무변 그래프
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1. 개요
무변 그래프는 변을 갖지 않는 그래프이다. 무변 그래프의 위상은 이산 공간이며, 변 색칠수는 0이다. 무변 그래프의 여 그래프는 완전 그래프이고, 모든 경로는 길이가 0이며, 모든 연결 성분은 하나의 꼭짓점을 갖는다. 또한 0-정규 그래프이다. 무변 그래프의 여 그래프는 완전 그래프이며, 완전 그래프가 무변 그래프인 경우는 K₀와 K₁ 뿐이다. 무변 그래프는 꼭짓점의 수에 따라 분류된다.
그래프 Γ에 대하여 다음 조건들을 만족시키는 그래프를 무변 그래프라고 하며, 이 조건들은 서로 동치이다.
2. 정의
2. 1. 동치 조건
그래프 Γ에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 그래프를 '''무변 그래프'''라고 한다.
| 조건 |
|---|
| E(Γ) = ∅이다. 즉, 변을 갖지 않는다. |
| Γ의 (CW 복합체로서의) 위상은 이산 공간이다. |
| Γ의 변 색칠수는 0이다. |
| Γ의 여 그래프는 완전 그래프이다. |
| 모든 경로의 길이는 0이다. |
| 모든 연결 성분은 하나의 꼭짓점을 갖는다. |
| 0-정규 그래프이다. |
2. 2. 표기법
꼭짓점이 n개인 무변 그래프는 완전 그래프 Kₙ의 여 그래프이므로, \bar K_n으로 표기할 수 있다.[1]2. 3. 특수 케이스
꼭짓점이 0개인 무변 그래프 는 공 그래프(空graph, empty graph영어)라고 한다.[1] 은 한원소 그래프(singleton graph영어)이다.3. 성질
무변 그래프의 여 그래프는 (같은 수의 꼭짓점을 갖는) 완전 그래프이다.
완전 그래프가 무변 그래프인 경우는 K₀ 및 K₁ 밖에 없다.
4. 분류
무변 그래프는 그 꼭짓점의 수에 따라 분류된다. 즉, 각 기수 κ에 대하여, κ개의 꼭짓점을 갖는 무변 그래프 가 존재한다.
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