(\mathbf{Q}^{*T} \mathbf{q} )은 서로 같다. 즉,

:\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{Q}^{*T} \mathbf{q}

위 식에 식 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} = \mathbf{B}_{M \times N} \mathbf{R}^*_{N \times 1} 을 대입하면 다음과 같다.

:\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{R}^{*T} \mathbf{B}^{T} \mathbf{q} .

\mathbf{R}^{*}는 임의의 가상 하중을 포함하므로, 최종적으로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

: \mathbf{r} = \mathbf{B}^{T} \mathbf{q}

이 식은 시스템의 복잡성과 관계없이 적분을 포함하지 않으며, '''B''' 행렬을 구하기 위한 기본 시스템 선택과 무관하게 결과가 유일하다. 따라서 이 방법은 시스템 유형 및 외부 효과에 따라 달라지는 고전적인 가상 단위 하중법보다 편리하고 일반적이다.

'단위 하중'이라는 명칭은 행렬 '''B'''의 계수 B_{i,j} 가 단위 노드 하중 R^*_j = 1 과 평형을 이루는 부재 하중이라는 해석에서 유래한다.

2. 1. 부재 변형과 노드 변위

트러스, 보, 프레임과 같이 여러 부재가 노드에서 연결된 시스템을 생각해 보자. 부재 강성 관계를 사용하여 계산할 수 있는 부재의 변형 집합을 \mathbf{q}_{M \times 1} 로 나타낸다. 이러한 부재 변형은 우리가 구하고자 하는 노드 변위 \mathbf{r}_{N \times 1} 을 유발한다.

각각의 원하는 ''r''에 대해 가상 노드 하중 \mathbf{R}^*_{N \times 1} 을 적용하고, \mathbf{R}^*_{N \times 1} 과 평형을 이루는 가상 부재 하중 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} 을 찾는다.

:\mathbf{Q}^*_{M \times 1} = \mathbf{B}_{M \times N} \mathbf{R}^*_{N \times 1}

정정 불능 시스템에서는 노드 평형을 만족하는 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} 집합이 무한하므로 행렬 '''B'''는 유일하지 않다. 이는 원래 시스템에서 파생된 임의의 기본 시스템의 노드 평형 행렬의 역수로 계산할 수 있다.

내부 및 외부 가상 하중이 각각 실제 변형과 변위를 겪는다고 가정하면, 가상 일의 양은 다음과 같이 표현할 수 있다.

  • 외부 가상 일: \mathbf{R}^{*T} \mathbf{r}
  • 내부 가상 일: \mathbf{Q}^{*T} \mathbf{q}


가상 일의 원리에 따르면, 두 일의 표현은 같다.

:\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{Q}^{*T} \mathbf{q}

위 식에 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} = \mathbf{B}_{M \times N} \mathbf{R}^*_{N \times 1} 을 대입하면 다음과 같다.

:\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{R}^{*T} \mathbf{B}^{T} \mathbf{q} .

\mathbf{R}^{*}는 임의의 가상 하중을 포함하므로 위 식은 다음과 같이 된다.

: \mathbf{r} = \mathbf{B}^{T} \mathbf{q}

이 계산은 시스템의 복잡성과 관계없이 적분을 포함하지 않으며, '''B'''에 대한 기본 시스템의 선택과 관계없이 결과가 유일하다는 점이 주목할 만하다. 따라서 이는 가상 단위 하중법의 고전적 형태보다 훨씬 더 편리하고 일반적이며, 가상 단위 하중법은 시스템 유형뿐만 아니라 부과된 외부 효과에 따라서도 달라진다. 반면, 위 식은 노드의 변위 또는 회전을 계산하기 위한 것임을 유념해야 한다. 이는 필요에 따라 어떤 점이든 노드로 만들 수 있기 때문에 제약이 아니다.

마지막으로, '''단위 하중'''이라는 이름은 위 식에 따라 행렬 '''B'''의 계수 B_{i,j} 가 단위 노드 하중 R^*_j = 1 과 평형을 이루는 부재 하중이라는 해석에서 유래한다.

2. 2. 가상 하중과 평형

트러스, 보, 프레임과 같이 여러 부재가 노드에서 연결된 시스템을 생각해 봅시다. 부재의 변형 집합을 \mathbf{q}_{M \times 1} 로 나타내고, 부재 강성 관계를 사용하여 계산할 수 있습니다. 이 변형은 우리가 구하려는 노드 변위 \mathbf{r}_{N \times 1} 을 일으킵니다.

각각의 원하는 ''r''에 대해 가상 노드 하중 \mathbf{R}^*_{N \times 1} 을 적용하고, 이와 평형을 이루는 가상 부재 하중 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} 을 찾습니다.

:\mathbf{Q}^*_{M \times 1} = \mathbf{B}_{M \times N} \mathbf{R}^*_{N \times 1}

정정 불능 시스템에서는 노드 평형을 만족하는 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} 집합이 무한히 많으므로 행렬 '''B'''는 고유하지 않습니다. 이는 원래 시스템에서 파생된 임의의 기본 시스템의 노드 평형 행렬의 역수로 계산할 수 있습니다.

내부 및 외부 가상 하중이 각각 실제 변형과 변위를 겪는다고 가정하면, 가상 일의 양은 다음과 같이 표현됩니다.

  • 외부 가상 일: \mathbf{R}^{*T} \mathbf{r}
  • 내부 가상 일: \mathbf{Q}^{*T} \mathbf{q}


가상 일의 원리에 따르면, 두 일의 표현은 같습니다.

:\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{Q}^{*T} \mathbf{q}

위 식에 식 (1)을 대입하면 다음과 같습니다.

:\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{R}^{*T} \mathbf{B}^{T} \mathbf{q} .

\mathbf{R}^{*}는 임의의 가상 하중을 포함하므로, 위 방정식은 다음과 같이 정리됩니다.

: \mathbf{r} = \mathbf{B}^{T} \mathbf{q}

이 계산은 시스템의 복잡성과 관계없이 적분을 포함하지 않으며, '''B'''에 대한 기본 시스템의 선택과 관계없이 결과가 고유합니다. 따라서 이는 가상 단위 하중법의 고전적 형태보다 훨씬 편리하고 일반적입니다. 가상 단위 하중법은 시스템 유형뿐만 아니라 부과된 외부 효과에 따라서도 달라집니다. 반면, 위 식은 노드의 변위 또는 회전을 계산하기 위한 것입니다. 하지만 필요하다면 어떤 점이든 노드로 만들 수 있으므로 이는 제약이 아닙니다.

'''단위 하중'''이라는 이름은 식 (1)에 따라 행렬 '''B'''의 계수 B_{i,j} 가 단위 노드 하중 R^*_j = 1 과 평형을 이루는 부재 하중이라는 해석에서 유래합니다.

2. 3. 평형 방정식

트러스, 보, 프레임과 같이 여러 부재가 노드에서 연결된 시스템을 생각해 보자. 부재의 변형 집합을 \mathbf{q}_{M \times 1} 로 나타내고, 부재 강성 관계를 사용하여 계산할 수 있다. 이러한 부재 변형은 노드 변위 \mathbf{r}_{N \times 1} 을 유발한다.

각각의 원하는 ''r''에 대해 가상 노드 하중 \mathbf{R}^*_{N \times 1} 을 적용하고, 이와 평형을 이루는 가상 부재 하중 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} 을 찾는다.

:\mathbf{Q}^*_{M \times 1} = \mathbf{B}_{M \times N} \mathbf{R}^*_{N \times 1}

정정 불능 시스템의 경우, 노드 평형을 만족하는 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} 집합이 무한하므로 행렬 '''B'''는 고유하지 않다. 이는 원래 시스템에서 파생된 임의의 기본 시스템의 노드 평형 행렬의 역수로 계산할 수 있다.

내부 및 외부 가상 하중이 각각 실제 변형 및 변위를 겪는다고 가정하면, 가상 일의 양은 다음과 같이 표현할 수 있다.

  • 외부 가상 일: \mathbf{R}^{*T} \mathbf{r}
  • 내부 가상 일: \mathbf{Q}^{*T} \mathbf{q}


가상 일의 원리에 따르면, 두 일의 표현식은 같다.

:\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{Q}^{*T} \mathbf{q}

위 식에 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} = \mathbf{B}_{M \times N} \mathbf{R}^*_{N \times 1} 을 대입하면 다음과 같다.

:\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{R}^{*T} \mathbf{B}^{T} \mathbf{q} .

\mathbf{R}^{*}는 임의의 가상 하중을 포함하므로, 위 방정식은 다음과 같이 정리된다.

: \mathbf{r} = \mathbf{B}^{T} \mathbf{q}

이 계산은 시스템의 복잡성과 관계없이 어떠한 적분도 포함하지 않으며, '''B'''에 대한 기본 시스템의 선택과 관계없이 결과가 고유하다. 따라서 이는 가상 단위 하중법의 고전적 형태보다 훨씬 더 편리하고 일반적이다. 가상 단위 하중법은 시스템 유형뿐만 아니라 부과된 외부 효과에 따라서도 달라진다. 반면, 위 식은 노드의 변위 또는 회전을 계산하기 위한 것이다. 하지만 어떤 점이든 노드로 만들 수 있기 때문에 제약이 아니다.

'''단위 하중'''이라는 이름은 위 식에 따라 행렬 '''B'''의 계수 B_{i,j} 가 단위 노드 하중 R^*_j = 1 과 평형을 이루는 부재 하중이라는 해석에서 유래한다.

2. 4. 가상일의 원리 적용

일반적인 계에서 단위하중법은 가상일의 원리로부터 유도된다. 실제 변형 \boldsymbol{\epsilon} 가 계에 변위를 유발한다고 할 때, 임의의 점 A가 A'로 이동한 변위 ''r''을 구하는 것이 목적이다. 변위 ''r'' 방향으로 단위하중 ''R''*을 재하하면, 외적 가상일은 다음과 같다.

: R^* \times r = 1 \times r

여기서 ''r''은 구하고자 하는 변위이다. 가상 응력으로 인한 내적 가상일은 다음과 같다.

: \int_{V}\boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma}^* dV (단, 가상 응력 \boldsymbol{\sigma}^* 는 모든 점에서 평형을 만족해야 한다.)

위의 두 식을 연립하면 ''r''을 구할 수 있다.

: 1 \times r = \int_{V}\boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma}^* dV

트러스, 보, 프레임과 같이 노드에서 상호 연결된 부재를 갖는 이산 시스템을 고려해보자. 부재의 변형 집합을 \mathbf{q}_{M \times 1} 로 나타내며, 이는 부재 강성 관계를 사용하여 계산할 수 있다. 이러한 부재 변형은 노드 변위 \mathbf{r}_{N \times 1} 을 발생시킨다.

각각의 원하는 ''r''에 대해 하나의 가상 노드 하중 \mathbf{R}^*_{N \times 1} 을 적용하고, \mathbf{R}^*_{N \times 1} 과 평형을 이루는 가상 부재 하중 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} 을 찾는다.

:\mathbf{Q}^*_{M \times 1} = \mathbf{B}_{M \times N} \mathbf{R}^*_{N \times 1}

정정 불능 시스템의 경우, 노드 평형을 만족하는 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} 집합이 무한하기 때문에 행렬 '''B'''는 고유하지 않다. 이는 원래 시스템에서 파생된 임의의 기본 시스템의 노드 평형 행렬의 역수로 계산할 수 있다.

내부 및 외부 가상 하중이 각각 실제 변형 및 변위를 겪는다고 가정하면, 가상 일은 다음과 같이 표현할 수 있다.

  • 외부 가상 일: \mathbf{R}^{*T} \mathbf{r}
  • 내부 가상 일: \mathbf{Q}^{*T} \mathbf{q}


가상 일의 원리에 따르면, 두 작업 표현식은 같다.

:\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{Q}^{*T} \mathbf{q}

위 식에 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} = \mathbf{B}_{M \times N} \mathbf{R}^*_{N \times 1} 을 대입하면 다음과 같다.

:\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{R}^{*T} \mathbf{B}^{T} \mathbf{q} .

\mathbf{R}^{*}는 임의의 가상 하중을 포함하므로, 위의 방정식은 다음과 같이 정리된다.

: \mathbf{r} = \mathbf{B}^{T} \mathbf{q}

이 계산은 시스템의 복잡성과 관계없이 어떠한 적분도 포함하지 않으며, '''B'''에 대한 기본 시스템의 선택과 관계없이 결과가 고유하다. 따라서 이는 가상 단위 하중법의 고전적 형태보다 훨씬 더 편리하고 일반적이다. 가상 단위 하중법은 시스템 유형뿐만 아니라 부과된 외부 효과에 따라서도 달라지기 때문이다.

'''단위 하중'''이라는 이름은 행렬 '''B'''의 계수 B_{i,j} 가 단위 노드 하중 R^*_j = 1 과 평형을 이루는 부재 하중이라는 해석에서 유래한다.

2. 5. 변위 계산

일반적인 계에서 단위하중법은 가상일의 원리로부터 유도된다. 실제 변형 \boldsymbol{\epsilon} 가 계의 임의의 점 A를 A'로 이동시키고, 이 변위 ''r''을 구하는 것이 목적이라고 하자. 변위 ''r''의 방향으로 단위하중 ''R''*을 재하하면, 외적 가상일은 다음과 같다.

: R^* \times r = 1 \times r

여기서 ''r''은 구하고자 하는 변위이다. 한편, 가상 응력으로 인한 내적 가상일은 다음과 같다.

: \int_{V}\boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma}^* dV

(단, 가상 응력 \boldsymbol{\sigma}^* 는 모든 점에서 평형을 만족해야 한다.)

위의 두 식을 연립하면 ''r''을 구할 수 있다.

: 1 \times r = \int_{V}\boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma}^* dV

트러스, 보, 프레임과 같이 노드에서 상호 연결된 부재를 갖는 이산 시스템을 생각해보자. 부재의 변형 집합을 \mathbf{q}_{M \times 1} 로 나타내며, 이는 부재 강성 관계를 사용하여 계산할 수 있다. 이러한 부재 변형은 노드 변위 \mathbf{r}_{N \times 1} 을 발생시킨다.

각각의 원하는 ''r''에 대해 하나의 가상 노드 하중 \mathbf{R}^*_{N \times 1} 을 적용하고, \mathbf{R}^*_{N \times 1} 과 평형을 이루는 가상 부재 하중 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} 을 찾는다.

:\mathbf{Q}^*_{M \times 1} = \mathbf{B}_{M \times N} \mathbf{R}^*_{N \times 1}

정정 불능 시스템의 경우, 노드 평형을 만족하는 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} 집합이 무한하기 때문에 행렬 '''B'''는 고유하지 않다. 이는 원래 시스템에서 파생된 임의의 기본 시스템의 노드 평형 행렬의 역수로 계산할 수 있다.

내부 및 외부 가상 하중이 각각 실제 변형 및 변위를 겪는다고 가정하면, 가상 일은 다음과 같이 표현할 수 있다.

  • 외부 가상 일: \mathbf{R}^{*T} \mathbf{r}
  • 내부 가상 일: \mathbf{Q}^{*T} \mathbf{q}


가상 일의 원리에 따르면, 두 작업 표현식은 같다.

:\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{Q}^{*T} \mathbf{q}

위 식에 \mathbf{Q}^*_{M \times 1} = \mathbf{B}_{M \times N} \mathbf{R}^*_{N \times 1} 을 대입하면 다음과 같다.

:\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{R}^{*T} \mathbf{B}^{T} \mathbf{q} .

\mathbf{R}^{*}는 임의의 가상 하중을 포함하므로, 위 방정식은 다음과 같이 정리된다.

: \mathbf{r} = \mathbf{B}^{T} \mathbf{q}

이 식의 계산은 시스템의 복잡성과 관계없이 어떠한 적분도 포함하지 않으며, '''B'''에 대한 기본 시스템의 선택과 관계없이 결과가 고유하다. 따라서 이는 가상 단위 하중법의 고전적 형태보다 훨씬 더 편리하고 일반적이다. 가상 단위 하중법은 시스템 유형뿐만 아니라 부과된 외부 효과에 따라서도 달라지기 때문이다. 이 식은 노드의 변위 또는 회전을 계산하기 위한 것이지만, 어떤 점이든 노드로 만들 수 있기 때문에 제약이 되지 않는다.

'''단위 하중'''이라는 이름은 행렬 '''B'''의 계수 B_{i,j} 가 단위 노드 하중 R^*_j = 1 과 평형을 이루는 부재 하중이라는 해석에서 유래한다.

3. 일반 시스템

일반 시스템에서 단위 가상 하중법은 가상 일의 원리에서 직접 파생된다. 알려진 실제 변형 \boldsymbol{\epsilon} 을 가진 시스템에서, 이 변형은 시스템 전체에 걸쳐 변위를 발생시킨다. 예를 들어 점 A가 A'로 이동했을 때, A의 변위 ''r''을 계산하는 경우를 생각해보자.

이 변위를 구하기 위해 다음과 같은 가상 힘 시스템을 선택한다.


  • 단위 힘 ''R''*는 A에 있으며 ''r'' 방향으로 작용한다. 이때 가상 반력에 의해 수행되는 일은 0이다. (A에서 변위가 0이므로) 따라서 ''R''*에 의해 수행되는 외부 가상 일은 R^* \times r = 1 \times r 이며, 이는 원하는 변위이다.
  • 가상 응력에 의해 수행되는 내부 가상 일은 \int_V \boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma}^* dV 이며, 여기서 가상 응력 \boldsymbol{\sigma}^* 는 모든 곳에서 평형을 만족해야 한다.


두 일 표현식을 같게 하면 원하는 변위 1 \times r = \int_V \boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma}^* dV 를 얻을 수 있다.

3. 1. 실제 변형과 가상 하중

일반적인 구조물에서 단위하중법은 가상 일의 원리로부터 유도된다. 실제 변형 \boldsymbol{\epsilon} 이 발생하면, 구조물 전체에 변위가 발생한다. 예를 들어, 구조물의 임의의 점 A가 A'로 이동했을 때, A의 변위 ''r''을 구하는 것이 목적이라고 하자.

이 변위를 구하기 위해, 변위 ''r''의 방향으로 단위하중 ''R''*을 재하한다. 이때 외부 가상일은 다음과 같다.

: R^* \times r = 1 \times r

여기서 ''r''은 구하고자 하는 변위이다. 한편, 가상 응력으로 인한 내부 가상일은 다음과 같다.

: \int_{V}\boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma}^* dV

(단, 가상 응력 \boldsymbol{\sigma}^* 는 모든 점에서 평형을 만족해야 한다.)

위의 두 식을 연립하면 변위 ''r''을 다음과 같이 구할 수 있다.

: 1 \times r = \int_{V}\boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma}^* dV

3. 2. 가상일 계산

단위하중법은 가상 일의 원리로부터 유도된다. 실제 변형 \boldsymbol{\epsilon} 이 있는 계(system)에서, 이 변형은 계 전체에 변위를 유발한다. 예를 들어, 계의 임의의 점 A가 A'로 이동했을 때, A의 변위 ''r''을 구하는 것이 목적이라고 하자.

변위 ''r''을 구하기 위해, ''r'' 방향으로 단위하중 ''R''*을 재하한다. 이때 외적 가상일은 다음과 같다.

: R^* \times r = 1 \times r

여기서 ''r''은 구하고자 하는 변위이다. 한편, 가상 응력으로 인한 내적 가상일은 다음과 같다.

: \int_{V}\boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma}^* dV

(단, 가상 응력 \boldsymbol{\sigma}^* 는 모든 점에서 평형을 만족해야 한다.)

위의 두 식을 연립하면

: 1 \times r = \int_{V}\boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma}^* dV

로 ''r''이 구해진다.

3. 3. 변위 계산

단위하중법은 가상 일의 원리로부터 유도된다. 실제 변형 \boldsymbol{\epsilon} 가 있는 어떤 계(system)에서, 이 변형은 계 전체에 변위를 유발한다. 예를 들어, 계의 임의의 점 A가 A'로 이동했을 때, A의 변위 ''r''을 구하는 것이 목적이라고 하자.

이 변위 ''r''을 구하기 위해, 변위 ''r''의 방향으로 단위하중 ''R''*을 재하한다. 이때 외적 가상일은 다음과 같다.

: R^* \times r = 1 \times r

여기서 ''r''은 구하고자 하는 변위이다. 한편, 가상 응력으로 인한 내적 가상일은 다음과 같다.

: \int_{V}\boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma}^* dV

(단, 가상 응력 \boldsymbol{\sigma}^* 는 모든 점에서 평형을 만족해야 한다.)

위의 두 식을 연립하면 다음과 같이 ''r''이 구해진다.

: 1 \times r = \int_{V}\boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma}^* dV

4. 단위 하중법의 활용과 한국적 맥락

(이전 출력이 없으므로, 수정할 내용이 없습니다. 원본 소스와 함께 이전 출력을 제공해주시면 수정 작업을 진행하겠습니다.)


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