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수직축 정리

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목차

1. 개요

수직축 정리는 데카르트 좌표계에서 서로 수직하고 한 점에서 만나는 세 축에 대한 관성 모멘트 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 평면 물체가 xy 평면에 놓여 있고, 세 축이 모두 한 점에서 만날 때, z축에 대한 관성 모멘트는 x축과 y축에 대한 관성 모멘트의 합과 같으며, `Iz = Ix + Iy`로 표현된다. 이 정리는 원판의 관성 모멘트 계산 등에 활용된다.

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수직축 정리
개요
이름수직축 정리
원어 이름Perpendicular axis theorem
분야고전역학
하위 분야강체 역학
설명
내용만약 강체가 xy 평면에 놓여 있고 z축이 강체를 관통한다면, Iz = Ix + Iy이다. 여기서 Ix, Iy, Iz는 각각 x축, y축, z축에 대한 강체의 관성 모멘트이다.
조건강체가 2차원 평면에 놓여 있어야 한다.
z축은 강체를 관통해야 한다.
활용얇은 판의 관성 모멘트를 계산하는 데 유용하다.
관련 개념
관련 정리평행축 정리

2. 수직축 정리

데카르트 좌표계에서 평면 물체의 z축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같이 표현된다.[3]

:I_{z} = \int (x^2 + y^2) \,dm = \int x^2\,dm + \int y^2\,dm = I_{y} + I_{x}

평면에서 z=0이므로, 이 두 항은 각각 x축 및 y축에 대한 관성 모멘트를 나타내며, 이를 통해 수직축 정리가 유도된다. 이 정리의 역 또한 유사한 방식으로 유도할 수 있다.

여기서 \(\int x^2\,dm = I_{y} \ne I_{x}\) 임에 유의해야 한다. \(\int r^2\,dm \)에서 \(r\)은 회전축으로부터의 거리를 나타내기 때문이다. 따라서 y축을 기준으로 회전하는 경우, 한 점이 회전축으로부터 떨어진 거리는 그 점의 x 좌표와 같게 된다.

2. 1. 내용

회전축이 z축인 xy평면 위의 평면판을 생각할 수 있다.

이때, 관성 모멘트 \(I_z = \sum (x^2_i + y^2_i)m_i\)이고, \(\sum (x^2_i + y^2_i)m_i = \sum x^2_i m_i + \sum y^2_i m_i\)이다.

평면이 x축과 y축을 회전축으로 회전운동할 때의 관성 모멘트 \(I_x\), \(I_y\)를 구하면, 평면 위의 임의의 점 \((x_i, y_i)\)에서 x축까지의 거리는 \(|y_i|\), y축까지의 거리는 \(|x_i|\) 이므로 \(I_x = \sum y^2_i m_i\), \(I_y = \sum x^2_i m_i\) 가 된다.

그러므로 \(I_z = I_x + I_y\) 임을 알 수 있다. 데카르트 좌표계에서 작업하면, 평면 물체의 z 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같다:[3]

\(I_{z} = \int (x^2 + y^2) \,dm = \int x^2\,dm + \int y^2\,dm = I_{y} + I_{x}\)

평면에서 \(z=0\)이므로, 이 두 항은 각각 x 및 y 축에 대한 관성 모멘트이며, 수직축 정리를 제공한다. 이 정리의 역도 유사하게 파생된다.

\(\int x^2\,dm = I_{y} \ne I_{x}\)에 유의해야 한다. 왜냐하면 \(\int r^2\,dm \)에서, \(r\)은 회전축으로부터의 거리를 측정하므로, y축 회전의 경우, 한 점의 회전축으로부터의 이탈 거리는 해당 점의 x 좌표와 같기 때문이다.

2. 2. 증명

데카르트 좌표계를 사용하여 수직축 정리를 수학적으로 증명할 수 있다. 회전축이 z축인 xy평면 위의 평면판을 생각하자.

관성 모멘트는 I_z = \sum (x^2_i+y^2_i)m_i이고, \sum (x^2_i+y^2_i)m_i=\sum x^2_im_i+\sum y^2_im_i이다.

평면이 x축과 y축을 회전축으로 회전운동할 때의 관성 모멘트 I_x, I_y를 구하면, 평면 위의 임의의 점 (x_i,y_i)에서 x축까지의 거리는 |y_i|, y축까지의 거리는 |x_i| 이므로 I_x=\sum y^2_im_i , I_y=\sum x^2_im_i 가 된다.

그러므로 I_z = I_x + I_y 임을 알 수 있다.

데카르트 좌표계에서 작업하면, 평면 물체의 z 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같다:[3]

:I_{z} = \int (x^2 + y^2) \,dm = \int x^2\,dm + \int y^2\,dm = I_{y} + I_{x}

평면에서 z=0이므로, 이 두 항은 각각 x 및 y 축에 대한 관성 모멘트이며, 수직축 정리를 제공한다. 이 정리의 역도 유사하게 파생된다.

\int x^2\,dm = I_{y} \ne I_{x}에 유의해야 한다. 왜냐하면 \int r^2\,dm 에서, r은 회전축으로부터의 거리를 측정하므로, y축 회전의 경우, 한 점의 회전축으로부터의 이탈 거리는 해당 점의 x 좌표와 같기 때문이다.

3. 수직축 정리의 활용

수직축 정리는 다양한 형태의 평면 물체의 관성 모멘트를 계산하는 데 활용된다.

3. 1. 원판에서의 활용

밀도가 균일한 원판의 관성 모멘트는 I= \frac{1}{2}MR^2로 알려져 있다.

원판의 중심을 지나는 원판 위의 회전축에 의한 원판의 관성 모멘트를 I_c 라 하면, 회전축을 어떠한 방향으로 잡든 I_c의 값이 항상 같다.

이때, 수직축 정리에 의해 \frac{1}{2} MR^2 =2I_c가 성립하므로 I_c=\frac{1}{4}MR^2를 얻는다.

참조

[1] 서적 Physics https://archive.org/[...] Worth Publishers Inc.
[2] 서적 Mechanical Simmetry https://www.research[...] Author House
[3] 서적 Mathematical Methods for Physics and Engineering https://archive.org/[...] Cambridge University Press
[4] 서적 Physics https://archive.org/[...] Worth Publishers Inc.


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