베레진 적분

1. 개요

베레진 적분은 반교환 변수의 복소 다항식에 대한 적분으로, 펠릭스 베레진에 의해 개발되었다. 일변수와 다변수 베레진 적분으로 정의되며, 그라스만 변수 변환 공식을 갖는다. 짝수 및 홀수 변수를 포함하는 함수에 대한 적분도 정의되며, 초행렬식을 통해 변환된다. 베레진 적분은 양자장론의 경로 적분 공식화에서 가우스 적분과 분배 함수 형태의 적분을 계산하는 데 유용하게 사용된다. 데이비드 존 캔들린이 1956년에 처음 제시했으며, 펠릭스 베레진이 독립적으로 발견하여 널리 알려지게 되었다.

2. 정의

반가환 원소 $\backslash theta\_\{1\},\backslash dots,\backslash theta\_\{n\}$에 대한 다항식의 외대수를 $\backslash Lambda^n$이라 하고, 이 때 생성원들의 순서 $\backslash theta\_1,\backslash dots,\backslash theta\_n$가 고정되어 외대수의 방향을 정의한다. 베레진 적분은 이러한 외대수 위에서 정의되는 선형 범함수이다. 베레진 적분은 일변수 및 다변수 경우로 나누어 정의할 수 있으며, 자세한 내용은 하위 섹션을 참고할 수 있다.

2.1. 일변수 베레진 적분

단일 그라스만 변수 $\backslash theta\; =\; \backslash theta\_1$에 대한 베레진 적분은 다음과 같은 선형 범함수로 정의된다.

:$\backslash int\; [af(\backslash theta)+bg(\backslash theta)]\; \backslash ,\; d\backslash theta\; =\; a\backslash int\; f(\backslash theta)\; \backslash ,\; d\backslash theta\; +\; b\backslash int\; g(\backslash theta)\; \backslash ,\; d\backslash theta,\; \backslash quad\; a,b\; \backslash in\; \backslash C$

여기서 다음을 정의한다.

:$\backslash int\; \backslash theta\; \backslash ,\; d\backslash theta\; =\; 1,\; \backslash qquad\; \backslash int\; \backslash ,\; d\backslash theta\; =\; 0$

따라서 다음이 성립한다.

:$\backslash int\; \backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\backslash theta\}f(\backslash theta)\backslash ,d\backslash theta\; =\; 0.$

이러한 성질은 적분을 유일하게 정의하며 다음을 의미한다.

:$\backslash int\; (a\backslash theta+b)\backslash ,\; d\backslash theta\; =\; a,\; \backslash quad\; a,b\; \backslash in\; \backslash C.$

그라스만 변수는 제곱하면 0이 되므로 $f(\backslash theta)$는 1차를 넘어서는 0이 아닌 항을 가질 수 없다. 따라서 $f(\backslash theta)=a\backslash theta\; +\; b$는 $\backslash theta$ 변수 함수 중 가장 일반적인 함수이다.

2.2. 다변수 베레진 적분

$\backslash Lambda^n$를 반교환수 $\backslash theta\_\{1\},\backslash dots,\backslash theta\_\{n\}$들의 복소 다항식들의 외대수라 하고,(생성원들의 순서 $\backslash theta\_1,\backslash dots,\backslash theta\_n$가 고정되어 있으며 외대수의 방향을 정의한다.)

$\backslash Lambda^\{n\}$ 위의 베레진 적분은 모든 $f\backslash in\backslash Lambda^n$에 대해 다음 성질들을 가진 유일한 선형 범함수 $\backslash int\_\{\backslash Lambda^\{n\}\; \}\backslash cdot\backslash textrm\{d\}\backslash theta$로 정의된다.

:$\backslash int\_\{\backslash Lambda^n\}\backslash theta\_\{n\}\backslash cdots\backslash theta\_\{1\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash theta=1,$
:$\backslash int\_\{\backslash Lambda^n\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\backslash theta\_\{i\}\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash theta=0,\backslash \; i=1,\backslash dots,n$

여기서 $\backslash partial/\backslash partial\backslash theta\_\{i\}$는 왼쪽 또는 오른쪽 편도함수를 의미한다. 이러한 성질은 적분을 유일하게 정의한다.

문헌에는 다양한 관례가 존재한다. 일부 저자는 대신

:$\backslash int\_\{\backslash Lambda^n\}\backslash theta\_\{1\}\backslash cdots\backslash theta\_\{n\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash theta:=1.$

로 정의한다. 공식

:$\backslash int\_\{\backslash Lambda^n\}f(\backslash theta)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash theta=\backslash int\_\{\backslash Lambda^1\}\backslash left(\; \backslash cdots\; \backslash int\_\{\backslash Lambda^1\}\backslash left(\backslash int\_\{\backslash Lambda^1\}f(\backslash theta)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash theta\_\{1\}\backslash right)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash theta\_2\; \backslash cdots\; \backslash right)\backslash mathrm\{d\}\backslash theta\_n$

은 푸비니 법칙을 표현한다. 오른쪽에는 단항식 $f=g(\backslash theta\text{'})\backslash theta\_\{1\}$의 내부 적분은 $g(\; \backslash theta\text{'})$로 설정되어 있다. 여기서 $\backslash theta\text{'}=\backslash left(\backslash theta\_\{2\},\backslash ldots,\backslash theta\_\{n\}\backslash right)$이다. $f=g\; (\backslash theta\text{'})$의 적분은 사라진다. $\backslash theta\_\{2\}$과 그 이후의 변수들에 대한 적분은 비슷한 방법으로 계산된다.

2.3. 그라스만 변수 변환

$\backslash theta\_\{i\}=\backslash theta\_\{i\}(\backslash xi\_\{1\},\backslash ldots,\backslash xi\_\{n\}),\backslash \; i=1,\backslash ldots,n$를 어떤 반대칭 변수 $\backslash xi\_\{1\},\backslash ldots,\backslash xi\_\{n\}$의 홀수 다항식이라고 하자. 야코비 행렬은 다음과 같은 행렬이다.

:$D=\backslash left\backslash \{\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash theta\_\{i\}\}\{\backslash partial\backslash xi\_\{j\}\},\backslash \; i,j=1,\; \backslash ldots,\; n\backslash right\backslash \}$

여기서 $\backslash partial\; /\backslash partial\backslash xi\_\{j\}$는 오른쪽 편도함수를 나타낸다($\backslash partial(\backslash theta\_1\backslash theta\_2)\; /\backslash partial\backslash theta\_2\; =\; \backslash theta\_1,\; \backslash ;\; \backslash partial(\backslash theta\_1\backslash theta\_2)\; /\backslash partial\backslash theta\_1\; =\; -\backslash theta\_2$). 좌표 변환 공식은 다음과 같다.

:$\backslash int\; f(\backslash theta)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash theta=\backslash int\; f(\backslash theta(\; \backslash xi))(\backslash det\; D)^\{-1\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash xi$

3. 짝수 변수와 홀수 변수 적분

베레진 적분은 실수 변수와 그라스만 변수를 모두 포함하는 함수에 대해서도 정의될 수 있다. 실수 교환 변수 $x=x\_\{1\},\backslash ldots,x\_\{m\}$와 반교환 변수 $\backslash theta\_\{1\},\backslash ldots,\backslash theta\_\{n\}$의 함수 대수 $\backslash Lambda^\{m\backslash mid\; n\}$를 생각할 수 있다.

3.1. 정의

실 가환 변수 $x=x\_\{1\},\backslash ldots,x\_\{m\}$와 반교환 변수 $\backslash theta\_\{1\},\backslash ldots,\backslash theta\_\{n\}$들의 함수들의 대수 $\backslash Lambda^\{m\backslash mid\; n\}$를 생각하자. (이를 $(m|n)$차원 자유 초대수라고 한다.) 함수 $f=f(x,\backslash theta)\; \backslash in\backslash Lambda^\{m\backslash mid\; n\}$는 m개의 짝수(보손, 교환) 변수와 n개의 홀수(페르미온, 반교환) 변수의 함수이다. 더 자세하게는, 원소 $f=f(x,\backslash theta)\; \backslash in\backslash Lambda^\{m\backslash mid\; n\}$는 열린 집합 $X\backslash subset\backslash R^\{m\}$에서 변하는 인수 $x$의 $\backslash Lambda^\{n\}$ 대수의 값 함수이다. 이 함수가 연속적이고 콤팩트 집합 $K\backslash subset\backslash R^\{m\}$의 여집합에서는 사라진다고 가정하면, 베레진 적분은 다음과 같다.

:$\backslash int\_\{\backslash Lambda^\{m\backslash mid\; n\}\}\; f(x,\backslash theta)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash theta\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x=\backslash int\_\{\backslash R^m\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; \backslash int\_\{\backslash Lambda^n\}\; f(x,\backslash theta)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash theta.$

3.2. 짝수 변수와 홀수 변수의 변환

짝수 변수와 홀수 변수 사이의 변환에서 베레진 적분은 초행렬식(베레지니안)을 통해 변환된다.

좌표 변환은 다음과 같이 정의한다.

:$x\_i=x\_i\; (y,\backslash xi),\backslash \; i=1,\backslash ldots,m;\backslash \; \backslash theta\_j=\backslash theta\_j\; (y,\backslash xi),j=1,\backslash ldots,\; n,$

여기서 $x\_i$는 짝수이고, $\backslash theta\_j$는 짝수 변수 $y$에 따라 바뀌는 $\backslash xi$의 홀수 다항식이다. 이 변환의 야코비 행렬은 다음과 같은 블록 형태를 갖는다.

:

여기서 각 짝수 도함수 $\backslash partial/\backslash partial\; y\_\{j\}$는 대수 $\backslash Lambda^\{m\backslash mid\; n\}$의 모든 원소와 가환이다. 홀수 도함수는 짝수 원소와 가환이고 홀수 원소와 반교환한다. 대각선 블록의 성분 $A=\backslash partial\; x/\backslash partial\; y$와 $D=\backslash partial\backslash theta/\backslash partial\backslash xi$은 짝수이고, 대각선을 벗어난 블록의 성분 $B=\backslash partial\; x/\backslash partial\; \backslash xi,\backslash \; C=\backslash partial\backslash theta/\backslash partial\; y$들은 홀수 함수들이다. 여기서 $\backslash partial\; /\backslash partial\backslash xi\_\{j\}$는 오른쪽 도함수를 의미한다.

행렬 $\backslash mathrm\{J\}$의 초행렬식(베레지니안)은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash operatorname\{Ber\}\; \backslash mathrm\{J\}\; =\backslash det\backslash left(\; A-BD^\{-1\}C\backslash right)\; \backslash det\; D^\{-1\}$

이는 $\backslash det\; D$가 $\backslash Lambda^\{m\backslash mid\; n\}$에서 역행렬이 존재할 때 짝수 함수이다.

실함수 $x\_i=x\_i(y,0)$가 $\backslash R^m$의 열린 집합 $X,\; Y$에 대해 역사상을 가지는 매끄러운 사상 $F:Y\backslash to\; X$을 정의한다고 가정한다. 또한, 사상의 선형 부분 $\backslash xi\backslash mapsto\backslash theta=\backslash theta(y,\backslash xi)$은 $y\backslash in\; Y$ 각각에 대해 역사상이 존재한다고 가정한다.

이때, 베레진 적분에 대한 일반 변환 법칙은 다음과 같다.

:$$
\begin{align}
& \int_{\Lambda^{m\mid n}}f(x,\theta) \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}x = \int_{\Lambda^{m\mid n}} f(x(y,\xi),\theta (y,\xi)) \varepsilon \operatorname{Ber} \mathrm{J} \, \mathrm{d} \xi \, \mathrm{d}y \\[6pt]
= {} &\int_{\Lambda^{m\mid n}} f (x(y,\xi),\theta (y,\xi)) \varepsilon \frac{\det\left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D} \, \mathrm{d}\xi \, \mathrm{d}y,
\end{align}


여기서 $\backslash varepsilon=\backslash mathrm\{sgn\}(\backslash det\backslash partial\; x(y,0)/\backslash partial\; y$ )는 사상 $F$의 방향을 나타내는 기호이다.

$f(x(y,\backslash xi),\backslash theta(y,\backslash xi))$는 함수 $x\_\{i\}(y,\backslash xi)$가 $\backslash xi$에 독립적일 때 명백하게 정의된다. 일반적인 경우에는 $x\_\{i\}(y,\backslash xi)\; =x\_\{i\}(y,0)+\backslash delta\_\{i\},$와 같이 쓴다. 여기서 $\backslash delta\_\{i\},\; i=1,\backslash ldots,m$는 $\backslash Lambda^\{m\backslash mid\; n\}$의 멱영원들이다. 그러면,

:$f(x(y,\backslash xi),\backslash theta)\; =f(x(y,0),\backslash theta)\; +\backslash sum\_i\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\_\{i\}\}(x(y,0),\backslash theta)\; \backslash delta\_\{i\}+\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sum\_\{i,j\}\; \backslash frac\{\backslash partial^\{2\}f\}\{\backslash partial\; x\_i\; \backslash ,\; \backslash partial\; x\_j\}(x(y,0),\backslash theta)\; \backslash delta\_i\backslash delta\_j+\; \backslash cdots,$

와 같이 나타낼 수 있으며, 여기서 테일러 급수는 유한하다.

4. 유용한 공식

양자장론에서 경로 적분을 계산할 때 유용한 공식이 여럿 있는데, 이들은 모두 분배 함수 형태를 띤다.

4.1. 가우스 적분 공식

양자장론의 경로 적분 공식화에서 자주 사용되는 가우스 적분 공식은 다음과 같다.

복소수 $n\; \backslash times\; n$ 행렬 $A$에 대해,

* $\backslash int\; \backslash exp\backslash left[-\backslash theta^TA\backslash eta\backslash right]\; \backslash ,d\backslash theta\backslash ,d\backslash eta\; =\; \backslash det\; A$

복소수 반대칭 $n\; \backslash times\; n$ 행렬 $M$과 $(\backslash mathrm\{Pf\}\backslash ,\; M)^2\; =\; \backslash det\; M$이 성립하는 $M$의 파피안 $\backslash mathrm\{Pf\}\backslash ,\; M$에 대해,

*

위의 공식에서 $d\; \backslash theta\; =\; d\backslash theta\_1\backslash cdots\; \backslash ,\; d\backslash theta\_n$ 표기법이 사용되었다. 이러한 공식에서 다른 유용한 공식이 나온다(의 부록 A 참조).

* $\backslash int\; \backslash exp\backslash left[\backslash theta^TA\backslash eta\; +\backslash theta^T\; J\; +\; K^T\; \backslash eta\; \backslash right]\; \backslash ,d\backslash eta\_1\backslash ,d\backslash theta\_1\backslash dots\; d\backslash eta\_n\; d\backslash theta\_n\; =\; \backslash det\; A\; \backslash ,\backslash ,\backslash exp[-K^T\; A^\{-1\}\; J\; ]$

여기서 $A$는 $n\; \backslash times\; n$ 가역 행렬이다. 이 적분들은 모두 분배 함수 형태이다.

4.2. 분배 함수 형태의 적분

양자장론의 경로 적분 공식화에서 자주 사용되는 가우스 적분에 대한 공식은 다음과 같다.

:$\backslash int\; \backslash exp\backslash left[-\backslash theta^TA\backslash eta\backslash right]\; \backslash ,d\backslash theta\backslash ,d\backslash eta\; =\; \backslash det\; A$

여기서 $A$는 복소수 $n\; \backslash times\; n$ 행렬이다.

복소 반대칭 $n\; \backslash times\; n$ 행렬 $M$과 $(\backslash mathrm\{Pf\}\backslash ,\; M)^2\; =\; \backslash det\; M$이 성립하는 $M$의 파피안 $\backslash mathrm\{Pf\}\backslash ,\; M$에 대해

:

위의 공식에서 표기법 $d\; \backslash theta\; =\; d\backslash theta\_1\backslash cdots\; \backslash ,\; d\backslash theta\_n$이 사용되었다. 이러한 공식에서 다른 유용한 공식이 나온다.

:$\backslash int\; \backslash exp\backslash left[\backslash theta^TA\backslash eta\; +\backslash theta^T\; J\; +\; K^T\; \backslash eta\; \backslash right]\; \backslash ,d\backslash eta\_1\backslash ,d\backslash theta\_1\backslash dots\; d\backslash eta\_n\; d\backslash theta\_n\; =\; \backslash det\; A\; \backslash ,\backslash ,\backslash exp[-K^T\; A^\{-1\}\; J\; ]$

여기서 $A$는 $n\; \backslash times\; n$ 가역 행렬이다. 이러한 적분은 모두 분배 함수의 형태라는 점에 유의하라.

5. 역사

펠릭스 베레진이 교환 및 반교환 변수와의 적분에 대한 수학적 이론을 창안하고 개발하였다. 1956년 데이비드 존 캔들린이 몇 가지 중요한 초기 통찰력을 제시했다. 물리학자 할라트니코프 (그의 논문에는 실수가 포함되어 있음), 매튜스와 살람, 마틴 등도 이러한 발전에 기여했다.

베레진 적분은 1956년 데이비드 존 캔들린에 의해 처음 소개되었을 것으로 보인다. 이후 1966년 펠릭스 베레진에 의해 독립적으로 발견되었다. 캔들린의 논문은 주목받지 못하고 잊혀졌지만, 베레진의 연구는 널리 알려져 널리 인용되었다. 베레진 적분은 페르미온의 작용적 적분을 통해 양자장론을 다루는 데 필수적인 도구가 되었다. 할라트니코프(그의 논문에는 실수가 포함되어 있음), 매튜스와 살람, 그리고 마틴을 포함한 다른 물리학자들도 이러한 발전에 기여했다.