데카르트 좌표계

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1. 개요
2. 역사
3. 좌표평면
- 3.1. 사분면
4. 좌표공간
- 4.1. 팔분원
5. 고차원 좌표계
6. 표기법 및 관례
7. 방향
- 7.1. 2차원
- 7.2. 3차원
8. 응용
9. 평면에서의 데카르트 공식
- 9.1. 두 점 사이의 거리
- 9.2. 유클리드 변환
참조

1. 개요

데카르트 좌표계는 프랑스 수학자이자 철학자인 르네 데카르트의 아이디어를 바탕으로 개발된 좌표계로, 평면 또는 공간상의 점의 위치를 숫자로 나타낸다. 2차원 좌표평면은 서로 수직인 x축과 y축으로 구성되며, 각 축은 실수 값을 나타낸다. 3차원 좌표공간은 x, y, z 세 개의 수직 축으로 구성된다. 데카르트 좌표계는 미적분학 발전에 기여했으며, 점의 위치를 표현하고 유클리드 거리, 유클리드 변환 등을 계산하는 데 사용된다.

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데카르트 좌표계
개요
명칭	데카르트 좌표계
다른 이름	직교 좌표계
영어 명칭	Cartesian coordinate system
정의
정의	평면 또는 공간에서 점의 위치를 나타내는 좌표계
구성 요소	축 (일반적으로 x축, y축, z축) 원점 (축들이 교차하는 점)
역사
고안자	르네 데카르트
발표 시기	1637년
발표 저서	방법서설 부록 "기하학"
특징
축	축은 서로 직교함
좌표	각 점은 숫자 쌍 (평면) 또는 숫자 삼중 (공간)으로 표현됨
응용 분야	기하학 물리학 공학 컴퓨터 과학
종류
2차원 데카르트 좌표계	평면 위의 점을 나타내는 데 사용
3차원 데카르트 좌표계	공간 위의 점을 나타내는 데 사용
n차원 데카르트 좌표계	n차원 공간 위의 점을 나타내는 데 사용
좌표 표현
2차원	(x, y)
3차원	(x, y, z)
n차원	(x1, x2, ..., xn)
활용 예시
점의 표현	평면 위의 점 (2, 3), (-3, 1) 등
방정식 표현	원의 방정식: (x − a)² + (y − b)² = r²
관련 개념
관련 좌표계	극좌표계 원통 좌표계 구면 좌표계
일반화	곡선 좌표계

2. 역사

데카르트 좌표계라는 이름은 프랑스의 수학자이자 철학자인 르네 데카르트의 이름에서 유래되었다. 데카르트는 1637년 네덜란드에 거주하면서 이 아이디어를 발표했다. 피에르 드 페르마도 독자적으로 이 아이디어를 발견했지만, 발견을 발표하지는 않았다.^[1] 프랑스 성직자 니콜 오렘은 데카르트와 페르마보다 앞서 데카르트 좌표와 유사한 구성을 사용했다.^[2]

데카르트와 페르마는 모두 연구에서 단일 축을 사용했으며, 이 축을 기준으로 변수 길이를 측정했다.^[3] 두 쌍의 축을 사용하는 개념은 데카르트의 ''라 지오메트리''가 1649년 프란스 반 쉬턴과 그의 학생들에 의해 라틴어로 번역된 후에 소개되었다.^[4]

데카르트 좌표계의 개발은 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 미적분학 발전에 중요한 역할을 했다.^[5] 평면의 2차원 좌표 설명은 이후 벡터 공간의 개념으로 일반화되었다.^[6]

3. 좌표평면

오늘날 사용하는 좌표평면은 서로 직교하는 x축(수평 방향)과 y축(수직 방향)으로 정의되는 xy평면이다. x축과 y축이 만나는 점을 원점이라고 부른다.^[9]

thumb

평면 위에 수직선을 1개 긋고 ''x'' '''축'''이라고 부른다. ''x'' 축에 직각으로 직선을 그은 직선상의 모든 점은 같은 ''x'' 좌표의 값을 갖는다고 정한다. 다음으로 이 ''x'' 축에 대하여, 원점으로부터 직각으로 또 한 개의 수직선을 긋고 ''y'' '''축'''이라고 부른다. ''y'' 축도 ''x'' 축과 마찬가지로 ''y'' 축에 직각으로 직선을 그은 직선상의 모든 점은 같은 ''y'' 좌표의 값을 갖는다고 정한다.

좌표축의 방향은 일반적으로 ''y'' 축의 양의 방향이 ''x'' 축의 양의 방향으로부터 직각만큼 반시계 방향으로 회전한 방향(오른손 좌표계)으로 한다. 또한 ''x'' 축은 수평 방향으로 오른쪽을 양의 방향으로 하고, ''y'' 축은 수직 방향으로 윗 방향을 양의 방향으로 한다.

평면상의 점마다 순서쌍 실수 (''a'', ''b'')가 유일하게 정해지고, 그 점을 지나 ''x'' 축상의 점 ''a''에서 ''x'' 축과 직각으로 교차하는 직선과, 그 점을 지나 ''y'' 축에서 ''b''로 직각으로 교차하는 직선을 그리면 각각 1개로 한정된다. 이때, 이 교점의 좌표는 (''a'', ''b'')이다. 원점의 좌표는 (0, 0)이다.

3. 1. 사분면

좌표평면의 사분면(四分面, quadrant^영어)은 x축, y축으로 나뉘는 좌표평면 상의 네 부분을 말한다. 제1사분면 ~ 제4사분면으로 나뉜다.

2차원 데카르트 좌표계의 축은 평면을 '사분면'이라고 하는 네 개의 무한 영역으로 나눈다.^[9] 각 사분면은 두 개의 반축으로 경계가 정해진다. 이것들은 종종 1사분원에서 4사분원까지 번호가 매겨지며 로마 숫자로 표시된다.

사분면	x좌표	y좌표
제1사분면	+	+
제2사분면	-	+
제3사분면	-	-
제4사분면	+	-

축이 수학적 관례에 따라 그려지면, 번호는 오른쪽 위 ("북동") 사분원에서 시작하여 반시계 방향으로 매겨진다.

x 좌표와 y 좌표 모두 양의 값을 갖는 점으로 이루어진 영역을 '''제1사분면'''이라고 부른다.
x 좌표가 음수이고 y 좌표가 양의 값을 갖는 점이 차지하는 영역을 '''제2사분면'''이라고 부른다.
x 좌표와 y 좌표 모두 음의 값을 갖는 점이 구성하는 영역을 '''제3사분면'''이라고 부른다.
x 좌표가 양수이고 y 좌표가 음의 값을 갖는 영역을 '''제4사분면'''이라고 부른다.

4. 좌표공간

오늘날 사용하는 좌표공간은 xy평면, xz평면, yz평면으로 이루어지는데, 이 세 평면은 서로 직교하며 평면을 이루는 x축(수평 방향)과 y축(수직 방향), 그리고 z축 또한 서로 직교한다. x, y, z축이 만나는 점을 원점이라고 부른다.^[8]

3차원 직교 좌표계는 공간 내에서 서로 직교하는 3개의 수직선, 즉 x축, y축, z축을 정하여 정의한다. 3개의 축 방향은 오른손 법칙의 방향으로 취하는 것이 일반적이다. 또한 각 좌표축의 배치는 x축과 y축을 포함하는 평면(xy-평면)이 수평이고, z축의 방향이 xy-평면에 대해 연직 상방이 되도록 배치하는 경우가 많다. 공간의 각 점의 좌표는 해당 점에서 각 좌표축으로의 수선의 교점을 나타내는 실수들의 묶음 (a, b, c)에 의해 주어진다.

좌표는 일반적으로 (3, -2.5, 1) 또는 (t, u + v, π/2)와 같이 괄호로 묶이고 쉼표로 구분된 세 개의 숫자(또는 대수식)로 작성된다. 원점의 좌표는 (0, 0, 0)이고 세 축의 단위점은 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)이다. 세 축의 좌표에 대한 표준 이름은 가로좌표, 세로좌표 및 앱리케이트이다. 좌표는 종종 문자 x, y, z로 표시되며, 각각 x축, y축 및 z축이라고 한다. 좌표 평면은 xy-평면, yz-평면 및 xz-평면이라고 한다.

수학, 물리학 및 공학적 맥락에서 처음 두 축은 종종 수평으로 정의되거나 묘사되며 세 번째 축은 위를 가리킨다. 이 경우 세 번째 좌표를 높이 또는 고도라고 부를 수 있다.

4. 1. 팔분원

3차원 데카르트 좌표계에서 각 축 쌍은 ''좌표 평면''을 정의한다. 이러한 평면은 공간을 8개의 ''팔분원''으로 나눈다. 각 팔분원은 점의 좌표 부호에 따라 다음과 같이 구분된다.

(+x, +y, +z)
(-x, +y, +z)
(+x, -y, +z)
(+x, +y, -z)
(+x, -y, -z)
(-x, +y, -z)
(-x, -y, +z)
(-x, -y, -z)

3차원 데카르트 좌표계. 원점 ''O''와 축 ''X'', ''Y'', ''Z''가 화살표 방향으로 표시됨. 축의 눈금은 길이 단위 1. 검은 점은 좌표 (2, 3, 4).

5. 고차원 좌표계

3차원 공간의 직교 좌표계는 공간 내에서 서로 직교하는 3개의 수직선, 즉 ''x''축, ''y''축, ''z''축을 정하여 정의한다. 평면의 경우와 마찬가지로, 공간의 각 점에 대해 해당 점에서 각 좌표축으로의 수선의 교점을 나타내는 실수들의 묶음 (a, b, c)에 의해 좌표가 주어진다. 3개의 축의 방향은 오른손 좌표계의 방향으로 취하는 것이 일반적이다. 또한 각 좌표축의 배치는, ''x''축과 ''y''축을 포함하는 평면(''xy''-평면)이 수평이고, ''z''축의 방향이 ''xy''-평면에 대해 연직 상방이 되도록 배치하는 경우가 많다.

오른쪽 그림에서 3개의 선은 좌표축을 나타내고, 빨간 평면 위의 점은 ''x''좌표가 1, 노란색 평면 위의 점은 ''y''좌표가 -1, 파란 평면 위의 점은 ''z''좌표가 1이다. 검은 점의 좌표는 (1, -1, 1)이 된다.

더 일반적으로, ''d''차원의 실수 내적 공간 ''E''에 대해, 그 정규 직교 기저 (''e''₁, …, ''e''_''d'')에 관한 좌표는 "직교 좌표계"라고 불린다.

6. 표기법 및 관례

점의 데카르트 좌표는 보통 (10, 5) 또는 (3, 5, 7)와 같이 괄호 안에 쉼표로 구분하여 표기한다.^[9] 원점은 대문자 ''O''로 표시되는 경우가 많다.^[8] 해석 기하학에서 알려지지 않은 또는 일반적인 좌표는 평면에서는 문자 (''x'', ''y''), 3차원 공간에서는 (''x'', ''y'', ''z'')로 자주 표시된다. 이러한 관습은 대수학에서 유래되었는데, 미지수(많은 기하학적 문제에서 점의 좌표 등)에 알파벳의 뒤쪽 문자를 사용하고, 주어진 양에는 앞쪽 문자를 사용한다.

좌표 명명에 대한 또 다른 일반적인 관례는 아래첨자를 사용하는 것으로, (''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n'')와 같이 표기한다.

7. 방향

2차원과 3차원 데카르트 좌표계에서 축의 방향은 일반적으로 오른손 법칙을 따른다.

2차원 좌표계에서는 보통 ''x'' 축을 수평으로 놓고 오른쪽을 양의 방향으로, ''y'' 축을 수직으로 놓고 위쪽을 양의 방향으로 한다. ''x'' 축과 ''y'' 축이 만나는 점은 원점이라고 부른다.^[9] 이렇게 하면 평면은 네 개의 직각 영역, 즉 사분면으로 나뉜다.

3차원 좌표계에서는 ''x'', ''y'', ''z'' 세 축이 서로 직교하며, 이들이 만나는 점을 원점이라고 한다. 일반적으로 ''x'' 축과 ''y'' 축이 이루는 평면을 수평으로 놓고, ''z'' 축은 위쪽을 향하게 한다. 이때, 첫 번째 축에서 두 번째 축으로 90도 회전했을 때 시계 반대 방향으로 보이는 것이 오른손 법칙에 따른 표준 방향이다. 세 좌표축은 공간을 여덟 개의 팔분원으로 나눈다.

7. 1. 2차원

오늘날 사용하는 좌표평면은 xy평면을 이루는 서로 직교하는 x축(수평 방향)과 y축(수직 방향)으로 정의한다. x축과 y축이 만나는 점을 원점이라고 부른다.^[9]

2차원에서의 데카르트 좌표계는 순서쌍의 수직선(축), 두 축 모두에 대한 단일 길이 단위, 각 축의 방향으로 정의된다. 축이 만나는 점은 둘 다의 원점으로 간주되어 각 축을 수직선으로 만든다. 임의의 점 ''P''에 대해, ''P''를 지나 각 축에 수직인 선이 그려지며, 축과 만나는 위치는 숫자로 해석된다. 선택된 순서대로의 두 숫자는 ''P''의 데카르트 좌표이다. 역으로 이 구조를 통해 좌표가 주어지면 점 ''P''를 결정할 수 있다.

첫 번째 및 두 번째 좌표는 각각 ''가로좌표'' 및 ''세로좌표''라고 하며, 축이 만나는 점은 좌표계의 ''원점''이라고 한다. 좌표는 일반적으로 (3, −10.5)와 같이 괄호 안에 두 개의 숫자를 쉼표로 구분하여 해당 순서대로 작성된다. 따라서 원점의 좌표는 (0, 0)이고, 원점에서 한 단위 떨어진 양의 반축 상의 점은 (1, 0)과 (0, 1)의 좌표를 갖는다.

수학, 물리학, 공학에서 첫 번째 축은 일반적으로 수평으로 정의되거나 오른쪽으로 향하게 표시되며, 두 번째 축은 수직으로 위쪽으로 향하게 표시된다. (그러나 일부 컴퓨터 그래픽스 환경에서는 세로좌표 축이 아래쪽으로 향할 수 있다.) 원점은 종종 ''O''로 레이블이 지정되며, 두 좌표는 종종 문자 ''X''와 ''Y'' 또는 ''x''와 ''y''로 표시된다. 그러면 축은 ''X''축 및 ''Y''축이라고 할 수 있다. 문자 선택은 알려지지 않은 값을 나타내기 위해 알파벳의 후반부를 사용하는 원래의 규칙에서 비롯되었다. 알파벳의 전반부는 알려진 값을 지정하는 데 사용되었다.

선택된 데카르트 좌표계를 가진 유클리드 평면을 '''데카르트 평면'''이라고 한다. 데카르트 평면에서는 단위 원 (반지름이 길이 단위와 같고 중심이 원점), 단위 정사각형 (대각선의 끝점이 (0, 0)과 (1, 1)), 단위 쌍곡선 등과 같은 특정 기하학적 도형의 정식 표현을 정의할 수 있다.

두 축은 평면을 ''사분면''이라고 하는 네 개의 직각으로 나눈다. 사분면은 다양한 방식으로 명명되거나 번호가 매겨질 수 있지만 모든 좌표가 양수인 사분면은 일반적으로 ''제1사분면''이라고 한다.

점의 좌표가 (''x'', ''y'')이면, ''X''축과 ''Y''축으로부터의 거리는 각각 와 이다. 여기서 는 숫자의 절댓값을 나타낸다.

''x''축을 고정하거나 선택하면 방향에 따라 ''y''축이 결정된다. 즉, ''y''축은 ''x''축의 0으로 표시된 점을 지나는 수직선이 된다. 그러나 수직선 상의 두 반직선 중 어느 것을 양수로 지정하고 어느 것을 음수로 지정할지 선택해야 한다. 이 두 가지 선택 각각은 데카르트 평면의 서로 다른 방향(또는 ''손잡이'')을 결정한다.

양의 ''x''축이 오른쪽을 가리키고 양의 ''y''축이 위를 가리키는 (그리고 ''x''축이 "첫 번째", ''y''축이 "두 번째" 축인) 평면을 배향하는 일반적인 방법은 ''양의'' 또는 ''표준'' 배향으로 간주되며, ''오른손'' 배향이라고도 한다.

양의 배향을 정의하는 데 일반적으로 사용되는 기억술은 ''오른손 규칙''이다. 엄지손가락이 위를 향하도록 약간 닫힌 오른손을 평면에 놓으면, 손가락은 양의 배향 좌표계에서 ''x''축에서 ''y''축으로 향한다.

평면을 배향하는 다른 방법은 ''왼손 규칙''에 따라 엄지손가락이 위를 향하도록 왼손을 평면에 놓는 것이다.

원점에서 축을 따라 엄지손가락을 양의 방향으로 가리키면 손가락의 굽힘은 해당 축을 따라 양의 회전을 나타낸다.

평면을 배향하는 데 사용되는 규칙에 관계없이 좌표계를 회전하면 배향이 유지된다. 임의의 축 하나를 바꾸면 배향이 반전되지만, 둘 다 바꾸면 배향이 변경되지 않는다.

먼저 평면 위에 수직선을 1개 긋는다. 이 직선을 ''x''축이라고 부르기로 한다. ''x'' 축에 직각으로 직선을 그은 직선상의 모든 점은, 같은 ''x'' 좌표의 값을 갖는다고 정한다. 다음으로 이 ''x'' 축에 대하여, 원점으로부터 직각으로 또 한 개의 수직선을 긋는다. 이것을 ''y''축이라고 부르기로 한다. ''y'' 축도 ''x'' 축과 마찬가지로 ''y'' 축에 직각으로 직선을 그은 직선상의 모든 점은, 같은 ''y'' 좌표의 값을 갖는다고 정한다.

좌표축의 방향에는 임의성이 있지만, 일반적으로 ''y'' 축의 양의 방향은 ''x'' 축의 양의 방향으로부터 직각만큼, 반시계 방향으로 회전한 방향(오른손 좌표계)으로 한다. 또한 일반적으로 ''x'' 축은 수평 방향으로 오른쪽 방향을 양의 방향으로 그리고, 이때 ''y'' 축은 수직 방향으로 윗 방향이 양의 방향이 된다.

평면상의 점마다 실수쌍 (''a'', ''b'')이 유일하게 정해지고, 그 점을 지나 ''x'' 축상의 점 ''a''에서 ''x'' 축과 직각으로 교차하는 직선과, 그 점을 지나 ''y'' 축에서 ''b''로 직각으로 교차하는 직선을 그리면, 각각 1개로 한정된다. 이때, 이 교점의 좌표는 (''a'', ''b'')이다. ''x'' 축과 ''y'' 축이 교차하는 점을 '''원점'''이라고 부르며, 원점의 좌표는 (0, 0)이 된다.

7. 2. 3차원

오늘날 사용하는 좌표 공간은 xy평면, xz평면, yz평면으로 이루어지는데, 이 세 평면은 서로 직교하며 평면을 이루는 x축(수평 방향)과 y축(수직 방향) 그리고 z축 또한 서로 직교한다. x, y, z축이 만나는 점을 원점이라고 부른다.

3차원 공간에 대한 데카르트 좌표계는 공통점을 통과하고 쌍으로 수직인 일련의 정렬된 세 개의 선(''축'')으로 구성된다. 각 축에 대한 방향과 세 축 모두에 대한 단일 길이 단위이다. 2차원 경우와 마찬가지로 각 축은 수직선이 된다. 공간의 임의의 점 ''P''에 대해 각 좌표 축에 수직인 ''P''를 통과하는 평면을 고려하고 해당 평면이 축을 자르는 점을 숫자로 해석한다. ''P''의 데카르트 좌표는 선택한 순서대로 이 세 개의 숫자이다. 역 구조는 세 개의 좌표가 주어지면 점 ''P''를 결정한다.

또는 점 ''P''의 각 좌표는 해당 축의 방향에 의해 결정되는 부호와 함께 다른 두 축에 의해 정의된 평면으로부터 ''P''까지의 거리로 간주될 수 있다.

각 축 쌍은 ''좌표 평면''을 정의한다. 이러한 평면은 공간을 8개의 ''팔분원''으로 나눈다. 팔분원은 다음과 같다.

\begin{align}(+x,+y,+z) && (-x,+y,+z) && (+x,-y,+z) && (+x,+y,-z) \\(+x,-y,-z) && (-x,+y,-z) && (-x,-y,+z) && (-x,-y,-z)\end{align}

좌표는 일반적으로 (3, −2.5, 1) 또는 (''t'', ''u'' + ''v'', ''π''/2)와 같이 괄호로 묶이고 쉼표로 구분된 세 개의 숫자(또는 대수식)로 작성된다. 따라서 원점의 좌표는 (0, 0, 0)이고 세 축의 단위점은 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)이다.

세 축의 좌표에 대한 표준 이름은 ''가로좌표'', ''세로좌표'' 및 ''앱리케이트''이다.^[8] 좌표는 종종 문자 ''x'', ''y'', ''z''로 표시된다. 그런 다음 축은 각각 ''x''축, ''y''축 및 ''z''축이라고 할 수 있다. 그런 다음 좌표 평면은 ''xy''-평면, ''yz''-평면 및 ''xz''-평면이라고 할 수 있다.

수학, 물리학 및 공학적 맥락에서 처음 두 축은 종종 수평으로 정의되거나 묘사되며 세 번째 축은 위를 가리킨다. 이 경우 세 번째 좌표를 ''높이'' 또는 ''고도''라고 부를 수 있다. 방향은 일반적으로 첫 번째 축에서 두 번째 축까지의 90도 각도가 (0, 0, 1) 점에서 볼 때 시계 반대 방향으로 보이도록 선택된다. 이는 일반적으로 ''오른손 법칙''이라고 불리는 관례이다.

일단 ''x''축과 ''y''축이 지정되면, 이들은 ''z''축이 놓여야 할 선을 결정하지만, 이 선에는 두 가지 가능한 방향이 있다. 그 결과로 나오는 두 가지 가능한 좌표계는 '오른손 좌표계'와 '왼손 좌표계'라고 불린다.^[13] ''xy'' 평면이 수평이고 ''z''축이 위를 향하는 표준 방향 (그리고 ''x''축과 ''y''축이 ''xy'' 평면의 ''위''에서 관찰할 때 양의 방향을 가지는 2차원 좌표계를 형성하는)은 '''오른손''' 또는 '''양의''' 방향이라고 불린다.

이 명칭은 오른손 법칙에서 유래한다. 오른손의 검지손가락을 앞으로 향하고, 가운데 손가락을 직각으로 안쪽으로 구부리고, 엄지손가락을 둘 다에 직각으로 놓으면 세 손가락이 ''오른손'' 시스템에서 ''x''축, ''y''축 및 ''z''축의 상대적인 방향을 나타낸다. 엄지손가락은 ''x''축, 검지손가락은 ''y''축, 가운데 손가락은 ''z''축을 나타낸다. 반대로, 같은 것을 왼손으로 하면 왼손 시스템이 생성된다.

8. 응용

지형 정보를 표현하여 재해 대책에 사용할 수 있다.

9. 평면에서의 데카르트 공식

평면에서의 데카르트 좌표계는 여러 가지 유용한 공식들을 제공한다.

하위 섹션에서는 평면상의 두 점 사이의 거리, 유클리드 변환(평행이동, 회전, 반사, 글라이드 반사) 등을 다룬다.

9. 1. 두 점 사이의 거리

평면 상의 두 점

(x_1, y_1)

와

(x_2, y_2)

의 유클리드 거리는 다음과 같다.

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.

이것은 피타고라스 정리의 데카르트 좌표 버전이다. 3차원 공간에서, 점

(x_1,y_1,z_1)

과

(x_2,y_2,z_2)

사이의 거리는 다음과 같다.

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2+ (z_2-z_1)^2} ,

이는 피타고라스 정리를 두 번 연속으로 적용하여 얻을 수 있다.^[10]

9. 2. 유클리드 변환

유클리드 평면 등거리 변환 또는 '''유클리드 운동'''은 점들 사이의 거리를 보존하는, 유클리드 평면의 점들을 자기 자신으로 사상하는 (전단사) 변환이다. 이러한 등거리 변환에는 평행 이동, 회전, 반사, 글라이드 반사의 네 가지 유형이 있다.^[11]

'''평행이동''': 평면의 점 집합을, 점들 사이의 거리와 방향을 보존하면서 옮기는 것이다. 집합 내의 모든 점의 데카르트 좌표에 고정된 숫자 쌍 (''a'', ''b'')를 더하는 것과 같다. 즉, 점의 원래 좌표가 (''x'', ''y'')라면, 평행이동 후 좌표는 다음과 같다.

::

(x', y') = (x + a, y + b)

'''회전''': 어떤 각도 $\theta$ 만큼 원점을 중심으로 도형을 회전시키는 것은 좌표 (''x'', ''y'')를 가진 모든 점을 좌표 (''x′'', ''y′'')를 가진 점으로 대체하는 것과 동일하다.

::

\begin{align}x' &= x \cos \theta - y \sin \theta \\y' &= x \sin \theta + y \cos \theta\end{align}

:: 따라서,

(x',y') = ((x \cos \theta - y \sin \theta\,) , (x \sin \theta + y \cos \theta\,))

이다.

'''반사''': 점의 데카르트 좌표가 (''x'', ''y'')이면, (''-x'', ''y'')는 두 번째 좌표축(y축)에 대한 반사 좌표이며, 그 선이 거울인 것과 같다. 마찬가지로, (''x'', -''y'')는 첫 번째 좌표축(x축)에 대한 반사 좌표이다. 원점을 지나 x축과 $\theta$ 각도를 이루는 선에 대한 반사는 좌표가 (''x'', ''y'')인 모든 점을 좌표가 (''x′'', ''y′'')인 점으로 대체하는 것과 동일하다.

::

\begin{align}x' &= x \cos 2\theta + y \sin 2\theta \\y' &= x \sin 2\theta - y \cos 2\theta\end{align}

:: 따라서,

(x',y') = ((x \cos 2\theta + y \sin 2\theta\,) , (x \sin 2\theta - y \cos 2\theta\,))

이다.

'''글라이드 반사''': 선에 대한 반사 변환과 그 선의 방향으로의 평행 이동의 합성이다. 이러한 연산의 순서는 중요하지 않다.

평면의 모든 아핀 변환은 행렬을 사용하여 균일하게 설명할 수 있다. 점의 좌표

(x,y)

는 열 행렬

\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

로 표시된다. 아핀 변환을 점

(x,y)

에 적용한 결과

(x', y')

는 다음 공식으로 주어진다.

:

\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + b,

여기서

A = \begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} \\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{pmatrix}

는 2×2 정방 행렬이고

b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}

는 열 행렬이다.^[12] 즉,

:

\begin{align}x' &= x A_{1,1} + y A_{1,1} + b_{1} \\y' &= x A_{2,1} + y A_{2, 2} + b_{2}\end{align}

유클리드 변환은 행렬

A

가 직교 행렬이라는 특징을 갖는다. 즉, 열이 직교 벡터이고 유클리드 노름이 1이다.

:

A_{1,1} A_{1, 2} + A_{2,1} A_{2, 2} = 0

:

A_{1, 1}^2 + A_{2,1}^2 = A_{1,2}^2 + A_{2, 2}^2 = 1

이는

A

에 그 전치 행렬을 곱한 것이 항등 행렬이라는 것과 같다.

변환은

A

가 항등 행렬일 경우에만 평행 이동이다. 변환은

A

가 회전 행렬일 경우에만 어떤 점을 중심으로 회전하며, 이는 직교이고

:

A_{1, 1} A_{2, 2} - A_{2, 1} A_{1, 2} = 1

이다.

반사 또는 글라이드 반사는 다음 경우에 얻어진다.

:

A_{1, 1} A_{2, 2} - A_{2, 1} A_{1, 2} = -1

참조

_[1] 웹사이트 Analytic geometry https://www.britanni[...] 2017-08-06
_[2] 서적 2017
_[3] 서적 A history of mathematics: an introduction https://www.worldcat[...] Addison-Wesley 2009
_[4] 서적 2011
_[5] 서적 2011
_[6] 서적 2015
_[7] 문서 Consider the two [[ray (geometry)|rays]] or half-lines resulting from splitting the line at the origin. One of the half-lines can be assigned to positive numbers, and the other half-line to negative numbers.
_[8] 웹사이트 Cartesian coordinates https://planetmath.o[...] 2024-08-25
_[9] 웹사이트 Cartesian orthogonal coordinate system https://www.encyclop[...] 2017-08-06
_[10] 서적 2013
_[11] 서적 1998
_[12] 서적 1998
_[13] 서적 2021
_[14] 서적 1998
_[15] 서적 1999
_[16] 문서 文脈によっては {{Lang|en|orthogonal coordinate system}} はより一般の、一つの座標成分のみを動かして得られる座標曲線たちが互いに直交しているような[[直交曲線座標|直交曲線座標系]]をさすことがある。
_[17] 서적 デカルト「幾何学」原亨吉訳『デカルト著作集 1』増補版（白水社、2001年）
_[18] 서적 幾何学筑摩書房〈ちくま学芸文庫、[テ6-4]〉 2013
_[19] 서적 方法叙説講談社〈講談社学術文庫、[2700]〉 2022
_[20] 서적 The geometry of René Descartes Open court 1925
_[21] 서적 方法についての議論：理性をよく動かし、科学の中に真実を求めること。詳細、視度。流星—ならびにこの方法の試験版としての[[幾何学]] フェイヤール〈フランス語の哲学書コーパス〉 1986
_[22] 서적 Discours de la methode : pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences. Plus la dioptrique, les meteores, et la geometrie, qui sont des essais de cette methode
_[23] 서적 理性を正しく導き、もろもろの科学における真理を探究するための方法序説 http://dlxs2.library[...] "[[コーネル大学]]図書館"

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