브룬 상수

1. 개요

브룬 상수는 쌍둥이 소수들의 역수 합으로 정의되는 수학 상수이다. 이 상수는 상한과 하한으로 분리될 수 있으며, 쌍둥이 소수의 정의와 밀접한 관련이 있다. 세쌍둥이 소수의 역수 합으로 정의되는 세쌍둥이 브룬 상수도 존재하며, 특정 소수들의 규칙적인 배열을 따른다.

2. 브룬 상수

브룬 상수($B\_2$)는 쌍둥이 소수의 역수의 합으로 정의되는 값이다. 이 값은 수렴하는 것으로 알려져 있으며, 약 1.9021605831이다. 하지만 이 수가 무리수인지 유리수인지는 아직 밝혀지지 않았다.

브룬 상수 $B\_2$는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:$B\_2=U\; +\; L=\; 1.9021605831\backslash cdots$
:$U=0.843096\; \backslash cdots$
:$L=1.059064\; \backslash cdots$

여기서 U는 $G(n)=\; 6\; k\; +1\; ,\; (k\backslash ge1)$형태를 가지는 수들의 역수의 합이고, L은 $g(n)=\; 6\; k\; -1\; ,\; (k\backslash ge1)$형태를 가지는 수들의 역수의 합이다.

또한, 분리된 브룬 상수 $B$는 다음과 같이 정의된다.

:$B=\; \backslash sum\_\{n\backslash ge1\}\backslash frac\{1\}\{P(n)\}\; =\; 0.10798397495\backslash cdots$
:$P(n)=\; p(p+2)$ ($p$는 소수, $p+2$도 소수)

2.1. 브룬 상수의 분리

브룬 상수 $B\_2$는 상한(U)과 하한(L)으로 분리할 수 있다.

:$B\_2=U\; +\; L$
:$U=\; \backslash sum\_\{n\; \backslash ge\; 1\}\; \backslash frac\{1\}\{G(n)\}$
:$L=\; \backslash sum\_\{n\; \backslash ge\; 1\}\; \backslash frac\{1\}\{g(n)\}$
:$G(n)=\; 6k\; +\; 1,\; (k\; \backslash ge\; 1)$
:$g(n)=\; 6k\; -\; 1,\; (k\; \backslash ge\; 1)$
:$U=0.843096\; \backslash cdots$
:$L=1.059064\; \backslash cdots$
:$B\_2\; =\; U\; +\; L\; =\; 1.9021605831\backslash cdots$

* U는 n이 1 이상일 때 G(n)의 역수의 합으로, G(n)은 k가 1 이상일 때 6k+1로 정의된다. U의 값은 약 0.843096이다.
* L은 n이 1 이상일 때 g(n)의 역수의 합으로, g(n)은 k가 1 이상일 때 6k-1로 정의된다. L의 값은 약 1.059064이다.

이 둘을 합한 브룬 상수 $B\_2$의 값은 약 1.9021605831이다.

분리된 브룬 상수 $B$는 다음과 같이 정의된다.

:$B\; =\; \backslash frac\{(L\; -\; U)\}\{2\}$
:$B\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\; \backslash cdot\; 5\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5\; \backslash cdot\; 7\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{11\; \backslash cdot\; 13\}\; +\; \backslash cdots$
:$B=\; \backslash sum\_\{n\; \backslash ge\; 1\}\backslash frac\{1\}\{P(n)\}$
:$B\; =\; 0.10798397495\backslash cdots$
:$P(n)=\; p(p+2),\; \backslash ;\; \backslash left\backslash \{p\; \backslash ge\; 3,\; \backslash ;\; p+2=p\; \backslash ;|\backslash ;\; (p,p+2)\_1\; ,(p,p+2)\_2,(p,p+2)\_n,\backslash cdots\; \backslash right\backslash \}$

B는 L과 U의 차이를 2로 나눈 값으로, 3·5, 5·7, 11·13 등과 같이 연속된 소수 쌍의 곱의 역수의 합으로 표현된다. 이 값은 약 0.10798397495이다.

3. 세쌍둥이 브룬 상수

트리플릿(세쌍둥이) 브룬 상수는 쌍둥이 브룬 상수처럼 규칙적인 일련의 3개의 소수로 이루어지는 소수들의 합의 값이다.

:$B\_\{3b\}=\backslash sum\_\{\}^\{\}\; \{\backslash left(\; \backslash left(++\backslash right)\; +\backslash left(++\backslash right)+\backslash left(++\backslash right)+\; \backslash cdots\; \backslash right)\; \}$

:$=\backslash sum\_\{\}^\{\}\; \{\backslash left(\; \backslash left(++\backslash right)\; +\backslash left(++\backslash right)+\backslash left(++\backslash right)+\; \backslash cdots\; \backslash right)\; \}$

:$=0.837113212411\; \backslash cdots$