파울리 행렬

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1. 개요

파울리 행렬은 2x2의 복소수 정사각 행렬로, 양자역학 및 상대론적 양자역학, 양자 정보 이론 등 다양한 분야에서 활용된다. 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬이며, 행렬식은 -1, 대각합은 0이다. 파울리 행렬은 리 대수와 클리퍼드 대수의 생성원이며, 스핀 1/2 입자의 스핀 연산자를 표현하는 데 사용된다. 또한, SU(2) 군의 생성자로서, 순시 고유 로런츠 군과 SL(2, C)를 대응시키는 데 사용된다. 임의의 복소 2차 행렬은 파울리 행렬의 선형 결합으로 표현 가능하며, 파울리 벡터와 행렬 지수 함수를 통해 다양한 물리적 현상을 모델링하는 데 활용된다.

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파울리 행렬
개요
파울리 행렬
유형	행렬
크기	2 × 2
성분	복소수
정의
파울리 행렬	σ₀ = 단위 행렬 σ₁ = 0, 1], [1, 0 σ₂ = 0, -i], [i, 0 σ₃ = 1, 0], [0, -1
설명	σ₀는 2 × 2 단위 행렬임 σ₁, σ₂, σ₃는 파울리 행렬임
다른 표기	σx, σy, σz τ₁, τ₂, τ₃
성질
에르미트 행렬	각 파울리 행렬은 에르미트 행렬임.
유니타리 행렬	각 파울리 행렬은 유니타리 행렬임.
고유값	±1
행렬식	-1
대각합	0
교환 관계	[σᵢ, σⱼ] = 2iεᵢⱼₖσₖ (εᵢⱼₖ는 레비-치비타 기호)
반교환 관계	{σᵢ, σⱼ} = 2δᵢⱼI (δᵢⱼ는 크로네커 델타, I는 2×2 단위 행렬)
제곱	σᵢ² = I
행렬 지수	exp(iσₖθ) = cos(θ)I + isin(θ)σₖ
스핀 연산자	Sᵢ = ħ/2 σᵢ (스핀 각운동량 연산자)
응용
양자 역학	스핀 표현, 양자 게이트 구현
특수 상대성 이론	SL(2, C) 생성원
결맞음 상태	SU(2) 결맞음 상태
관련 항목
관련 항목	블로흐 구 디랙 행렬 겔만 행렬

2. 수학적 성질

파울리 행렬은 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬이며, 행렬식과 대각합을 통해 고윳값을 구할 수 있고, 교환 관계와 반교환 관계를 만족한다.

세 개의 파울리 행렬은 모두 다음과 같은 단일 표현식으로 표현할 수 있다.^[8]

: $\sigma_j =\begin{pmatrix}\delta_{j3} & \delta_{j1} - i\,\delta_{j2}\\\delta_{j1} + i\,\delta_{j2} & -\delta_{j3}\end{pmatrix}$

여기서 $i^2 = -1$ 의 해는 허수 단위이고, $\delta_{jk}$ 는 크로네커 델타로, $j=k$ 이면 1이고 그렇지 않으면 0이다.

이 행렬들은 대합이다.^[8]

: $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\,\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

여기서 $I$ 는 단위 행렬이다.

단위 행렬 $I$ (때로는 $\sigma_0$ 로 표시됨)을 포함하면 파울리 행렬은 $\mathbb{R}$ 위의 $2 \times 2$ 에르미트 행렬의 힐베르트 공간 $\mathcal{H}_2$ 와 $\mathbb{C}$ 위의 모든 복소 $2 \times 2$ 행렬의 힐베르트 공간 $\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{C})$ 의 힐베르트-슈미트의 의미에서 직교 기저를 형성한다.

단위행렬을 포함한 파울리 행렬 $\sigma_\mu$ ( $\mu = 0, 1, 2, 3$ )에 대해,

: $\operatorname{Tr} (\sigma_\mu \sigma_\nu) = 2 \delta_{\mu \nu} \quad (\mu ,\nu =0,1,2,3)$

가 성립한다. 따라서, 복소 2차 정방행렬 공간 $\operatorname{Mat}(2,\mathbb{C})$ 에서 단위행렬을 포함한 파울리 행렬은 힐베르트-슈미트 내적 $\langle A, B \rangle = \operatorname{Tr}(A^\dagger B)$ 에 대해 직교한다.

2. 1. 에르미트성과 유니타리성

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다.

:

\sigma_i^\dagger = \sigma_i

: 에르미트 행렬

:

\sigma_i^\dagger \sigma_i = I

: 유니타리 행렬

여기서

I

는 단위행렬이다.

파울리 행렬은 에르미트 행렬이므로,

\sigma_i^\dagger = \sigma_i

이다. 따라서 파울리 행렬이 유니타리 행렬이라는 것은 다음과 동치이다.

:

\sigma_i^2 = I

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이기 때문에 아래 성질이 성립한다.

:

\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = I

2. 2. 행렬식과 대각합

파울리 행렬의 행렬식은 -1이고, 대각합은 0이다.

:

\begin{matrix}\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{for}\ i = 1, 2, 3\end{matrix}

이로부터, 파울리 행렬의 고윳값은 ±1 임을 알 수 있다.

2. 3. 고윳값과 고유벡터

각각의 파울리 행렬은 고윳값 +1과 -1을 갖는다. 대응하는 정규화된 고유벡터는 다음과 같다.

행렬	고윳값 +1	고윳값 -1
$\sigma_1$	$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$	$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$
$\sigma_2$	$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}$	$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}$
$\sigma_3$	$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

2. 4. 교환 관계와 반교환 관계

파울리 행렬은 다음과 같은 교환 관계와 반교환 관계를 만족한다.

:

[\sigma_a, \sigma_b] = 2 i \sum_c \varepsilon_{a b c}\,\sigma_c

:

\{\sigma_a, \sigma_b\} = 2 \delta_{a b} \cdot I

여기서 ''ε''_''abc''는 레비치비타 기호, ''δ''_''ab''는 크로네커 델타이며,

[\sigma_a, \sigma_b]

는 리 괄호이다. (

\{\sigma_a, \sigma_b\}

는 반교환자(anticommutator)로,

\sigma_a \sigma_b + \sigma_b \sigma_a

를 나타낸다.)

위의 두 관계를 요약하면 다음과 같다.

:

\sigma_a \sigma_b = \delta_{ab} \cdot I + i \sum_c \varepsilon_{abc} \sigma_c

몇 가지 구체적인 예시는 다음과 같다.

:

\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3

:

\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1

:

\sigma_2\sigma_1 = -i\sigma_3

:

\sigma_1\sigma_1 = I

교환 관계	반교환 관계

2. 5. 파울리 벡터

세 파울리 행렬을 벡터 형태로 결합한 것을 '''파울리 벡터'''(Pauli vector^영어)라고 하며, 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,

파울리 벡터는 교환 관계식을 이용하여 임의의 벡터 '''a'''와 '''b'''에 대해 다음과 같은 성질을 갖는다는 것을 알 수 있다.

:

(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{\sigma}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + i \mathbf{\sigma} \cdot ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} )

증명은 다음과 같다.

(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{\sigma}) = a_i \sigma_i b_j \sigma_j = a_i b_j \sigma_i \sigma_j = a_i b_j \left( \delta_{ij} \cdot I+ i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \right) = a_i b_j \delta_{ij} \cdot I+ i \sigma_k \varepsilon_{ijk} a_i b_j = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} )\,

또한, 임의의 벡터 '''a'''와 그 방향 단위벡터 $\textstyle \hat{n}$ , 그 벡터의 길이 ''a''에 대해 아래의 관계가 성립한다.

: $e^{i (\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \mathbf{\sigma}) \sin{a}$

증명은 다음과 같다.

먼저 임의의 짝수에 대한 거듭제곱에 대해

: $(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n} = I \,$

이 성립함을 알 수 있지만, 홀수에 대한 거듭제곱에 대해서는

: $(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} \,$

임을 알 수 있다. 이 두 사실과, 지수함수와 사인, 코사인 함수와의 관계

e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty{\frac{i^n x^n}{n!}} = \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,

를 이용하고 x에

: $x = a (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \,$

을 대입하면,

:: $\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n+1}}{(2n+1)!}} = \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n}}{2n!}} + i (\hat{n}\cdot \vec{\sigma}) \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,$

을 얻는다. 여기서 왼쪽의 합은 코사인, 오른쪽의 합은 사인 함수의 급수 형태임을 알 수 있다. 따라서,

: $e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \,$

이다.

파울리 벡터는 벡터 기저에서 파울리 행렬 기저로의 사상 메커니즘을 제공한다.^[2]

$\begin{align}\vec{a} \cdot \vec{\sigma}&= \sum_{k,l} a_k\, \sigma_\ell\, \hat{x}_k \cdot \hat{x}_\ell \\&= \sum_k a_k\, \sigma_k \\&= \begin{pmatrix}a_3 & a_1 - i a_2 \\a_1 + i a_2 & -a_3\end{pmatrix}.\end{align}$

3. 리 대수와 클리퍼드 대수

파울리 행렬은 리 대수 $\mathfrak{su}(2)$ (또는 $\mathfrak a_1$ )와 클리퍼드 대수의 발생원이다.

파울리 행렬은 구조 상수가 $\epsilon^{ijk}$ 인 리 대수 $\mathfrak{su}(2)$ 의 발생원이며, 디랙-클리퍼드 연산법칙을 만족하는 클리퍼드 대수의 발생원이기도 하다. 또한, 단위행렬과 함께 2x2 에르미트 행렬의 기저가 된다. 일반적인 ''n''차원의 클리퍼드 행렬을 이루는 기저는 파울리 행렬을 직화곱으로 표현할 수 있다.

3. 1. 리 대수의 발생원

파울리 행렬은 리 대수

\mathfrak{su}(2)

의 발생원이다. 즉,

:

[\frac{\sigma^i}{2},\frac{\sigma^j}{2}] = \epsilon^{ijk} \cdot \frac{\sigma^k}{2}

이므로, 그 구조 상수는

\epsilon^{ijk}

이다.

파울리 행렬은 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

:

[\sigma_j, \sigma_k] = 2 i \sum_l \varepsilon_{j k l}\,\sigma_l,

여기서 레비-치비타 기호

\varepsilon_{j k l}

가 사용된다.

이 교환 관계는 파울리 행렬을 리 대수

(\mathbb{R}^3, \times) \cong \mathfrak{su}(2) \cong \mathfrak{so}(3) .

의 표현의 생성원으로 만든다. 파울리 행렬은 행렬식이 1인 2차 유니터리 행렬이 이루는 2차 특수 유니터리 군

SU(2)

에 대응하는 리 대수

\mathfrak{su}(2)

의 생성자이다.^[8]^[12]^[13] 파울리 행렬에

-

를 곱한

:

\begin{align}X_1 &= -\frac{i}{2}\sigma_1 = \begin{bmatrix}0 &-i/2 \\

i/2 &0

\end{bmatrix} \\X_2 &= -\frac{i}{2} \sigma_2 = \begin{bmatrix}0 &-1/2 \\1/2 &0\end{bmatrix} \\X_3 &= -\frac{i}{2} \sigma_3 = \begin{bmatrix}

i/2 &0 \\

0 & i/2\end{bmatrix}\end{align}

는

\mathfrak{su}(2)

의 기저이며, 교환 관계

:

[X_1, X_2] = X_3, \, [X_2, X_3] = X_1, \, [X_3, X_1] = X_2

를 만족한다.

\mathfrak{su}(2)

는 트레이스가

0

이고 반에르미트

:

\begin{align}\operatorname{Tr}(X) &= 0 \\X^{\dagger} &= -X\end{align}

인 원소

X

로 구성되지만,

X_1, X_2, X_3

는 이 성질을 만족한다. 콤팩트하고 연결된 선형 리 군인

SU(2)

의 임의의 원소는 리 대수의 지수 사상에 의해

:

\exp(\sum\limits_{k=1}^3 t_k X_k) \quad (t_1,t_2, t_3 \in \mathbb{R})

의 형태로 나타낼 수 있다.

3. 2. 클리퍼드 대수의 발생원

파울리 행렬은 클리퍼드 대수의 발생원이며, 다음과 같은 디랙-클리퍼드 연산법칙을 만족한다.

:

\{\sigma^i,\sigma^j \} = 2\delta^{ij}

따라서 단위행렬과 함께 2x2 에르미트 행렬의 기저가 된다.

파울리 행렬은 다음과 같은 반교환 관계(anticommutation relations)를 만족한다.

:

\{\sigma_j, \sigma_k\} = 2 \delta_{j k}\,I,

여기서

\{\sigma_j, \sigma_k\}

는

\sigma_j \sigma_k + \sigma_k \sigma_j

로 정의되며,

\delta_{jk}

는 크로네커 델타이다.

I

는 2 × 2 단위 행렬을 나타낸다.

이러한 반교환 관계는 파울리 행렬이

\mathbb{R}^3

에 대한 클리포드 대수의 표현 생성원이 됨을 의미하며,

\mathrm{Cl}_3(\mathbb{R})

로 표기한다.

몇 가지 명시적인 교환자와 반교환자의 예는 다음과 같다.

교환자	반교환자

4. 복소 행렬 전개

단위 행렬(때로는 $\sigma_0$ 로 표시됨)을 포함한 파울리 행렬은 $\mathbb{R}$ 위의 $2 \times 2$ 에르미트 행렬의 힐베르트 공간 $\mathcal{H}_2$ 와 $\mathbb{C}$ 위의 모든 복소 $2 \times 2$ 행렬의 힐베르트 공간 $\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{C})$ 의 힐베르트-슈미트 의미에서 직교 기저를 형성한다.^[11]

복소 2차 정사각행렬 공간 $Mat(2,\mathbb{C})$ 에서 단위 행렬을 포함하는 파울리 행렬은 직교 기저를 이룬다.^[11] 따라서, 임의의 복소 2차 행렬 $A$ 는 단위 행렬을 포함하는 파울리 행렬 $\sigma_{\mu} (\mu = 0, 1, 2, 3)$ 의 선형 결합으로 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

: $A = s_0 I + s_1 \sigma_1 + s_2 \sigma_2 + s_3 \sigma_3 = \textstyle\sum\limits_{\mu=0}^3 s_{\mu} \sigma_{\mu}$

여기서 복소 계수 $s_{\mu}$ 는

: $s_{\mu} = \frac{1}{2} \operatorname{tr} (A\sigma_\mu) \quad (\mu=0,1,2,3)$

로 주어진다.

또한, 임의의 2차 에르미트 행렬 $A$ 는 단위 행렬을 포함하는 파울리 행렬의 선형 결합으로 나타낼 때, 계수 $s_{\mu}$ 는 실수가 된다.

부분 편극 상태를 나타내는 결맞음 행렬은 에르미트 행렬이지만, 이를 파울리 행렬로 전개한 계수를 요소로 하는 벡터(실벡터)는 Stokes vector|스토크스 벡터^영어라고 불린다. 스토크스 벡터는 어떤 종류의 사영 공간인 포앙카레 구의 좌표계를 만든다.

5. 지수 함수

$\vec{a} = a\hat{n}$ 이고 $|\hat{n}| = 1$ 인 경우, 짝수 거듭제곱에 대해서는 $(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2p} = I$ ( $p = 0, 1, 2, 3, ...$ )가 성립한다. 홀수 거듭제곱에 대해서는 $\left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)^{2q+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma}$ ( $q = 0, 1, 2, 3, ...$ )이다.

행렬 지수 함수를 계산하고, 사인과 코사인의 테일러 급수를 이용하면, 다음을 얻는다.

: $\begin{align}e^{i a\left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)}&= \sum_{k=0}^\infty{\frac{i^k \left[a \left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)\right]^k}{k!}} \\&= \sum_{p=0}^\infty{\frac{(-1)^p (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2p}}{(2p)!}} + i\sum_{q=0}^\infty{\frac{(-1)^q (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2q + 1}}{(2q + 1)!}} \\&= I\sum_{p=0}^\infty{\frac{(-1)^p a^{2p}}{(2p)!}} + i (\hat{n}\cdot \vec{\sigma}) \sum_{q=0}^\infty{\frac{(-1)^q a^{2q+1}}{(2q + 1)!}}\\\end{align}$

마지막 줄에서 첫 번째 합은 코사인, 두 번째 합은 사인이므로, 최종적으로 다음과 같다.

: $e^{i a\left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)} = I\cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a}$

이는 사원수와 유사하며, 오일러 공식을 사원수로 확장한 것이다.

지수 함수 자체의 행렬식은 1이며, 이는 '''SU(2)의 일반적인 군 원소'''임을 의미한다.

일반적인 $2 × 2$ 행렬에 대한 위 식의 추상적인 버전은 행렬 지수 함수 문서에서 찾을 수 있다. 해석적 함수 (a와 −a에서)에 대한 일반적인 버전은 실베스터 공식^[3]을 적용하여 다음과 같이 주어진다.

: $f(a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})) = I\frac{f(a) + f(-a)}{2} + \hat{n} \cdot \vec{\sigma} \frac{f(a) - f(-a)}{2}$

SU(2) 군의 합성 법칙은 위 식을 직접 적용하면 얻을 수 있다.

: $\begin{align}e^{ia\left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)} e^{ib\left(\hat{m} \cdot \vec{\sigma}\right)}&= I\left(\cos a \cos b - \hat{n} \cdot \hat{m} \sin a \sin b\right) + i\left(\hat{n} \sin a \cos b + \hat{m} \sin b \cos a - \hat{n} \times \hat{m} \sin a \sin b \right) \cdot \vec{\sigma} \\&= I\cos{c} + i \left(\hat{k} \cdot \vec{\sigma}\right) \sin c \\&= e^{ic \left(\hat{k} \cdot \vec{\sigma}\right)},\end{align}$

이는 일반적인 군 곱셈을 나타내며, 구면 코사인 법칙은 다음과 같다.

: $\cos c = \cos a \cos b - \hat{n} \cdot \hat{m} \sin a \sin b$

$c$ 가 주어지면,

: $\hat{k} = \frac{1}{\sin c}\left(\hat{n} \sin a \cos b + \hat{m} \sin b \cos a - \hat{n}\times\hat{m} \sin a \sin b\right).$

이 군 원소의 합성 회전 매개변수(이 경우 해당 BCH 전개의 닫힌 형태)는 다음과 같다.^[4]

: $e^{ic \hat{k} \cdot \vec{\sigma}} =\exp \left( i\frac{c}{\sin c} \left(\hat{n} \sin a \cos b + \hat{m} \sin b \cos a - \hat{n}\times\hat{m} \sin a \sin b\right) \cdot \vec{\sigma}\right).$

$\hat{n}$ 이 $\hat{m}$ 와 평행하면 $\hat{k}$ 도 평행하고 $c = a + b$ 이다.

파울리 행렬의 성질 ${\sigma_i}^2 =I$ 에서, 그 행렬 지수 함수는 오일러 공식과 유사한 다음 관계식을 만족한다.

: $\exp(i a \sigma_i) =I\cos a + i\sigma_i \sin a \quad (a \in \mathbb{C})$ ^[12]

실수 벡터 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3$ 와 파울리 행렬의 집합 $\vec{\sigma} = (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$ 에 대해, 다음이 성립한다.

: $\exp(i \vec{a} \cdot \vec{\sigma}) = I \cos$

+ i (\vec{n} \cdot \vec{\sigma})\sin

여기서

\vec{n}

은

\vec{n} =\frac{1}

(a_1, a_2, a_3)으로 주어지는 단위 벡터이다.

\vec{a}

가 실수 벡터인 경우,

exp(i \vec{a} \cdot \vec{\sigma})

는 2차 특수 유니터리 군

SU(2)

의 원소가 된다. 이것은 파울리 행렬에 허수 단위를 곱한

i\sigma_k

(

k = 1, 2, 3

) 이

SU(2)

에 대응하는 리 대수

\mathfrak{su}(2)

의 기저이기 때문이다.

6. SU(2)와 SO(3)

파울리 행렬은 행렬식이 1인 2차 유니터리 행렬이 이루는 2차 특수 유니터리 군 $\text{SU}(2)$ 에 대응하는 리 대수 $\mathfrak{su}(2)$ 의 생성자이다.^[8]^[12]^[13] 파울리 행렬에 $-\frac{i}{2}$ 를 곱한

: $\begin{align}X_1 &= -\frac{i}{2}\sigma_1 = \begin{bmatrix}0 &-i/2 \\$

i/2 &0

\end{bmatrix} \\X_2 &= -\frac{i}{2} \sigma_2 = \begin{bmatrix}0 &-1/2 \\1/2 &0\end{bmatrix} \\X_3 &= -\frac{i}{2} \sigma_3 = \begin{bmatrix}

i/2 &0 \\

0 & i/2\end{bmatrix}\end{align}

는

\mathfrak{su}(2)

의 기저이며, 교환 관계

:

[X_1, X_2] = X_3, \, [X_2, X_3] = X_1, \, [X_3, X_1] = X_2

를 만족한다.

\mathfrak{su}(2)

는 트레이스가 0이고 반에르미트인

:

\begin{align}\operatorname{Tr}(X) &= 0 \\X^{\dagger} &= -X\end{align}

원소

X

로 구성되지만,

X_1, X_2, X_3

는 이 성질을 만족한다. 콤팩트하고 연결된 선형 리 군인

\text{SU}(2)

의 임의의 원소는 리 대수의 지수 사상에 의해

:

\exp\left(\sum_{k=1}^3 t_k X_k\right) \quad (t_1,t_2, t_3 \in \mathbb{R})

의 형태로 나타낼 수 있다.

\mathfrak{su}(2)

는 리 대수

\mathfrak{so}(3)

와 동형이다. 이는 3차원 공간의 회전 군인 리 군 SO(3)에 해당한다. 다시 말해,

i\sigma_j

는 3차원 공간에서의 무한소 회전의 실현(사실, 최저 차원의 실현)이라고 말할 수 있다. 그러나

\mathfrak{su}(2)

와

\mathfrak{so}(3)

가 리 대수로서 동형이지만,

\text{SU}(2)

와

\text{SO}(3)

는 리 군으로서 동형이 아니다.

\text{SU}(2)

는 실제로

\text{SO}(3)

의 이중 피복이며, 즉

\text{SU}(2)

에서

\text{SO}(3)

로의 2대 1 군 준동형 사상이 존재한다.

7. 사원수 표현

$\{I, i\sigma_1, i\sigma_2, i\sigma_3\}$ 의 실수 선형 범위는 사원수의 실수 대수 $\mathbb{H}$ 와 동형이며, 기저 벡터 $\left\{\; \mathbf{1}, \, \mathbf{i}, \, \mathbf{j}, \, \mathbf{k} \;\right\}$ 의 범위로 나타낼 수 있다. $\mathbb{H}$ 에서 이 집합으로의 동형 사상은 다음 사상에 의해 주어진다(파울리 행렬에 대한 부호 반전에 유의).^[5]

: $\mathbf{1} \mapsto I, \quad\mathbf{i} \mapsto - \sigma_2\sigma_3 = - i\,\sigma_1, \quad\mathbf{j} \mapsto - \sigma_3\sigma_1 = - i\,\sigma_2, \quad\mathbf{k} \mapsto - \sigma_1\sigma_2 = - i\,\sigma_3.$

또는, 파울리 행렬을 역순으로 사용하는 사상을 통해 동형 사상을 얻을 수 있다.^[5]

: $\mathbf{1} \mapsto I, \quad\mathbf{i} \mapsto i\,\sigma_3 \, , \quad\mathbf{j} \mapsto i\,\sigma_2 \, , \quad\mathbf{k} \mapsto i\,\sigma_1 ~ .$

파울리 행렬을 이용하여 사원수의 2차 정사각행렬 표현을 구성할 수 있다.

$e_k = -i\sigma_k \quad (k=1,2,3)$

를 도입하면 다음과 같은 관계식을 만족한다.

$e_1^2 = e_2^2 = e_3^2 = -I$

$e_1e_2 = -e_2e_1 = e_3, \, e_2e_3 = -e_3e_2 = e_1, \, e_3e_1 = -e_1e_3 = e_2$

이는 사원수의 기저원소 $i, j, k$가 만족하는 관계식

$i^2 = j^2 = k^2 = -1$

$ij = -ji = k, \, jk = -kj = i, \, ki = -ik = j$

과 대응한다. 사원수환 $\mathbb{H}$에서 복소행렬환 $Mat(2,\mathbb{C})$로의 $\mathbb{R}$-선형사상

$a1 + bi + cj + dk \mapsto aI + be_1 + ce_2 + de_3 \quad (a,b,c,d \in \mathbb{R})$

은 덧셈과 곱셈을 보존하며, 사원수의 2차 정사각행렬 표현을 제공한다. 이 사상의 상은

$M = \left\{ \begin{bmatrix} a-di & -(c+bi) \\ c-bi & a+di \end{bmatrix} \, \Biggl| \, a,b,c,d \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{pmatrix} \, \Biggl| \, \alpha, \beta \in \mathbb{C} \right\}$

이며, $\mathbb{H}$와 $M$은 $\mathbb{R}$-다원환으로서 동형이다.

8. 물리학적 응용

양자역학에서 각 파울리 행렬은 세 공간 방향 각각에서 스핀 1/2 입자의 스핀을 기술하는 관측 가능량에 해당하는 각운동량 연산자와 관련이 있다.^[7] 스핀 1/2 입자의 스핀 연산자는 로 주어지며, 이는 SU(2)의 기본 표현이다.

스핀 의 각운동량 연산자는 다음과 같이 표현된다.^[8]

각운동량 연산자	행렬 표현	설명


		대각화된 표현, 고유값은

이 표현을 반복적으로 자신과 크로네커 곱함으로써, 더 높은 모든 기약 표현을 구성할 수 있다. 즉, 임의로 큰 ''j''에 대해 3차원 공간에서 더 높은 스핀 계의 결과 스핀 연산자는 이 스핀 연산자와 사다리 연산자를 사용하여 계산할 수 있다.

다입자 계의 양자역학에서 일반 파울리 군 은 모든 중 텐서 곱의 파울리 행렬로 구성되도록 정의된다.

상대론적 양자역학에서 4차원 스피너는 4 × 1 (또는 1 × 4) 행렬로 표현된다. 이러한 스피너에 작용하는 파울리 행렬은 4 × 4 행렬로 확장되어야 한다. $\mathsf{\Sigma}_k = \begin{pmatrix} \mathsf{\sigma}_k & 0 \\ 0 & \mathsf{\sigma}_k \end{pmatrix}$ 로 정의할 수 있으며, $\mathsf{\Sigma}_k$ 행렬은 $\sigma_k$ 행렬과 동일한 대수적 성질을 갖는다.

상대론적 각운동량은 3차원 벡터가 아니라 2차 4차 텐서이므로, $\mathsf{\Sigma}_k$ 는 스피너에 대한 (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) 스핀 표현에 대한 로렌츠 변환의 생성자인 $\Sigma_{\mu\nu}$ 로 대체되어야 한다. 각운동량의 반대칭성으로 인해 $\Sigma_{\mu\nu}$ 또한 반대칭이며, 따라서 독립적인 행렬은 6개뿐이다.

처음 세 개는 $\Sigma_{k\ell} \equiv \epsilon_{jk\ell}\mathsf{\Sigma}_j$ 이다. 나머지 세 개는 $-i\ \Sigma_{0k} \equiv \mathsf{\alpha}_k$ 이며, 여기서 디랙 $\alpha_k$ 행렬은 $\mathsf{\alpha}_k =\begin{pmatrix}0 & \mathsf{\sigma}_k \\\mathsf{\sigma}_k & 0\end{pmatrix}$ 와 같이 정의된다.

상대론적 스핀 행렬 $\Sigma_{\mu\nu}$ 은 감마 행렬의 교환자를 이용하여 $\Sigma_{\mu\nu} = \frac{i}{2} \bigl[ \gamma_\mu, \gamma_\nu \bigr]$ 와 같이 표현할 수 있다.^[1]

파울리 행렬은 양자 정보 이론에서 중요한 단일 큐비트 연산 중 하나이다. 단일 큐비트 양자 게이트는 2 × 2 유니터리 행렬로 나타낼 수 있다. 이러한 맥락에서 파울리 행렬을 이용한 카르탄 분해는 "단일 큐비트 게이트의 Z-Y 분해"라고 불린다. 다른 카르탄 쌍을 선택하면 "단일 큐비트 게이트의 X-Y 분해"를 얻을 수 있다.

8. 1. 고전 역학

고전역학에서 파울리 행렬은 케일리-클라인 매개변수와 관련하여 유용하다.^[6] 공간의 한 점의 위치

\vec{x}

에 대응하는 행렬 P는 파울리 벡터 행렬로 정의되며, 다음과 같다.

:

P = \vec{x} \cdot \vec{\sigma} = x\,\sigma_x + y\,\sigma_y + z\,\sigma_z .

x축에 대해

\theta

만큼 회전하는 변환 행렬

Q_\theta

는 파울리 행렬과 단위 행렬로 표현할 수 있다.^[6]

:

Q_\theta = \boldsymbol{1}\,\cos\frac{\theta}{2} + i\,\sigma_x \sin\frac{\theta}{2} .

일반적인 파울리 벡터 회전에 대해서도 유사한 식이 따른다.

8. 2. 양자 역학

양자역학에서 각 파울리 행렬은 세 공간 방향 각각에서 스핀 1/2 입자의 스핀을 기술하는 관측 가능량에 해당하는 각운동량 연산자와 관련이 있다.^[7] 스핀 1/2 입자의 스핀 연산자는 로 주어지며, 이는 SU(2)의 기본 표현이다.

스핀 의 각운동량 연산자는 다음과 같이 표현된다.^[8]

각운동량 연산자	행렬 표현	설명


		대각화된 표현, 고유값은

이 표현을 반복적으로 자신과 크로네커 곱함으로써, 더 높은 모든 기약 표현을 구성할 수 있다. 즉, 임의로 큰 ''j''에 대해 3차원 공간에서 더 높은 스핀 계의 결과 스핀 연산자는 이 스핀 연산자와 사다리 연산자를 사용하여 계산할 수 있다.

다입자 계의 양자역학에서 일반 파울리 군 은 모든 중 텐서 곱의 파울리 행렬로 구성되도록 정의된다.

8. 3. 상대론적 양자 역학

상대론적 양자역학에서 4차원 스피너는 4 × 1 (또는 1 × 4) 행렬로 표현된다. 이러한 스피너에 작용하는 파울리 행렬은 4 × 4 행렬로 확장되어야 한다. 2 × 2 파울리 행렬을 이용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\mathsf{\Sigma}_k = \begin{pmatrix} \mathsf{\sigma}_k & 0 \\ 0 & \mathsf{\sigma}_k \end{pmatrix} .

이 정의에 따르면

\ \mathsf{ \Sigma }_k \

행렬은

\ \sigma_k\

행렬과 동일한 대수적 성질을 갖는다.

상대론적 각운동량은 3차원 벡터가 아니라 2차 4차 텐서이므로,

\ \mathsf{\Sigma}_k\

는 스피너에 대한 (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) 스핀 표현에 대한 로렌츠 변환의 생성자인

\ \Sigma_{\mu\nu}\

로 대체되어야 한다. 각운동량의 반대칭성으로 인해

\ \Sigma_{\mu\nu}\

또한 반대칭이며, 따라서 독립적인 행렬은 6개뿐이다.

처음 세 개는

\ \Sigma_{k\ell} \equiv \epsilon_{jk\ell}\mathsf{\Sigma}_j \

이다. 나머지 세 개는

\ -i\ \Sigma_{0k} \equiv \mathsf{\alpha}_k\ ,

이며, 여기서 디랙

\ \alpha_k\

행렬은 다음과 같이 정의된다.

:

\mathsf{\alpha}_k =\begin{pmatrix}0   &   \mathsf{\sigma}_k \\\mathsf{\sigma}_k   &   0\end{pmatrix} .

상대론적 스핀 행렬

\ \Sigma_{\mu\nu}\

은 감마 행렬의 교환자를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\Sigma_{\mu\nu} = \frac{i}{2} \bigl[ \gamma_\mu, \gamma_\nu \bigr] .

^[1]

8. 4. 양자 정보

파울리 행렬은 양자 정보 이론에서 중요한 단일 큐비트 연산 중 하나이다. 단일 큐비트 양자 게이트는 2 × 2 유니터리 행렬로 나타낼 수 있다. 이러한 맥락에서 파울리 행렬을 이용한 카르탄 분해는 "단일 큐비트 게이트의 Z-Y 분해"라고 불린다. 다른 카르탄 쌍을 선택하면 "단일 큐비트 게이트의 X-Y 분해"를 얻을 수 있다.

9. 순시 고유 로런츠 군과 SL(2,C)

파울리 행렬은 특수 상대성이론에서 순시 고유 로런츠 군 $L^{\uparrow}_+$ 과 그 보편 덮개군인 2차 특수 선형 군 $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ 를 대응시키는 데 사용된다.^[14]^[15]

로런츠 군 $L = O(3,1)$ 은 4차원 시공간의 민코프스키 계량 $g = (g_{\mu\nu}) = \text{diag}(+1, -1, -1, -1)$ ( $\mu, \nu = 0, 1, 2, 3$ )에 대해 $\Lambda^T g \Lambda = g$ 를 만족시키며, 민코프스키 내적을 보존하는 일반 선형 군 $\text{GL}(4, \mathbb{R})$ 의 원소 $\Lambda$ 로 구성된다.

: $L= \{ \Lambda \in \text{GL}(4, \mathbb{R})| \, \Lambda^T g\Lambda=g \}$

순시 고유 로런츠 군 $L^{\uparrow}_+ = \text{SO}^+(3,1)$ 은 로런츠 군의 연결된 정규 부분군이며, 00성분과 행렬식의 부호에 대한 조건으로부터 다음과 같이 정의된다.^[16]

: $L^{\uparrow}_+ = \{ \Lambda \in L | \, \Lambda_{00} \geq 1, \det{\Lambda}=1 \}$

사차 벡터 $x = (x^0, x^1, x^2, x^3)$ 에 대해, 파울리 행렬 $\sigma_0 = I, \vec{\sigma} = (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$ 을 이용하여 2차 정방행렬 $X$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $X=\textstyle\sum\limits_{\mu=0}^3 \sigma_{\mu} x^{\mu} = x^0 I+ \vec{x} \cdot \vec{\sigma} = \begin{bmatrix}x^0 + x^3 &x^1 +ix^2 \\x^1 -ix^2 &x^0 -x^3\end{bmatrix}$

이 행렬의 행렬식은 다음과 같으며,

: $\det X=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2$

이는 민코프스키 내적 $\lang x, x \rang$ 과 같다.

$\text{SL}(2, \mathbb{C})$ 의 원소 $A$ 에 의한 변환

: $X' =AXA^{\dagger}$

을 정의하면, $\det X'= \det X$ 가 성립하여 민코프스키 내적이 보존되며, 순시 고유 로런츠 변환 $\Lambda(A)$ 를 얻는다. 또한, $\pm A$ 는 같은 로런츠 변환 $\Lambda(A) = \Lambda(-A)$ 을 나타내므로, 이는 $\text{SL}(2, \mathbb{C})$ 에서 $L^{\uparrow}_+$ 로의 2대 1 준동형 사상이다. 이 준동형 사상의 핵은 $\mathbb{Z}_2 = \{\pm 1\}$ 이며, 다음과 같은 군의 동형 대응이 성립한다.

: $\text{SL}(2, \mathbb{C})/\mathbb{Z}_2 \cong L^{\uparrow}_+$

참조

_[1] 저널 Imaginary numbers are not Real – the geometric algebra of spacetime http://geometry.mrao[...] 2023-05-05
_[2] 문서 spinor map
_[3] 서적 Quantum Computation and Quantum Information Cambridge University Press
_[4] 저널 Des lois géometriques qui regissent les déplacements d' un systéme solide dans l' espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacement considérées indépendant des causes qui peuvent les produire http://sites.mathdoc[...] Tuttle, Moorehouse & Taylor
_[5] 서적 Geometry, Topology, and Physics https://books.google[...] CRC Press
_[6] 서적 Classical Mechanics Addison-Wesley
_[7] 저널 A compact formula for rotations as spin matrix polynomials
_[8] 문서 猪木、河合（1994）、第7章
_[9] 문서 J.J Sakurai and Jim Napolitano（2010), chapter 3
_[10] 저널 Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons
_[11] 문서 내적은 힐베르트-슈미트 내적으로 한다.
_[12] 문서 平井、山下 (2003)、第4章
_[13] 문서 佐藤 (1992)、第5章
_[14] 문서 佐藤 (1992)、第8章
_[15] 문서 平井、山下 (2003)、第5章
_[16] 문서 상대론에서의 관습에 따라, 첨자는 0, 1, 2, 3을 취하는 것으로 한다.
_[17] 저널 Über den Einfluß der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt

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