서직 윤곽

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 서직 지수 (Sérsic index)
3. 응용
참조

1. 개요

서직 윤곽은 은하의 표면 휘도 분포를 설명하는 데 사용되는 수학적 모델이다. 이 모델은 서직 지수(n)라는 변수를 사용하여 은하 중심으로부터의 거리에 따른 휘도의 변화를 나타내며, n 값에 따라 다양한 은하 형태를 근사할 수 있다. n=4일 때는 드보쿨뢰르 윤곽으로 타원 은하에, n=1일 때는 지수 윤곽으로 나선 은하에 적용된다. 서직 지수는 은하의 크기, 광도, 형태, 블랙홀 질량, 암흑 물질 헤일로 등과 연관되어 있으며, 핵-서직 모델 및 아인슈타인 프로파일과 같은 관련 모델도 존재한다.

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서직 윤곽
개요
유형	광도 프로파일
적용 분야	은하 왜소 은하 벌지 항성 클러스터
수식
서식 윤곽	ln I(R) = ln I₀ - k R^(1/n)
I(R)	R에서의 표면 광도
I₀	R = 0에서의 표면 광도
R	중심으로부터의 반지름
n	서식 지수
k	서식 지수 n에 의존하는 상수
역사적 맥락
제안	호세 루이스 세르시크 (1963년)

2. 정의

서직 윤곽(Sérsic profile)의 식은 다음과 같다.^[2]^[3]^[18]^[19]^[20]

: $\ln\ I(R) = \ln\ I_{0} - k R^{1 \over n} ,$

이때 $I_{0}$ 은 $R=0$ , 즉 은하 중심에서의 휘도이다.

$I_{0}$ 대신 유효반경 $R_{e}$ 에서의 휘도 $I_{e}$ 를 사용해서 쓰면

: $I(R) = I_{e} \exp \left[ -k \left( \left( {R \over R_{e}} \right)^{1 \over n} - 1 \right) \right]$

와 같이 표현할 수 있다. 여기서 ''R''은 은하 중심으로부터의 거리(타원 은하의 경우, 장축 ''R''의 타원)를 의미하고, $I(R)$ 은 ''R''에서의 표면 휘도를 나타낸다.

변수 $n$ 은 "서직 지수"(Sérsic index)라고 하며, 윤곽을 그래프로 그렸을 때 그래프의 만곡률을 조정한다. $n$ 값이 작을수록 중심에의 집중도가 떨어지고 반지름이 작을 때의 로그곡선이 완만해진다. 반지름이 작을 때 서직 윤곽은 다음 로그식으로 나타낼 수 있다.

: $\frac{\mathrm{d} \ln I}{\mathrm{d} \ln R} = - \left( {k \over n} \right) R^{1 \over n} .$

b_n

은

n>8

에 대해 대략

2n-1/3

으로 근사할 수 있다. 또한,

n > 0.36

에 대해

b_n

은

2n - 1/3 + \frac{4}{405 n} + \frac{46}{25515 n^2} + \frac{131}{1148175 n^3} - \frac{2194697}{30690717750 n^4}

로 근사 가능하다.

b_n

은 감마 함수

\Gamma

와 낮은 불완전 감마 함수

\gamma

에 대해,

\gamma(2n; b_n) = \frac{1}{2} \Gamma(2n)

를 만족한다.

''n''이 1 이상일 때

b_n

은 :

b_n\sim 2 n - 0.324

에 의해 근사할 수 있다.

2. 1. 서직 지수 (Sérsic index)

서직 윤곽(Sérsic profile)의 식은 다음과 같다.^[2]^[3]^[18]^[19]^[20]

:

\ln\ I(R) = \ln\ I_{0} - k R^{1 \over n} ,

이때

I_{0}

은

R=0

, 즉 은하 중심에서의 휘도이다.

I_{0}

대신 유효반경

R_{e}

에서의 휘도

I_{e}

를 사용해서 쓰면

:

I(R) = I_{e} \exp \left[ -k \left( \left( {R \over R_{e}} \right)^{1 \over n} - 1 \right) \right]

와 같이 표현할 수 있다. 여기서 ''R''은 은하 중심으로부터의 거리(타원 은하의 경우, 장축 ''R''의 타원)를 의미하고,

I(R)

은 ''R''에서의 표면 휘도를 나타낸다.

변수

n

은 "서직 지수"(Sérsic index)라고 하며, 윤곽을 그래프로 그렸을 때 그래프의 만곡률을 조정한다.

n

값이 작을수록 중심에의 집중도가 떨어지고 반지름이 작을 때의 로그곡선이 완만해진다. 반지름이 작을 때 서직 윤곽은 다음 로그식으로 나타낼 수 있다.

:

\frac{\mathrm{d} \ln I}{\mathrm{d} \ln R} = - \left( {k \over n} \right) R^{1 \over n} .

b_n

은

n>8

에 대해 대략

2n-1/3

으로 근사할 수 있다. 또한,

n > 0.36

에 대해

b_n

은

2n - 1/3 + \frac{4}{405 n} + \frac{46}{25515 n^2} + \frac{131}{1148175 n^3} - \frac{2194697}{30690717750 n^4}

로 근사 가능하다.

b_n

은 감마 함수

\Gamma

와 낮은 불완전 감마 함수

\gamma

에 대해,

\gamma(2n; b_n) = \frac{1}{2} \Gamma(2n)

를 만족한다.

''n''이 1 이상일 때

b_n

은 :

b_n\sim 2 n - 0.324

에 의해 근사할 수 있다.

3. 응용

대부분의 은하는 1/2 < ''n'' < 10 범위의 지수를 갖는 서직 프로파일로 적합하다. 최적의 ''n'' 값은 은하의 크기와 광도와 상관관계가 있어 더 크고 밝은 은하일수록 더 큰 ''n'' 값으로 적합되는 경향이 있다.^[5]^[6]^[26]^[27]

''n'' = 4를 대입하면 드보쿨뢰르 윤곽이 되며, 이는 일반적인 타원은하를 대략적으로 근사한 것이다.

''n'' = 1을 대입하면 지수 윤곽(exponential profile)이 되며, 이는 나선은하 원반을 잘 근사하며 왜소타원은하를 대략적으로 근사한다.

삼각형자리 은하와 같은 나선 은하의 원반은 낮은 서직 지수와 낮은 중심 집중도를 갖는다.

서직 지수(즉, 은하 집중도^[7])와 은하 형태 사이의 상관관계는 때때로 먼 은하의 허블 유형을 결정하기 위한 자동화된 방식에 사용된다.^[8] 서직 지수는 또한 은하 중심에 있는 초대질량 블랙홀의 질량과 상관관계가 있는 것으로 나타났다.^[9]

서직 프로파일은 서직 지수가 헤일로 질량과 상관관계가 있는 암흑 물질 헤일로를 설명하는 데에도 사용될 수 있다.^[10]^[11]

3. 1. 드보쿨뢰르 윤곽 (De Vaucouleurs profile)

대부분의 은하는 ½ < ''n'' < 10 범위 안에서 서직 윤곽을 만족한다. ''n'' 값은 은하의 크기와 광도에 상관이 있는데, 크고 밝은 은하일수록 ''n''이 커지는 경향이 있다.^[26]^[27]^[5]^[6]

''n'' = 4를 대입하면 드보쿨뢰르 윤곽이 되며,

:

I(R) \propto e^{-kR^{1/4}}

이것은 타원은하에 잘 맞는다. 드 보클레르 법칙(''R''^1/4 법칙)은 타원 은하나 나선 은하의 벌지 성분의 면 휘도 분포를 잘 설명한다.^[22]

''n'' = 1을 대입하면 지수 윤곽(exponential profile)이 되며,

:

I(R) \propto e^{-kR}

이것은 나선은하의 원반과 왜소타원은하에 잘 맞는다.

서직 지수(즉, 은하 집중도^[7])와 은하 형태 사이의 상관관계는 때때로 먼 은하의 허블 유형을 결정하기 위한 자동화된 방식에 사용된다.^[8] 서직 지수는 또한 은하 중심에 있는 초대질량 블랙홀의 질량과 상관관계가 있는 것으로 나타났다.^[9]

서직 프로파일은 서직 지수가 헤일로 질량과 상관관계가 있는 암흑 물질 헤일로를 설명하는 데에도 사용될 수 있다.^[10]^[11]

단, 실제 타원 은하 중에서도 셀식 지수 ''n''은 그 광도나 크기에 따라 다른 값을 갖는다. 어두운 타원 은하는 ''n'' ∼ 0.5 정도가 되지만, 가장 밝은 타원 은하는 ''n''이 10 이상이 된다.^[18]

3. 2. 지수 윤곽 (Exponential profile)

대부분의 은하는 1/2 < ''n'' < 10 범위 안에서 서직 윤곽을 만족한다. ''n'' 값은 은하의 크기와 광도에 상관이 있는데, 크고 밝은 은하일수록 ''n''이 커지는 경향이 있다.^[26]^[27]

''n'' = 1을 대입하면 지수 윤곽(exponential profile)이 되며,

:

I(R) \propto e^{-kR}

이것은 나선은하의 원반과 왜소타원은하에 잘 맞는다.

셀식 지수 ''n'' = 1일 때,

:

\ln \frac{ I }{ I_e }  = - b_1 \left( \frac{ R }{ R_e } - 1 \right)

이며, 이는 지수 법칙이라고 불린다. 지수 법칙은 원반 은하의 원반 성분의 면 밝기 프로파일을 잘 설명한다.^[24] 단, 원반 은하의 면 밝기 분포가 벌지와 원반의 두 셀식 법칙의 중첩으로부터 벗어나는 경우도 종종 관측된다.^[24]

3. 3. 추가 응용 및 확장

대부분의 은하는 ½ < ''n'' < 10 범위 안에서 서직 윤곽을 만족한다. ''n'' 값은 은하의 크기와 광도에 상관이 있는데, 크고 밝은 은하일수록 ''n''이 커지는 경향이 있다.^[26]^[27]

''n'' = 4를 대입하면 드보쿨뢰르 윤곽이 되며,

:I(R) ∝ e^(-kR^(1/4))

이것은 타원은하에 잘 맞는다.

''n'' = 1을 대입하면 지수 윤곽(exponential profile)이 되며,

:I(R) ∝ e^(-kR)

이것은 나선은하의 원반과 왜소타원은하에 잘 맞는다.

대부분의 은하는 1/2 < ''n'' < 10 범위의 지수를 갖는 서직 프로파일로 적합하다.

최적의 ''n'' 값은 은하의 크기와 광도와 상관관계가 있어 더 크고 밝은 은하일수록 더 큰 ''n'' 값으로 적합되는 경향이 있다.^[5]^[6]

''n'' = 4로 설정하면 드 보클레르 프로파일이 된다.

: I(R) ∝ e^(-bR^(1/4))

이는 일반적인 타원 은하를 대략적으로 근사한 것이다.

''n'' = 1로 설정하면 지수 프로파일이 된다.

: I(R) ∝ e^(-bR)

이는 나선 은하 원반을 잘 근사하며 왜소 타원 은하를 대략적으로 근사한다. 서직 지수(즉, 은하 집중도^[7])와 은하 형태 사이의 상관관계는 때때로 먼 은하의 허블 유형을 결정하기 위한 자동화된 방식에 사용된다.^[8] 서직 지수는 또한 은하 중심에 있는 초대질량 블랙홀의 질량과 상관관계가 있는 것으로 나타났다.^[9]

서직 프로파일은 서직 지수가 헤일로 질량과 상관관계가 있는 암흑 물질 헤일로를 설명하는 데에도 사용될 수 있다.^[10]^[11]
핵-서직 모델 (Core-Sérsic model)가장 밝은 타원 은하는 종종 서직의 법칙/Sérsic's law^영어으로 잘 설명되지 않는 저밀도 핵을 가지고 있다. 이러한 은하를 설명하기 위해 핵-서직 모델군이 도입되었다.^[12]^[13]^[14] 핵-서직 모델은 핵을 설명하는 추가적인 매개변수 집합을 가지고 있다.

왜소 타원 은하와 벌지는 종종 점과 같은 은하 핵을 가지고 있으며, 이 또한 서직의 법칙으로 잘 설명되지 않는다. 이러한 은하는 종종 핵을 나타내는 추가적인 중심 구성 요소를 가진 서직 모델로 맞추어진다.^[15]^[16]

아인슈타인 프로파일은 *I* 가 체적 밀도인 *ρ* 로 대체되고, *R* 이 하늘에 투영되지 않은 중심으로부터의 내부 거리인 *r* 로 대체된다는 점을 제외하면 서직 프로파일과 수학적으로 동일하다.

3. 3. 1. 핵-서직 모델 (Core-Sérsic model)

가장 밝은 타원 은하는 종종 서직의 법칙/Sérsic's law^영어으로 잘 설명되지 않는 저밀도 핵을 가지고 있다. 이러한 은하를 설명하기 위해 핵-서직 모델군이 도입되었다.^[12]^[13]^[14] 핵-서직 모델은 핵을 설명하는 추가적인 매개변수 집합을 가지고 있다.

왜소 타원 은하와 벌지는 종종 점과 같은 은하 핵을 가지고 있으며, 이 또한 서직의 법칙으로 잘 설명되지 않는다. 이러한 은하는 종종 핵을 나타내는 추가적인 중심 구성 요소를 가진 서직 모델로 맞추어진다.^[15]^[16]

아인슈타인 프로파일은 *I* 가 체적 밀도인 *ρ* 로 대체되고, *R* 이 하늘에 투영되지 않은 중심으로부터의 내부 거리인 *r* 로 대체된다는 점을 제외하면 서직 프로파일과 수학적으로 동일하다.

3. 3. 2. 점광원 추가

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3. 3. 3. 아인슈타인 프로파일

가장 밝은 타원 은하는 종종 서직의 법칙(Sérsic's law)으로 잘 설명되지 않는 저밀도 핵을 가지고 있다. 이러한 은하를 설명하기 위해 핵-서직 모델(core-Sérsic model)군이 도입되었다.^[12]^[13]^[14] 핵-서직 모델은 핵을 설명하는 추가적인 매개변수 집합을 가지고 있다.

왜소 타원 은하와 벌지는 종종 점과 같은 은하 핵을 가지고 있으며, 이 또한 서직의 법칙으로 잘 설명되지 않는다. 이러한 은하는 종종 핵을 나타내는 추가적인 중심 구성 요소를 가진 서직 모델로 맞추어진다.^[15]^[16]

아인슈타인 프로파일은 체적 밀도(

I

)가

\rho

로 대체되고, 투영되지 않은 중심으로부터의 내부 거리(

R

)가

r

로 대체된다는 점을 제외하면 서직 프로파일과 수학적으로 동일하다.

참조

_[1] 논문 Influence of the atmospheric and instrumental dispersion on the brightness distribution in a galaxy https://ui.adsabs.ha[...] 1963-02-01
_[2] 논문 Analytical properties of the R^(1/m) luminosity law 1999
_[3] 논문 A Concise Reference to (Projected) Sérsic R1/n Quantities, Including Concentration, Profile Slopes, Petrosian Indices, and Kron Magnitudes https://ui.adsabs.ha[...] 2005-01-01
_[4] 논문 The supermassive black hole mass-Sérsic index relations for bulges and elliptical galaxies 2013-09-01
_[5] 논문 On the Shape of the Light Profiles of Early Type Galaxies 1993-12-01
_[6] 논문 A New Extragalactic Distance Indicator Based on the Surface Brightness Profiles of Dwarf Elliptical Galaxies 1994-05-01
_[7] 논문 On the estimation of galaxy structural parameters: the Sérsic model 2001-09-01
_[8] 논문 The morphology-density relation: a constant of nature https://ui.adsabs.ha[...] 2008-07-01
_[9] 논문 A Log-Quadratic Relation for Predicting Supermassive Black Hole Masses from the Host Bulge Sérsic Index https://ui.adsabs.ha[...] 2007-01-01
_[10] 논문 A Universal Density Profile for Dark and Luminous Matter? https://ui.adsabs.ha[...] 2005-05-01
_[11] 논문 Empirical Models for Dark Matter Halos. I. Nonparametric Construction of Density Profiles and Comparison with Parametric Models https://ui.adsabs.ha[...] 2006-12-01
_[12] 논문 A New Empirical Model for the Structural Analysis of Early-Type Galaxies, and A Critical Review of the Nuker Model https://ui.adsabs.ha[...] 2003-06-01
_[13] 논문 Evidence for a New Elliptical-Galaxy Paradigm: Sérsic and Core Galaxies https://ui.adsabs.ha[...] 2004-04-01
_[14] 논문 Density-potential pairs for spherical stellar systems with Sérsic light profiles and (optional) power-law cores 2005-09-01
_[15] 논문 HST Photometry of Dwarf Elliptical Galaxies in Coma, and an Explanation for the Alleged Structural Dichotomy between Dwarf and Bright Elliptical Galaxies https://ui.adsabs.ha[...] 2003-06-01
_[16] 논문 The ACS Virgo Cluster Survey. VIII. The Nuclei of Early-Type Galaxies https://ui.adsabs.ha[...] 2006-07-01
_[17] 천문학辞典
_[18] 서적 Galaxy Formation and Evolution Cambridge University Press 2010
_[19] 논문 Stellar systems following the R1/m luminosity law 1991
_[20] 논문 A Concise Reference to (Projected) Sérsic R1/n Quantities, Including Concentration, Profile Slopes, Petrosian Indices, and Kron Magnitudes
_[21] 천문학辞典ドゥ・ボークルール則
_[22] 웹사이트 秋山正幸「銀河物理学特論I」 https://www.astr.toh[...] 2019-07-02
_[23] 천문학辞典指数法則（銀河の輝度分布の）
_[24] 서적 Galaxy Formation and Evolution Cambridge University Press 2010
_[25] 간행물 Influence of the atmospheric and instrumental dispersion on the brightness distribution in a galaxy http://adsabs.harvar[...] 1963
_[26] 간행물 On the Shape of the Light Profiles of Early Type Galaxies http://adsabs.harvar[...] 1993
_[27] 간행물 A New Extragalactic Distance Indicator Based on the Surface Brightness Profiles of Dwarf Elliptical Galaxies http://adsabs.harvar[...] 1994

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