무리수

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1. 개요
2. 역사와 어원
- 2.1. 피타고라스 학파와 무리수의 발견
- 2.2. 인도, 이슬람, 유럽의 무리수 연구
3. 무리수의 예와 증명
- 3.1. 2의 제곱근
- 3.2. 로그와 삼각함수
4. 무리수의 성질
5. 대수적 무리수와 초월수
6. 무리수도
7. 미해결 문제
참조

1. 개요

무리수는 유리수가 아닌 실수로, 정수의 비율로 나타낼 수 없는 수이다. 피타고라스 학파는 모든 수가 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었으나, 히파소스에 의해 √2가 무리수임이 증명되면서 이 믿음이 깨졌다. 무리수는 역사적으로 인도, 이슬람, 유럽 등 여러 문명에서 연구되었으며, 17세기에는 허수의 개념과 함께 발전했다. 무리수는 십진법으로 나타낼 때 순환하지 않는 무한소수로 표현되며, 대수적 무리수와 초월수로 구분된다. 무리수의 예시로는 √2, π, e 등이 있으며, 무리수를 유리수로 근사할 때의 정확도를 나타내는 무리수도라는 개념도 존재한다. 아직 오일러 상수(γ)가 무리수인지, π + e, eπ, e^e, π^e, π^π 등이 유리수인지 무리수인지와 같은 문제는 미해결 상태로 남아 있다.

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무리수
개요
유형	실수
정의	정수 비율로 표현할 수 없는 실수
기호	}}
관련 개념	유리수
예시
대수적 무리수	}}
초월수

2. 역사와 어원

무리수는 피타고라스 학파에 의해 처음 발견된 것으로 알려져 있다. 히파소스는 이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비가 정수의 비율로 표현될 수 없음을 증명하여, 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파에 큰 충격을 주었다.^[42]

에우클레이데스의 원론에서는 유리수를 '말할 수 있는(ῥητός, 레토스)' 길이, 무리수를 '말할 수 없는(ἄλογος, 알로고스)' 길이라고 불렀다. 알로고스는 로고스가 없다는 뜻으로, 말 없음, 이성 없음 등을 의미하며, 라틴어 numerus irrationalis^la로 번역되어 현재의 '무리수(irrational number)'라는 용어가 되었다.

이후 인도, 이슬람, 유럽 등지에서 무리수에 대한 연구가 이어졌다. 특히 이슬람 수학자들은 대수학을 발전시켜 무리수를 대수적 객체로 다룰 수 있게 하였다.^[19]

2. 1. 피타고라스 학파와 무리수의 발견

피타고라스 학파는 이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비는 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했다.^[42] 이는 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파에 큰 충격을 주었다. 전설에 따르면 피타고라스 학파 동료들이 ‘우주의 섭리에 거스르는 요소를 만들어낸’ 히파소스를 살해했다고 하며, 죽이지 않고 추방했다는 이야기도 있다.^[7]

일반적으로 무리수의 존재를 처음 증명한 사람은 피타고라스 학파의 히파소스로 여겨진다.^[4] 그는 오각별의 변 길이를 조사하는 과정에서 무리수를 발견했을 가능성이 있다.^[5] 히파소스는 이등변 직각삼각형의 빗변이 한 변과 공약수를 가지지 않음을 증명했는데, 그 과정은 다음과 같다.

1.	정수 a, b, c를 변의 길이로 하는 이등변 직각삼각형에서 빗변과 한 변의 비는 c:b로 표현된다.
2.	a, b, c는 가능한 가장 작은 항으로 표현되어 있다고 가정한다(즉, 공약수가 없다).
3.	피타고라스 정리에 의해: c² = a²+b² = b²+b² = 2b². (삼각형이 이등변이므로 a = b이다).
4.	c² = 2b²이므로, c²는 2로 나누어떨어지며 따라서 짝수이다.
5.	c²가 짝수이므로, c는 짝수여야 한다.
6.	c가 짝수이므로, c를 2로 나누면 정수가 된다. 이 정수를 y라고 하자 (c = 2y).
7.	c = 2y의 양변을 제곱하면 c² = (2y)², 즉 c² = 4y²가 된다.
8.	첫 번째 식(c² = 2b²)에 4y²를 c² 대신 대입하면 4y²= 2b²가 된다.
9.	2로 나누면 2y² = b²가 된다.
10.	y는 정수이고 2y² = b²이므로, b²는 2로 나누어떨어지며 따라서 짝수이다.
11.	b²가 짝수이므로, b는 짝수여야 한다.
12.	b와 c는 모두 짝수이므로 2라는 공약수를 갖는다. 그러나 이것은 둘이 공약수를 갖지 않는다는 가정과 모순된다. 이 모순은 c와 b가 모두 정수일 수 없음을 증명하며, 따라서 두 정수의 비로 표현될 수 없는 수의 존재를 증명한다.^[6]

히파소스의 발견은 수와 기하학이 불가분의 관계라는 피타고라스 수학의 가정을 산산조각 냈기 때문에 매우 심각한 문제를 야기했다.

2. 2. 인도, 이슬람, 유럽의 무리수 연구

인도에서는 베다 시대 초기에 이미 제곱근과 같은 무리수를 포함하는 기하학 및 수학 문제들이 다루어졌다. 《삼히타(Samhita)》, 《브라마나(Brahmana)》, 그리고 《술바 술트라(Shulba Sutras)》(기원전 800년 또는 그 이전) 등에서 이러한 계산에 대한 언급을 찾아볼 수 있다.^[14]

기원전 7세기경 마나바(Manava, c. 750 – 690 BC)가 2나 61과 같은 수의 제곱근을 정확하게 구할 수 없다고 믿었던 것으로 보아, 인도 수학자들이 무리수의 개념을 암묵적으로 받아들였다는 주장이 있다.^[15] 그러나 역사가 칼 벤자민 보이어(Carl Benjamin Boyer)는 "그러한 주장은 충분히 입증되지 않았고 사실일 가능성이 낮다"고 적었다.^[16]

후대 인도 수학자들은 저술에서 무리수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 유리화, 제곱근의 분리와 추출 등 산술 연산에 대해 서술하였다.^[17] 브라마굽타(628년)와 1세기 629년경의 브하스카라 1세 같은 수학자들이 이 분야에 기여했으며, 그 후 다른 수학자들도 기여하였다. 12세기에 브하스카라 2세는 이러한 공식들 중 일부를 평가하고 비판하며 그 한계를 지적하였다.

14세기에서 16세기 동안, 상가마그라마의 마다바와 케랄라 천문학 및 수학 학파는 π와 같은 여러 무리수와 특정한 무리수 삼각함수 값에 대한 무한급수를 발견했다. 즈예슈타데바는 《유크티바샤》에서 이러한 무한급수에 대한 증명을 제시했다.^[18]

중세 시대에 이슬람 수학자들에 의한 대수학의 발전은 무리수를 대수적 객체로 다룰 수 있게 했다.^[19] 중동 수학자들은 "수"와 "크기"의 개념을 더 일반적인 실수의 개념으로 통합하고, 유클리드의 비율 개념을 비판하며, 합성비율 이론을 발전시키고, 수의 개념을 연속적인 크기의 비율로 확장했다.^[20] 그의 ''원론'' 10권에 대한 주석에서, 페르시아 수학자 알마하니(d. 874/884)는 2차 무리수와 3차 무리수를 조사하고 분류했다. 그는 유리수와 무리수 크기에 대한 정의를 제공했는데, 이를 무리수로 취급했다. 그는 이들을 자유롭게 다루었지만 기하학적 용어로 설명했다.^[20]

유클리드의 크기에 대한 개념(선으로서의 크기)과는 대조적으로, 알마하니는 정수와 분수를 유리수 크기로, 제곱근과 세제곱근을 무리수 크기로 간주했다. 그는 또한 무리수의 개념에 대한 산술적 접근 방식을 도입했는데, 그는 다음과 같이 무리수 크기에 대해 설명했다.^[20]

이집트 수학자 아부 카밀 슈자 이븐 아슬람(c. 850–930)은 처음으로 무리수를 이차 방정식의 해 또는 제곱근과 네제곱근의 형태로 계수를 가진 방정식에서 해로 받아들였다.^[21] 10세기에 이라크 수학자 알하시미는 곱셈, 나눗셈 및 기타 산술 함수를 고려하여 무리수에 대한 일반적인 증명(기하학적 증명이 아닌)을 제공했다.^[20]

이러한 개념들 중 많은 부분은 결국 12세기 라틴어 번역 이후 유럽 수학자들에 의해 받아들여졌다. 12세기 이슬람 상속 법률을 전문으로 하는 페즈 출신의 모로코 수학자 알하사르는 분수 기호를 처음으로 언급했는데, 분자와 분모는 수평선으로 구분된다. 그는 논의에서 다음과 같이 적었다. "...예를 들어, 5분의 3과 5분의 3분의 1을 적으라고 한다면, 이렇게 적는다.

\frac{3 \quad 1}{5 \quad 3}

"^[22] 이와 같은 분수 표기법은 곧 13세기 레오나르도 피보나치의 저술에서도 나타난다.^[23]

17세기에는 아브라함 드 무아브르, 특히 레온하르트 오일러의 손에서 허수가 강력한 도구가 되었다. 19세기에 복소수 이론이 완성됨에 따라 무리수는 대수적 수와 초월수로 구분되었고, 초월수의 존재가 증명되었으며, 유클리드 이후로 크게 무시되었던 무리수 이론에 대한 과학적 연구가 다시 활성화되었다. 1872년에는 카를 바이어슈트라스(제자 에른스트 코삭에 의해), 에두아르트 하이네(크렐레 저널, 74), 게오르크 칸토어(Annalen, 5), 그리고 리하르트 데데킨트의 이론이 발표되었다. 메레는 1869년에 하이네와 같은 출발점을 취했지만, 이 이론은 일반적으로 1872년으로 거슬러 올라간다. 바이어슈트라스의 방법은 1880년에 살바토레 핀체를레에 의해 완전히 제시되었고,^[24] 데데킨트의 방법은 저자의 후속 연구(1888)와 폴 타네리(1894)의 지지로 더욱 두각을 나타내게 되었다. 바이어슈트라스, 칸토어, 하이네는 무한급수를 기반으로 이론을 전개한 반면, 데데킨트는 모든 유리수를 두 개의 특징적인 성질을 가진 그룹으로 분리하는 절단(데데킨트 절단)이라는 개념에 기초하여 이론을 전개했다. 이후 바이어슈트라스, 레오폴트 크로네커(Crelle, 101), 그리고 샤를 메레에 의해 이 주제에 대한 추가적인 기여가 이루어졌다.

연분수는 무리수와 밀접한 관련이 있으며(카탈디, 1613), 오일러에 의해 주목을 받았고, 19세기 초에는 조제프루이 라그랑주의 저술을 통해 두각을 나타내게 되었다. 디리클레 또한 일반 이론에 기여했으며, 이 주제의 응용 분야에도 많은 기여자들이 있었다.

요한 하인리히 람베르트는 (1761) π가 유리수가 될 수 없음을, 그리고 ''n''이 유리수일 때 ''e''^''n''이 무리수임을 증명했다(단, ''n'' = 0인 경우는 제외).^[25] 람베르트의 증명은 종종 불완전하다고 여겨지지만, 현대적 평가는 그것을 만족스러운 것으로 평가하며, 사실 당시로서는 이례적으로 엄밀한 증명이었다. 아드리앵 마리 르장드르(1794)는 베셀-클리퍼드 함수를 도입한 후, π²가 무리수임을 보이는 증명을 제시했는데, 이로부터 π 또한 무리수임을 즉시 알 수 있다. 초월수의 존재는 리우빌(1844, 1851)에 의해 처음으로 확립되었다. 나중에 게오르크 칸토어(1873)는 모든 실수 구간에 초월수가 포함되어 있음을 보이는 다른 방법(게오르크 칸토어의 첫 번째 집합론 논문)으로 그 존재를 증명했다. 샤를 에르미트(1873)는 처음으로 ''e''가 초월수임을 증명했고, 페르디난트 폰 린데만(1882)은 에르미트의 결론을 바탕으로 π에 대해서도 같은 사실을 보였다. 린데만의 증명은 바이어슈트라스(1885)에 의해 크게 단순화되었고, 데이비드 힐베르트(1893)에 의해 더욱 단순화되었으며, 마침내 아돌프 후르비츠와 폴 고르단에 의해 기본적인 증명으로 만들어졌다.^[26]

3. 무리수의 예와 증명

무리수의 예로는 √2, √3, log₂3, 원주율(π), 자연로그의 밑(e) 등이 있다.

2의 제곱근 외에도, log₂3과 같은 특수한 로그 값도 귀류법을 통해 무리수임을 증명할 수 있다. 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수이며, 산술의 기본 정리를 이용해 증명할 수 있다. 이 정리에 따르면 모든 정수는 유일한 소인수 분해를 가지며, 이를 통해 유리수가 정수가 아니라면 그 유리수의 어떤 정수 제곱도 정수가 될 수 없음을 보일 수 있다.

1761년 요한 하인리히 람베르트는 탄젠트 함수를 연분수로 나타낼 수 있음을 증명했고,^[43] 이를 통해 원주율(π)가 무리수임을 보였다.

무리수의 예시는 다음과 같다.

종류	예시
제곱근	√2, √3 등 (제곱수가 아닌 수의 제곱근)
N의 m제곱근	√^mN (단, m은 1보다 큰 정수, N은 m제곱수가 아닌 정수)
로그	log_mn (단, m, n은 1보다 큰 정수이며, 1 = m = N^a, n = N^b를 만족하는 정수 N, a, b가 존재하지 않음)
삼각함수 값	0이 아닌 유리수 x에 대한 cos x, sin x, tan x, csc x, sec x, cot x^[43]
기타	원주율(π), 자연로그의 밑(e), 겔폰트 상수(e^π), 아페리 상수(ζ(3)), 챔퍼노운 상수, 코플랜드-에르되시 상수

3. 1. 2의 제곱근

2의 제곱근이 무리수라는 증명은 귀류법을 사용하여 다음과 같이 할 수 있다.^[27]

#

\sqrt{2}

가 유리수라 하자.

# 그러면,

\sqrt{2}

는 기약분수

\frac a b

로 쓸 수 있다. 다시 말해, 서로소인 정수

a, b

에 대해,

\left(\frac a b \right)^2 = 2

.

# 위 식을 풀면

# :

\frac {a^2} {b^2} = 2

# :

a^2 = 2 b^2

이다.

# 따라서,

a^2

은 짝수이다.

# 짝수가 아닌 수, 즉 홀수의 제곱은 홀수이므로,

a

는 짝수여야 한다.

# 따라서,

a^2

는 4의 배수이다.(이것은

a

가

k

값에 상관없이 항상

(2k)^2=4k^2

가 되기 때문이다.)

# 즉,

\frac {a^2} 2

는 짝수이다.

# (3)에서,

\frac {a^2} 2 = b^2

이다.

# (7)과 (8)로부터,

b^2

가 짝수임을 알 수 있다.

# (4), (5)와 같은 방법으로,

b

는 짝수이다.

# (5)와 (10)에 의해,

a

와

b

는 모두 짝수. 이는

\frac a b

가 기약분수라는 (2)의 가정에 위배된다. 모순에 의해 (1)의

\sqrt{2}

가 유리수라는 가정이 틀렸다는 걸 알 수 있다.

3. 2. 로그와 삼각함수

log₂3과 같은 특수한 로그 값도 귀류법을 통해 무리수임을 증명할 수 있다. 증명 과정은 다음과 같다.

log₂3을 유리수라고 가정하면, 어떤 자연수 ''m'', ''n''에 대해 log₂3 = m/n으로 표현 가능하다.
이 식은 2^m/n = 3 이 되고, 변형하면 2^m = 3ⁿ 이 된다.
그러나 2^m은 짝수이고 3ⁿ은 홀수이므로 위 등식은 성립할 수 없다.
따라서 처음 가정이 틀렸고, log₂3은 무리수이다.

log₁₀2와 같은 경우도 유사하게 증명할 수 있다.

1761년 요한 람베르트는 탄젠트 함수를 다음과 같은 연분수로 나타낼 수 있음을 증명했다.^[43]

:

\tan(x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}}.

또한 ''x''가 0이 아닌 유리수일 때 위 연분수는 무리수가 됨을 증명했다. 그런데 tan(π/4) = 1 이므로, π/4는 무리수가 되고, 따라서 π는 무리수이다.

4. 무리수의 성질

무리수를 십진소수로 표기하면, 반복되지 않는 무한소수(비순환소수)가 된다. 이것은 기수법의 밑에 관계없이 일반적인 ''N''진 소수에서도 성립한다.

''α''를 무리수라고 하면,

: $\left| \alpha -\frac{p}{q} \right| <\frac{1}{q^2}$

을 만족하는 무한히 많은 유리수 가 존재한다(디리클레의 정리). 이와 같이 무리수의 유리수에 의한 근사를 다루는 이론은 디오판토스 근사라고 불리는 정수론의 분야에 속한다.

무리수 전체의 공간을 완비하게 하는 거리가 존재한다. 또한 A-연산이 자연스럽게 응용될 수 있는 예이기도 하며, 이 공간은 점집합론적 위상수학에서는 중요한 대상이다.

5. 대수적 무리수와 초월수

무리수는 대수적일 수 있다. 즉, 정수 계수를 갖는 다항식의 실수 근이다. 대수적이지 않은 무리수는 초월수이다.

실수 대수적 수는 다음과 같은 다항 방정식

: $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0\;,$

의 실수 해이다. 여기서 계수 $a_i$ 는 정수이고 $a_n \ne 0$ 이다. 무리수인 대수적 수의 예로는 ''x''₀ = (2^1/2 + 1)^1/3이 있다. 이는 $(x^3 - 1)^2= 2$ 즉 $(x^6 - 2x^3-1)= 0$ 와 같은 정수 계수 다항식의 근이므로 명백히 대수적이다. 유리근 정리에 따르면 이 다항식의 유리근은 ±1 뿐이지만, ''x''₀는 1보다 크므로 유리근이 아니다. 따라서 ''x''₀는 무리수인 대수적 수이다. 정수 계수 다항식의 개수는 가산적이므로 대수적 수의 개수도 가산적이다.

거의 모든 무리수는 초월수이다. 예를 들어, 0이 아닌 모든 유리수 r에 대해 e^r과 π^r은 초월수이다.

대수적 수는 실수의 부분체를 이루므로, 초월수와 대수적 수를 결합하여 많은 무리수를 만들 수 있다. 예를 들어, 3π + 2, π + √2, e√3는 무리수(심지어 초월수)이다. 무리수 중에서 대수적 수인 것을 대수적 무리수, 그렇지 않은 것을 초월수라고 한다.

α가 대수적 수이고, κ > 2이면,

: $\left| \alpha -\frac{p}{q} \right| <\frac{1}{q^{\kappa}}$

을 만족하는 유리수는 유한 개밖에 없다(투에-지겔-로스 정리)^[40]. 이것은 부정방정식의 해의 유한성을 보일 때 사용된다.

2의 제곱근은 대수적 무리수이며, log₂ 3, *e*, π, *e*^π 와 같은 수는 초월수이다. ζ(3)이 초월수인지 아닌지는 아직 해결되지 않았다.

6. 무리수도

수 α에 대해서

: $\left| \alpha -\frac{p}{q} \right| <\frac{1}{q^{\kappa}}$

를 만족하는 유리수 p/q는 유한개 밖에 없다는 성질을 만족하는 κ의 하한을 α의 '''무리수도'''라고 한다.

유리수의 무리수도는 1이며, 디리클레 정리 및 로스의 정리에 의해 대수적 무리수의 무리수도는 2이고, 리우빌 수의 무리수도는 ∞이다. 디리클레의 정리에 의해 무리수의 무리수도는 모두 2 이상이다. ''e''의 무리수도는 2라는 것이 알려져 있다. 또한, π의 무리수도의 상한은 7.103 정도라는 것이 알려져 있다.^[41]

르베그 측도에 관하여 거의 모든 수의 무리수도는 2이다.

7. 미해결 문제

오일러 상수(γ), π + e, eπ 등은 무리수인지 아닌지 아직 밝혀지지 않았다.^[33]^[34] 이는 수론에서 오랫동안 풀리지 않은 미해결 문제 중 하나이다.^[33]

e, π, 그리고 e + π, eπ, e^e, π^e, π^π, ln π와 같은 초등 함수의 다양한 조합이 무리수인지 아닌지는 알려져 있지 않다. 이는 부분적으로 e와 π가 대수적으로 독립적인지 알려져 있지 않기 때문이다. 만약 샤뉘엘의 추측이 참이라면, 위에 언급된 모든 수는 무리수이고 심지어 초월수일 것이다.^[32]

무리수 여부가 밝혀지지 않은 다른 중요한 수로는 홀수 제타 상수 ζ(5), ζ(7), ζ(9), ... (n > 3) 및 카탈란 상수 β(2) 등이 있다.^[34]

참조

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