수직축 정리

1. 개요

수직축 정리는 데카르트 좌표계에서 서로 수직하고 한 점에서 만나는 세 축에 대한 관성 모멘트 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 평면 물체가 xy 평면에 놓여 있고, 세 축이 모두 한 점에서 만날 때, z축에 대한 관성 모멘트는 x축과 y축에 대한 관성 모멘트의 합과 같으며, `Iz = Ix + Iy`로 표현된다. 이 정리는 원판의 관성 모멘트 계산 등에 활용된다.

2. 수직축 정리

데카르트 좌표계에서 평면 물체의 z축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같이 표현된다.

:$I\_\{z\}\; =\; \backslash int\; (x^2\; +\; y^2)\; \backslash ,dm\; =\; \backslash int\; x^2\backslash ,dm\; +\; \backslash int\; y^2\backslash ,dm\; =\; I\_\{y\}\; +\; I\_\{x\}$

평면에서 z=0이므로, 이 두 항은 각각 x축 및 y축에 대한 관성 모멘트를 나타내며, 이를 통해 수직축 정리가 유도된다. 이 정리의 역 또한 유사한 방식으로 유도할 수 있다.

여기서 \(\int x^2\,dm = I_{y} \ne I_{x}\) 임에 유의해야 한다. \(\int r^2\,dm \)에서 \(r\)은 회전축으로부터의 거리를 나타내기 때문이다. 따라서 y축을 기준으로 회전하는 경우, 한 점이 회전축으로부터 떨어진 거리는 그 점의 x 좌표와 같게 된다.

2.1. 내용

회전축이 z축인 xy평면 위의 평면판을 생각할 수 있다.

이때, 관성 모멘트 \(I_z = \sum (x^2_i + y^2_i)m_i\)이고, \(\sum (x^2_i + y^2_i)m_i = \sum x^2_i m_i + \sum y^2_i m_i\)이다.

평면이 x축과 y축을 회전축으로 회전운동할 때의 관성 모멘트 \(I_x\), \(I_y\)를 구하면, 평면 위의 임의의 점 \((x_i, y_i)\)에서 x축까지의 거리는 \(|y_i|\), y축까지의 거리는 \(|x_i|\) 이므로 \(I_x = \sum y^2_i m_i\), \(I_y = \sum x^2_i m_i\) 가 된다.

그러므로 \(I_z = I_x + I_y\) 임을 알 수 있다. 데카르트 좌표계에서 작업하면, 평면 물체의 z 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같다:

\(I_{z} = \int (x^2 + y^2) \,dm = \int x^2\,dm + \int y^2\,dm = I_{y} + I_{x}\)

평면에서 \(z=0\)이므로, 이 두 항은 각각 x 및 y 축에 대한 관성 모멘트이며, 수직축 정리를 제공한다. 이 정리의 역도 유사하게 파생된다.

\(\int x^2\,dm = I_{y} \ne I_{x}\)에 유의해야 한다. 왜냐하면 \(\int r^2\,dm \)에서, \(r\)은 회전축으로부터의 거리를 측정하므로, y축 회전의 경우, 한 점의 회전축으로부터의 이탈 거리는 해당 점의 x 좌표와 같기 때문이다.

2.2. 증명

데카르트 좌표계를 사용하여 수직축 정리를 수학적으로 증명할 수 있다. 회전축이 $z$축인 $xy$평면 위의 평면판을 생각하자.

관성 모멘트는 $I\_z\; =\; \backslash sum\; (x^2\_i+y^2\_i)m\_i$이고, $\backslash sum\; (x^2\_i+y^2\_i)m\_i=\backslash sum\; x^2\_im\_i+\backslash sum\; y^2\_im\_i$이다.

평면이 $x$축과 $y$축을 회전축으로 회전운동할 때의 관성 모멘트 $I\_x$, $I\_y$를 구하면, 평면 위의 임의의 점 $(x\_i,y\_i)$에서 $x$축까지의 거리는 $|y\_i|$, $y$축까지의 거리는 $|x\_i|$ 이므로 $I\_x=\backslash sum\; y^2\_im\_i$ , $I\_y=\backslash sum\; x^2\_im\_i$ 가 된다.

그러므로 $I\_z\; =\; I\_x\; +\; I\_y$ 임을 알 수 있다.

데카르트 좌표계에서 작업하면, 평면 물체의 $z$ 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같다:

:$I\_\{z\}\; =\; \backslash int\; (x^2\; +\; y^2)\; \backslash ,dm\; =\; \backslash int\; x^2\backslash ,dm\; +\; \backslash int\; y^2\backslash ,dm\; =\; I\_\{y\}\; +\; I\_\{x\}$

평면에서 $z=0$이므로, 이 두 항은 각각 $x$ 및 $y$ 축에 대한 관성 모멘트이며, 수직축 정리를 제공한다. 이 정리의 역도 유사하게 파생된다.

$\backslash int\; x^2\backslash ,dm\; =\; I\_\{y\}\; \backslash ne\; I\_\{x\}$에 유의해야 한다. 왜냐하면 $\backslash int\; r^2\backslash ,dm$에서, $r$은 회전축으로부터의 거리를 측정하므로, $y$축 회전의 경우, 한 점의 회전축으로부터의 이탈 거리는 해당 점의 $x$ 좌표와 같기 때문이다.

3. 수직축 정리의 활용

수직축 정리는 다양한 형태의 평면 물체의 관성 모멘트를 계산하는 데 활용된다.

3.1. 원판에서의 활용

밀도가 균일한 원판의 관성 모멘트는 $I=\; \backslash frac\{1\}\{2\}MR^2$로 알려져 있다.

원판의 중심을 지나는 원판 위의 회전축에 의한 원판의 관성 모멘트를 $I\_c$ 라 하면, 회전축을 어떠한 방향으로 잡든 $I\_c$의 값이 항상 같다.

이때, 수직축 정리에 의해 $\backslash frac\{1\}\{2\}\; MR^2\; =2I\_c$가 성립하므로 $I\_c=\backslash frac\{1\}\{4\}MR^2$를 얻는다.