반대각선

1. 개요

반대각선은 행렬에서 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 올라가는 사선을 의미한다. 이는 일반적으로 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려오는 주대각선과 반대되는 개념으로, 중심점과 중심축을 기준으로 대칭 구조를 이룬다. 교환 행렬, 반대각 대칭 행렬, 한켈 행렬, 반대칭 행렬 등 다양한 행렬에서 반대각선은 중요한 역할을 하며, 행렬의 구조적 특성을 이해하는 데 기여한다.

2. 중심축과 중심점

행렬에서 대각선과 반대각선의 존재는 이들이 교차하는 중심점과 대칭되는 중심축 같은 구조적 성질을 예상할 수 있게 정보를 제공한다.

2.1. 주대각선

일반적으로 행렬의 대각선이라함은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려오는 사선을 관습적으로 가리킨다. 이것의 대표적인 예가 주대각선이다.

2.2. 반대각선

일반적으로 행렬의 대각선이라 함은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려오는 사선을 관습적으로 가리킨다.
:$\backslash left(\; \backslash ;\; \backslash Bigg\backslash backslash\; \backslash ;\; \backslash right)$
이것의 대표적인 예가 주대각선이다.

그러나 반대각선(anti-diagonal)은 이와는 정반대의 사선을 이루는 것으로, 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 올라가는 반대 사선을 가리킨다.
:$$
\cancel{
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & a \\
0 & 0 & a & 0 \\
0 & a & 0 & 0 \\
a & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }

이처럼 대각선과 반대각선을 갖는 행렬의 구조적 성질은 이들이 교차하는 중심점과 이들이 대칭되는 중심축을 예상할 수 있게 정보를 제공하여 준다.

2.3. 중심점과 중심축

일반적으로 행렬의 대각선은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려오는 사선을 관습적으로 가리킨다.
:$\backslash left(\; \backslash ;\; \backslash Bigg\backslash backslash\; \backslash ;\; \backslash right)$
이것의 대표적인 예가 주대각선이다.

그러나 반대각선은 이와는 정반대의 사선을 이루는 것으로 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 올라가는 반대 사선을 가리킨다.
:$$
\cancel{
\begin{pmatrix}
0 & 0 &0 & a \\
0 & 0 &a & 0\\
0 & a &0 & 0\\
a & 0&0 & 0 \end{pmatrix} }

이처럼 대각선과 반대각선을 갖는 행렬의 구조적 성질은 이들이 교차하는 중심점과 이들이 대칭되는 중심축을 예상할 수 있게 정보를 제공한다.

3. 행렬의 예

다양한 종류의 행렬에서 반대각선 또는 이와 관련된 특징을 찾아볼 수 있다. 예를 들어, 교환행렬과 반대각 대칭행렬은 반대각선이 주대각선이 되는 특징을 가진다. 또한 한켈 행렬은 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 향하는 반대각선 상의 원소들이 모두 같은 값을 가지는 정사각 행렬이다. 반대칭행렬의 특수한 경우인 사선 에르미트행렬과 같은 행렬에서도 반대각선과 관련된 성질을 살펴볼 수 있다.

3.1. 교환행렬

교환행렬의 반대각선은 주대각선이다. 아래는 그 예시이다.
$$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}

3.2. 반대각 대칭행렬

반대각 대칭행렬의 반대각선인 주대각선
:$\backslash begin\{pmatrix\}$
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{14} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{23} & a_{13} \\
a_{41} & a_{42} & a_{32} & a_{22} & a_{12} \\
a_{51} & a_{41} & a_{31} & a_{21} & a_{11}
\end{pmatrix}

3.3. 한켈 행렬

한켈 행렬은 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 향하는 반대각선 상의 원소들이 모두 같은 값을 가지는 정사각 행렬이다. 예를 들어, 다음과 같은 5x5 한켈 행렬을 살펴보면 각 반대각선(예: $a$, $b$와 $b$, $c$와 $c$와 $c$ 등)이 동일한 원소로 구성되어 있음을 확인할 수 있다.

:$\backslash begin\{pmatrix\}$
a & b & c & d & e \\
b & c & d & e & f \\
c & d & e & f & g \\
d & e & f & g & h \\
e & f & g & h & i \\
\end{pmatrix}

3.4. 반대칭행렬

반대칭행렬의 특수한 경우인 사선 에르미트행렬
: