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동치

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목차

1. 개요

동치는 두 명제가 동일한 진리값을 가질 때를 의미하며, 논리학에서 중요한 개념으로 다양한 법칙과 속성으로 표현된다. 논리적 동치는 명제 논리에서 자주 사용되며, 항등 법칙, 지배 법칙, 멱등 법칙, 이중 부정 법칙, 교환 법칙, 결합 법칙, 분배 법칙, 드 모르간 법칙, 흡수 법칙, 부정 법칙 등이 있다. 조건 명제와 쌍조건 명제를 포함하는 논리적 동치도 존재하며, 이는 명제 간의 관계를 다양한 형태로 나타낸다. 논리적 동치는 물질적 동치와 구별되며, 두 명제가 모든 모델에서 동일한 진리값을 가질 경우 논리적으로 동치이다.

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동치

2. 논리적 동치

두 명제가 동일한 진리값을 가질 때, 이들을 논리적으로 동치라고 한다. 논리학에는 여러 가지 일반적인 논리적 동치가 있으며, 법칙이나 속성으로 나열되기도 한다.

2. 1. 일반적인 논리적 동치

p \vee \textbf{F} \equiv p항등 법칙p \vee \textbf{T} \equiv \textbf{T}
p \wedge \textbf{F} \equiv \textbf{F}지배 법칙p \vee p \equiv p
p \wedge p \equiv p멱등 법칙\neg (\neg p) \equiv p이중 부정 법칙p \vee q \equiv q \vee p
p \wedge q \equiv q \wedge p교환 법칙(p \vee q) \vee r \equiv p \vee (q \vee r)
(p \wedge q) \wedge r \equiv p \wedge (q \wedge r) 결합 법칙p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r)
p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)분배 법칙\neg (p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q
\neg (p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q드 모르간 법칙p \vee (p \wedge q) \equiv p
p \wedge (p \vee q) \equiv p흡수 법칙p \vee \neg p \equiv \textbf{T}
p \wedge \neg p \equiv \textbf{F}부정 법칙


2. 2. 조건 명제를 포함하는 논리적 동치

조건 명제는 다른 명제와의 관계를 통해 다양한 논리적 동치 형태로 표현될 수 있다.

:p \implies q \equiv \neg p \vee q

:p \implies q \equiv \neg q \implies \neg p (대우)

:p \vee q \equiv \neg p \implies q

:p \wedge q \equiv \neg (p \implies \neg q)

:\neg (p \implies q) \equiv p \wedge \neg q

:(p \implies q) \wedge (p \implies r) \equiv p \implies (q \wedge r)

:(p \implies q) \vee (p \implies r) \equiv p \implies (q \vee r)

:(p \implies r) \wedge (q \implies r) \equiv (p \vee q) \implies r

:(p \implies r) \vee (q \implies r) \equiv (p \wedge q) \implies r

2. 3. 쌍조건 명제를 포함하는 논리적 동치

쌍조건 명제는 두 명제가 서로 필요충분조건 관계임을 나타낸다.

:p \iff q \equiv (p \implies q) \wedge (q \implies p)

:p \iff q \equiv \neg p \iff \neg q

:p \iff q \equiv (p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q)

:\neg (p \iff q) \equiv p \iff \neg q \equiv p \oplus q

여기서 \oplus는 XOR을 나타낸다.

3. 예시

논리적 동치는 구체적인 예를 통해 더 쉽게 이해할 수 있다.

3. 1. 논리적 동치 예시

다음 명제들은 논리적으로 동치이다.[1]

# 만약 리사가 덴마크에 있다면, 그녀는 유럽에 있다.

# 만약 리사가 유럽에 없다면, 그녀는 덴마크에 있지 않다.

구문론적으로, (1)과 (2)는 대우와 이중 부정 규칙을 통해 서로 유도될 수 있다. 의미론적으로, (1)과 (2)는 정확히 동일한 모델(해석, 평가)에서 참이다. 즉, "리사는 덴마크에 있다"가 거짓이거나 "리사는 유럽에 있다"가 참인 경우이다.[1]

(이 예시에서는 고전 논리가 가정된다는 점에 유의해야 한다. 일부 비고전 논리에서는 (1)과 (2)가 논리적으로 동치라고 간주하지 않는다.)[1]

4. 물질적 동치와의 관계

논리적 동치는 물질적 동치와는 다른 개념이다. 물질적 동치는 'p이면 q이다'라는 아이디어를 표현하는 대상 언어 내의 명제인 반면, 논리적 동치는 두 명제 사이의 관계를 표현하는 메타언어의 명제이다.[2]

4. 1. 논리적 동치와 물질적 동치의 차이점

p와 q가 논리적으로 동치라는 것은, 물질적 동치(p \leftrightarrow q) 명제가 항진명제일 때, 즉 항상 참일 때를 의미한다.[2]

p와 q의 물질적 동치(주로 p \leftrightarrow q로 표기)는 p와 q와 같은 대상 언어 내의 또 다른 명제이다. 이 명제는 "'p이면 q이고, q이면 p이다'"라는 의미를 나타낸다. p \leftrightarrow q의 진리값은 모델에 따라 달라질 수 있다.

반면, 두 공식이 논리적으로 동치라는 주장은 두 명제 p와 q 사이의 관계를 나타내는 메타언어의 명제이다. 두 명제가 모든 모델에서 동일한 진리값을 가질 경우 논리적으로 동치라고 한다.

참조

[1] 서적 Introduction to Mathematical Logic https://archive.org/[...]
[2] 서적 Introduction to Logic Pearson


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