브룬 상수

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1. 개요
2. 브룬 상수
- 2.1. 브룬 상수의 분리
3. 세쌍둥이 브룬 상수
참조

1. 개요

브룬 상수는 쌍둥이 소수들의 역수 합으로 정의되는 수학 상수이다. 이 상수는 상한과 하한으로 분리될 수 있으며, 쌍둥이 소수의 정의와 밀접한 관련이 있다. 세쌍둥이 소수의 역수 합으로 정의되는 세쌍둥이 브룬 상수도 존재하며, 특정 소수들의 규칙적인 배열을 따른다.

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브룬 상수
수학 상수 정보
이름	브룬 상수
분야	정수론
기호	B₂
정의	쌍둥이 소수의 역수의 합
값 (10¹⁴까지 계산)	1.902160578
값 (10¹⁶까지 계산)	1.902160583104…
수식	B₂ = 1.902160583…
관련 상수	B₄ (사촌 소수 상수)
쌍둥이 소수 추측 정보
쌍둥이 소수 추측	쌍둥이 소수는 무한히 많다.
브룬 상수	쌍둥이 소수의 역수의 합은 수렴한다. (브룬의 정리)
사촌 소수 상수 정보
기호	B₄
사촌 소수 예시	(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109)
값	B₄ = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005

2. 브룬 상수

'''브룬 상수'''( $B_2$ )는 쌍둥이 소수의 역수의 합으로 정의되는 값이다. 이 값은 수렴하는 것으로 알려져 있으며, 약 1.9021605831이다.^[2]^[3] 하지만 이 수가 무리수인지 유리수인지는 아직 밝혀지지 않았다.

브룬 상수 $B_2$ 는 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $B_2=U + L= 1.9021605831\cdots$

: $U=0.843096 \cdots$ ^[2]

: $L=1.059064 \cdots$ ^[3]

여기서 U는 $G(n)= 6 k +1 , (k\ge1)$ 형태를 가지는 수들의 역수의 합이고, L은 $g(n)= 6 k -1 , (k\ge1)$ 형태를 가지는 수들의 역수의 합이다.

또한, 분리된 브룬 상수 $B$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $B= \sum_{n\ge1}\frac{1}{P(n)} = 0.10798397495\cdots$ ^[4]

: $P(n)= p(p+2)$ ( $p$ 는 소수, $p+2$ 도 소수)^[5]

2. 1. 브룬 상수의 분리

브룬 상수

B_2

는 상한(U)과 하한(L)으로 분리할 수 있다.

:

B_2=U + L

:

U= \sum_{n \ge 1} \frac{1}{G(n)}

:

L= \sum_{n \ge 1} \frac{1}{g(n)}

:

G(n)=  6k + 1, (k \ge 1)

:

g(n)=  6k - 1, (k \ge 1)

:

U=0.843096 \cdots

^[2]

:

L=1.059064 \cdots

^[3]

:

B_2 = U + L = 1.9021605831\cdots

U는 n이 1 이상일 때 G(n)의 역수의 합으로, G(n)은 k가 1 이상일 때 6k+1로 정의된다. U의 값은 약 0.843096이다.^[2]
L은 n이 1 이상일 때 g(n)의 역수의 합으로, g(n)은 k가 1 이상일 때 6k-1로 정의된다. L의 값은 약 1.059064이다.^[3]

이 둘을 합한 브룬 상수

B_2

의 값은 약 1.9021605831이다.

분리된 브룬 상수

B

는 다음과 같이 정의된다.

:

B = \frac{(L - U)}{2}

:

B = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{11 \cdot 13} + \cdots

:

B= \sum_{n \ge 1}\frac{1}{P(n)}

:

B = 0.10798397495\cdots

^[4]

:

P(n)= p(p+2), \; \left\{p \ge 3, \; p+2=p \;|\; (p,p+2)_1 ,(p,p+2)_2,(p,p+2)_n,\cdots  \right\}

^[5]

B는 L과 U의 차이를 2로 나눈 값으로, 3·5, 5·7, 11·13 등과 같이 연속된 소수 쌍의 곱의 역수의 합으로 표현된다. 이 값은 약 0.10798397495이다.^[4]

3. 세쌍둥이 브룬 상수

트리플릿(세쌍둥이) 브룬 상수는 쌍둥이 브룬 상수처럼 규칙적인 일련의 3개의 소수로 이루어지는 소수들의 합의 값이다.^[6]

: $B_{3b}=\sum_{}^{} {\left( \left(++\right) +\left(++\right)+\left(++\right)+ \cdots \right) }$

: $=\sum_{}^{} {\left( \left(++\right) +\left(++\right)+\left(++\right)+ \cdots \right) }$

: $=0.837113212411 \cdots$

참조

_[1] 웹사이트 https://web.archive.[...]
_[2] OEIS http://oeis.org/A006[...]
_[3] OEIS http://oeis.org/A001[...]
_[4] OEIS http://oeis.org/A209[...]
_[5] OEIS http://oeis.org/A037[...]
_[6] OEIS http://oeis.org/A277[...]

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