파울리 행렬

1. 개요

파울리 행렬은 2x2의 복소수 정사각 행렬로, 양자역학 및 상대론적 양자역학, 양자 정보 이론 등 다양한 분야에서 활용된다. 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬이며, 행렬식은 -1, 대각합은 0이다. 파울리 행렬은 리 대수와 클리퍼드 대수의 생성원이며, 스핀 1/2 입자의 스핀 연산자를 표현하는 데 사용된다. 또한, SU(2) 군의 생성자로서, 순시 고유 로런츠 군과 SL(2, C)를 대응시키는 데 사용된다. 임의의 복소 2차 행렬은 파울리 행렬의 선형 결합으로 표현 가능하며, 파울리 벡터와 행렬 지수 함수를 통해 다양한 물리적 현상을 모델링하는 데 활용된다.

2. 수학적 성질

파울리 행렬은 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬이며, 행렬식과 대각합을 통해 고윳값을 구할 수 있고, 교환 관계와 반교환 관계를 만족한다.

세 개의 파울리 행렬은 모두 다음과 같은 단일 표현식으로 표현할 수 있다.

:$$
\sigma_j =
\begin{pmatrix}
\delta_{j3} & \delta_{j1} - i\,\delta_{j2}\\
\delta_{j1} + i\,\delta_{j2} & -\delta_{j3}
\end{pmatrix}


여기서 $i^2\; =\; -1$의 해는 허수 단위이고, $\backslash delta\_\{jk\}$는 크로네커 델타로, $j=k$이면 1이고 그렇지 않으면 0이다.

이 행렬들은 대합이다.

:

여기서 $I$는 단위 행렬이다.

단위 행렬 $I$ (때로는 $\backslash sigma\_0$로 표시됨)을 포함하면 파울리 행렬은 $\backslash mathbb\{R\}$ 위의 $2\; \backslash times\; 2$ 에르미트 행렬의 힐베르트 공간 $\backslash mathcal\{H\}\_2$와 $\backslash mathbb\{C\}$ 위의 모든 복소 $2\; \backslash times\; 2$ 행렬의 힐베르트 공간 $\backslash mathcal\{M\}\_\{2,2\}(\backslash mathbb\{C\})$의 힐베르트-슈미트의 의미에서 직교 기저를 형성한다.

단위행렬을 포함한 파울리 행렬 $\backslash sigma\_\backslash mu$ ($\backslash mu\; =\; 0,\; 1,\; 2,\; 3$)에 대해,

:$\backslash operatorname\{Tr\}\; (\backslash sigma\_\backslash mu\; \backslash sigma\_\backslash nu)\; =\; 2\; \backslash delta\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; \backslash quad\; (\backslash mu\; ,\backslash nu\; =0,1,2,3)$

가 성립한다. 따라서, 복소 2차 정방행렬 공간 $\backslash operatorname\{Mat\}(2,\backslash mathbb\{C\})$에서 단위행렬을 포함한 파울리 행렬은 힐베르트-슈미트 내적 $\backslash langle\; A,\; B\; \backslash rangle\; =\; \backslash operatorname\{Tr\}(A^\backslash dagger\; B)$에 대해 직교한다.

2.1. 에르미트성과 유니타리성

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다.

:$\backslash sigma\_i^\backslash dagger\; =\; \backslash sigma\_i$ : 에르미트 행렬
:$\backslash sigma\_i^\backslash dagger\; \backslash sigma\_i\; =\; I$ : 유니타리 행렬

여기서 $I$는 단위행렬이다.

파울리 행렬은 에르미트 행렬이므로, $\backslash sigma\_i^\backslash dagger\; =\; \backslash sigma\_i$이다. 따라서 파울리 행렬이 유니타리 행렬이라는 것은 다음과 동치이다.

:$\backslash sigma\_i^2\; =\; I$

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이기 때문에 아래 성질이 성립한다.

:$\backslash sigma\_1^2\; =\; \backslash sigma\_2^2\; =\; \backslash sigma\_3^2\; =\; I$

2.2. 행렬식과 대각합

파울리 행렬의 행렬식은 -1이고, 대각합은 0이다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{for}\ i = 1, 2, 3
\end{matrix}

이로부터, 파울리 행렬의 고윳값은 ±1 임을 알 수 있다.

2.3. 고윳값과 고유벡터

각각의 파울리 행렬은 고윳값 +1과 -1을 갖는다. 대응하는 정규화된 고유벡터는 다음과 같다.

2.4. 교환 관계와 반교환 관계

파울리 행렬은 다음과 같은 교환 관계와 반교환 관계를 만족한다.

:$[\backslash sigma\_a,\; \backslash sigma\_b]\; =\; 2\; i\; \backslash sum\_c\; \backslash varepsilon\_\{a\; b\; c\}\backslash ,\backslash sigma\_c$
:$\backslash \{\backslash sigma\_a,\; \backslash sigma\_b\backslash \}\; =\; 2\; \backslash delta\_\{a\; b\}\; \backslash cdot\; I$

여기서 ε_abc는 레비치비타 기호, δ_ab는 크로네커 델타이며, $[\backslash sigma\_a,\; \backslash sigma\_b]$는 리 괄호이다. ($\backslash \{\backslash sigma\_a,\; \backslash sigma\_b\backslash \}$는 반교환자(anticommutator)로, $\backslash sigma\_a\; \backslash sigma\_b\; +\; \backslash sigma\_b\; \backslash sigma\_a$를 나타낸다.)

위의 두 관계를 요약하면 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_a\; \backslash sigma\_b\; =\; \backslash delta\_\{ab\}\; \backslash cdot\; I\; +\; i\; \backslash sum\_c\; \backslash varepsilon\_\{abc\}\; \backslash sigma\_c$

몇 가지 구체적인 예시는 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_1\backslash sigma\_2\; =\; i\backslash sigma\_3$
:$\backslash sigma\_2\backslash sigma\_3\; =\; i\backslash sigma\_1$
:$\backslash sigma\_2\backslash sigma\_1\; =\; -i\backslash sigma\_3$
:$\backslash sigma\_1\backslash sigma\_1\; =\; I$

2.5. 파울리 벡터

세 파울리 행렬을 벡터 형태로 결합한 것을 파울리 벡터(Pauli vector^영어)라고 하며, 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash mathbf\{\backslash sigma\}\; =\; \backslash sigma\_1\; \backslash hat\{x\}\; +\; \backslash sigma\_2\; \backslash hat\{y\}\; +\; \backslash sigma\_3\; \backslash hat\{z\}\; \backslash ,$

파울리 벡터는 교환 관계식을 이용하여 임의의 벡터 a와 b에 대해 다음과 같은 성질을 갖는다는 것을 알 수 있다.
:$(\backslash mathbf\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash sigma\})(\backslash mathbf\{b\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash sigma\})\; =\; \backslash mathbf\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{b\}\; +\; i\; \backslash mathbf\{\backslash sigma\}\; \backslash cdot\; (\; \backslash mathbf\{a\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{b\}\; )$

증명은 다음과 같다.

또한, 임의의 벡터 a와 그 방향 단위벡터 $\backslash textstyle\; \backslash hat\{n\}$, 그 벡터의 길이 a에 대해 아래의 관계가 성립한다.
:$e^\{i\; (\backslash mathbf\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash sigma\})\}\; =\; \backslash cos\{a\}\; +\; i\; (\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash sigma\})\; \backslash sin\{a\}$

증명은 다음과 같다.

먼저 임의의 짝수에 대한 거듭제곱에 대해
:$(\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})^\{2n\}\; =\; I\; \backslash ,$
이 성립함을 알 수 있지만, 홀수에 대한 거듭제곱에 대해서는
:$(\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})^\{2n+1\}\; =\; \backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\; \backslash ,$
임을 알 수 있다. 이 두 사실과, 지수함수와 사인, 코사인 함수와의 관계

를 이용하고 x에
:$x\; =\; a\; (\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})\; \backslash ,$
을 대입하면,
::$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\{\backslash frac\{(-1)^n\; (a\backslash hat\{n\}\backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})^\{2n\}\}\{2n!\}\}\; +\; i\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\{\backslash frac\{(-1)^n\; (a\backslash hat\{n\}\backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\}\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\{\backslash frac\{(-1)^n\; a^\{2n\}\}\{2n!\}\}\; +\; i\; (\backslash hat\{n\}\backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\{\backslash frac\{(-1)^n\; a^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\}\}\; \backslash ,$
을 얻는다. 여기서 왼쪽의 합은 코사인, 오른쪽의 합은 사인 함수의 급수 형태임을 알 수 있다. 따라서,
:$e^\{i\; a(\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})\}\; =\; \backslash cos\{a\}\; +\; i\; (\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})\; \backslash sin\{a\}\; \backslash ,$
이다.

파울리 벡터는 벡터 기저에서 파울리 행렬 기저로의 사상 메커니즘을 제공한다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\vec{a} \cdot \vec{\sigma}
&= \sum_{k,l} a_k\, \sigma_\ell\, \hat{x}_k \cdot \hat{x}_\ell \\
&= \sum_k a_k\, \sigma_k \\
&= \begin{pmatrix}
a_3 & a_1 - i a_2 \\
a_1 + i a_2 & -a_3
\end{pmatrix}.
\end{align}

3. 리 대수와 클리퍼드 대수

파울리 행렬은 리 대수 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$ (또는 $\backslash mathfrak\; a\_1$)와 클리퍼드 대수의 발생원이다.

파울리 행렬은 구조 상수가 $\backslash epsilon^\{ijk\}$인 리 대수 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$의 발생원이며, 디랙-클리퍼드 연산법칙을 만족하는 클리퍼드 대수의 발생원이기도 하다. 또한, 단위행렬과 함께 2x2 에르미트 행렬의 기저가 된다. 일반적인 n차원의 클리퍼드 행렬을 이루는 기저는 파울리 행렬을 직화곱으로 표현할 수 있다.

3.1. 리 대수의 발생원

파울리 행렬은 리 대수 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$의 발생원이다. 즉,

:$[\backslash frac\{\backslash sigma^i\}\{2\},\backslash frac\{\backslash sigma^j\}\{2\}]\; =\; \backslash epsilon^\{ijk\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sigma^k\}\{2\}$

이므로, 그 구조 상수는 $\backslash epsilon^\{ijk\}$이다.

파울리 행렬은 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

:$[\backslash sigma\_j,\; \backslash sigma\_k]\; =\; 2\; i\; \backslash sum\_l\; \backslash varepsilon\_\{j\; k\; l\}\backslash ,\backslash sigma\_l,$

여기서 레비-치비타 기호 $\backslash varepsilon\_\{j\; k\; l\}$가 사용된다.

이 교환 관계는 파울리 행렬을 리 대수 $(\backslash mathbb\{R\}^3,\; \backslash times)\; \backslash cong\; \backslash mathfrak\{su\}(2)\; \backslash cong\; \backslash mathfrak\{so\}(3)\; .$의 표현의 생성원으로 만든다. 파울리 행렬은 행렬식이 1인 2차 유니터리 행렬이 이루는 2차 특수 유니터리 군 $SU(2)$에 대응하는 리 대수 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$의 생성자이다. 파울리 행렬에 $-$를 곱한

:$\backslash begin\{align\}$
X_1 &= -\frac{i}{2}\sigma_1 = \begin{bmatrix}
0 &-i/2 \\
-i/2 &0
\end{bmatrix} \\
X_2 &= -\frac{i}{2} \sigma_2 = \begin{bmatrix}
0 &-1/2 \\
1/2 &0
\end{bmatrix} \\
X_3 &= -\frac{i}{2} \sigma_3 = \begin{bmatrix}
-i/2 &0 \\
0 & i/2
\end{bmatrix}
\end{align}

는 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$의 기저이며, 교환 관계

:$[X\_1,\; X\_2]\; =\; X\_3,\; \backslash ,\; [X\_2,\; X\_3]\; =\; X\_1,\; \backslash ,\; [X\_3,\; X\_1]\; =\; X\_2$

를 만족한다. $\backslash mathfrak\{su\}(2)$는 트레이스가 $0$이고 반에르미트

:$\backslash begin\{align\}$
\operatorname{Tr}(X) &= 0 \\
X^{\dagger} &= -X
\end{align}

인 원소 $X$로 구성되지만, $X\_1,\; X\_2,\; X\_3$는 이 성질을 만족한다. 콤팩트하고 연결된 선형 리 군인 $SU(2)$의 임의의 원소는 리 대수의 지수 사상에 의해

:$\backslash exp(\backslash sum\backslash limits\_\{k=1\}^3\; t\_k\; X\_k)\; \backslash quad\; (t\_1,t\_2,\; t\_3\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\})$

의 형태로 나타낼 수 있다.

3.2. 클리퍼드 대수의 발생원

파울리 행렬은 클리퍼드 대수의 발생원이며, 다음과 같은 디랙-클리퍼드 연산법칙을 만족한다.

:$\backslash \{\backslash sigma^i,\backslash sigma^j\; \backslash \}\; =\; 2\backslash delta^\{ij\}$

따라서 단위행렬과 함께 2x2 에르미트 행렬의 기저가 된다.

파울리 행렬은 다음과 같은 반교환 관계(anticommutation relations)를 만족한다.

:$\backslash \{\backslash sigma\_j,\; \backslash sigma\_k\backslash \}\; =\; 2\; \backslash delta\_\{j\; k\}\backslash ,I,$

여기서 $\backslash \{\backslash sigma\_j,\; \backslash sigma\_k\backslash \}$는 $\backslash sigma\_j\; \backslash sigma\_k\; +\; \backslash sigma\_k\; \backslash sigma\_j$로 정의되며, $\backslash delta\_\{jk\}$는 크로네커 델타이다. $I$는 2 × 2 단위 행렬을 나타낸다.

이러한 반교환 관계는 파울리 행렬이 $\backslash mathbb\{R\}^3$에 대한 클리포드 대수의 표현 생성원이 됨을 의미하며, $\backslash mathrm\{Cl\}\_3(\backslash mathbb\{R\})$로 표기한다.

몇 가지 명시적인 교환자와 반교환자의 예는 다음과 같다.

4. 복소 행렬 전개

단위 행렬(때로는 $\backslash sigma\_0$로 표시됨)을 포함한 파울리 행렬은 $\backslash mathbb\{R\}$ 위의 $2\; \backslash times\; 2$ 에르미트 행렬의 힐베르트 공간 $\backslash mathcal\{H\}\_2$와 $\backslash mathbb\{C\}$ 위의 모든 복소 $2\; \backslash times\; 2$ 행렬의 힐베르트 공간 $\backslash mathcal\{M\}\_\{2,2\}(\backslash mathbb\{C\})$의 힐베르트-슈미트 의미에서 직교 기저를 형성한다.

복소 2차 정사각행렬 공간 $Mat(2,\backslash mathbb\{C\})$에서 단위 행렬을 포함하는 파울리 행렬은 직교 기저를 이룬다. 따라서, 임의의 복소 2차 행렬 $A$는 단위 행렬을 포함하는 파울리 행렬 $\backslash sigma\_\{\backslash mu\}\; (\backslash mu\; =\; 0,\; 1,\; 2,\; 3)$의 선형 결합으로 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

:$A\; =\; s\_0\; I\; +\; s\_1\; \backslash sigma\_1\; +\; s\_2\; \backslash sigma\_2\; +\; s\_3\; \backslash sigma\_3\; =\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{\backslash mu=0\}^3\; s\_\{\backslash mu\}\; \backslash sigma\_\{\backslash mu\}$

여기서 복소 계수 $s\_\{\backslash mu\}$는
:$s\_\{\backslash mu\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash operatorname\{tr\}\; (A\backslash sigma\_\backslash mu)\; \backslash quad\; (\backslash mu=0,1,2,3)$
로 주어진다.

또한, 임의의 2차 에르미트 행렬 $A$는 단위 행렬을 포함하는 파울리 행렬의 선형 결합으로 나타낼 때, 계수 $s\_\{\backslash mu\}$는 실수가 된다.

부분 편극 상태를 나타내는 결맞음 행렬은 에르미트 행렬이지만, 이를 파울리 행렬로 전개한 계수를 요소로 하는 벡터(실벡터)는 Stokes vector^영어라고 불린다. 스토크스 벡터는 어떤 종류의 사영 공간인 포앙카레 구의 좌표계를 만든다.

5. 지수 함수

$\backslash vec\{a\}\; =\; a\backslash hat\{n\}$이고 $|\backslash hat\{n\}|\; =\; 1$인 경우, 짝수 거듭제곱에 대해서는 $(\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})^\{2p\}\; =\; I$ ($p\; =\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; ...$)가 성립한다. 홀수 거듭제곱에 대해서는 $\backslash left(\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\backslash right)^\{2q+1\}\; =\; \backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}$ ($q\; =\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; ...$)이다.

행렬 지수 함수를 계산하고, 사인과 코사인의 테일러 급수를 이용하면, 다음을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}$
e^{i a\left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)}
&= \sum_{k=0}^\infty{\frac{i^k \left[a \left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)\right]^k}{k!}} \\
&= \sum_{p=0}^\infty{\frac{(-1)^p (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2p}}{(2p)!}} + i\sum_{q=0}^\infty{\frac{(-1)^q (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2q + 1}}{(2q + 1)!}} \\
&= I\sum_{p=0}^\infty{\frac{(-1)^p a^{2p}}{(2p)!}} + i (\hat{n}\cdot \vec{\sigma}) \sum_{q=0}^\infty{\frac{(-1)^q a^{2q+1}}{(2q + 1)!}}\\
\end{align}

마지막 줄에서 첫 번째 합은 코사인, 두 번째 합은 사인이므로, 최종적으로 다음과 같다.

:$e^\{i\; a\backslash left(\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\backslash right)\}\; =\; I\backslash cos\{a\}\; +\; i\; (\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})\; \backslash sin\{a\}$

이는 사원수와 유사하며, 오일러 공식을 사원수로 확장한 것이다.

지수 함수 자체의 행렬식은 1이며, 이는 SU(2)의 일반적인 군 원소임을 의미한다.

일반적인 $2\; \times \; 2$ 행렬에 대한 위 식의 추상적인 버전은 행렬 지수 함수 문서에서 찾을 수 있다. 해석적 함수 (a와 −a에서)에 대한 일반적인 버전은 실베스터 공식을 적용하여 다음과 같이 주어진다.

:$f(a(\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}))\; =\; I\backslash frac\{f(a)\; +\; f(-a)\}\{2\}\; +\; \backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\; \backslash frac\{f(a)\; -\; f(-a)\}\{2\}$

SU(2) 군의 합성 법칙은 위 식을 직접 적용하면 얻을 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
e^{ia\left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)} e^{ib\left(\hat{m} \cdot \vec{\sigma}\right)}
&= I\left(\cos a \cos b - \hat{n} \cdot \hat{m} \sin a \sin b\right) + i\left(\hat{n} \sin a \cos b + \hat{m} \sin b \cos a - \hat{n} \times \hat{m} \sin a \sin b \right) \cdot \vec{\sigma} \\
&= I\cos{c} + i \left(\hat{k} \cdot \vec{\sigma}\right) \sin c \\
&= e^{ic \left(\hat{k} \cdot \vec{\sigma}\right)},
\end{align}

이는 일반적인 군 곱셈을 나타내며, 구면 코사인 법칙은 다음과 같다.

:$\backslash cos\; c\; =\; \backslash cos\; a\; \backslash cos\; b\; -\; \backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash hat\{m\}\; \backslash sin\; a\; \backslash sin\; b$

$c$가 주어지면,

:$\backslash hat\{k\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sin\; c\}\backslash left(\backslash hat\{n\}\; \backslash sin\; a\; \backslash cos\; b\; +\; \backslash hat\{m\}\; \backslash sin\; b\; \backslash cos\; a\; -\; \backslash hat\{n\}\backslash times\backslash hat\{m\}\; \backslash sin\; a\; \backslash sin\; b\backslash right).$

이 군 원소의 합성 회전 매개변수(이 경우 해당 BCH 전개의 닫힌 형태)는 다음과 같다.

:$e^\{ic\; \backslash hat\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\}\; =$
\exp \left( i\frac{c}{\sin c} \left(\hat{n} \sin a \cos b + \hat{m} \sin b \cos a - \hat{n}\times\hat{m} \sin a \sin b\right) \cdot \vec{\sigma}\right).

$\backslash hat\{n\}$이 $\backslash hat\{m\}$와 평행하면 $\backslash hat\{k\}$도 평행하고 $c\; =\; a\; +\; b$이다.

파울리 행렬의 성질 $\{\backslash sigma\_i\}^2\; =I$에서, 그 행렬 지수 함수는 오일러 공식과 유사한 다음 관계식을 만족한다.

:$\backslash exp(i\; a\; \backslash sigma\_i)\; =I\backslash cos\; a\; +\; i\backslash sigma\_i\; \backslash sin\; a\; \backslash quad\; (a\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\})$

실수 벡터 $\backslash vec\{a\}\; =\; (a\_1,\; a\_2,\; a\_3)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^3$ 와 파울리 행렬의 집합 $\backslash vec\{\backslash sigma\}\; =\; (\backslash sigma\_1,\; \backslash sigma\_2,\; \backslash sigma\_3)$ 에 대해, 다음이 성립한다.

:$\backslash exp(i\; \backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})\; =\; I\; \backslash cos$

이 표현을 반복적으로 자신과 크로네커 곱함으로써, 더 높은 모든 기약 표현을 구성할 수 있다. 즉, 임의로 큰 j에 대해 3차원 공간에서 더 높은 스핀 계의 결과 스핀 연산자는 이 스핀 연산자와 사다리 연산자를 사용하여 계산할 수 있다.

다입자 계의 양자역학에서 일반 파울리 군 은 모든 중 텐서 곱의 파울리 행렬로 구성되도록 정의된다.

상대론적 양자역학에서 4차원 스피너는 4 × 1 (또는 1 × 4) 행렬로 표현된다. 이러한 스피너에 작용하는 파울리 행렬은 4 × 4 행렬로 확장되어야 한다. 로 정의할 수 있으며, $\backslash mathsf\{\backslash Sigma\}\_k$ 행렬은 $\backslash sigma\_k$ 행렬과 동일한 대수적 성질을 갖는다.

상대론적 각운동량은 3차원 벡터가 아니라 2차 4차 텐서이므로, $\backslash mathsf\{\backslash Sigma\}\_k$는 스피너에 대한 (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) 스핀 표현에 대한 로렌츠 변환의 생성자인 $\backslash Sigma\_\{\backslash mu\backslash nu\}$로 대체되어야 한다. 각운동량의 반대칭성으로 인해 $\backslash Sigma\_\{\backslash mu\backslash nu\}$ 또한 반대칭이며, 따라서 독립적인 행렬은 6개뿐이다.

처음 세 개는 $\backslash Sigma\_\{k\backslash ell\}\; \backslash equiv\; \backslash epsilon\_\{jk\backslash ell\}\backslash mathsf\{\backslash Sigma\}\_j$이다. 나머지 세 개는 $-i\backslash \; \backslash Sigma\_\{0k\}\; \backslash equiv\; \backslash mathsf\{\backslash alpha\}\_k$ 이며, 여기서 디랙 $\backslash alpha\_k$ 행렬은 $$
\mathsf{\alpha}_k =
\begin{pmatrix}
0 & \mathsf{\sigma}_k \\
\mathsf{\sigma}_k & 0
\end{pmatrix}
와 같이 정의된다.

상대론적 스핀 행렬 $\backslash Sigma\_\{\backslash mu\backslash nu\}$은 감마 행렬의 교환자를 이용하여 $\backslash Sigma\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; \backslash frac\{i\}\{2\}\; \backslash bigl[\; \backslash gamma\_\backslash mu,\; \backslash gamma\_\backslash nu\; \backslash bigr]$ 와 같이 표현할 수 있다.

파울리 행렬은 양자 정보 이론에서 중요한 단일 큐비트 연산 중 하나이다. 단일 큐비트 양자 게이트는 2 × 2 유니터리 행렬로 나타낼 수 있다. 이러한 맥락에서 파울리 행렬을 이용한 카르탄 분해는 "단일 큐비트 게이트의 Z-Y 분해"라고 불린다. 다른 카르탄 쌍을 선택하면 "단일 큐비트 게이트의 X-Y 분해"를 얻을 수 있다.

8.1. 고전 역학

고전역학에서 파울리 행렬은 케일리-클라인 매개변수와 관련하여 유용하다. 공간의 한 점의 위치 $\backslash vec\{x\}$에 대응하는 행렬 P는 파울리 벡터 행렬로 정의되며, 다음과 같다.

:$P\; =\; \backslash vec\{x\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\; =\; x\backslash ,\backslash sigma\_x\; +\; y\backslash ,\backslash sigma\_y\; +\; z\backslash ,\backslash sigma\_z\; .$

x축에 대해 $\backslash theta$만큼 회전하는 변환 행렬 $Q\_\backslash theta$는 파울리 행렬과 단위 행렬로 표현할 수 있다.

:$Q\_\backslash theta\; =\; \backslash boldsymbol\{1\}\backslash ,\backslash cos\backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; +\; i\backslash ,\backslash sigma\_x\; \backslash sin\backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; .$

일반적인 파울리 벡터 회전에 대해서도 유사한 식이 따른다.

8.2. 양자 역학

양자역학에서 각 파울리 행렬은 세 공간 방향 각각에서 스핀 1/2 입자의 스핀을 기술하는 관측 가능량에 해당하는 각운동량 연산자와 관련이 있다. 스핀 1/2 입자의 스핀 연산자는 로 주어지며, 이는 SU(2)의 기본 표현이다.

스핀 의 각운동량 연산자는 다음과 같이 표현된다.

이 표현을 반복적으로 자신과 크로네커 곱함으로써, 더 높은 모든 기약 표현을 구성할 수 있다. 즉, 임의로 큰 j에 대해 3차원 공간에서 더 높은 스핀 계의 결과 스핀 연산자는 이 스핀 연산자와 사다리 연산자를 사용하여 계산할 수 있다.

다입자 계의 양자역학에서 일반 파울리 군 은 모든 중 텐서 곱의 파울리 행렬로 구성되도록 정의된다.

8.3. 상대론적 양자 역학

상대론적 양자역학에서 4차원 스피너는 4 × 1 (또는 1 × 4) 행렬로 표현된다. 이러한 스피너에 작용하는 파울리 행렬은 4 × 4 행렬로 확장되어야 한다. 2 × 2 파울리 행렬을 이용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

이 정의에 따르면 $\backslash \; \backslash mathsf\{\; \backslash Sigma\; \}\_k\; \backslash$ 행렬은 $\backslash \; \backslash sigma\_k\backslash$ 행렬과 동일한 대수적 성질을 갖는다.

상대론적 각운동량은 3차원 벡터가 아니라 2차 4차 텐서이므로, $\backslash \; \backslash mathsf\{\backslash Sigma\}\_k\backslash$는 스피너에 대한 (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) 스핀 표현에 대한 로렌츠 변환의 생성자인 $\backslash \; \backslash Sigma\_\{\backslash mu\backslash nu\}\backslash$로 대체되어야 한다. 각운동량의 반대칭성으로 인해 $\backslash \; \backslash Sigma\_\{\backslash mu\backslash nu\}\backslash$ 또한 반대칭이며, 따라서 독립적인 행렬은 6개뿐이다.

처음 세 개는 $\backslash \; \backslash Sigma\_\{k\backslash ell\}\; \backslash equiv\; \backslash epsilon\_\{jk\backslash ell\}\backslash mathsf\{\backslash Sigma\}\_j\; \backslash$이다. 나머지 세 개는 $\backslash \; -i\backslash \; \backslash Sigma\_\{0k\}\; \backslash equiv\; \backslash mathsf\{\backslash alpha\}\_k\backslash \; ,$ 이며, 여기서 디랙 $\backslash \; \backslash alpha\_k\backslash$ 행렬은 다음과 같이 정의된다.

:$$
\mathsf{\alpha}_k =
\begin{pmatrix}
0 & \mathsf{\sigma}_k \\
\mathsf{\sigma}_k & 0
\end{pmatrix} .


상대론적 스핀 행렬 $\backslash \; \backslash Sigma\_\{\backslash mu\backslash nu\}\backslash$은 감마 행렬의 교환자를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
:$\backslash Sigma\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; \backslash frac\{i\}\{2\}\; \backslash bigl[\; \backslash gamma\_\backslash mu,\; \backslash gamma\_\backslash nu\; \backslash bigr]\; .$

8.4. 양자 정보

파울리 행렬은 양자 정보 이론에서 중요한 단일 큐비트 연산 중 하나이다. 단일 큐비트 양자 게이트는 2 × 2 유니터리 행렬로 나타낼 수 있다. 이러한 맥락에서 파울리 행렬을 이용한 카르탄 분해는 "단일 큐비트 게이트의 Z-Y 분해"라고 불린다. 다른 카르탄 쌍을 선택하면 "단일 큐비트 게이트의 X-Y 분해"를 얻을 수 있다.

9. 순시 고유 로런츠 군과 SL(2,C)

파울리 행렬은 특수 상대성이론에서 순시 고유 로런츠 군 $L^\{\backslash uparrow\}\_+$과 그 보편 덮개군인 2차 특수 선형 군 $\backslash text\{SL\}(2,\backslash mathbb\{C\})$를 대응시키는 데 사용된다.

로런츠 군 $L\; =\; O(3,1)$은 4차원 시공간의 민코프스키 계량 $g\; =\; (g\_\{\backslash mu\backslash nu\})\; =\; \backslash text\{diag\}(+1,\; -1,\; -1,\; -1)$ ($\backslash mu,\; \backslash nu\; =\; 0,\; 1,\; 2,\; 3$)에 대해 $\backslash Lambda^T\; g\; \backslash Lambda\; =\; g$를 만족시키며, 민코프스키 내적을 보존하는 일반 선형 군 $\backslash text\{GL\}(4,\; \backslash mathbb\{R\})$의 원소 $\backslash Lambda$로 구성된다.

:$L=\; \backslash \{\; \backslash Lambda\; \backslash in\; \backslash text\{GL\}(4,\; \backslash mathbb\{R\})|\; \backslash ,\; \backslash Lambda^T\; g\backslash Lambda=g\; \backslash \}$

순시 고유 로런츠 군 $L^\{\backslash uparrow\}\_+\; =\; \backslash text\{SO\}^+(3,1)$은 로런츠 군의 연결된 정규 부분군이며, 00성분과 행렬식의 부호에 대한 조건으로부터 다음과 같이 정의된다.

:$L^\{\backslash uparrow\}\_+\; =\; \backslash \{\; \backslash Lambda\; \backslash in\; L\; |\; \backslash ,\; \backslash Lambda\_\{00\}\; \backslash geq\; 1,\; \backslash det\{\backslash Lambda\}=1\; \backslash \}$

사차 벡터 $x\; =\; (x^0,\; x^1,\; x^2,\; x^3)$에 대해, 파울리 행렬 $\backslash sigma\_0\; =\; I,\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\; =\; (\backslash sigma\_1,\; \backslash sigma\_2,\; \backslash sigma\_3)$을 이용하여 2차 정방행렬 $X$를 다음과 같이 정의한다.

:$X=\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{\backslash mu=0\}^3\; \backslash sigma\_\{\backslash mu\}\; x^\{\backslash mu\}\; =\; x^0\; I+\; \backslash vec\{x\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
x^0 + x^3 &x^1 +ix^2 \\
x^1 -ix^2 &x^0 -x^3
\end{bmatrix}

이 행렬의 행렬식은 다음과 같으며,

:$\backslash det\; X=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2$

이는 민코프스키 내적 $\backslash lang\; x,\; x\; \backslash rang$과 같다.

$\backslash text\{SL\}(2,\; \backslash mathbb\{C\})$의 원소 $A$에 의한 변환

:$X\text{'}\; =AXA^\{\backslash dagger\}$

을 정의하면, $\backslash det\; X\text{'}=\; \backslash det\; X$ 가 성립하여 민코프스키 내적이 보존되며, 순시 고유 로런츠 변환 $\backslash Lambda(A)$를 얻는다. 또한, $\backslash pm\; A$는 같은 로런츠 변환 $\backslash Lambda(A)\; =\; \backslash Lambda(-A)$을 나타내므로, 이는 $\backslash text\{SL\}(2,\; \backslash mathbb\{C\})$에서 $L^\{\backslash uparrow\}\_+$로의 2대 1 준동형 사상이다. 이 준동형 사상의 핵은 $\backslash mathbb\{Z\}\_2\; =\; \backslash \{\backslash pm\; 1\backslash \}$이며, 다음과 같은 군의 동형 대응이 성립한다.

:$\backslash text\{SL\}(2,\; \backslash mathbb\{C\})/\backslash mathbb\{Z\}\_2\; \backslash cong\; L^\{\backslash uparrow\}\_+$