맨션 정리

1. 본문

맨션 정리(Mansion's theorem)는 기하학의 정리 중 하나로, 삼각형의 내심과 관련된 성질을 다룹니다. 이 정리는 다음과 같이 요약할 수 있습니다.
맨션 정리:삼각형 ABC의 내심을 I, 외접원을 O라고 할 때, 직선 AI와 외접원 O가 만나는 점을 D (D ≠ A)라고 하면, BD = CD = ID가 성립합니다.
추가 설명:

• 내심: 삼각형의 세 내각의 이등분선이 만나는 점입니다.
• 외접원: 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원입니다.
• 원주각: 원 위의 한 점에서 그 원의 현을 바라보는 각입니다.

맨션 정리의 증명 (간략):1. I는 내심이므로, ∠BAI = ∠CAI입니다.

2. ∠BAI는 호 BD의 원주각, ∠CAI는 호 CD의 원주각이므로, 호 BD와 호 CD의 길이는 같습니다. 따라서 BD = CD입니다.

3. 삼각형 IBD에서 ∠BID는 ∠BAI + ∠ABI (외각)이고, ∠IBD는 ∠IBC + ∠CBD입니다. ∠BAI = ∠CAI이고 ∠CBD = ∠CAD (같은 호에 대한 원주각)이므로, ∠BID = ∠IBD입니다. 따라서 삼각형 IBD는 이등변삼각형이고, BD = ID입니다.
결론적으로, BD = CD = ID가 성립합니다.참고 자료:

• 위키백과: [https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A7%A8%EC%85%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A7%A8%EC%85%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC)
• 네이버 블로그 (증명): [https://blog.naver.com/PostView.naver?blogId=dltjddns727&logNo=220900339409&parentCategoryNo=&categoryNo=&viewDate=&isShowPopularPosts=false&from=postView](https://blog.naver.com/PostView.naver?blogId=dltjddns727&logNo=220900339409&parentCategoryNo=&categoryNo=&viewDate=&isShowPopularPosts=false&from=postView)
• 나무위키 (오심과 관련된 정리): [https://namu.wiki/w/%EC%98%A4%EC%8B%AC(%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99)](https://namu.wiki/w/%EC%98%A4%EC%8B%AC(%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99))
• YouTube (영상 설명):
• 멘션 정리 설명 1: [https://www.youtube.com/watch?v=qGZq_5p6-YU](https://www.youtube.com/watch?v=qGZq_5p6-YU)
• 멘션 정리 설명 2: [https://www.youtube.com/watch?v=YfCS56qeMYo](https://www.youtube.com/watch?v=YfCS56qeMYo)