술어 논리

1. 개요

술어 논리는 명제 내부 구조를 분석하여 지식 표현의 일반화를 가능하게 하는 논리 체계이다. 명제 논리의 한계를 극복하기 위해, 명제를 술어와 객체로 분리하여 '술어(객체)' 형태로 표현한다. 술어 논리는 '존재 기호'와 '전칭 기호'를 포함하는 한정 기호를 사용하여 변수를 포함하는 명제를 표현하며, 이를 통해 다양한 명제 간의 관계를 명확하게 나타낼 수 있다.

2. 명제 논리와의 차이

명제논리는 명제를 가장 작은 단위로 다루기 때문에 명제 내부의 구조를 분석할 수 없다. 반면, 술어 논리는 명제를 술어와 객체로 분리하여 분석한다. 예를 들어, "소크라테스는 사람이다"와 "플라톤은 사람이다"라는 두 명제는 명제 논리에서는 서로 관련 없는 별개의 사실로 취급되지만, 술어 논리에서는 '사람이다'라는 술어와 '소크라테스', '플라톤'이라는 객체로 분리하여 이들 사이의 공통점을 파악할 수 있다. 이를 통해 술어 논리는 명제 논리보다 더 일반화된 지식 표현을 가능하게 한다.

2.1. 지식 표현의 일반화

명제논리에서는 명제가 최소 단위이므로 명제의 내부 구조에 대한 분석은 이루어질 수 없다. 예를 들어,
* '소크라테스는 사람이다.'
* '플라톤은 사람이다.'
라는 두 명제는 완전히 별개의 사실이며, 이로부터 '소크라테스'와 '플라톤'이 모두 사람이라는 유사점을 발견할 수 없다. 즉, 명제 논리는 지식 표현을 일반화할 수 없다. 따라서,
* '모든 사람은 죽는다.'
라는 명제를 추가할 때, 이 세 명제로부터 소크라테스와 플라톤은 죽는다는 사실을 유도해 낼 수 없게 되는 것이다.

술어 논리는 명제 논리의 이러한 문제를 해결할 수 있다. 술어 논리는 하나의 명제를 술어와 그 술어의 수식을 받는 객체로 분리하여 '술어(객체)'의 형태로 표현한다. 예를 들면 앞의 세 명제는 다음과 같이 술어 논리식으로 표현될 수 있다.

* 소크라테스는 사람이다: Man(SOCRATES)
* 플라톤은 사람이다: Man(PLATON)
* 모든 사람은 죽는다: ∀x{Man(x)→Die(x)}

여기서 Man은 '사람이다'라는 술어에 해당되고, SOCRATES와 PLATON은 각각 '소크라테스'와 '플라톤'을 나타내는 객체가 된다. 이때 SOCRATES와 PLATON은 모두 Man이라는 공통된 술어의 수식을 받고 있다. Man(SOCRATES), Man(PLATON)이 모두 참이라면 ∀x{Man(x)→Die(x)}에 의해 Die(SOCRATES)와 Die(PLATON)이 모두 참이라는 사실을 유도해 낼 수 있다.

2.2. 한정 기호

술어 논리에서는 변수($x$)가 나타내는 객체의 집합 $D$를 정의역(domain)이라 한다. 이 정의역 내에서 '한국인'인 $x$만을 지정하는 기호로 '$\backslash exists$'와 '$\backslash forall$'를 사용할 수 있다. '$\backslash exists\; x$'는 '적어도 어느 하나의 $x$가 존재함'을 나타내며 '존재기호'라 부른다. '$\backslash forall\; x$'는 '모든 $x$에 대하여'라는 의미로 사용되며 '전칭기호'라 부른다.

'$\backslash exists$'와 '$\backslash forall$'를 총칭하여 '한정기호'라 하며 한정기호를 포함하고 있는 논리식에 대해서는 다음의 등식이 성립한다.

* $\backslash neg\; (\backslash exists\; x)P(x)\; \backslash equiv\; (\backslash forall\; x)\backslash left\; \backslash \{\; \backslash neg\; P(x)\; \backslash right\; \backslash \}$
* $\backslash neg\; (\backslash forall\; x)P(x)\; \backslash equiv\; (\backslash exists\; x)\backslash left\; \backslash \{\; \backslash neg\; P(x)\; \backslash right\; \backslash \}$
* $(\backslash forall\; x)\backslash left\; \backslash \{\; P(x)\; \backslash land\; Q(x)\backslash right\; \backslash \}\; \backslash equiv\; (\backslash forall\; x)P(x)\; \backslash land\; (\backslash forall\; x)Q(x)$
* $(\backslash exists\; x)\backslash left\; \backslash \{\; P(x)\; \backslash lor\; Q(x)\backslash right\; \backslash \}\; \backslash equiv\; (\backslash exists\; x)P(x)\; \backslash lor\; (\backslash exists\; x)Q(x)$
* $(\backslash forall\; x)P(x)\; \backslash equiv\; (\backslash forall\; y)P(y)$
* $(\backslash exists\; x)P(x)\; \backslash equiv\; (\backslash exists\; y)P(y)$