존재 양화사

1. 개요

존재 양화사는 형식 논리에서 사용되는 개념으로, 특정 조건을 만족하는 대상이 적어도 하나 존재한다는 것을 나타낸다. 기호 "∃"를 사용하여 표현하며, 수학적 증명은 구성적 증명 또는 비구성적 증명으로 이루어진다. 존재 양화사의 부정은 전칭 양화사와 동치 관계에 있으며, 존재 도입과 존재 제거와 같은 추론 규칙이 존재한다. 논의 영역에 따라 진술의 참/거짓이 달라지며, 범주론에서는 멱집합 함자의 왼쪽 수반으로 이해될 수 있다.

2. 기본 원리

존재 양화는 "어떤" 또는 "적어도 하나"와 같은 표현으로 나타내어지며, 주어진 조건을 만족하는 대상이 하나 이상 존재함을 의미한다.

예를 들어 "어떤 자연수 $n$에 대해, $n\backslash times\; n=25$이다"라는 문장은 5를 $n$에 대입하면 $5\backslash times\; 5=25$가 되어 참이 된다. 이처럼 단 하나의 해만 존재해도 존재 양화는 참이 된다.

반면, "어떤 짝수 $n$에 대해, $n\backslash times\; n=25$이다"라는 문장은 짝수 해가 없으므로 거짓이다. 이처럼 변수가 가질 수 있는 값의 범위, 즉 담화 영역은 진술의 참 또는 거짓에 매우 중요하다.

"어떤 양의 홀수 $n$에 대해, $n\backslash times\; n=25$이다"라는 문장은 "어떤 자연수 $n$에 대해, $n$은 홀수이고 $n\backslash times\; n=25$이다"라는 문장과 논리적 동치이다.

2.1. 형식 논리에서의 표현

형식 논리에서 존재 양화를 나타내기 위해 "∃" (산세리프 글꼴을 뒤집은 문자 "E", 유니코드 U+2203) 기호를 사용한다. 예를 들어,
: $\backslash exists\{n\}\; \backslash in\; \backslash mathbf\{N\}\backslash ,\; P(n,n,25)$
라는 논리식은 "어떤 자연수 $n$에 대해, $n\backslash cdot\; n\; =\; 25$이다"를 나타낸다.

이는 "0·0 = 25, 또는 1·1 = 25, 또는 2·2 = 25, 또는 3·3 = 25, 등등"과 같이 "또는"을 반복하는 논리합 형태보다 더 정확한 표현이다. "등등"과 같은 표현은 형식 논리에서 명확하게 정의되지 않기 때문이다.

5는 자연수이고, 5·5 = 25 이므로 위 명제는 참이다. "$n\backslash cdot\; n\; =\; 25$"가 5 이외의 자연수 $n$에서 거짓이 되는 것은 상관없다. 적어도 하나의 해가 존재하면 존재 양화는 참이 되기 때문이다.

반면, "어떤 짝수 $n$에 대해, $n\backslash cdot\; n\; =\; 25$이다"라는 문장은 짝수 해가 존재하지 않으므로 거짓이다. 이처럼 변수 $n$이 가질 수 있는 값의 범위를 나타내는 논의 영역은 명제의 참, 거짓을 판단하는 데 중요하다.

어떤 술어를 만족하는 값만을 논의 영역으로 하기 위해 존재 양화에서는 논리곱을 사용한다. 예를 들어, "어떤 홀수 $n$에 대해, $n\backslash cdot\; n\; =\; 25$이다"라는 문장은 "어떤 자연수 $n$에 대해, $n$은 홀수이고, 또한 $n\backslash cdot\; n\; =\; 25$이다"라는 문장과 논리적으로 동치이다.

존재 기호는 영어 단어 'exist'에서 유래했다.

2.2. 참과 거짓

"어떤 자연수 $n$에 대해, $n\backslash times\; n=25$이다"라는 문장을 생각해 보자. 이 문장은 존재 양화사를 사용하는 단일 진술이다. 5는 자연수이고, 5를 n에 대입하면 $5\backslash times\; 5=25$라는 참인 명제가 만들어지므로, 이 문장은 참이다. 단 하나의 해의 존재는 이 존재 양화사가 참임을 증명하기에 충분하다.

반면에, "어떤 짝수 $n$에 대해, $n\backslash times\; n=25$이다"라는 문장은 짝수 해가 없기 때문에 거짓이다. 변수 n이 가질 수 있는 값을 지정하는 담화 영역은 진술의 참 또는 거짓에 매우 중요하다. 예를 들어, "어떤 양의 홀수 $n$에 대해, $n\backslash times\; n=25$이다"라는 문장은 "어떤 자연수 $n$에 대해, $n$은 홀수이고 $n\backslash times\; n=25$이다"라는 문장과 논리적 동치이다.

2.3. 논의 영역

존재 양화에서 변수가 가질 수 있는 값의 범위를 '논의 영역'이라고 한다. 논의 영역에 따라 문장의 참/거짓이 달라질 수 있다. 예를 들어, "∃x (x * x = 25)"는 x가 자연수일 때는 참이지만, x가 짝수일 때는 거짓이다.

"어떤 양의 홀수 n에 대해, n × n = 25이다"라는 문장은 "어떤 자연수 n에 대해, n은 홀수이고 n × n = 25이다"라는 문장과 논리적 동치이다.

3. 성질

존재 양화사는 다음과 같은 성질을 갖는다.

* [[존재 일반화|존재 도입]]: 명제 함수가 담화 영역의 특정 요소에 대해 참이면, 그 명제 함수가 참인 요소가 존재한다고 결론 내릴 수 있다.
* [[존재 제거|존재 인스턴스화]]: 피치 스타일 추론에서, 활성 하위 유도에 나타나지 않는 대상으로 존재 양화된 변수를 대체하여 새 하위 유도를 시작한다.
* 공집합: $\backslash exists\; \{x\}\{\backslash in\}\backslash varnothing\; \backslash ,\; P(x)$는 P(x)에 관계없이 항상 거짓이다. 공집합에는 어떤 설명의 x도 존재하지 않기 때문이다. 더 자세한 정보는 공허 진리를 참고하라.

3.1. 부정

Predicate^영어 함수 P(x)가 "x는 0보다 크고 1보다 작다"라고 할 때, 모든 자연수의 논의 영역 X에 대해 존재 양화 "0보다 크고 1보다 작은 자연수 x가 존재한다"는 다음과 같이 기호로 표현할 수 있다.

:$\backslash exists\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; P(x)$

하지만 이 명제는 거짓이다. 왜냐하면 "0보다 크고 1보다 작은 자연수 x는 없다"라고 표현할 수 있기 때문이다. 기호로는 다음과 같다.

:$\backslash lnot\backslash \; \backslash exists\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; P(x)$

어떤 명제가 참인 논의 영역의 요소가 존재하지 않는다면, 그 명제는 모든 요소에 대해 거짓이어야 한다. 즉,
:$\backslash exists\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; P(x)$
의 부정은 "모든 자연수 x에 대해, x는 0보다 크고 1보다 작지 않다"와 논리적으로 동등하다. 기호로는 다음과 같다.

:$\backslash forall\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; \backslash lnot\; P(x)$

일반적으로, 명제 함수의 존재 양화의 부정은 해당 명제 함수의 부정의 전칭 양화와 같다. 기호로는 다음과 같이 표현한다.

:$\backslash lnot\backslash \; \backslash exists\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; P(x)\; \backslash equiv\backslash \; \backslash forall\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; \backslash lnot\; P(x)$

이것은 드 모르간의 법칙을 술어 논리로 일반화한 것이다.

흔히 "모든 사람이 결혼하지 않았다"(즉, "결혼한 사람은 없다")라고 말하는 실수를 저지르는데, 이는 "모든 사람이 결혼한 것은 아니다"(즉, "결혼하지 않은 사람이 있다")를 의도한 것이다.

:$\backslash lnot\backslash \; \backslash exists\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; P(x)\; \backslash equiv\backslash \; \backslash forall\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; \backslash lnot\; P(x)\; \backslash not\backslash equiv\backslash \; \backslash lnot\backslash \; \backslash forall\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; P(x)\; \backslash equiv\backslash \; \backslash exists\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; \backslash lnot\; P(x)$

부정은 "어떤 것에 대해"가 아닌 "어떤 것도 ~하지 않다"라는 진술을 통해서 표현할 수도 있다.

:$\backslash nexists\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; P(x)\; \backslash equiv\; \backslash lnot\backslash \; \backslash exists\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; P(x)$

3.2. 추론 규칙

추론 규칙은 가설에서 결론으로의 논리적 단계를 정당화하는 규칙이다. 존재 양화사를 활용하는 몇 가지 추론 규칙은 다음과 같다.

* 존재 도입(∃I): 명제 함수가 담화 영역의 특정 요소에 대해 참인 것으로 알려져 있다면, 그 명제 함수가 참인 요소가 존재해야 한다고 결론 내린다. 기호로 나타내면 다음과 같다.

::$P(a)\; \backslash to\backslash \; \backslash exists\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; P(x)$

* 존재 인스턴스화(∃E): 피치 스타일의 추론으로 수행될 때, 활성 하위 유도에 나타나지 않는 대상에 대해 존재적으로 정량화된 변수를 대체하면서 새로운 하위 유도를 시작한다. 이 하위 유도 내에서 대체된 대상이 나타나지 않는 결론에 도달할 수 있다면, 해당 결론으로 해당 하위 유도를 종료할 수 있다. 존재 제거(∃E)의 이유는 다음과 같다. 명제 함수가 참인 요소가 존재한다는 것이 주어지고, 해당 요소에 임의의 이름을 부여하여 결론에 도달할 수 있다면, 해당 결론은 이름을 포함하지 않는 한 필연적으로 참이다. 기호로 나타내면, 임의의 c와 c가 나타나지 않는 명제 Q에 대해 다음과 같다.

::$\backslash exists\{x\}\{\backslash in\}\backslash mathbf\{X\}\backslash ,\; P(x)\; \backslash to\backslash \; ((P(c)\; \backslash to\backslash \; Q)\; \backslash to\backslash \; Q)$

:$P(c)\; \backslash to\backslash \; Q$는 동일한 영역 X에서 c의 모든 값에 대해 참이어야 한다. 그렇지 않으면 논리가 따르지 않는다. 만약 c가 임의의 것이 아니라 담화 영역의 특정 요소라면, P(c)를 언급하는 것은 해당 객체에 대한 더 많은 정보를 부당하게 제공할 수 있다.

3.3. 공집합

$\backslash exists\; \{x\}\{\backslash in\}\backslash varnothing\; \backslash ,\; P(x)$는 P(x)에 관계없이 항상 거짓이다. 이는 $\backslash varnothing$가 공집합을 나타내며, 어떤 설명의 x도 – 주어진 술어 P(x)를 충족하는 x는 말할 것도 없고 – 공집합에 존재하지 않기 때문이다. 더 자세한 정보는 공허 진리를 참고하라.

4. 수반 함자

범주론과 토포스 이론에서, 존재 양화는 집합 간 함수의 역상에 대한 멱집합 함자의 왼쪽 수반으로 이해될 수 있다.

5. 한국 사회에서의 함의

한국 사회는 다양한 배경과 가치관을 가진 사람들로 구성되어 있다. 존재 양화는 이러한 다양성 속에서 특정 조건을 만족하는 사람이 적어도 한 명 이상 존재한다는 것을 나타내는 데 사용될 수 있다.