페르미온

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1. 개요
2. 자연계의 페르미온
- 2.1. 기본 페르미온
- 2.2. 합성 페르미온
3. 성질
4. 추가 설명
참조

1. 개요

페르미온은 자연계에 존재하는 기본 입자 또는 복합 입자 중 하나로, 반정수 스핀을 가지며 파울리 배타 원리를 만족한다. 기본 페르미온에는 쿼크와 렙톤이 있으며, 쿼크는 중입자를, 렙톤은 자유 입자를 구성한다. 합성 페르미온은 하드론, 원자핵, 원자 등과 같이 페르미온을 홀수 개 포함하는 입자이다. 페르미온은 스핀-통계 정리에 따라 반정수 스핀을 가지며, 페르미-디랙 통계를 따른다. 페르미온은 로렌츠 군의 스피너 표현으로 나타낼 수 있으며, 디랙, 마요라나, 바일, 마요라나-바일 페르미온으로 분류된다.

2. 자연계의 페르미온

자연계에 존재하는 페르미온은 크게 기본 페르미온과 합성 페르미온으로 나뉜다.

기본 페르미온에는 표준 모형에 따른 쿼크와 렙톤이 있다. 쿼크에는 업, 다운, 스트레인지, 참, 바텀, 탑의 6종류가 있고, 렙톤에는 전자, 전자 뉴트리노, 뮤온, 뮤온 뉴트리노, 타우, 타우 뉴트리노의 6종류가 있다. 또한, 이들 각각에 해당하는 반입자가 존재한다.^[3]

합성 페르미온은 여러 개의 페르미온이 결합하여 만들어진다. 양성자나 중성자와 같은 바리온은 3개의 쿼크로 구성되며, 탄소-13 원자핵은 6개의 양성자와 7개의 중성자로 구성된다. 헬륨-3 원자는 2개의 양성자, 1개의 중성자, 2개의 전자로 구성되며, 중수소 원자는 1개의 양성자, 1개의 중성자, 1개의 전자로 구성된다.^[2] 이처럼 홀수 개의 페르미온으로 구성된 입자는 페르미온이 된다.^[2]

2. 1. 기본 페르미온

현재 알려진 기본 입자 가운데 페르미온은 다음과 같다.

쿼크는 중입자와 중간자를 구성하는 입자이다. 색가둠으로 인해 독립적으로 존재하지 못한다. 이 가운데, 안정된 입자 (양성자와 핵 속의 중성자)를 구성하는 쿼크는 업 쿼크와 다운 쿼크밖에 없다.
렙톤은 자유롭게 존재하는 입자이며, 두 종류로 나뉜다.
대전된 렙톤들은 전자 및 이와 유사한 입자들 뮤온과 타우온이 있다. 이들 가운데 오직 전자만이 안정하다.
중성미자들은 전기적으로 중성이며, 다른 입자들에 비해 현저히 가볍지만 매우 미세한 양의 질량을 가진다. 이들은 모두 안정하다.

표준 모형의 페르미온들은 중입자수 또는 렙톤 수라는 양자수를 가진다. 쿼크는 중입자수를, 렙톤은 렙톤 수를 가진다.

초대칭이나 각종 대통일 이론 등, 표준 모형을 확장하는 모형들은 대부분 추가 페르미온을 예측하나, 이들은 아직 발견되지 않았다.

표준 모형은 두 종류의 기본 페르미온, 즉 쿼크와 렙톤을 포함한다. 총 24개의 서로 다른 페르미온을 구분한다. 6개의 쿼크(업, 다운, 스트레인지, 참, 바텀, 탑)와 6개의 렙톤(전자, 전자 뉴트리노, 뮤온, 뮤온 뉴트리노, 타우, 타우 뉴트리노)가 있으며, 이들 각각에 해당하는 반입자가 있다.

수학적으로 페르미온에는 여러 종류가 있으며, 가장 일반적인 세 가지 유형은 다음과 같다.

바일 페르미온(무질량)
디랙 페르미온(질량 있음)
마요라나 페르미온(각각이 자신의 반입자임)

대부분의 표준 모형 페르미온은 디랙 페르미온으로 여겨지지만, 현재 뉴트리노가 디랙 페르미온인지 마요라나 페르미온인지(혹은 둘 다인지)는 알려져 있지 않다. 디랙 페르미온은 두 개의 바일 페르미온의 조합으로 간주할 수 있다.^[3] 2015년 7월, 바일 페르미온은 바일 반금속에서 실험적으로 구현되었다.

2. 2. 합성 페르미온

핵자를 비롯한 중입자는 세 개의 쿼크로 이루어진 합성 페르미온이다. 홀수 개의 페르미온으로 구성된 합성 입자는 페르미온을 이룬다. 예를 들어, 순수하게 보손 장으로만 구성된 솔리톤인 스커미온 또한 페르미온을 이룬다.^[1]

복합 입자는 구성 입자에 따라 보손 또는 페르미온이 될 수 있다. 스핀과 통계 사이의 관계 때문에 페르미온을 홀수 개 포함하는 입자는 자체적으로 페르미온이며, 반정수 스핀을 가진다.^[2]

예시는 다음과 같다.^[2]

양성자 또는 중성자와 같은 바리온은 세 개의 페르미온 쿼크를 포함한다.
탄소-13 원자의 원자핵은 6개의 양성자와 7개의 중성자를 포함한다.
헬륨-3(³He) 원자는 두 개의 양성자, 한 개의 중성자, 두 개의 전자로 구성된다. 중수소 원자는 한 개의 양성자, 한 개의 중성자, 한 개의 전자로 구성된다.

잠재력으로 결합된 단순 입자로 구성된 복합 입자 내의 보손의 수는 그것이 보손인지 페르미온인지에 영향을 미치지 않는다.^[2]

복합 입자의 페르미온 또는 보손적 거동은 시스템의 크기보다 큰 거리에서만 관찰된다. 공간 구조가 중요해지는 근접 거리에서는 복합 입자가 구성 요소의 조성에 따라 거동한다.^[2]

페르미온은 쌍으로 느슨하게 결합될 때 보손적 거동을 나타낼 수 있다. 이것은 초전도성과 헬륨-3의 초유체성의 기원이다. 초전도성 물질에서 전자는 포논의 교환을 통해 상호 작용하여 쿠퍼쌍을 형성하는 반면, 헬륨-3에서는 스핀 변동을 통해 쿠퍼쌍이 형성된다.^[2]

분수 양자 홀 효과의 준입자는 복합 페르미온으로도 알려져 있으며, 이는 양자화된 소용돌이를 짝수 개 가지고 있는 전자로 구성된다.^[2] 소립자 중 쿼크와 렙톤은 페르미온에 속하며, 전자, 뮤온, 중성미자가 포함된다. 또한, 3개의 쿼크로 이루어진 복합 입자인 바리온 중 양성자와 중성자가 페르미온이다.^[3]

3. 성질

양자장론에서 반정수 스핀을 가진 입자 2개를 바꾸었을 때 파동 함수의 부호가 역전한다. 즉, 동종의 여러 페르미온으로 이루어진 계의 전체 파동 함수는 어떤 2개의 입자의 교환에 관해서 반대칭이 된다.

:

{\psi}( \ldots , x_{i}, \ldots, x_{j} , \ldots ) = - {\psi}( \ldots , x_{j}, \ldots , x_{i} , \ldots )

와 같이 나타낸다. 식의 좌변과 우변에서는 ''i''번째와 ''j''번째 입자가 바뀌어 있으며, 파동 함수 ψ의 양음이 역전하고 있다.

이 때문에, 2개의 페르미온에 대해 각각의 파동 함수를 φ, χ라고 할 때, 2개의 입자를 합친 전체 파동 함수 ψ는 단순히

:

\psi(x_1, x_2) = \phi(x_1) \chi(x_2)

로 정의하면 위 식과 성립하지 않는다.

따라서 교환에 의한 부호 역전을 고려하여

:

\psi(x_1, x_2) = \phi(x_1) \chi(x_2) - \phi(x_2) \chi(x_1)

로 정의한다.

만약 2개의 페르미온 모두가 동일한 파동 함수를 취할 때,

:

\psi(x_1, x_2) = \phi(x_1) \phi(x_2) - \phi(x_2) \phi(x_1) = 0

이 되므로, '''2개의 페르미온이 같은 상태에 중복될 때는 ψ = 0 이외에는 없다'''는 결과가 된다. 결국 페르미온은 하나의 계 내의 하나의 양자 상태를 여러 입자가 중복하는 일이 없다. 즉, 페르미온은 파울리의 배타 원리를 따른다.

이러한 규칙으로부터, 열평형 상태에 있는 동종 페르미온군으로 이루어진 계가 따르는 양자 통계가 유도되고, 이것을 '''페르미-디랙 통계'''라고 한다.

3. 1. 스핀

양자장론의 스핀-통계 정리에 따라, 로런츠 대칭이 깨지지 않는 이상 모든 페르미온은 항상 반정수의 스핀을 갖는다. 가능한 스핀은 1/2, 3/2, 5/2 등이다.^[3] 기본 페르미온의 경우, 와인버그-위튼 정리에 따라 보통 1/2과 3/2만이 가능하다고 여겨지며, 이 가운데 3/2 스핀을 갖는 입자는 아직 발견되지 않았다. (3/2 스핀은 초중력 이론의 그래비티노에 해당한다.)^[3]

3. 2. 통계역학

파울리 배타 원리를 만족시키는 페르미온의 통계역학은 보손의 통계역학과 현저히 다르다. 페르미온은 서로 다른 두 입자가 같은 양자 상태를 가질 수 없다.

양자 통계역학에서는 맥스웰-볼츠만 분포(볼츠만 분포)에 양자역학적 성질을 고려하여 확률 분포를 계산한다. 여러 개의 동일 입자들이 있을 때, 두 입자를 교환하면 확률파동함수의 부호가 반대가 된다. 이는 복수의 페르미온이 동일한 상태에 존재할 수 없음을 의미한다.

특정한 에너지 ε를 갖는 페르미온에 대한 확률분포는 다음과 같이 계산된다.

상태1 (ε 에너지를 갖는 페르미온 없음): 볼츠만 인자는 1이다.
상태2 (ε 에너지를 갖는 페르미온 하나 존재): 볼츠만 인자는 $e^{-\frac{\epsilon}{k T}}$ 이다.
ε 에너지를 갖는 페르미온이 하나 존재할 확률: $\frac{e^{- \frac {\epsilon} {k T}}}{1+e^{- \frac {\epsilon}{k T}}}$ 이다.

양자장론에서 반정수 스핀을 가진 입자 2개를 바꾸었을 때 파동 함수의 부호가 역전한다. 즉, 동종의 여러 페르미온으로 이루어진 계의 전체 파동 함수는 어떤 2개의 입자의 교환에 관해서 반대칭이 된다.

이러한 규칙으로부터, 열평형 상태에 있는 동종 페르미온군으로 이루어진 계가 따르는 양자 통계가 유도되며, 이를 '''페르미-디랙 통계'''라고 한다. 페르미-디랙 통계에 따르면, 페르미온은 하나의 계 내의 하나의 양자 상태를 여러 입자가 중복할 수 없다. 즉, 페르미온은 파울리 배타 원리를 따른다.

3. 3. 페르미온의 로렌츠 표현

수학적으로, 페르미온은 로렌츠 군의 스피너 표현에 해당한다. 이러한 표현에는 다음과 같은 네 가지 경우가 있다.

페르미온 종류	질량	반입자	나선도	예	가능한 시공간 차원 d
디랙	유질량	서로 다름	입자·반입자가 각각 둘 다 가능	쿼크, 전자, 뮤온, 타우온	항상 가능
마요라나	유질량	스스로의 반입자	둘 다 가능	중성미자? (미확인)	$d\not\equiv5,6,7\pmod8$
바일	무질량	서로 다름	입자는 오른손·왼손 가운데 하나만 가능. 반입자는 이에 반대되는 나선도만 가능	표준 모형에서의 중성미자	d 짝수
마요라나-바일	무질량	스스로의 반입자	오른손·왼손 가운데 하나만 가능	(4차원에서 존재할 수 없음)	$d\equiv1\pmod8$

중성미자는 어떤 분류에 속하는지 확실하지 않으나, 디랙 또는 마요라나 페르미온일 것으로 추정된다. 표준 모형에서는 중성미자가 바일 페르미온으로 취급되었으나, 이는 중성미자 진동을 통한 중성미자 질량의 발견으로 반증되었다.^[3]

4. 추가 설명

페르미온은 쌍으로 느슨하게 결합될 때 보손처럼 행동할 수 있다. 이것은 초전도성과 헬륨-3의 초유체성의 기원이다. 초전도성 물질에서 전자는 포논의 교환을 통해 상호 작용하여 쿠퍼쌍을 형성하는 반면, 헬륨-3에서는 스핀 변동을 통해 쿠퍼쌍이 형성된다.

분수 양자 홀 효과의 준입자는 복합 페르미온으로도 알려져 있으며, 이는 양자화된 소용돌이를 짝수 개 가지고 있는 전자로 구성된다.

참조

_[1] 논문 Spin-statistics-quantum number connection and supersymmetry https://journals.aps[...] 2022-03-28
_[2] 서적 Notes on Dirac's lecture ''Developments in Atomic Theory'' at Le Palais de la Découverte, 6 December 1945, UKNATARCHI Dirac Papers BW83/2/257889.
_[3] 서적 The Physics of the Standard Model and Beyond World Scientific 2004-01-01

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