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베레진 적분

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목차

1. 개요

베레진 적분은 반교환 변수의 복소 다항식에 대한 적분으로, 펠릭스 베레진에 의해 개발되었다. 일변수와 다변수 베레진 적분으로 정의되며, 그라스만 변수 변환 공식을 갖는다. 짝수 및 홀수 변수를 포함하는 함수에 대한 적분도 정의되며, 초행렬식을 통해 변환된다. 베레진 적분은 양자장론의 경로 적분 공식화에서 가우스 적분과 분배 함수 형태의 적분을 계산하는 데 유용하게 사용된다. 데이비드 존 캔들린이 1956년에 처음 제시했으며, 펠릭스 베레진이 독립적으로 발견하여 널리 알려지게 되었다.

2. 정의

반가환 원소 \theta_{1},\dots,\theta_{n}에 대한 다항식의 외대수를 \Lambda^n이라 하고, 이 때 생성원들의 순서 \theta_1,\dots,\theta_n가 고정되어 외대수의 방향을 정의한다. 베레진 적분은 이러한 외대수 위에서 정의되는 선형 범함수이다. 베레진 적분은 일변수 및 다변수 경우로 나누어 정의할 수 있으며, 자세한 내용은 하위 섹션을 참고할 수 있다.

2. 1. 일변수 베레진 적분

단일 그라스만 변수 \theta = \theta_1에 대한 베레진 적분은 다음과 같은 선형 범함수로 정의된다.

:\int [af(\theta)+bg(\theta)] \, d\theta = a\int f(\theta) \, d\theta + b\int g(\theta) \, d\theta, \quad a,b \in \C

여기서 다음을 정의한다.

:\int \theta \, d\theta = 1, \qquad \int \, d\theta = 0

따라서 다음이 성립한다.

:\int \frac\partial{\partial\theta}f(\theta)\,d\theta = 0.

이러한 성질은 적분을 유일하게 정의하며 다음을 의미한다.

:\int (a\theta+b)\, d\theta = a, \quad a,b \in \C.

그라스만 변수는 제곱하면 0이 되므로 f(\theta)는 1차를 넘어서는 0이 아닌 항을 가질 수 없다. 따라서 f(\theta)=a\theta + b는 \theta 변수 함수 중 가장 일반적인 함수이다.

2. 2. 다변수 베레진 적분

\Lambda^n를 반교환수 \theta_{1},\dots,\theta_{n} 들의 복소 다항식들의 외대수라 하고,(생성원들의 순서 \theta_1,\dots,\theta_n가 고정되어 있으며 외대수의 방향을 정의한다.)

\Lambda^{n} 위의 베레진 적분은 모든 f\in\Lambda^n에 대해 다음 성질들을 가진 유일한 선형 범함수 \int_{\Lambda^{n} }\cdot\textrm{d}\theta로 정의된다.

:\int_{\Lambda^n}\theta_{n}\cdots\theta_{1}\,\mathrm{d}\theta=1,

:\int_{\Lambda^n}\frac{\partial f}{\partial\theta_{i}}\,\mathrm{d}\theta=0,\ i=1,\dots,n

여기서 \partial/\partial\theta_{i}는 왼쪽 또는 오른쪽 편도함수를 의미한다. 이러한 성질은 적분을 유일하게 정의한다.

문헌에는 다양한 관례가 존재한다. 일부 저자는 대신[12]

:\int_{\Lambda^n}\theta_{1}\cdots\theta_{n}\,\mathrm{d}\theta:=1.

로 정의한다. 공식

:\int_{\Lambda^n}f(\theta) \, \mathrm{d}\theta=\int_{\Lambda^1}\left( \cdots \int_{\Lambda^1}\left(\int_{\Lambda^1}f(\theta) \, \mathrm{d}\theta_{1}\right) \, \mathrm{d}\theta_2 \cdots \right)\mathrm{d}\theta_n

은 푸비니 법칙을 표현한다. 오른쪽에는 단항식 f=g(\theta')\theta_{1}의 내부 적분은 g( \theta')로 설정되어 있다. 여기서 \theta'=\left(\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\right)이다. f=g (\theta')의 적분은 사라진다. \theta_{2}과 그 이후의 변수들에 대한 적분은 비슷한 방법으로 계산된다.

2. 3. 그라스만 변수 변환

\theta_{i}=\theta_{i}(\xi_{1},\ldots,\xi_{n}),\ i=1,\ldots,n를 어떤 반대칭 변수 \xi_{1},\ldots,\xi_{n}의 홀수 다항식이라고 하자. 야코비 행렬은 다음과 같은 행렬이다.

:D=\left\{ \frac{\partial\theta_{i}}{\partial\xi_{j}},\ i,j=1, \ldots, n\right\}

여기서 \partial /\partial\xi_{j}는 ''오른쪽 편도함수''를 나타낸다(\partial(\theta_1\theta_2) /\partial\theta_2 = \theta_1, \; \partial(\theta_1\theta_2) /\partial\theta_1 = -\theta_2). 좌표 변환 공식은 다음과 같다.

:\int f(\theta) \, \mathrm{d}\theta=\int f(\theta( \xi))(\det D)^{-1} \, \mathrm{d}\xi

3. 짝수 변수와 홀수 변수 적분

베레진 적분은 실수 변수와 그라스만 변수를 모두 포함하는 함수에 대해서도 정의될 수 있다. 실수 교환 변수 x=x_{1},\ldots,x_{m}와 반교환 변수 \theta_{1},\ldots,\theta_{n}의 함수 대수 \Lambda^{m\mid n}를 생각할 수 있다.

3. 1. 정의

실 가환 변수 x=x_{1},\ldots,x_{m}와 반교환 변수 \theta_{1},\ldots,\theta_{n}들의 함수들의 대수 \Lambda^{m\mid n}를 생각하자. (이를 (m|n)차원 자유 초대수라고 한다.) 함수 f=f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n}는 m개의 짝수(보손, 교환) 변수와 n개의 홀수(페르미온, 반교환) 변수의 함수이다. 더 자세하게는, 원소 f=f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n}는 열린 집합 X\subset\R^{m}에서 변하는 인수 x의 \Lambda^{n} 대수의 값 함수이다. 이 함수가 연속적이고 콤팩트 집합 K\subset\R^{m}의 여집합에서는 사라진다고 가정하면, 베레진 적분은 다음과 같다.

:\int_{\Lambda^{m\mid n}} f(x,\theta) \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}x=\int_{\R^m} \, \mathrm{d}x \int_{\Lambda^n} f(x,\theta) \, \mathrm{d}\theta.

3. 2. 짝수 변수와 홀수 변수의 변환

짝수 변수와 홀수 변수 사이의 변환에서 베레진 적분은 초행렬식(베레지니안)을 통해 변환된다.

좌표 변환은 다음과 같이 정의한다.

:x_i=x_i (y,\xi),\ i=1,\ldots,m;\ \theta_j=\theta_j (y,\xi),j=1,\ldots, n,

여기서 x_i는 짝수이고, \theta_j는 짝수 변수 y에 따라 바뀌는 \xi의 홀수 다항식이다. 이 변환의 야코비 행렬은 다음과 같은 블록 형태를 갖는다.

:\mathrm{J}=\frac{\partial(x,\theta)}{\partial (y,\xi)}= \begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix},

여기서 각 짝수 도함수 \partial/\partial y_{j}는 대수 \Lambda^{m\mid n}의 모든 원소와 가환이다. 홀수 도함수는 짝수 원소와 가환이고 홀수 원소와 반교환한다. 대각선 블록의 성분 A=\partial x/\partial y와 D=\partial\theta/\partial\xi은 짝수이고, 대각선을 벗어난 블록의 성분 B=\partial x/\partial \xi,\ C=\partial\theta/\partial y들은 홀수 함수들이다. 여기서 \partial /\partial\xi_{j}는 오른쪽 도함수를 의미한다.

행렬 \mathrm{J}의 초행렬식(베레지니안)은 다음과 같이 정의된다.

:\operatorname{Ber} \mathrm{J} =\det\left( A-BD^{-1}C\right) \det D^{-1}

이는 \det D가 \Lambda^{m\mid n}에서 역행렬이 존재할 때 짝수 함수이다.

실함수 x_i=x_i(y,0)가 \R^m의 열린 집합 X, Y에 대해 역사상을 가지는 매끄러운 사상 F:Y\to X을 정의한다고 가정한다. 또한, 사상의 선형 부분 \xi\mapsto\theta=\theta(y,\xi)은 y\in Y 각각에 대해 역사상이 존재한다고 가정한다.

이때, 베레진 적분에 대한 일반 변환 법칙은 다음과 같다.

:

\begin{align}

& \int_{\Lambda^{m\mid n}}f(x,\theta) \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}x = \int_{\Lambda^{m\mid n}} f(x(y,\xi),\theta (y,\xi)) \varepsilon \operatorname{Ber} \mathrm{J} \, \mathrm{d} \xi \, \mathrm{d}y \\[6pt]

= {} &\int_{\Lambda^{m\mid n}} f (x(y,\xi),\theta (y,\xi)) \varepsilon \frac{\det\left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D} \, \mathrm{d}\xi \, \mathrm{d}y,

\end{align}



여기서 \varepsilon=\mathrm{sgn}(\det\partial x(y,0)/\partial y )는 사상 F의 방향을 나타내는 기호이다.

f(x(y,\xi),\theta(y,\xi))는 함수 x_{i}(y,\xi)가 \xi에 독립적일 때 명백하게 정의된다. 일반적인 경우에는 x_{i}(y,\xi) =x_{i}(y,0)+\delta_{i},와 같이 쓴다. 여기서 \delta_{i}, i=1,\ldots,m는 \Lambda^{m\mid n}의 멱영원들이다. 그러면,

:f(x(y,\xi),\theta) =f(x(y,0),\theta) +\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x(y,0),\theta) \delta_{i}+\frac{1}{2} \sum_{i,j} \frac{\partial^{2}f}{\partial x_i \, \partial x_j}(x(y,0),\theta) \delta_i\delta_j+ \cdots,

와 같이 나타낼 수 있으며, 여기서 테일러 급수는 유한하다.

4. 유용한 공식

양자장론에서 경로 적분을 계산할 때 유용한 공식[13]이 여럿 있는데, 이들은 모두 분배 함수 형태를 띤다.

4. 1. 가우스 적분 공식

양자장론의 경로 적분 공식화에서 자주 사용되는 가우스 적분 공식은 다음과 같다.

복소수 n \times n 행렬 A에 대해,

  • \int \exp\left[-\theta^TA\eta\right] \,d\theta\,d\eta = \det A


복소수 반대칭 n \times n 행렬 M과 (\mathrm{Pf}\, M)^2 = \det M이 성립하는 M의 파피안 \mathrm{Pf}\, M에 대해,

  • \int \exp\left[- \tfrac{1}{2} \theta^T M \theta\right] \,d\theta = \begin{cases} \mathrm{Pf}\, M & n \mbox{ 짝수} \\ 0 & n \mbox{ 홀수} \end{cases}


위의 공식에서 d \theta = d\theta_1\cdots \, d\theta_n 표기법이 사용되었다. 이러한 공식에서 다른 유용한 공식이 나온다([13]의 부록 A 참조).

  • \int \exp\left[\theta^TA\eta +\theta^T J + K^T \eta \right] \,d\eta_1\,d\theta_1\dots d\eta_n d\theta_n = \det A \,\,\exp[-K^T A^{-1} J ]


여기서 A는 n \times n 가역 행렬이다. 이 적분들은 모두 분배 함수 형태이다.

4. 2. 분배 함수 형태의 적분

양자장론의 경로 적분 공식화에서 자주 사용되는 가우스 적분에 대한 공식은 다음과 같다.[13]

:\int \exp\left[-\theta^TA\eta\right] \,d\theta\,d\eta = \det A

여기서 A는 복소수 n \times n 행렬이다.

복소 반대칭 n \times n 행렬 M과 (\mathrm{Pf}\, M)^2 = \det M이 성립하는 M의 파피안 \mathrm{Pf}\, M에 대해

:\int \exp\left[- \tfrac{1}{2} \theta^T M \theta\right] \,d\theta = \begin{cases} \mathrm{Pf}\, M & n \mbox{ even} \\ 0 & n \mbox{ odd} \end{cases}

위의 공식에서 표기법 d \theta = d\theta_1\cdots \, d\theta_n 이 사용되었다. 이러한 공식에서 다른 유용한 공식이 나온다.[2]

:\int \exp\left[\theta^TA\eta +\theta^T J + K^T \eta \right] \,d\eta_1\,d\theta_1\dots d\eta_n d\theta_n = \det A \,\,\exp[-K^T A^{-1} J ]

여기서 A는 n \times n 가역 행렬이다. 이러한 적분은 모두 분배 함수의 형태라는 점에 유의하라.

5. 역사

펠릭스 베레진이 교환 및 반교환 변수와의 적분에 대한 수학적 이론을 창안하고 개발하였다.[14] 1956년 데이비드 존 캔들린[15]이 몇 가지 중요한 초기 통찰력을 제시했다. 물리학자 할라트니코프[16] (그의 논문에는 실수가 포함되어 있음), 매튜스와 살람,[17] 마틴[18] 등도 이러한 발전에 기여했다.

베레진 적분은 1956년 데이비드 존 캔들린에 의해 처음 소개되었을 것으로 보인다. 이후 1966년 펠릭스 베레진에 의해 독립적으로 발견되었다.[4] 캔들린의 논문은 주목받지 못하고 잊혀졌지만, 베레진의 연구는 널리 알려져 널리 인용되었다. 베레진 적분은 페르미온의 작용적 적분을 통해 양자장론을 다루는 데 필수적인 도구가 되었다. 할라트니코프[9](그의 논문에는 실수가 포함되어 있음), 매튜스와 살람,[10] 그리고 마틴[11]을 포함한 다른 물리학자들도 이러한 발전에 기여했다.

참조

[1] 서적 Mirror symmetry American Mathematical Society 2003
[2] 논문 Algebraic/combinatorial proofs of Cayley-type identities for derivatives of determinants and pfaffians https://doi.org/10.1[...] 2013
[4] 간행물 On Sums over Trajectories for Systems With Fermi Statistics
[4] 서적 The Method of Second Quantization Academic Press 1966
[5] 서적 Quantum field theory McGraw-Hill International Book Co. 1980
[6] 서적 An introduction to quantum field theory Addison-Wesley 1995
[7] 서적 The Quantum Theory of Fields Cambridge University Press 1995
[8] 웹사이트 What happened to David John Candlin? https://physics.stac[...] physics.stackexchange.com 2012-06-04
[9] 간행물 Predstavlenie funkzij Grina v kvantovoj elektrodinamike v forme kontinualjnyh integralov http://jetp.ac.ru/cg[...] 2019-06-23
[10] 간행물 Propagators of quantized field Springer Science and Business Media LLC
[11] 간행물 The Feynman principle for a Fermi system The Royal Society 1959-06-23
[12] 서적 Mirror symmetry American Mathematical Society 2003
[13] 논문 Algebraic/combinatorial proofs of Cayley-type identities for derivatives of determinants and pfaffians https://doi.org/10.1[...] 2013
[14] 서적 The Method of Second Quantization Academic Press 1966
[15] 저널 On Sums over Trajectories for Systems With Fermi Statistics
[16] 저널 Predstavlenie funkzij Grina v kvantovoj elektrodinamike v forme kontinualjnyh integralov http://jetp.ac.ru/cg[...] 2023-10-05
[17] 저널 Propagators of quantized field
[18] 저널 The Feynman principle for a Fermi system


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