존재 양화사

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1. 개요
2. 기본 원리
3. 성질
4. 수반 함자
5. 한국 사회에서의 함의
참조

1. 개요

존재 양화사는 형식 논리에서 사용되는 개념으로, 특정 조건을 만족하는 대상이 적어도 하나 존재한다는 것을 나타낸다. 기호 "∃"를 사용하여 표현하며, 수학적 증명은 구성적 증명 또는 비구성적 증명으로 이루어진다. 존재 양화사의 부정은 전칭 양화사와 동치 관계에 있으며, 존재 도입과 존재 제거와 같은 추론 규칙이 존재한다. 논의 영역에 따라 진술의 참/거짓이 달라지며, 범주론에서는 멱집합 함자의 왼쪽 수반으로 이해될 수 있다.

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존재 양화사
논리
종류	양화사
분야	수리 논리학
기호	∃
유니코드	U+2203
LaTeX	xists
설명	'∃x P(x)는 P(x)가 적어도 하나의 x 값에 대해 참일 때 참이다.'

2. 기본 원리

존재 양화는 "어떤" 또는 "적어도 하나"와 같은 표현으로 나타내어지며, 주어진 조건을 만족하는 대상이 하나 이상 존재함을 의미한다.

예를 들어 "어떤 자연수 $n$ 에 대해, $n\times n=25$ 이다"라는 문장은 5를 $n$ 에 대입하면 $5\times 5=25$ 가 되어 참이 된다. 이처럼 단 하나의 해만 존재해도 존재 양화는 참이 된다.^[9]

반면, "어떤 짝수 $n$ 에 대해, $n\times n=25$ 이다"라는 문장은 짝수 해가 없으므로 거짓이다. 이처럼 변수가 가질 수 있는 값의 범위, 즉 담화 영역은 진술의 참 또는 거짓에 매우 중요하다.^[9]

"어떤 양의 홀수 $n$ 에 대해, $n\times n=25$ 이다"라는 문장은 "어떤 자연수 $n$ 에 대해, $n$ 은 홀수이고 $n\times n=25$ 이다"라는 문장과 논리적 동치이다.^[9]

2. 1. 형식 논리에서의 표현

형식 논리에서 존재 양화를 나타내기 위해 "∃" (산세리프 글꼴을 뒤집은 문자 "E", 유니코드 U+2203) 기호를 사용한다.^[5] 예를 들어,

:

\exists{n} \in \mathbf{N}\, P(n,n,25)

라는 논리식은 "어떤 자연수

n

에 대해,

n\cdot n = 25

이다"를 나타낸다.

이는 "0·0 = 25, '''또는''' 1·1 = 25, '''또는''' 2·2 = 25, '''또는''' 3·3 = 25, 등등"과 같이 "또는"을 반복하는 논리합 형태보다 더 정확한 표현이다. "등등"과 같은 표현은 형식 논리에서 명확하게 정의되지 않기 때문이다.

5는 자연수이고, 5·5 = 25 이므로 위 명제는 참이다. "

n\cdot n = 25

"가 5 이외의 자연수

n

에서 거짓이 되는 것은 상관없다. 적어도 하나의 해가 존재하면 존재 양화는 참이 되기 때문이다.

반면, "어떤 짝수

n

에 대해,

n\cdot n = 25

이다"라는 문장은 짝수 해가 존재하지 않으므로 거짓이다. 이처럼 변수

n

이 가질 수 있는 값의 범위를 나타내는 논의 영역은 명제의 참, 거짓을 판단하는 데 중요하다.

어떤 술어를 만족하는 값만을 논의 영역으로 하기 위해 존재 양화에서는 논리곱을 사용한다. 예를 들어, "어떤 홀수

n

에 대해,

n\cdot n = 25

이다"라는 문장은 "어떤 자연수

n

에 대해,

n

은 홀수이고, 또한

n\cdot n = 25

이다"라는 문장과 논리적으로 동치이다.

존재 기호는 영어 단어 'exist'에서 유래했다.^[5]

2. 2. 참과 거짓

"어떤 자연수

n

에 대해,

n\times n=25

이다"라는 문장을 생각해 보자. 이 문장은 존재 양화사를 사용하는 단일 진술이다. 5는 자연수이고, 5를 ''n''에 대입하면

5\times 5=25

라는 참인 명제가 만들어지므로, 이 문장은 참이다. 단 하나의 해의 존재는 이 존재 양화사가 참임을 증명하기에 충분하다.^[9]

반면에, "어떤 짝수

n

에 대해,

n\times n=25

이다"라는 문장은 짝수 해가 없기 때문에 거짓이다. 변수 ''n''이 가질 수 있는 값을 지정하는 담화 영역은 진술의 참 또는 거짓에 매우 중요하다. 예를 들어, "어떤 양의 홀수

n

에 대해,

n\times n=25

이다"라는 문장은 "어떤 자연수

n

에 대해,

n

은 홀수이고

n\times n=25

이다"라는 문장과 논리적 동치이다.^[9]

2. 3. 논의 영역

존재 양화에서 변수가 가질 수 있는 값의 범위를 '논의 영역'이라고 한다. 논의 영역에 따라 문장의 참/거짓이 달라질 수 있다.^[9] 예를 들어, "∃x (x * x = 25)"는 x가 자연수일 때는 참이지만, x가 짝수일 때는 거짓이다.

"어떤 양의 홀수 ''n''에 대해, ''n'' × ''n'' = 25이다"라는 문장은 "어떤 자연수 ''n''에 대해, ''n''은 홀수이고 ''n'' × ''n'' = 25이다"라는 문장과 논리적 동치이다.

3. 성질

존재 양화사는 다음과 같은 성질을 갖는다.

존재 도입: 명제 함수가 담화 영역의 특정 요소에 대해 참이면, 그 명제 함수가 참인 요소가 존재한다고 결론 내릴 수 있다.
존재 인스턴스화: 피치 스타일 추론에서, 활성 하위 유도에 나타나지 않는 대상으로 존재 양화된 변수를 대체하여 새 하위 유도를 시작한다.
공집합: $\exists {x}{\in}\varnothing \, P(x)$ 는 ''P''(''x'')에 관계없이 항상 거짓이다. 공집합에는 어떤 설명의 ''x''도 존재하지 않기 때문이다. 더 자세한 정보는 공허 진리를 참고하라.

3. 1. 부정

Predicate^영어 함수 ''P''(''x'')가 "''x''는 0보다 크고 1보다 작다"라고 할 때, 모든 자연수의 논의 영역 ''X''에 대해 존재 양화 "0보다 크고 1보다 작은 자연수 ''x''가 존재한다"는 다음과 같이 기호로 표현할 수 있다.

:

\exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)

하지만 이 명제는 거짓이다. 왜냐하면 "0보다 크고 1보다 작은 자연수 ''x''는 없다"라고 표현할 수 있기 때문이다. 기호로는 다음과 같다.

:

\lnot\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)

어떤 명제가 참인 논의 영역의 요소가 존재하지 않는다면, 그 명제는 모든 요소에 대해 거짓이어야 한다. 즉,

:

\exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)

의 부정은 "모든 자연수 ''x''에 대해, ''x''는 0보다 크고 1보다 작지 않다"와 논리적으로 동등하다. 기호로는 다음과 같다.

:

\forall{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot P(x)

일반적으로, 명제 함수의 존재 양화의 부정은 해당 명제 함수의 부정의 전칭 양화와 같다. 기호로는 다음과 같이 표현한다.

:

\lnot\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \equiv\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot P(x)

이것은 드 모르간의 법칙을 술어 논리로 일반화한 것이다.

흔히 "모든 사람이 결혼하지 않았다"(즉, "결혼한 사람은 없다")라고 말하는 실수를 저지르는데, 이는 "모든 사람이 결혼한 것은 아니다"(즉, "결혼하지 않은 사람이 있다")를 의도한 것이다.

:

\lnot\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \equiv\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot P(x) \not\equiv\ \lnot\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \equiv\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot P(x)

부정은 "어떤 것에 대해"가 아닌 "어떤 것도 ~하지 않다"라는 진술을 통해서 표현할 수도 있다.

:

\nexists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \equiv \lnot\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)

3. 2. 추론 규칙

추론 규칙은 가설에서 결론으로의 논리적 단계를 정당화하는 규칙이다. 존재 양화사를 활용하는 몇 가지 추론 규칙은 다음과 같다.

존재 도입(∃I): 명제 함수가 담화 영역의 특정 요소에 대해 참인 것으로 알려져 있다면, 그 명제 함수가 참인 요소가 존재해야 한다고 결론 내린다. 기호로 나타내면 다음과 같다.

::

P(a) \to\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)

존재 인스턴스화(∃E): 피치 스타일의 추론으로 수행될 때, 활성 하위 유도에 나타나지 않는 대상에 대해 존재적으로 정량화된 변수를 대체하면서 새로운 하위 유도를 시작한다. 이 하위 유도 내에서 대체된 대상이 나타나지 않는 결론에 도달할 수 있다면, 해당 결론으로 해당 하위 유도를 종료할 수 있다. 존재 제거(∃E)의 이유는 다음과 같다. 명제 함수가 참인 요소가 존재한다는 것이 주어지고, 해당 요소에 임의의 이름을 부여하여 결론에 도달할 수 있다면, 해당 결론은 이름을 포함하지 않는 한 필연적으로 참이다. 기호로 나타내면, 임의의 ''c''와 ''c''가 나타나지 않는 명제 ''Q''에 대해 다음과 같다.

::

\exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \to\ ((P(c) \to\ Q) \to\ Q)

:

P(c) \to\ Q

는 동일한 영역 ''X''에서 ''c''의 모든 값에 대해 참이어야 한다. 그렇지 않으면 논리가 따르지 않는다. 만약 ''c''가 임의의 것이 아니라 담화 영역의 특정 요소라면, ''P''(''c'')를 언급하는 것은 해당 객체에 대한 더 많은 정보를 부당하게 제공할 수 있다.

3. 3. 공집합

\exists {x}{\in}\varnothing \, P(x)

는 ''P''(''x'')에 관계없이 항상 거짓이다. 이는

\varnothing

가 공집합을 나타내며, 어떤 설명의 ''x''도 – 주어진 술어 ''P''(''x'')를 충족하는 ''x''는 말할 것도 없고 – 공집합에 존재하지 않기 때문이다. 더 자세한 정보는 공허 진리를 참고하라.

4. 수반 함자

범주론과 토포스 이론에서, 존재 양화는 집합 간 함수의 역상에 대한 멱집합 함자의 왼쪽 수반으로 이해될 수 있다.^[6]

5. 한국 사회에서의 함의

한국 사회는 다양한 배경과 가치관을 가진 사람들로 구성되어 있다. 존재 양화는 이러한 다양성 속에서 특정 조건을 만족하는 사람이 적어도 한 명 이상 존재한다는 것을 나타내는 데 사용될 수 있다.

참조

_[1] 서적 The Logic Book McGraw Hill 2014
_[2] 웹사이트 Predicates and Quantifiers https://www.csm.ornl[...] 2020-09-04
_[3] 웹사이트 1.2 Quantifiers https://www.whitman.[...] 2020-09-04
_[4] 서적 Logic Primer https://books.google[...] MIT Press 2001
_[5] 서적 Clash of Symbols http://link.springer[...] Springer Cham
_[6] 서적 Sheaves in Geometry and Logic Springer-Verlag
_[7] 서적 A History of Mathematical Notations "{{google books|plai[...] Dover
_[8] 간행물
_[9] 서적 수학기초론 岩波書店

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