서직 윤곽

1. 개요

서직 윤곽은 은하의 표면 휘도 분포를 설명하는 데 사용되는 수학적 모델이다. 이 모델은 서직 지수(n)라는 변수를 사용하여 은하 중심으로부터의 거리에 따른 휘도의 변화를 나타내며, n 값에 따라 다양한 은하 형태를 근사할 수 있다. n=4일 때는 드보쿨뢰르 윤곽으로 타원 은하에, n=1일 때는 지수 윤곽으로 나선 은하에 적용된다. 서직 지수는 은하의 크기, 광도, 형태, 블랙홀 질량, 암흑 물질 헤일로 등과 연관되어 있으며, 핵-서직 모델 및 아인슈타인 프로파일과 같은 관련 모델도 존재한다.

2. 정의

서직 윤곽(Sérsic profile)의 식은 다음과 같다.

:$$
\ln\ I(R) = \ln\ I_{0} - k R^{1 \over n} ,


이때 $I\_\{0\}$은 $R=0$, 즉 은하 중심에서의 휘도이다.

$I\_\{0\}$ 대신 유효반경 $R\_\{e\}$에서의 휘도 $I\_\{e\}$를 사용해서 쓰면

: $$
I(R) = I_{e} \exp \left[ -k \left( \left( {R \over R_{e}} \right)^{1 \over n} - 1 \right) \right]


와 같이 표현할 수 있다. 여기서 R은 은하 중심으로부터의 거리(타원 은하의 경우, 장축 R의 타원)를 의미하고, $I(R)$은 R에서의 표면 휘도를 나타낸다.

변수 $n$은 "서직 지수"(Sérsic index)라고 하며, 윤곽을 그래프로 그렸을 때 그래프의 만곡률을 조정한다. $n$ 값이 작을수록 중심에의 집중도가 떨어지고 반지름이 작을 때의 로그곡선이 완만해진다. 반지름이 작을 때 서직 윤곽은 다음 로그식으로 나타낼 수 있다.

:$$
\frac{\mathrm{d} \ln I}{\mathrm{d} \ln R} = - \left( {k \over n} \right) R^{1 \over n} .

$b\_n$은 $n>8$에 대해 대략 $2n-1/3$으로 근사할 수 있다. 또한, $n\; >\; 0.36$에 대해 $b\_n$은 $2n\; -\; 1/3\; +\; \backslash frac\{4\}\{405\; n\}\; +\; \backslash frac\{46\}\{25515\; n^2\}\; +\; \backslash frac\{131\}\{1148175\; n^3\}\; -\; \backslash frac\{2194697\}\{30690717750\; n^4\}$로 근사 가능하다. $b\_n$은 감마 함수 $\backslash Gamma$와 낮은 불완전 감마 함수 $\backslash gamma$에 대해, $\backslash gamma(2n;\; b\_n)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash Gamma(2n)$를 만족한다.

n이 1 이상일 때 $b\_n$은 :$b\_n\backslash sim\; 2\; n\; -\; 0.324$에 의해 근사할 수 있다.

2.1. 서직 지수 (Sérsic index)

서직 윤곽(Sérsic profile)의 식은 다음과 같다.

:$$
\ln\ I(R) = \ln\ I_{0} - k R^{1 \over n} ,


이때 $I\_\{0\}$은 $R=0$, 즉 은하 중심에서의 휘도이다.

$I\_\{0\}$ 대신 유효반경 $R\_\{e\}$에서의 휘도 $I\_\{e\}$를 사용해서 쓰면

: $$
I(R) = I_{e} \exp \left[ -k \left( \left( {R \over R_{e}} \right)^{1 \over n} - 1 \right) \right]


와 같이 표현할 수 있다. 여기서 R은 은하 중심으로부터의 거리(타원 은하의 경우, 장축 R의 타원)를 의미하고, $I(R)$은 R에서의 표면 휘도를 나타낸다.

변수 $n$은 "서직 지수"(Sérsic index)라고 하며, 윤곽을 그래프로 그렸을 때 그래프의 만곡률을 조정한다. $n$ 값이 작을수록 중심에의 집중도가 떨어지고 반지름이 작을 때의 로그곡선이 완만해진다. 반지름이 작을 때 서직 윤곽은 다음 로그식으로 나타낼 수 있다.

:$$
\frac{\mathrm{d} \ln I}{\mathrm{d} \ln R} = - \left( {k \over n} \right) R^{1 \over n} .

$b\_n$은 $n>8$에 대해 대략 $2n-1/3$으로 근사할 수 있다. 또한, $n\; >\; 0.36$에 대해 $b\_n$은 $2n\; -\; 1/3\; +\; \backslash frac\{4\}\{405\; n\}\; +\; \backslash frac\{46\}\{25515\; n^2\}\; +\; \backslash frac\{131\}\{1148175\; n^3\}\; -\; \backslash frac\{2194697\}\{30690717750\; n^4\}$로 근사 가능하다. $b\_n$은 감마 함수 $\backslash Gamma$와 낮은 불완전 감마 함수 $\backslash gamma$에 대해, $\backslash gamma(2n;\; b\_n)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash Gamma(2n)$를 만족한다.

n이 1 이상일 때 $b\_n$은 :$b\_n\backslash sim\; 2\; n\; -\; 0.324$에 의해 근사할 수 있다.

3. 응용

대부분의 은하는 1/2 < n < 10 범위의 지수를 갖는 서직 프로파일로 적합하다. 최적의 n 값은 은하의 크기와 광도와 상관관계가 있어 더 크고 밝은 은하일수록 더 큰 n 값으로 적합되는 경향이 있다.

n = 4를 대입하면 드보쿨뢰르 윤곽이 되며, 이는 일반적인 타원은하를 대략적으로 근사한 것이다.

n = 1을 대입하면 지수 윤곽(exponential profile)이 되며, 이는 나선은하 원반을 잘 근사하며 왜소타원은하를 대략적으로 근사한다.

서직 지수(즉, 은하 집중도)와 은하 형태 사이의 상관관계는 때때로 먼 은하의 허블 유형을 결정하기 위한 자동화된 방식에 사용된다. 서직 지수는 또한 은하 중심에 있는 초대질량 블랙홀의 질량과 상관관계가 있는 것으로 나타났다.

서직 프로파일은 서직 지수가 헤일로 질량과 상관관계가 있는 암흑 물질 헤일로를 설명하는 데에도 사용될 수 있다.

3.1. 드보쿨뢰르 윤곽 (De Vaucouleurs profile)

대부분의 은하는 ½ < n < 10 범위 안에서 서직 윤곽을 만족한다. n 값은 은하의 크기와 광도에 상관이 있는데, 크고 밝은 은하일수록 n이 커지는 경향이 있다.

n = 4를 대입하면 드보쿨뢰르 윤곽이 되며,
:$I(R)\; \backslash propto\; e^\{-kR^\{1/4\}\}$
이것은 타원은하에 잘 맞는다. 드 보클레르 법칙(R^1/4 법칙)은 타원 은하나 나선 은하의 벌지 성분의 면 휘도 분포를 잘 설명한다.

n = 1을 대입하면 지수 윤곽(exponential profile)이 되며,
:$I(R)\; \backslash propto\; e^\{-kR\}$
이것은 나선은하의 원반과 왜소타원은하에 잘 맞는다.

서직 지수(즉, 은하 집중도)와 은하 형태 사이의 상관관계는 때때로 먼 은하의 허블 유형을 결정하기 위한 자동화된 방식에 사용된다. 서직 지수는 또한 은하 중심에 있는 초대질량 블랙홀의 질량과 상관관계가 있는 것으로 나타났다.

서직 프로파일은 서직 지수가 헤일로 질량과 상관관계가 있는 암흑 물질 헤일로를 설명하는 데에도 사용될 수 있다.

단, 실제 타원 은하 중에서도 셀식 지수 n은 그 광도나 크기에 따라 다른 값을 갖는다. 어두운 타원 은하는 n ∼ 0.5 정도가 되지만, 가장 밝은 타원 은하는 n이 10 이상이 된다.

3.2. 지수 윤곽 (Exponential profile)

대부분의 은하는 1/2 < n < 10 범위 안에서 서직 윤곽을 만족한다. n 값은 은하의 크기와 광도에 상관이 있는데, 크고 밝은 은하일수록 n이 커지는 경향이 있다.

n = 1을 대입하면 지수 윤곽(exponential profile)이 되며,
:$$
I(R) \propto e^{-kR}

이것은 나선은하의 원반과 왜소타원은하에 잘 맞는다.

셀식 지수 n = 1일 때,
:$\backslash ln\; \backslash frac\{\; I\; \}\{\; I\_e\; \}\; =\; -\; b\_1\; \backslash left(\; \backslash frac\{\; R\; \}\{\; R\_e\; \}\; -\; 1\; \backslash right)$
이며, 이는 지수 법칙이라고 불린다. 지수 법칙은 원반 은하의 원반 성분의 면 밝기 프로파일을 잘 설명한다. 단, 원반 은하의 면 밝기 분포가 벌지와 원반의 두 셀식 법칙의 중첩으로부터 벗어나는 경우도 종종 관측된다.

3.3. 추가 응용 및 확장

대부분의 은하는 ½ < n < 10 범위 안에서 서직 윤곽을 만족한다. n 값은 은하의 크기와 광도에 상관이 있는데, 크고 밝은 은하일수록 n이 커지는 경향이 있다.

n = 4를 대입하면 드보쿨뢰르 윤곽이 되며,
:I(R) ∝ e^(-kR^(1/4))
이것은 타원은하에 잘 맞는다.

n = 1을 대입하면 지수 윤곽(exponential profile)이 되며,
:I(R) ∝ e^(-kR)
이것은 나선은하의 원반과 왜소타원은하에 잘 맞는다.

대부분의 은하는 1/2 < n < 10 범위의 지수를 갖는 서직 프로파일로 적합하다.
최적의 n 값은 은하의 크기와 광도와 상관관계가 있어 더 크고 밝은 은하일수록 더 큰 n 값으로 적합되는 경향이 있다.
n = 4로 설정하면 드 보클레르 프로파일이 된다.
: I(R) ∝ e^(-bR^(1/4))
이는 일반적인 타원 은하를 대략적으로 근사한 것이다.
n = 1로 설정하면 지수 프로파일이 된다.
: I(R) ∝ e^(-bR)
이는 나선 은하 원반을 잘 근사하며 왜소 타원 은하를 대략적으로 근사한다. 서직 지수(즉, 은하 집중도)와 은하 형태 사이의 상관관계는 때때로 먼 은하의 허블 유형을 결정하기 위한 자동화된 방식에 사용된다. 서직 지수는 또한 은하 중심에 있는 초대질량 블랙홀의 질량과 상관관계가 있는 것으로 나타났다.

서직 프로파일은 서직 지수가 헤일로 질량과 상관관계가 있는 암흑 물질 헤일로를 설명하는 데에도 사용될 수 있다.

핵-서직 모델 (Core-Sérsic model)

가장 밝은 타원 은하는 종종 서직의 법칙/Sérsic's law^영어으로 잘 설명되지 않는 저밀도 핵을 가지고 있다. 이러한 은하를 설명하기 위해 핵-서직 모델군이 도입되었다. 핵-서직 모델은 핵을 설명하는 추가적인 매개변수 집합을 가지고 있다.

왜소 타원 은하와 벌지는 종종 점과 같은 은하 핵을 가지고 있으며, 이 또한 서직의 법칙으로 잘 설명되지 않는다. 이러한 은하는 종종 핵을 나타내는 추가적인 중심 구성 요소를 가진 서직 모델로 맞추어진다.

아인슈타인 프로파일은 *I* 가 체적 밀도인 *ρ* 로 대체되고, *R* 이 하늘에 투영되지 않은 중심으로부터의 내부 거리인 *r* 로 대체된다는 점을 제외하면 서직 프로파일과 수학적으로 동일하다.

3.3.1. 핵-서직 모델 (Core-Sérsic model)

가장 밝은 타원 은하는 종종 서직의 법칙/Sérsic's law^영어으로 잘 설명되지 않는 저밀도 핵을 가지고 있다. 이러한 은하를 설명하기 위해 핵-서직 모델군이 도입되었다. 핵-서직 모델은 핵을 설명하는 추가적인 매개변수 집합을 가지고 있다.

왜소 타원 은하와 벌지는 종종 점과 같은 은하 핵을 가지고 있으며, 이 또한 서직의 법칙으로 잘 설명되지 않는다. 이러한 은하는 종종 핵을 나타내는 추가적인 중심 구성 요소를 가진 서직 모델로 맞추어진다.

아인슈타인 프로파일은 *I* 가 체적 밀도인 *ρ* 로 대체되고, *R* 이 하늘에 투영되지 않은 중심으로부터의 내부 거리인 *r* 로 대체된다는 점을 제외하면 서직 프로파일과 수학적으로 동일하다.

3.3.2. 점광원 추가

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3.3.3. 아인슈타인 프로파일

가장 밝은 타원 은하는 종종 서직의 법칙(Sérsic's law)으로 잘 설명되지 않는 저밀도 핵을 가지고 있다. 이러한 은하를 설명하기 위해 핵-서직 모델(core-Sérsic model)군이 도입되었다. 핵-서직 모델은 핵을 설명하는 추가적인 매개변수 집합을 가지고 있다.

왜소 타원 은하와 벌지는 종종 점과 같은 은하 핵을 가지고 있으며, 이 또한 서직의 법칙으로 잘 설명되지 않는다. 이러한 은하는 종종 핵을 나타내는 추가적인 중심 구성 요소를 가진 서직 모델로 맞추어진다.

아인슈타인 프로파일은 체적 밀도($I$)가 $\backslash rho$로 대체되고, 투영되지 않은 중심으로부터의 내부 거리($R$)가 $r$로 대체된다는 점을 제외하면 서직 프로파일과 수학적으로 동일하다.