닫기 (형태학)

1. 개요

닫기(closing)는 형태학적 연산으로, 팽창 연산 후에 침식 연산을 수행하는 방식으로 정의된다. 닫기는 멱등성, 단조 증가, 확장성, 병진 불변성을 가지며, 객체를 부드럽게 만들고 작은 구멍을 채우며 좁은 틈을 메우는 데 사용된다.

2. 특성

형태학적 닫기 연산은 다음과 같은 주요 특성을 가진다.
* 멱등성
* 단조증가
* 확장성 (Extensivity)
* 병진 불변성

2.1. 멱등성

닫기 연산은 멱등성을 가진다. 이는 같은 연산을 여러 번 적용해도 결과가 처음 적용했을 때와 같다는 의미이며, 수식으로는 $(A\backslash bullet\; B)\backslash bullet\; B=A\backslash bullet\; B$와 같이 표현할 수 있다.

2.2. 단조 증가

이것은 단조증가이다. 즉, $A\backslash subseteq\; C$이면, $A\backslash bullet\; B\; \backslash subseteq\; C\backslash bullet\; B$이다.

2.3. 확장성

닫기 연산은 확장적이다. 즉, 어떤 집합 $A$에 구조 요소 $B$를 사용하여 닫기 연산을 적용한 결과($A\backslash bullet\; B$)는 항상 원래의 집합 $A$를 포함하거나 같다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$A\backslash subseteq\; A\backslash bullet\; B$

2.4. 병진 불변성

닫기 연산은 병진 불변성을 가진다. 즉, 입력 영상을 특정 방향으로 이동시킨 후 닫기 연산을 적용한 결과는, 먼저 닫기 연산을 적용하고 그 결과를 같은 방향으로 이동시킨 것과 동일하다.

3. 예시

닫기 연산은 먼저 팽창 연산을 수행한 후, 그 결과에 침식 연산을 적용하는 과정이다. 수학적으로 A와 B의 닫기 연산(A <0xE2><0x88><0x99> B)은 A와 B의 팽창(A ⊕ B) 결과에 다시 B로 침식((A ⊕ B) ⊖ B)을 적용하는 것과 같다.

이 연산 과정을 시각적으로 이해하기 위해, 특정 이진 영상 A와 구조 요소 B를 사용한 예시를 들 수 있다. (상세한 입력값과 단계별 연산 과정은 하위 섹션 참조)

원본 영상 A에 구조 요소 B를 이용하여 닫기 연산을 수행하면, 팽창 단계에서 객체가 커지고 작은 구멍이 메워진 후, 침식 단계에서 다시 원래 크기 정도로 줄어들지만 메워진 구멍은 유지되는 경향이 있다.

이 예시에서 최종적인 닫기 연산 결과는 하위 섹션 '결과'에서 시각적으로 확인할 수 있다. 이 과정을 통해 영상 내의 작은 구멍이 채워지고 객체 간의 좁은 틈이 메워지는 등 객체의 윤곽이 부드러워지는 효과를 얻을 수 있다.

각 단계별 상세한 연산 과정과 시각적인 결과는 아래 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

3.1. 팽창

팽창 연산($A\backslash oplus\; B$)은 다음과 같이 수행된다.

먼저, 11x11 크기의 이진 영상 A와 3x3 크기의 구조 요소 B가 다음과 같다고 가정해 보자.

A 행렬 (11x11):

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0
 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0
 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0
 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0
 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

B 행렬 (3x3, 구조 요소):

 1 1 1
 1 1 1
 1 1 1

A에서 값이 1인 각 화소(픽셀) 위치에 구조 요소 B의 중심점을 맞추어 B를 겹쳐 놓는다. 이때 구조 요소 B의 모든 화소 값은 1이라고 가정한다.

이렇게 겹쳐진 모든 B 영역에 포함되는 화소들의 집합이 바로 A를 B로 팽창시킨 결과($A\; \backslash oplus\; B$)가 된다. 이 예시에서 A를 B로 팽창시킨 결과는 다음과 같은 11x11 행렬로 나타난다.

$A\; \backslash oplus\; B$ 결과 행렬 (11x11):

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3.2. 침식

앞서 팽창 연산을 수행한 결과($A\backslash oplus\; B$)에 대해 침식 연산(($A\backslash oplus\; B$) $\backslash ominus\; B$)을 적용한다.

팽창된 결과 $A\backslash oplus\; B$는 다음과 같은 11 x 11 행렬이고, 구조 요소 B는 다음과 같은 3 x 3 행렬이라고 가정한다.

$A\backslash oplus\; B$:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

B:
1 1 1
1 1 1
1 1 1

구조 요소 B의 원점을 중심에 있다고 가정하고, $A\backslash oplus\; B$의 각 픽셀에 대해 B의 원점을 겹쳐 놓는다. 이때 B의 모든 요소가 $A\backslash oplus\; B$ 내부에 완전히 포함되는 경우(즉, B의 모든 1 값이 $A\backslash oplus\; B$의 1 값과 겹치는 경우)에만 해당 픽셀 값을 유지하고, 그렇지 않으면 픽셀 값을 제거(0으로 설정)한다.

따라서 B에 의한 $A\backslash oplus\; B$의 침식 결과 ($A\backslash oplus\; B$) $\backslash ominus\; B$는 다음과 같은 11 x 11 행렬로 주어진다.

($A\backslash oplus\; B$) $\backslash ominus\; B$:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

이러한 팽창 후 침식 과정을 통해 수행되는 닫기 연산은 결과적으로 이미지 내의 작은 구멍을 채우거나 객체 간의 좁은 틈을 메우는 등 객체의 윤곽을 부드럽게 만드는 효과가 있다.

3.3. 결과

닫기 연산의 결과, 이미지 내의 작은 구멍들이 채워지고 객체 사이의 좁은 틈들이 메워진다. 이를 통해 객체의 윤곽이 부드러워지고 끊어진 부분들이 연결되는 효과를 얻을 수 있다.

4. 관련 연구 및 서지

* 장 세라, Image Analysis and Mathematical Morphology (영상 분석과 수학적 형태학), ISBN 0-12-637240-3 (1982)
* 장 세라, Image Analysis and Mathematical Morphology, Volume 2: Theoretical Advances (영상 분석과 수학적 형태학, 제2권: 이론적 발전), ISBN 0-12-637241-1 (1988)
* 에드워드 R. 도허티, An Introduction to Morphological Image Processing (형태학적 영상 처리에 대한 소개), ISBN 0-8194-0845-X (1992)