이항 계수

1. 개요

이항 계수는 주어진 개수의 원소에서 특정 개수를 선택하는 조합의 가짓수를 나타내는 수이며, 수학 및 조합론에서 중요한 개념으로 사용된다. 자연수 n과 정수 k에 대해 정의되며, 팩토리얼을 사용하여 계산하거나 파스칼의 삼각형을 통해 값을 구할 수 있다. 이항 계수는 다양한 항등식과 급수 공식을 만족하며, 생성 함수를 통해 표현할 수 있다. 또한, 점근 공식을 통해 근사값을 계산할 수 있으며, 수론적 성질과 다항식으로서의 성질을 갖는다. 이항 계수는 조합론, 이항 급수, 통계학 등 다양한 분야에 응용되며, 다항 계수, 다중집합 계수, 실수 및 복소수, 가우스 이항 계수, 무한 기수 등으로 일반화될 수 있다.

2. 정의

자연수 $n$ 및 정수 $k$가 주어졌을 때, 이항 계수 $\backslash tbinom\; nk$는 다음과 같이 정의된다.
:
여기서 $!$는 계승을 나타낸다. 이항 계수는 $\backslash tbinom\; nk$ 대신 $\{\}\_nC\_k$나 $C(n,\; k)$로 표기하기도 한다. 이항 계수의 값을 삼각형 모양으로 배열한 것을 파스칼의 삼각형이라고 부른다.

특히 $n=2k$인 경우의 이항 계수 $\backslash tbinom\{2k\}\{k\}$를 중심 이항 계수(central binomial coefficient^영어)라고 한다. 중심 이항 계수의 처음 몇 항은 다음과 같다 ($k=0,1,2,\backslash dots$).
:1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …

이항 계수는 이항 정리와 밀접한 관련이 있다. 0을 포함하는 자연수 n과 k에 대해, 이항 계수 $\backslash tbinom\; nk$는 다항식 $(1\; +\; X)^n$을 전개했을 때 단항식 $X^k$의 계수와 같다. 더 일반적으로, 가환환의 임의의 원소 x, y에 대해 다음 이항 정리가 성립하며, 이 때문에 "이항 계수"라는 이름이 붙었다.
:$(x+y)^n=\backslash sum\_\{k=0\}^n\backslash binom\; nk\; x^k\; y^\{n-k\}$ (*)

조합론에서 이항 계수 $\backslash tbinom\; nk$는 n개의 서로 다른 원소로 이루어진 집합에서 순서를 고려하지 않고 k개의 원소를 선택하는 방법의 수, 즉 크기가 k인 부분집합의 개수와 같다. 이는 k-조합의 수라고도 한다. 이 조합론적 정의가 앞서 제시된 대수적 정의와 일치함은 다음과 같이 설명할 수 있다. $(1+X)^n\; =\; (1+X)(1+X)\backslash cdots(1+X)$ (n개의 인수)를 전개할 때, 각 인수에서 1 또는 X를 선택하여 곱하게 된다. $X^k$ 항은 n개의 인수 중 k개의 인수에서 X를 선택하고 나머지 n-k개의 인수에서 1을 선택하여 곱할 때 만들어진다. 따라서 $X^k$의 계수는 n개의 인수 중 X를 선택할 k개의 인수를 고르는 조합의 수, 즉 $\backslash tbinom\; nk$와 같다. 이 설명은 이항 계수 $\backslash tbinom\; nk$가 항상 자연수임을 보여준다.

이항 계수는 다양한 조합론적 문제의 해답으로 등장한다. 예를 들어,
* n개의 비트(0 또는 1)로 이루어진 문자열 중 1의 개수가 정확히 k개인 문자열의 수는 $\backslash tbinom\; nk$이다.
* 음이 아닌 정수 $a\_1,\; a\_2,\; \backslash dots,\; a\_n$에 대해 방정식 $a\_1\; +\; a\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; =\; k$를 만족하는 해의 개수는 $\backslash tbinom\{n+k-1\}\{n-1\}$이다. (이는 중복조합에 해당한다.)

이항 계수에 대한 가장 오래된 기록 중 하나는 10세기경 할라유다(Halayudha)가 고대 산스크리트어로 쓴 핀갈라(Pingala)의 Chandaḥśāstra에 대한 주석이다. 1150년경 인도의 수학자 바스카라 2세(Bhāskara II)는 그의 저서 लीलावती^{산스크리트어}에서 이항 계수에 대해 상세히 설명했다.

기호 $\backslash tbinom\; nk$는 1826년 안드레아스 폰 에팅스하우젠(Andreas von Ettingshausen)에 의해 도입되었다. 이 외에도 $C(n,\; k)$, $\{\}\_nC\_k$, $\{\}^nC\_k$, $C^k\_n$, $C^n\_k$ 등 다양한 표기법이 사용되며, 여기서 문자 C는 조합(combination) 또는 선택(choice)을 의미한다.

3. 역사

이항 계수는 파스칼의 삼각형 형태로 이미 중세 동서양 수학에 알려져 있었다. 이항 계수에 대해 자세히 알려진 가장 초기의 논의는 10세기경 할라유다(Halayudha)가 고대 산스크리트어로 쓴 핀갈라(Pingala)의 Chandaḥśāstra에 있다. 이후 1150년경, 인도 수학자 바스카라 2세(Bhāskara II)는 그의 저서 릴라바티(Līlāvatī)에서 이항 계수에 대한 설명을 제시했다.

오늘날 흔히 쓰이는 이항 계수 표기법 $\backslash tbinom\; nk$는 1826년 안드레아스 폰 에팅스하우젠(Andreas von Ettingshausen)이 도입하였다.

4. 성질

0을 포함하는 자연수 n과 k에 대해 이항 계수 $\backslash binom\; nk$는 다항식 $(1\; +\; X)^n$을 전개했을 때 단항식 $X^k$의 계수로 정의할 수 있다. 같은 계수는 $k\; \backslash le\; n일\; 때이항\; 정리$
:$(x+y)^n=\backslash sum\_\{k=0\}^n\backslash binom\; nk\; x^ky^\{n-k\}$
(임의의 가환환의 원소 x, y에 대해 성립)에서도 나타나는데, 이것이 "이항 계수"라는 이름이 붙은 이유다.

이항 계수는 조합론에서도 중요한 의미를 가진다. 이는 순서를 고려하지 않고 n개의 원소를 가진 집합에서 k개의 원소를 선택하는 방법의 수, 즉 크기가 k인 부분집합(또는 k-조합)의 개수와 같다. 이 조합론적 정의는 앞서 언급한 대수적 정의와 동일한 값을 가진다. 예를 들어, $(1\; +\; X)^n$을 $(1+X)$를 n번 곱한 것으로 생각하면, $X^k$ 항은 n개의 $(1+X)$ 중에서 k개를 선택하여 X를 곱하고 나머지 n-k개에서는 1을 곱하여 만들어진다. 따라서 $X^k$의 계수는 n개 중 k개를 선택하는 조합의 수 $\backslash binom\; nk$와 같아진다. 이 조합론적 해석을 통해 이항 계수 $\backslash binom\; nk$가 항상 자연수임을 알 수 있다. 이항 계수는 다른 여러 조합 문제의 해답으로도 등장한다. 예를 들어, 0과 1로 이루어진 길이 n의 비트 문자열 중 1의 개수가 k인 문자열의 수는 $\backslash binom\; nk$이고, 음이 아닌 정수 해 $a\_1\; +\; a\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; =\; k$의 개수는 $\backslash binom\{n+k-1\}\{n-1\}$이다.

이항 계수 사이에는 파스칼의 법칙으로 알려진 중요한 점화식 관계가 성립하며, 이는 파스칼 삼각형을 구성하는 기본 원리가 된다. 파스칼의 법칙은 이항 계수가 항상 자연수임을 수학적 귀납법으로 증명하는 데 사용될 수도 있다.

파스칼 삼각형은 이항 계수를 시각적으로 배열한 것이다. n번째 행에는 k = 0, 1, ..., n에 대한 이항 계수 $\backslash binom\; nk$가 순서대로 나열된다. 각 행의 양 끝 값은 1이며, 삼각형 내부의 각 값은 바로 위 행의 인접한 두 값의 합과 같다. 이 방법을 사용하면 분수나 곱셈 없이 이항 계수를 빠르게 계산할 수 있다.



예를 들어, 삼각형의 5번째 행을 보면 $(x\; +\; y)^5\; =\; \backslash mathbf\{1\}x^5\; +\; \backslash mathbf\{5\}x^4y\; +\; \backslash mathbf\{10\}x^3y^2\; +\; \backslash mathbf\{10\}x^2y^3\; +\; \backslash mathbf\{5\}xy^4\; +\; \backslash mathbf\{1\}y^5$ 와 같이 계수를 바로 알 수 있다.

4.1. 항등식

이항 계수는 다양한 항등식을 만족시킨다. 이들은 이항 계수의 정의, 조합적 해석, 또는 수학적 귀납법 등을 통해 증명될 수 있다.

대칭성
가장 기본적인 항등식 중 하나는 대칭성이다.
:$\backslash binom\; nk\; =\; \backslash binom\; n\{n-k\}\; \backslash quad\; (0\; \backslash le\; k\; \backslash le\; n)$
이는 크기 n인 집합에서 k개의 원소를 선택하는 것이 나머지 n-k개의 원소를 선택하는 것과 같다는 조합적 의미를 가진다. 팩토리얼 공식을 사용하면 $\backslash frac\{n!\}\{k!(n-k)!\}$ 로 양변이 같음을 쉽게 확인할 수 있다. 이 대칭성은 계산 시 k와 n-k 중 작은 값을 선택하여 효율성을 높이는 데 사용될 수 있다.

파스칼의 법칙 (점화식)
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다음의 점화식은 파스칼의 법칙(Pascal's rule^영어)으로 알려져 있으며, 파스칼의 삼각형을 구성하는 기본 원리가 된다.
:$\backslash binom\; nk\; +\; \backslash binom\; n\{k+1\}\; =\; \backslash binom\{n+1\}\{k+1\}$
이는 다음과 같은 형태로도 자주 사용된다.
:
이 식은 크기 n인 집합 {1, 2, ..., n}에서 k개의 원소를 선택하는 경우를 특정 원소(예: n)를 포함하는 경우($\backslash binom\{n-1\}\{k-1\}$)와 포함하지 않는 경우($\backslash binom\{n-1\}\{k\}$)로 나누어 생각함으로써 조합적으로 유도할 수 있다. 파스칼의 법칙과 경계값 $\backslash binom\; n0\; =\; \backslash binom\; nn\; =\; 1$ (모든 정수 n ≥ 0)을 이용하면 모든 이항 계수를 재귀적으로 계산할 수 있다. 파스칼의 법칙은 또한 이항 계수가 항상 자연수임을 수학적 귀납법으로 증명하는 데 사용될 수 있다.

파스칼의 삼각형은 파스칼의 법칙을 시각적으로 나타낸 것이다. n번째 행에는 k = 0, ..., n에 대한 이항 계수 $\backslash binom\{n\}\{k\}$가 나열된다. 각 내부 값은 바로 위 두 값의 합과 같다.

곱셈 공식 및 팩토리얼 공식
개별 이항 계수를 직접 계산하는 효율적인 방법은 내림차순 계승을 이용한 다음 공식이다.
:$\backslash binom\; nk\; =\; \backslash frac\{n^\{\backslash underline\{k\}\}\}\{k!\}\; =\; \backslash frac\{n(n-1)(n-2)\backslash cdots(n-(k-1))\}\{k(k-1)(k-2)\backslash cdots\; 1\}\; =\; \backslash prod\_\{i=1\}^k\backslash frac\{\; n+1-i\}\{\; i\}$
이는 크기 n인 집합에서 k개의 원소를 순서대로 뽑는 경우의 수($n^\{\backslash underline\{k\}\}$)를 k개 원소의 순열 수(k!)로 나눈 값으로 해석할 수 있다.

팩토리얼 함수를 이용한 간결한 형태는 다음과 같으며, 증명이나 다른 항등식 유도에 자주 사용된다.
:$\backslash binom\; nk\; =\; \backslash frac\{n!\}\{k!\backslash ,(n-k)!\}$
이 공식은 곱셈 공식의 분자와 분모에 (n-k)!를 곱하여 얻을 수 있다. 대칭성을 명확하게 보여주지만, 팩토리얼 값이 매우 빠르게 커지므로 직접 계산에는 비효율적일 수 있다.

합계 관련 항등식
* 파스칼 삼각형의 n번째 행의 합:
:$\backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash binom\; n\; k\; =\; 2^n$
이는 이항 정리 $(x+y)^n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash binom\; nk\; x^\{n-k\}\; y^k$에 x = y = 1을 대입하거나, 크기 n인 집합의 모든 부분집합의 개수를 세는 조합적 방법으로 증명할 수 있다.
* 가중 합계:
:$\backslash sum\_\{k=0\}^n\; k\; \backslash binom\{n\}\{k\}\; =\; n\; 2^\{n-1\}$
:$\backslash sum\_\{k=0\}^n\; k^2\; \backslash binom\; n\; k\; =\; (n\; +\; n^2)2^\{n-2\}$
이들은 이항 정리를 x에 대해 미분한 후 x = y = 1을 대입하여 얻을 수 있다.
* 추-반데르몬드 항등식: 임의의 복소수 m, n과 음이 아닌 정수 k에 대해 성립한다.
:$\backslash sum\_\{j=0\}^k\; \backslash binom\; m\; j\; \backslash binom\{n-m\}\{k-j\}\; =\; \backslash binom\; n\; k$
이는 $(1+x)^n\; =\; (1+x)^m\; (1+x)^\{n-m\}$의 양변에서 $x^k$의 계수를 비교하여 증명할 수 있다.
* 특수한 경우 (n = 2m, k = m):
:$\backslash sum\_\{j=0\}^m\; \backslash binom\{m\}\{j\}\; ^2\; =\; \backslash binom\; \{2m\}\; m$
여기서 우변은 중심 이항 계수이다.
* 추-반데르몬드 항등식의 다른 형태 (0 ≤ j ≤ k ≤ n인 정수 j, k, n):
:$\backslash sum\_\{m=j\}^n\; \backslash binom\; m\; j\; \backslash binom\; \{n-m\}\{k-j\}=\; \backslash binom\; \{n+1\}\{k+1\}$
* 하키 스틱 항등식: 위 식에서 j = k인 경우이다.
:$\backslash sum\_\{m=k\}^n\; \backslash binom\; m\; k\; =\; \backslash binom\; \{n+1\}\{k+1\}$
:$\backslash sum\_\{r=0\}^m\; \backslash binom\; \{n+r\}\; r\; =\; \backslash binom\; \{n+m+1\}\{m\}$

피보나치 수 관련 항등식
F(n)을 n번째 피보나치 수(F(0)=0, F(1)=1)라고 할 때, 다음이 성립한다.
:$\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash lfloor\; n/2\backslash rfloor\}\; \backslash binom\; \{n-k\}\; k\; =\; F(n+1)$
이는 수학적 귀납법이나 체켄도르프 정리, 또는 타일링을 이용한 조합 증명으로 보일 수 있다.

기타 점화식 및 관계식
다음은 이항 계수들 사이의 다양한 관계를 보여주는 식들이다.
* $\backslash binom\{n\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{n\}\{k\}\; \backslash binom\{n-1\}\{k-1\}$ (k > 0)
* $\backslash binom\; \{n-1\}\{k\}\; -\; \backslash binom\{n-1\}\{k-1\}\; =\; \backslash frac\{n-2k\}\{n\}\; \backslash binom\{n\}\{k\}$
* $\backslash binom\; \{n-1\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{n-k\}\{n\}\; \backslash binom\; \{n\}\{k\}$
* $\backslash binom\{n\}\{k\}\backslash binom\{k\}\{j\}\; =\; \backslash binom\{n\}\{j\}\backslash binom\{n-j\}\{k-j\}=\backslash binom\{n\}\{k-j\}\backslash binom\{n-k+j\}\{j\}$
* $\backslash binom\{n\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{n-k+1\}\{k\}\; \backslash binom\{n\}\{k-1\}$ (k > 0)

요약하면, 다음과 같은 관계들이 성립한다.
:$\backslash binom\; \{n\}\{k\}\; =\; \backslash binom\; n\{n-k\}\; =\; \backslash frac\{n-k+1\}\{k\}\; \backslash binom\; \{n\}\{k-1\}\; =\; \backslash frac\{n\}\{n-k\}\; \backslash binom\; \{n-1\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{n\}\{k\}\; \backslash binom\; \{n-1\}\{k-1\}$
:$=\; \backslash frac\{n\}\{n-2k\}\; \backslash left(\backslash binom\; \{n-1\}\{k\}\; -\; \backslash binom\{n-1\}\{k-1\}\backslash right)\; =\; \backslash binom\{n-1\}k\; +\; \backslash binom\{n-1\}\{k-1\}$

조합 증명 예시
많은 이항 계수 항등식은 조합 증명 또는 이중 계산을 통해 직관적으로 이해하고 증명할 수 있다.
* 예시 1: $\backslash sum\_\{k=q\}^n\; \backslash binom\{n\}\{k\}\; \backslash binom\{k\}\{q\}\; =\; 2^\{n-q\}\backslash binom\{n\}\{q\}$ (n ≥ q ≥ 0)
* 좌변: 크기 n인 집합에서 원소가 q개 이상인 부분집합을 선택하고( $\backslash binom\{n\}\{k\}$, k ≥ q), 그 부분집합에서 다시 q개의 원소를 표시하는($\backslash binom\{k\}\{q\}$) 방법의 수.
* 우변: 먼저 표시할 q개의 원소를 선택하고($\backslash binom\{n\}\{q\}$), 나머지 n-q개의 원소 각각에 대해 부분집합에 포함시킬지 여부를 결정하는($2^\{n-q\}$) 방법의 수.
* 양변은 같은 대상을 세는 서로 다른 방법이므로 같다.
* 예시 2: $\backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash binom\{n\}\{k\}^2\; =\; \backslash binom\{2n\}\{n\}$ (추-반데르몬드 항등식의 특수한 경우)
* 우변: 크기 2n인 집합에서 n개의 원소를 선택하는 방법의 수.
* 좌변: 크기 2n인 집합을 크기 n인 두 개의 부분집합 A, B로 나눈다. A에서 k개를 선택하고($\backslash binom\{n\}\{k\}$), B에서 n-k개를 선택하는($\backslash binom\{n\}\{n-k\}$) 방법의 수를 k=0부터 n까지 합한다. 대칭성($\backslash binom\{n\}\{n-k\}\; =\; \backslash binom\{n\}\{k\}$)을 이용하면 $\backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash binom\{n\}\{k\}^2$가 된다.
* 양변은 같은 대상을 세므로 같다.

4.2. 급수 공식

이항 계수는 다양한 급수 공식을 만족시킨다. 이 공식들은 주로 생성함수 $(1+x)^n$ 또는 그 도함수의 특정 값에서 유도된다.

가장 기본적인 합 공식은 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{k=0\}^n\backslash binom\; nk=2^n$
이 공식은 생성함수 $(1+x)^n$에 $x=1$을 대입하여 얻을 수 있으며, 크기가 n인 집합의 모든 부분집합의 개수가 $2^n$임을 의미한다.

다음 공식들은 생성함수를 미분한 후 $x=1$을 대입하여 유도할 수 있다.
:$\backslash sum\_\{k=0\}^nk\backslash binom\; nk=n2^\{n-1\}$
:$\backslash sum\_\{k=0\}^n\; k^2\; \backslash binom\; n\; k\; =\; (n\; +\; n^2)2^\{n-2\}$

이항 계수의 부분합에 대한 공식도 존재한다. 예를 들어, $k\; =\; 0,\; \backslash dots,\; n-1$에 대해 다음이 성립한다.
:$\backslash sum\_\{j=0\}^k\; (-1)^j\backslash binom\{n\}\{j\}\; =\; (-1)^k\backslash binom\; \{n-1\}\{k\}$
특히 $n>0$일 때, 모든 항을 더하면 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{j=0\}^n\; (-1)^j\backslash binom\; n\; j\; =\; 0$

이항 계수는 피보나치 수와도 관련이 있다. $F(n)$을 n번째 피보나치 수라고 할 때 다음 등식이 성립한다.
:$\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash lfloor\; n/2\backslash rfloor\}\; \backslash binom\{n-k\}k\; =F(n+1)$
이 공식은 파스칼의 삼각형에서 대각선 방향으로 항들을 더하면 피보나치 수가 나타나는 것을 보여준다.

주세걸-방데르몽드 항등식(Zhu–Vandermonde identity^영어)은 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{j=0\}^k\backslash binom\; mj\backslash binom\; n\{k-j\}=\backslash binom\{m+n\}k$
이 항등식은 $(1+x)^\{m+n\}\; =\; (1+x)^m\; (1+x)^n$의 양변에서 $x^k$의 계수를 비교하여 증명할 수 있다.

이 항등식의 특별한 경우로, 이항 계수의 제곱의 합 공식이 있다.
:$\backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\; \backslash binom\; nk^2\; =\backslash binom\{2n\}n$
이는 위 방데르몽드 항등식에서 $m=n,\; k=n$을 대입하고 $\backslash binom\{n\}\{n-j\}\; =\; \backslash binom\{n\}\{j\}$임을 이용하여 유도할 수 있다. 우변의 $\backslash binom\{2n\}\{n\}$은 중심 이항 계수이다. 이 공식은 크기가 $2n$인 집합에서 $n$개의 원소를 선택하는 경우의 수를 두 가지 방법으로 세어 조합론적으로 증명할 수도 있다.

하키 스틱 항등식은 방데르몽드 항등식의 또 다른 형태로 유도될 수 있다.
:$\backslash sum\_\{m=k\}^n\; \backslash binom\; m\; k\; =\; \backslash binom\; \{n+1\}\{k+1\}$
:$\backslash sum\_\{r=0\}^m\; \backslash binom\; \{n+r\}\; r\; =\; \backslash binom\; \{n+m+1\}\{m\}$

급수 분할(Series multisection)을 이용하면 특정 간격으로 이항 계수를 더한 합을 구할 수 있다. 인 정수 s, t에 대해 다음이 성립한다.
:$\backslash binom\{n\}\{t\}+\backslash binom\{n\}\{t+s\}+\backslash binom\{n\}\{t+2s\}+\backslash ldots=\backslash frac\{1\}\{s\}\backslash sum\_\{j=0\}^\{s-1\}\backslash left(2\backslash cos\backslash frac\{\backslash pi\; j\}\{s\}\backslash right)^n\backslash cos\backslash frac\{\backslash pi(n-2t)j\}\{s\}$
예를 들어 $s=3$일 경우 다음과 같은 공식들을 얻는다.
:$\backslash binom\{n\}\{0\}\; +\; \backslash binom\{n\}\{3\}+\backslash binom\{n\}\{6\}+\backslash cdots\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash left(2^n\; +2\; \backslash cos\backslash frac\{n\backslash pi\}\{3\}\backslash right)$
:$\backslash binom\{n\}\{1\}\; +\; \backslash binom\{n\}\{4\}+\backslash binom\{n\}\{7\}+\backslash cdots\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash left(2^n\; +2\; \backslash cos\backslash frac\{(n-2)\backslash pi\}\{3\}\backslash right)$
:$\backslash binom\{n\}\{2\}\; +\; \backslash binom\{n\}\{5\}+\backslash binom\{n\}\{8\}+\backslash cdots\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash left(2^n\; +2\; \backslash cos\backslash frac\{(n-4)\backslash pi\}\{3\}\backslash right)$

딕슨 항등식은 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{k=-a\}^\{a\}(-1)^\{k\}\{2a\backslash choose\; k+a\}^3\; =\backslash frac\{(3a)!\}\{(a!)^3\}$
더 일반적인 형태는 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{k=-a\}^a(-1)^k\{a+b\backslash choose\; a+k\}\; \{b+c\backslash choose\; b+k\}\{c+a\backslash choose\; c+k\}\; =\; \backslash frac\{(a+b+c)!\}\{a!\backslash ,b!\backslash ,c!\}\backslash ,,$
여기서 a, b, c는 음이 아닌 정수이다.

특정 삼각함수 적분은 이항 계수로 표현될 수 있다. 임의의 음이 아닌 정수 $m,\; n$에 대해 다음이 성립한다.
:$\backslash int\_\{-\backslash pi\}^\{\backslash pi\}\; \backslash cos((2m-n)x)\backslash cos^n(x)\backslash \; dx\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2^\{n-1\}\}\; \backslash binom\{n\}\{m\}$
:$$
\int_{-\pi}^{\pi} \sin((2m-n)x)\sin^n(x)\ dx =
\begin{cases}
(-1)^{m+(n+1)/2} \frac{\pi}{2^{n-1}} \binom{n}{m}, & n \text{이 홀수일 때} \\
0, & \text{그 외}
\end{cases}
:$$
\int_{-\pi}^{\pi} \cos((2m-n)x)\sin^n(x)\ dx =
\begin{cases}
(-1)^{m+(n/2)} \frac{\pi}{2^{n-1}} \binom{n}{m}, & n \text{이 짝수일 때} \\
0, & \text{그 외}
\end{cases}
이 식들은 오일러 공식을 사용하여 삼각함수를 복소 지수 함수로 변환하고, 이항 정리를 이용하여 전개한 뒤 항별로 적분하여 증명할 수 있다.

4.3. 생성 함수

이항 계수는 여러 형태의 생성 함수를 가진다.

* 고정된 n에 대해, 수열 $\backslash tbinom\; n0,\backslash tbinom\; n1,\backslash tbinom\; n2,\backslash ldots$의 상보통생성함수는 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \{n\backslash choose\; k\}\; x^k\; =\; (1+x)^n.$
* 고정된 k에 대해, 수열 $\backslash tbinom\; 0k,\backslash tbinom\; 1k,\; \backslash tbinom\; 2k,\backslash ldots,$의 상보통생성함수는 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{n=k\}^\backslash infty\backslash binom\; nk\; y^n\; =\; \backslash frac\{y^k\}\{(1-y)^\{k+1\}\}.$
* 이항계수의 이변량 생성 함수는 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \{n\backslash choose\; k\}\; x^k\; y^n\; =\; \backslash frac\{1\}\{1-y-xy\}.$
* 이항계수의 대칭 이변량 생성 함수는 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \{n+k\backslash choose\; k\}\; x^k\; y^n\; =\; \backslash frac\{1\}\{1-x-y\}.$
* 이항 계수의 대칭 이변수 지수 생성 함수는 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \{n+k\backslash choose\; k\}\; \backslash frac\{x^k\; y^n\}\{(n+k)!\}\; =\; e^\{x+y\}.$

중심 이항 계수의 생성 함수는 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash binom\{2n\}nx^n=\backslash frac1\{\backslash sqrt\{1-4x\}\}$

4.4. 점근 공식

일반적으로, 모든 자연수 $n$ 및 $k\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}$에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
:$\backslash left(\; \backslash frac\{n\}\{k\}\; \backslash right)^k\; \backslash le\; \backslash binom\{n\}\{k\}\; \backslash le\; \backslash frac\{n^k\}\{k!\}\; \backslash le\; \backslash left(\; \backslash frac\{n\backslash cdot\; e\}\{k\}\; \backslash right)^k$
특히 중심 이항 계수의 경우 다음 부등식이 성립한다.
:$\backslash frac\{4^n\}\{\backslash sqrt\{4n\}\}\; \backslash le\; \backslash binom\{2n\}\{n\}\; \backslash le\; \backslash frac\{4^n\}\{\backslash sqrt\{3n+1\}\}\backslash qquad\backslash forall\; n\backslash ge1$
최소공배수를 이용한 다음 부등식도 알려져 있다.
:$\backslash frac\{\backslash operatorname\{lcm\}(n-k,\; \backslash ldots,\; n)\}\{(n-k)\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{lcm\}\backslash left(\backslash binom\{k\}\{0\},\; \backslash ldots,\; \backslash binom\{k\}\{k\}\backslash right)\}\backslash leq\backslash binom\{n\}\{k\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{lcm\}(n-k,\; \backslash ldots,\; n)\}\{n\; -\; k\}$

스털링 근사를 사용하면 $\backslash binom\{n\}\{k\}$에 대한 다양한 점근 공식을 얻을 수 있다.

* $n$이 크고 $k$가 $n$에 비해 충분히 작을 때 ($k\; =\; o(n)$, 즉 $k/n\; \backslash to\; 0$):
:$\backslash binom\{n\}\{k\}\; \backslash sim\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\; k\}\}\; \backslash left(\backslash frac\{ne\}\{k\}\backslash right)^k\; \backslash exp\backslash left(-\; \backslash frac\{k^2\}\{2n\}(1\; +\; o(1))\backslash right)$
여기서 $o$는 소문자 o 표기법이다. 로그 형태로 나타내면 다음과 같다.
:$\backslash log\; \backslash binom\{n\}\{k\}\; \backslash approx\; k\; \backslash ln\backslash left(\; \backslash frac\{n\}\{k\}\; -0.5\backslash right)+k-0.5\; \backslash ln(2\; \backslash pi\; k)$
더 정확한 근사는 다음과 같다.
:$\backslash log\; \backslash binom\{n\}\{k\}\; \backslash approx\; (n+0.5)\; \backslash ln\backslash frac\{n+0.5\}\{n-k+0.5\}\; +\; k\; \backslash ln\; \backslash frac\{n-k+0.5\}\{k\}\; -\; 0.5\; \backslash ln(2\; \backslash pi\; k)$

* $n$이 크고 $k$가 $n/2$에 가까울 때 ($|n/2\; -\; k|\; =\; o(n^\{2/3\})$):
:$\backslash binom\{n\}\{k\}\; \backslash sim\; \backslash binom\{n\}\{\backslash frac\{n\}\{2\}\}\; e^\{-d^2/(2n)\}\; \backslash sim\; \backslash frac\{2^n\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{2\}n\; \backslash pi\; \}\}\; e^\{-d^2/(2n)\}$ (여기서 $d\; =\; n\; -\; 2k$)
이는 정규 분포를 이용한 근사와도 관련 있다. $n$이 충분히 클 때,
:$\backslash binom\{n\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{2^n\}\{\backslash sqrt\{\backslash tfrac\{1\}\{2\}n\; \backslash pi\}\}\; e^\{-\backslash frac\{(k-(n/2))^2\}\{n/2\}\}\backslash left[1+O\backslash left(\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{n\}\}\backslash right)\backslash right]$

* 중심 이항 계수 ($k=n$인 $\backslash binom\{2n\}\{n\}$):
:$\backslash binom\{2n\}\{n\}\; \backslash sim\; \backslash frac\{4^n\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi\; n\}\}$
다음 부등식도 성립한다.
:$\backslash sqrt\{n\}\backslash binom\{2n\}\{n\}\; \backslash ge\; 2^\{2n-1\}$
더 일반적으로, $m\; \backslash ge\; 2$이고 $n\; \backslash ge\; 1$일 때 다음이 성립한다.
:$\backslash sqrt\{n\}\backslash binom\{mn\}\{n\}\; \backslash ge\; \backslash frac\{m^\{m(n-1)+1\}\}\{(m-1)^\{(m-1)(n-1)\}\}$

* $n-k$와 $k$가 모두 무한대로 갈 때:
:$\{n\; \backslash choose\; k\}\; \backslash sim\; \backslash sqrt\{n\backslash over\; 2\backslash pi\; k\; (n-k)\}\; \backslash cdot\; \{n^n\; \backslash over\; k^k\; (n-k)^\{n-k\}\}$

이항 엔트로피 함수 $H(p)\; =\; -p\backslash log\_2(p)\; -(1-p)\backslash log\_2(1-p)$를 사용하여 다음 부등식을 얻을 수 있다. 이는 정보이론에서 유용하다.
:$\backslash frac\{1\}\{n+1\}\; 2^\{nH(k/n)\}\; \backslash leq\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; \backslash leq\; 2^\{nH(k/n)\}$
이는 다음과 같이 강화될 수 있다 ($1\; \backslash le\; k\; \backslash le\; n-1$).
:$\backslash sqrt\{\backslash frac\{n\}\{8k(n-k)\}\}\; 2^\{nH(k/n)\}\; \backslash leq\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; \backslash leq\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{n\}\{2\backslash pi\; k(n-k)\}\}\; 2^\{nH(k/n)\}$
$n,\; k$가 모두 1보다 충분히 클 때, 스털링 근사에 따른 로그 형태의 점근 근사식은 다음과 같다.
:$\backslash log\_2\; \backslash binom\{n\}\{k\}\; \backslash sim\; n\; H\backslash left(\backslash frac\{k\}\{n\}\backslash right)$

감마 함수 $\backslash Gamma(z)$를 이용한 점근 공식도 존재한다. $k\; \backslash to\; \backslash infty$일 때,
:$\backslash binom\{z\}\{k\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{(-1)^k\}\{\backslash Gamma(-z)\; k^\{z+1\}\}$
:$\backslash binom\{z+k\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{k^z\}\{\backslash Gamma(z+1)\}\backslash left(\; 1+\backslash frac\{z(z+1)\}\{2k\}+\backslash mathcal\{O\}\backslash left(k^\{-2\}\backslash right)\backslash right)$
조화수 $H\_k$와 오일러-마스케로니 상수 $\backslash gamma$를 이용한 근사식은 다음과 같다.
:$\backslash binom\{z+k\}\{k\}\backslash approx\; \backslash frac\{e^\{z(H\_k-\backslash gamma)\}\}\{\backslash Gamma(z+1)\}$
또한, $k\; \backslash to\; \backslash infty$이고 적절한 복소수 $x$에 대해 $j/k\; \backslash to\; x$일 때, 다음 점근 공식이 성립한다.
:$\backslash frac\{\backslash binom\{z+k\}\{j\}\}\{\backslash binom\{k\}\{j\}\}\backslash to\; \backslash left(1-\backslash frac\{j\}\{k\}\backslash right)^\{-z\}$
:$\backslash frac\{\backslash binom\{j\}\{j-k\}\}\{\backslash binom\{j-z\}\{j-k\}\}\backslash to\; \backslash left(\backslash frac\{j\}\{k\}\backslash right)^z$

이항 계수의 합에 대한 상계는 이항 정리를 이용하여 간단히 구할 수 있다.
:$\backslash sum\_\{i=0\}^k\; \backslash binom\{n\}\{i\}\; \backslash leq\; (1+n)^k$
이항 엔트로피 함수를 이용한 더 정확한 평가는 다음과 같다 ($\backslash varepsilon\; \backslash doteq\; k/n\; \backslash leq\; 1/2$인 모든 정수 $n\; >\; k\; \backslash geq\; 1$).
:$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{8n\backslash varepsilon(1-\backslash varepsilon)\}\}\; \backslash cdot\; 2^\{H(\backslash varepsilon)\; \backslash cdot\; n\}\; \backslash leq\; \backslash sum\_\{i=0\}^k\; \backslash binom\{n\}\{i\}\; \backslash leq\; 2^\{H(\backslash varepsilon)\; \backslash cdot\; n\}$

4.5. 수론적 성질

쿠머 정리(Kummer定理, Kummer’s theorem^영어)는 음이 아닌 정수 $n\; \backslash ge\; k$와 소수 $p$에 대해, 이항 계수 $\backslash binom\; nk$를 나누는 $p$의 가장 큰 거듭제곱 지수 $c$ (즉, $p^c\; \backslash mid\; \backslash binom\; nk$를 만족하는 최대 $c$)를 구하는 방법을 제시한다. 1852년 쿠머가 증명한 이 정리에 따르면, 지수 $c$는 $k$와 $n-k$를 $p$진법으로 더할 때 발생하는 받아올림의 횟수와 같다. 다르게 표현하면, $c$는 $\backslash lfloor\; k/p^j\; \backslash rfloor\; >\; \backslash lfloor\; n/p^j\; \backslash rfloor\; -\; \backslash lfloor\; (n-k)/p^j\; \backslash rfloor$ 를 만족하는, 즉 $k/p^j$의 소수 부분이 $n/p^j$의 소수 부분보다 큰 음이 아닌 정수 $j$의 개수와 같다. 이 정리로부터 $\backslash binom\; nk$가 $n\; /\; \backslash gcd(n,\; k)$로 나누어떨어진다는 것을 알 수 있다. 따라서 특히, 임의의 양의 정수 $r$과 인 양의 정수 $s$에 대해, $p$는 $\backslash binom\{p^r\}\{s\}$를 나눈다. 그러나 $p$의 더 높은 거듭제곱에 대해서는 항상 성립하지는 않는다. 예를 들어, $9$는 $\backslash binom\; 96$을 나누지 않는다.

뤼카의 정리는 이항 계수 $\backslash binom\; nk$를 소수 $p$로 나눈 나머지를 구하는 방법을 제공한다.

에르되시 추측(Erdős squarefree conjecture^영어)은 중심 이항 계수 $\backslash binom\{2n\}n$이 $n>4$일 때 항상 제곱 인수가 없는 정수라는 내용이다. 이는 에르되시 팔이 1980년에 추측했고, 앤드루 그랜빌(Andrew Granville)과 올리비에 라마레(Olivier Ramaré^프랑스어)가 1996년에 증명했다.

데이비드 싱매스터(David Singmaster)는 1974년에 임의의 양의 정수 $d$가 거의 모든 이항 계수 $\backslash binom\; nk$를 나눈다는 다소 놀라운 결과를 증명했다. 더 정확히 말하면, $N$ 미만의 $n$에 대한 이항 계수 $\backslash binom\; nk$ () 중에서 $d$로 나누어떨어지는 것의 개수를 $f(N)$이라 할 때, 그 비율은 $N$이 무한대로 갈 때 1에 수렴한다. 즉,
:$\backslash lim\_\{N\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{f(N)\}\{N(N+1)/2\}=1$
여기서 $N(N+1)/2$는 일 때 가능한 이항 계수 $\backslash binom\; nk$의 총 개수이다.

이항 계수는 다음과 같은 나누어짐 성질도 가진다:
* $\backslash binom\{n+k\}k$는 $\backslash frac\{\backslash operatorname\{lcm\}(n,n+1,\backslash ldots,n+k)\}n$을 나눈다.
* $\backslash binom\{n+k\}k$는 $\backslash frac\{\backslash operatorname\{lcm\}(n,n+1,\backslash ldots,n+k)\}\{n\backslash cdot\; \backslash operatorname\{lcm\}(\backslash binom\{k\}0,\backslash binom\{k\}1,\backslash ldots,\backslash binom\{k\}k)\}$의 배수이다.

또한 다음과 같은 성질들이 알려져 있다.
* 만약 $n$이 소수이면, 모든 $0\; \backslash le\; k\; \backslash le\; n-1$에 대해 $\backslash binom\; \{n-1\}k\; \backslash equiv\; (-1)^k\; \backslash pmod\; n$이 성립한다. 보다 일반적으로, $n$이 임의의 정수이고 $1$부터 $k$까지의 모든 정수가 $n$과 서로소일 때 이 합동식은 여전히 참이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.
: $$
\binom {n-1} k = \frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{1\cdot 2\cdots k}
= \prod_{i=1}^{k}\frac{n-i}{i}\equiv \prod_{i=1}^{k}\frac{-i}{i} = (-1)^k \pmod n.

* 정수 $n\; \backslash ge\; 2$가 소수일 필요충분조건은 모든 중간 이항 계수 $\backslash binom\; n1,\; \backslash binom\; n2,\; \backslash ldots,\; \backslash binom\; n\{n-1\}$가 $n$으로 나누어지는 것이다.
증명:
만약 $p$가 소수이면, 인 모든 $k$에 대해 $\backslash binom\; pk\; =\; \backslash frac\{p\; \backslash cdot\; (p-1)\; \backslash cdots\; (p-k+1)\}\{k\; \backslash cdot\; (k-1)\; \backslash cdots\; 1\}$는 $p$로 나누어진다. 왜냐하면 분자는 소인수 $p$를 포함하지만, 분모는 이므로 $p$를 소인수로 가지지 않기 때문이다.
만약 $n$이 합성수이면, $p$를 $n$의 가장 작은 소인수라 하고 $k\; =\; n/p$라고 하자. 그러면 이고, $\backslash binom\; np\; =\; \backslash frac\{n(n-1)\backslash cdots(n-p+1)\}\{p!\}\; =\; \backslash frac\{k(n-1)\backslash cdots(n-p+1)\}\{(p-1)!\}$이다. 만약 $\backslash binom\; np$가 $n$으로 나누어진다고 가정하면, 분자 $k(n-1)\backslash cdots(n-p+1)$는 $n\; =\; kp$로 나누어져야 한다. 이는 $(n-1)\backslash cdots(n-p+1)$이 $p$로 나누어질 때만 가능하다. 그러나 $n$은 $p$로 나누어지므로, $n-1,\; n-2,\; \backslash ldots,\; n-p+1$ 중 어느 것도 $p$로 나누어지지 않는다. $p$는 소수이므로, 곱 $(n-1)\backslash cdots(n-p+1)$도 $p$로 나누어지지 않는다. 따라서 분자는 $n$으로 나누어질 수 없으므로 모순이다. 즉, $\backslash binom\; np$는 $n$으로 나누어지지 않는다.

4.6. 다항식으로서의 성질

음이 아닌 정수 k에 대해, 이항 계수 $\backslash binom\{t\}\{k\}$는 변수 t에 대한 다항식으로 생각할 수 있다. 이 다항식은 다음과 같이 정의된다.

$\backslash binom\{t\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{t(t-1)(t-2)\backslash cdots(t-k+1)\}\{k!\}\; =\; \backslash frac\{t^\{\backslash underline\{k\}\}\}\{k!\}$

여기서 $t^\{\backslash underline\{k\}\}$는 하강 계승곱을 나타낸다. 이 식은 t에 대한 k차 다항식이며, 그 계수는 유리수이다. 이 정의를 사용하면 t가 정수가 아닌 실수나 복소수일 때도 이항 계수를 계산할 수 있으며, 이는 뉴턴의 일반화된 이항 정리에서 사용된다.

각각의 음이 아닌 정수 k에 대해, 다항식 $\backslash binom\{t\}\{k\}$는 $p(0)\; =\; p(1)\; =\; \backslash cdots\; =\; p(k-1)\; =\; 0$ 이고 $p(k)\; =\; 1$을 만족하는 유일한 k차 다항식 $p(t)$이다.

이항 계수 다항식의 계수는 제1종 스털링 수 $s(k,i)$ 또는 $\backslash left[\{k\; \backslash atop\; i\}\; \backslash right]$를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\backslash binom\{t\}\{k\}\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^k\; s(k,i)\backslash frac\{t^i\}\{k!\}\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^k\; \backslash left[\{k\; \backslash atop\; i\}\; \backslash right]\backslash frac\{t^i\}\{k!\}$

다항식 $\backslash binom\{t\}\{k\}$의 도함수는 로그 미분을 이용하여 계산할 수 있다.

$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; \backslash binom\{t\}\{k\}\; =\; \backslash binom\{t\}\{k\}\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{k-1\}\; \backslash frac\{1\}\{t-i\}$

이 식은 $t$가 $0,\; 1,\; \backslash dots,\; k-1$ 중 하나일 때 문제가 될 수 있지만, 다음 항등식을 사용하여 도함수를 계산할 수도 있다.

$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; \backslash binom\{t\}\{k\}\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{k-1\}\; \backslash frac\{(-1)^\{k-i-1\}\}\{k-i\}\; \backslash binom\{t\}\{i\}$

표수가 0인 임의의 체 (예: 유리수체 $\backslash mathbb\{Q\}$) 위에서, 차수가 최대 d인 임의의 다항식 $p(t)$는 이항 계수 다항식의 선형 결합으로 유일하게 표현될 수 있다.

$p(t)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^d\; a\_k\; \backslash binom\{t\}\{k\}$

여기서 계수 $a\_k$는 수열 $p(0),\; p(1),\; \backslash dots,\; p(k)$의 k차 차분이며, 다음과 같이 명시적으로 주어진다.

$a\_k\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^k\; (-1)^\{k-i\}\; \backslash binom\{k\}\{i\}\; p(i)$ (4)

=== 정수값 다항식 ===
정수값 다항식은 모든 정수 입력값 t에 대해 정수값을 갖는 다항식을 말한다. 이항 계수 다항식 $\backslash binom\{t\}\{k\}$는 모두 정수값 다항식이다. 이는 파스칼의 규칙을 이용하여 k에 대한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다. 따라서 이항 계수 다항식들의 정수 계수 선형 결합 역시 정수값 다항식이 된다.

반대로, 식 (4)는 모든 정수값 다항식이 이항 계수 다항식들의 정수 계수 선형 결합으로 표현될 수 있음을 보여준다. 예를 들어, 정수값 다항식 $3t(3t+1)/2$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$9\backslash binom\{t\}\{2\}\; +\; 6\; \backslash binom\{t\}\{1\}\; +\; 0\backslash binom\{t\}\{0\}$

더 일반적으로, 표수가 0인 체 K의 임의의 부분환 R에 대해, K[t]에 속하는 다항식이 모든 정수 입력에 대해 R의 값을 가질 필요충분조건은 그 다항식이 이항 계수 다항식들의 R-선형 결합이라는 것이다.

=== 테일러 급수 ===
제1종 스털링 수를 이용하면, 이항 계수 다항식 $\backslash binom\{z\}\{k\}$의 임의의 점 $z\_0$ 주위에서의 테일러 급수 전개는 다음과 같이 주어진다.

5. 응용

조합론에서 이항 계수는 크기가 $n$인 유한 집합에서 크기가 $k$인 부분집합을 고르는 경우의 수, 즉 $n$개 원소에서 $k$개를 선택하는 조합의 수 $\backslash tbinom\; nk$를 나타낸다. 이 외에도 다양한 조합론 문제에 활용된다.

* 카탈랑 수 $C\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{n+1\}\backslash binom\{2n\}\{n\}$는 다양한 조합론 문제의 해답으로 나타난다.
* 크기가 $n$인 집합에서 크기가 $k$인 중복집합을 고르는 경우의 수는 $\backslash tbinom\{n+k-1\}k$이다.
* $k$개의 1과 $n$개의 0을 포함하는 문자열의 수는 $\backslash tbinom\{n+k\}k$이다.
* 두 개의 1이 인접하지 않도록 $k$개의 1과 $n$개의 0으로 구성된 문자열의 수는 $\backslash tbinom\{n+1\}k$이다.

대수학에서는 이항 정리에 따라 이항식을 거듭제곱할 때 각 항의 계수로 나타난다. 이항 계수라는 이름도 여기에서 유래했다.
:$(x+y)^n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\backslash binom\; nk\; x^\{n-k\}\; y^k\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash binom\; nk\; x^k\; y^\{n-k\}$

통계학에서는 성공 확률이 $p$인 베르누이 시행을 $n$번 독립적으로 반복할 때 성공 횟수가 $k$번일 확률을 나타내는 이항 분포의 확률 질량 함수 $P(X=k)\; =\; \backslash binom\{n\}\{k\}\; p^k\; (1-p)^\{n-k\}$에 사용된다.

수론에서는 베르트랑의 공준 증명에 중심 이항 계수($\backslash binom\{2n\}\{n\}$)의 성질이 활용된다. 또한, 아페리 상수 $\backslash zeta(3)$가 무리수임을 증명하는 데 사용된 급수에도 중심 이항 계수가 등장한다.
:$\backslash zeta(3)=\backslash frac52\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^\{n+1\}\}\{n^3\backslash binom\{2n\}n\}$

6. 일반화

음수, 실수, 복소수로의 확장
이항 계수의 정의는 곱셈 공식을 이용하여 n 자리에 음수, 실수, 복소수 등 임의의 수 α 또는 모든 양의 정수가 가역적인 임의의 가환환의 원소를 넣어 확장할 수 있다.
$$\backslash binom\; \backslash alpha\; k\; =\; \backslash frac\{\backslash alpha^\{\backslash underline\; k\}\}\{k!\}\; =\; \backslash frac\{\backslash alpha(\backslash alpha-1)(\backslash alpha-2)\backslash cdots(\backslash alpha-k+1)\}\{k(k-1)(k-2)\backslash cdots\; 1\}\; \backslash quad(\backslash text\{단,\; \}\; k\backslash in\backslash N\; \backslash text\{\; 이고\; \}\; \backslash alpha\backslash text\{는\; 임의의\; 수\})$$
이 정의는 이항급수와 연결되며, 인 모든 복소수 α와 X에 대해 다음 이항 정리의 일반화가 성립한다.
$$(1+X)^\backslash alpha\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \{\backslash alpha\; \backslash choose\; k\}\; X^k.$$
이 식은 X에 대한 형식적 멱급수의 항등식으로도 볼 수 있다. 이 정의를 사용하면 지수 법칙과 유사한 항등식, 예를 들어 $(1+X)^\backslash alpha(1+X)^\backslash beta=(1+X)^\{\backslash alpha+\backslash beta\}$ 와 $((1+X)^\backslash alpha)^\backslash beta=(1+X)^\{\backslash alpha\backslash beta\}$ 가 성립한다.

만약 α가 음이 아닌 정수 n이면, $k\; >\; n$인 모든 항은 0이 되어 무한급수는 유한 합이 되어 원래의 이항 정리와 같아진다. 그러나 α가 음의 정수나 유리수 등 다른 값이면 급수는 일반적으로 무한하다. 예를 들어, α가 음의 정수 -n일 경우 다음과 같이 표현된다.

&=(-1)^k\;\frac{n\cdot(n+1)\cdots (n + k - 1)}{k!}\\
&=(-1)^k\binom{n + k - 1}{k}\end{align}
이는 아래에서 설명할 다중집합 계수와 관련이 있다.

또한, 감마 함수 Γ 또는 베타 함수 Β를 이용하여 이항 계수를 두 개의 실수 또는 복소수 인수로 일반화할 수도 있다.
$\{x\; \backslash choose\; y\}=\; \backslash frac\{\backslash Gamma(x+1)\}\{\backslash Gamma(y+1)\; \backslash Gamma(x-y+1)\}=\; \backslash frac\{1\}\{(x+1)\; \backslash Beta(y+1,\; x-y+1)\}.$
이 정의는 감마 함수의 성질을 상속받아 다음과 같은 관계식을 만족한다.
$\{x\; \backslash choose\; y\}=\; \backslash frac\{\backslash sin\; (y\; \backslash pi)\}\{\backslash sin(x\; \backslash pi)\}\; \{-y-1\; \backslash choose\; -x-1\}=\; \backslash frac\{\backslash sin((x-y)\; \backslash pi)\}\{\backslash sin\; (x\; \backslash pi)\}\; \{y-x-1\; \backslash choose\; y\};$
$\{x\; \backslash choose\; y\}\; \backslash cdot\; \{y\; \backslash choose\; x\}=\; \backslash frac\{\backslash sin((x-y)\; \backslash pi)\}\{(x-y)\; \backslash pi\}.$
이 일반화된 함수의 그래프는 복잡하며, 특히 x가 음수일 때 음의 정수 값에서 특이점을 가지고 양수와 음수 영역이 번갈아 나타나는 패턴을 보인다. 유한한 경우 성립했던 대칭성 $\backslash binom\; n\; m\; =\; \backslash binom\; n\; \{n-m\}$ 등 많은 항등식이 이 일반화에서는 성립하지 않는다.

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다항 계수
이항 계수는 여러 항의 거듭제곱을 전개할 때 나타나는 다항 계수로 일반화될 수 있다. k₁ + k₂ + ... + k_r = n 일 때, 다항 계수는 다음과 같이 정의된다.
$\{n\backslash choose\; k\_1,k\_2,\backslash ldots,k\_r\}\; =\backslash frac\{n!\}\{k\_1!k\_2!\backslash cdots\; k\_r!\}$
이항 계수가 $(x\; +\; y)^n$의 계수인 반면, 다항 계수는 $(x\_1\; +\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_r)^n$의 전개식에서 각 항의 계수이다. r = 2인 경우, 다항 계수는 이항 계수와 같다.
$\{n\backslash choose\; k\_1,k\_2\}=\{n\backslash choose\; k\_1,\; n-k\_1\}=\{n\backslash choose\; k\_1\}=\; \{n\backslash choose\; k\_2\}.$
조합론적으로 다항 계수는 n개의 구별 가능한 원소를 r개의 구별 가능한 상자에 넣을 때, 각 상자 i에 정확히 k_i개의 원소가 들어가도록 나누는 방법의 수를 센다.

다항 계수는 이항 계수와 유사한 성질을 가진다. 예를 들어, 다음과 같은 재귀 관계가 성립한다.
$\{n\backslash choose\; k\_1,k\_2,\backslash ldots,k\_r\}\; =\{n-1\backslash choose\; k\_1-1,k\_2,\backslash ldots,k\_r\}+\{n-1\backslash choose\; k\_1,k\_2-1,\backslash ldots,k\_r\}+\backslash ldots+\{n-1\backslash choose\; k\_1,k\_2,\backslash ldots,k\_r-1\}$
또한, 인덱스의 순열 $(\backslash sigma\_i)$에 대해 대칭성을 가진다.
$\{n\backslash choose\; k\_1,k\_2,\backslash ldots,k\_r\}\; =\{n\backslash choose\; k\_\{\backslash sigma\_1\},k\_\{\backslash sigma\_2\},\backslash ldots,k\_\{\backslash sigma\_r\}\}$

다중집합 계수
이항 계수가 집합에서 원소를 중복 없이 선택하는 경우의 수라면, 다중집합 계수는 원소를 중복을 허용하여 선택하는 경우의 수를 센다. n개의 원소를 가진 집합에서 k개의 원소를 중복을 허용하여 선택하는 방법의 수는 $\backslash left(\backslash !\backslash !\backslash binom\; n\; k\backslash !\backslash !\backslash right)$로 표기한다.

다중집합 계수는 이항 계수를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
$\backslash left(\backslash !\backslash !\backslash binom\{n\}\{k\}\backslash !\backslash !\backslash right)=\backslash binom\{n+k-1\}\{k\}.$
이 관계는 하강 계승 멱($x^\{\backslash underline\; k\}\; =\; x(x-1)\backslash cdots(x-k+1)$)과 상승 계승 멱($x^\{\backslash overline\; k\}\; =\; x(x+1)\backslash cdots(x+k-1)$)을 사용하여 설명할 수도 있다. 이항 계수가 $\backslash binom\{n\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{n^\{\backslash underline\; k\}\}\{k!\}$로 표현되는 반면, 다중집합 계수는 $\backslash left(\backslash !\backslash !\backslash binom\{n\}\{k\}\backslash !\backslash !\backslash right)=\backslash frac\{n^\{\backslash overline\; k\}\}\{k!\}$로 표현된다.

앞서 살펴본 음의 정수에 대한 이항 계수는 다중집합 계수와 다음과 같은 관계를 가진다.
$\backslash binom\{-n\}\{k\}\; =\; (-1)^k\backslash binom\{n+k-1\}\{k\}\; =\; (-1)^k\backslash left(\backslash !\backslash !\backslash binom\{n\}\{k\}\backslash !\backslash !\backslash right).$
즉, 음의 정수 -n에 대한 이항 계수는 부호 $(-1)^k$를 가진 다중집합 계수와 같다. 특히 $n=1$일 경우 $\backslash binom\{-1\}\{k\}\; =\; (-1)^k$이다.

q-아날로그
이항 계수는 q-아날로그로 일반화될 수 있으며, 이를 가우스 이항 계수라고 부른다.

무한 기수로의 확장
이항 계수의 정의는 기수가 무한한 경우로도 확장될 수 있다. 임의의 기수 $\backslash kappa,\; \backslash lambda$에 대하여, 초한 이항 계수(transfinite binomial coefficient^영어) $\backslash binom\backslash kappa\backslash lambda$는 크기가 $\backslash kappa$인 집합의, 크기가 $\backslash lambda$인 부분 집합의 개수를 의미한다. 선택 공리를 가정하면 이 정의는 집합의 선택과 무관하게 잘 정의된다.

$\backslash kappa$가 무한 기수이고 $\backslash lambda$가 유한 또는 무한 기수일 때, 초한 이항 계수의 값은 다음과 같다.
$\backslash binom\backslash kappa\backslash lambda=\backslash begin\{cases\}$
\kappa^\lambda & \lambda\le\kappa \text{ 이고 } \kappa\ge\aleph_0 \\
0 & \lambda>\kappa \\
\binom nk & k=\lambda<\aleph_0,\;n=\kappa<\aleph_0 \text{ (유한 경우)}
\end{cases}
여기서 $\backslash aleph\_0$는 가장 작은 무한 기수이다. $\backslash lambda\backslash le\backslash kappa$이고 $\backslash kappa$가 무한 기수일 때 $\backslash binom\backslash kappa\backslash lambda=\backslash kappa^\backslash lambda$가 되는 이유는 $\backslash kappa^\backslash lambda\backslash le\backslash binom\backslash kappa\backslash lambda\backslash le\backslash kappa^\backslash lambda$ 이기 때문이다.

특히, 무한 기수 $\backslash kappa$에 대해 중심 이항 계수는 $\backslash binom\{2\backslash kappa\}\backslash kappa\; =\; 2^\backslash kappa$ 이고, 또한 $\backslash binom\{\backslash kappa\}\backslash kappa\; =\; 2^\backslash kappa$ 이다.

유한 이항 계수에서 성립하는 대칭성 $\backslash binom\; n\; k\; =\; \backslash binom\; n\; \{n-k\}$는 초한 이항 계수에서는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어,
$\backslash binom\{\backslash aleph\_0+1\}1\; =\; \backslash aleph\_0$
$\backslash binom\{\backslash aleph\_0+1\}\{\backslash aleph\_0\}\; =\; 2^\{\backslash aleph\_0\}$
이므로 $\backslash binom\{\backslash aleph\_0+1\}1\; \backslash ne\; \backslash binom\{\backslash aleph\_0+1\}\{\backslash aleph\_0\}$ 이다.