베르누이 시행

3. 관련 분포

베르누이 시행은 "성공" 또는 "실패"의 두 가지 가능한 결과만 있는 실험을 독립적으로 반복하는 것을 말한다. 성공 확률을 $p$, 실패 확률을 $q$라고 하면, 이 둘은 상호 배타적 사건이자 포괄적인 사건이므로 다음과 같은 관계가 성립한다.

:$p\; =\; 1\; -\; q,\; \backslash quad\; \backslash quad\; q\; =\; 1\; -\; p,\; \backslash quad\; \backslash quad\; p\; +\; q\; =\; 1.$

승산의 관점에서 보면, 성공 승산은 $p:q$, 실패 승산은 $q:p$이다. 이를 숫자로 나타내면 다음과 같다.

:$$

\begin{align}

o_f &= p/q = p/(1-p) = (1-q)/q\\

o_a &= q/p = (1-p)/p = q/(1-q).

\end{align}



이들은 곱셈 역원 관계이며, 곱하면 1이 된다.

:$o\_f\; =\; 1/o\_a,\; \backslash quad\; o\_a\; =\; 1/o\_f,\; \backslash quad\; o\_f\; \backslash cdot\; o\_a\; =\; 1.$

베르누이 시행이 유한한 수의 동등하게 발생 가능한 결과에서 사건을 나타내는 경우, 성공 횟수를 ''S'', 실패 횟수를 ''F''라고 하면, 성공 승산은 $S:F$, 실패 승산은 $F:S$이다. 확률과 승산은 다음과 같이 계산된다.

:$$

\begin{align}

p &= S/(S+F)\\

q &= F/(S+F)\\

o_f &= S/F\\

o_a &= F/S.

\end{align}



베르누이 시행을 설명하는 확률 변수는 종종 1="성공", 0="실패"로 표현된다.

여러 번의 베르누이 시행이 수행되고 각 시행마다 고유한 성공 확률이 있는 경우, 이를 포아송 시행이라고 한다.^[3]

3. 1. 이항 분포 (Binomial Distribution)

3. 2. 음이항 분포 (Negative Binomial Distribution)

4. 예시

공정한 동전을 4번 던져 앞면이 2번 나올 확률을 생각해 보자.

이 시행에서는 앞면이 나오는 것을 "성공", 뒷면이 나오는 것을 "실패"로 정의한다. 동전은 공정하다고 가정하므로, 성공 확률 ''p''는 p|p^영어 = 1/2이다. 따라서 실패 확률 q|q^영어는 다음과 같다.

:q|q^영어 = 1 - p|p^영어 = 1 - 1/2 = 1/2

위 식을 사용하여, 4번의 동전 던지기 중 앞면이 2번 나올 확률은 다음과 같이 구할 수 있다.

:

4. 1. 동전 던지기

4. 2. 주사위 던지기

5. 포아송 시행 (Poisson Trials)

여러 베르누이 시행이 수행되고 각 시행마다 고유한 성공 확률이 있는 경우, 이를 때때로 포아송 시행이라고 한다.^[3]

참조

_[1] 백과사전 Probability, Random Variables, and Stochastic Processes McGraw-Hill
_[2] 서적 Introduction to Mathematical Probability McGraw-Hill
_[3] 서적 Randomized Algorithms Cambridge University Press
_[4] 백과사전 Probability, Random Variables, and Stochastic Processes McGraw-Hill
_[5] 서적 Introduction to Mathematical Probability McGraw-Hill
_[6] 서적 Randomized Algorithms Cambridge University Press
_[7] 서적 기초통계학 학지사