슈뢰딩거-HJW 정리

1. 개요

슈뢰딩거-HJW 정리는 섞인 양자 상태의 순화에 대한 정리이다. 섞인 양자 상태를 더 큰 힐베르트 공간에서의 순수 상태로 표현하는 순화는 유일하지 않으며, 보조 공간과 기저의 선택에 따라 달라진다. 섞인 양자 상태를 두 가지 다른 순수 상태 앙상블로 표현할 경우, 해당 순화들은 보조 공간에서 작용하는 유니터리 변환에 의해서만 다르다. 이는 순화 시스템에서 서로 다른 측정을 수행함으로써 섞인 상태의 다양한 앙상블을 실현할 수 있음을 의미한다.

2. 섞인 양자 상태의 순화

$\backslash mathcal\; H\_S$가 유한차원 복소 힐베르트 공간일 때, $\backslash mathcal\; H\_S$에서 정의된 일반적인(섞인 상태일 수 있는) 양자 상태 $\backslash rho$는 다음과 같이 분해될 수 있다.
$$\backslash rho=\backslash sum\_i\; p\_i|\backslash phi\_i\backslash rangle\backslash !\backslash langle\backslash phi\_i|$$
여기서 $|\backslash phi\_i\backslash rangle\backslash in\backslash mathcal\; H\_S$는 (반드시 상호 직교할 필요는 없는) 상태들이고, 계수들은 $\backslash sum\_i\; p\_i=1$이고 $p\_i\backslash ge0$이다. 임의의 양자 상태는 적당한 $\backslash \{|\backslash phi\_i\backslash rangle\backslash \}\_i$과 $\backslash \{p\_i\backslash \}\_i$에 대해 이러한 방식으로 작성될 수 있다.

이러한 $\backslash rho$는 순화될 수 있는데, 즉 더 큰 힐베르트 공간에서 정의된 순수 상태의 부분 대각합으로 표현된다. 더 정확하게는, (유한차원) 힐베르트 공간 $\backslash mathcal\; H\_A$과 $\backslash rho\; =\; \backslash operatorname\{Tr\}\_A(|\backslash Psi\_\{SA\}\backslash rangle\backslash !\backslash langle\backslash Psi\_\{SA\}|)$인 순수 상태 $|\backslash Psi\_\{SA\}\backslash rangle\backslash in\; \backslash mathcal\; H\_S\backslash otimes\backslash mathcal\; H\_A$을 찾는 것이 항상 가능하다. 이를 만족시키는 상태 $|\backslash Psi\_\{SA\}\backslash rangle$들은 모두 다음 형식이다.
$$|\backslash Psi\_\{SA\}\backslash rangle=\backslash sum\_i\backslash sqrt\{p\_i\}|\backslash phi\_i\backslash rangle\; \backslash otimes\; |a\_i\backslash rangle$$
여기서 $\backslash \{|a\_i\backslash rangle\backslash \}\_i\backslash subset\backslash mathcal\; H\_A$는 직교 기저이다. 이 상태 $|\backslash Psi\_\{SA\}\backslash rangle$는 '$\backslash rho$의 순화'라고 부른다.

보조 공간과 기저를 임의로 선택할 수 있기 때문에, 주어진 섞인 상태에 대해 무한히 많은 순화가 가능하다.

2.1. 순화의 유일성

두 순화 $|\backslash Psi\backslash rangle,\; |\backslash Psi\text{'}\backslash rangle\; \backslash in\; \backslash mathcal\; H\_S\; \backslash otimes\; \backslash mathcal\; H\_A$가 주어지면, 이들은 모두 위에 주어진 형태의 분해를 허용하므로, 항상 다음을 만족하는 유니터리 연산자 $U\; :\; \backslash mathcal\; H\_A\; \backslash to\; \backslash mathcal\; H\_A$가 존재한다.

$$|\backslash Psi\text{'}\backslash rangle\; =\; (I\; \backslash otimes\; U)\; |\backslash Psi\backslash rangle$$

3. 정리

섞인 상태 $\backslash rho$가 순수 상태 앙상블 $\backslash rho\; =\; \backslash sum\_i\; p\_i\; |\backslash phi\_i\backslash rangle\backslash langle\backslash phi\_i|$ 및 $\backslash rho\; =\; \backslash sum\_j\; q\_j\; |\backslash varphi\_j\backslash rangle\backslash langle\backslash varphi\_j|$로 두 가지 다르게 표현될 수 있다고 가정한다. 여기서 $|\backslash phi\_i\backslash rangle$과 $|\backslash varphi\_j\backslash rangle$는 상호 직교한다고 가정하지 않는다.

이러한 섞인 상태 $\backslash rho$에 대해서는 두가지의 순화가 존재하며, 각 순화는 다음과 같다.

:$|\backslash Psi\_\{SA\}^1\backslash rangle=\backslash sum\_i\backslash sqrt\{p\_i\}|\backslash phi\_i\backslash rangle\; \backslash otimes\; |a\_i\backslash rangle$
:$|\backslash Psi\_\{SA\}^2\backslash rangle=\backslash sum\_j\backslash sqrt\{q\_j\}|\backslash varphi\_j\backslash rangle\; \backslash otimes\; |b\_j\backslash rangle$

집합 $\backslash \{|a\_i\backslash rangle\backslash \}$와 $\backslash \{|b\_j\backslash rangle\backslash \}$는 각 보조 공간의 정규 직교 기저이다. 이 두 가지 순화는 보조 공간에 작용하는 유니터리 변환에 의해서만 다르다. 즉, $|\backslash Psi^1\_\{SA\}\backslash rangle\; =\; (I\backslash otimes\; U\_A)|\backslash Psi^2\_\{SA\}\backslash rangle$인 유니터리 행렬 $U\_A$가 존재한다. 결과적으로, $|\backslash Psi\_\{SA\}^1\backslash rangle\; =\; \backslash sum\_j\; \backslash sqrt\{q\_j\}|\backslash varphi\_j\backslash rangle\backslash otimes\; U\_A|b\_j\backslash rangle$이며, 이는 순화 시스템에서 서로 다른 측정을 수행함으로써 섞인 상태의 다양한 앙상블을 실현할 수 있음을 의미한다.

3.1. 순화 1

섞인 양자 상태 $\backslash rho$가 순수 상태의 앙상블로서 두 가지 다른 구현 $\backslash rho\; =\; \backslash sum\_i\; p\_i\; |\backslash phi\_i\backslash rangle\backslash langle\backslash phi\_i|$, $\backslash rho\; =\; \backslash sum\_j\; q\_j\; |\backslash varphi\_j\backslash rangle\backslash langle\backslash varphi\_j|$을 가진다고 가정하자. 여기서 $|\backslash phi\_i\backslash rangle$들과 $|\backslash varphi\_j\backslash rangle$들은 서로 직교한다고 가정되지 않는다. 그러면 섞인 상태 $\backslash rho$의 두 가지 해당 순화는 다음과 같다.

* 순화 1: $|\backslash Psi\_\{SA\}^1\backslash rangle=\backslash sum\_i\backslash sqrt\{p\_i\}|\backslash phi\_i\backslash rangle\; \backslash otimes\; |a\_i\backslash rangle$
* 순화 2: $|\backslash Psi\_\{SA\}^2\backslash rangle=\backslash sum\_j\backslash sqrt\{q\_j\}|\backslash varphi\_j\backslash rangle\; \backslash otimes\; |b\_j\backslash rangle$

$\backslash \{|a\_i\backslash rangle\backslash \}$과 $\backslash \{|b\_j\backslash rangle\backslash \}$는 각 보조 공간의 정규 직교 기저이다. 이 두 가지 순화는 보조 공간에 작용하는 유니터리 변환, 즉 $|\backslash Psi^1\_\{SA\}\backslash rangle\; =\; (I\backslash otimes\; U\_A)|\backslash Psi^2\_\{SA\}\backslash rangle$인 유니터리 행렬 $U\_A$이 존재한다는 점에서만 다르다. 그러므로, $|\backslash Psi\_\{SA\}^1\backslash rangle\; =\; \backslash sum\_j\; \backslash sqrt\{q\_j\}|\backslash varphi\_j\backslash rangle\backslash otimes\; U\_A|b\_j\backslash rangle$이다. 이는 순화 시스템에서 서로 다른 측정을 수행함으로써 섞인 상태의 다양한 앙상블을 실현할 수 있음을 의미한다.

3.2. 순화 2

섞인 양자 상태 $\backslash rho$를 순수 상태의 앙상블로 구현하는 두 가지 다른 방법 $\backslash rho\; =\; \backslash sum\_i\; p\_i\; |\backslash phi\_i\backslash rangle\backslash langle\backslash phi\_i|$와 $\backslash rho\; =\; \backslash sum\_j\; q\_j\; |\backslash varphi\_j\backslash rangle\backslash langle\backslash varphi\_j|$를 생각해보자. 여기서 $|\backslash phi\_i\backslash rangle$와 $|\backslash varphi\_j\backslash rangle$는 서로 직교하지 않아도 된다. 이 섞인 상태 $\backslash rho$에는 다음과 같은 두 가지 순화가 대응된다.

* 순화 1: $|\backslash Psi\_\{SA\}^1\backslash rangle=\backslash sum\_i\backslash sqrt\{p\_i\}|\backslash phi\_i\backslash rangle\; \backslash otimes\; |a\_i\backslash rangle$
* 순화 2: $|\backslash Psi\_\{SA\}^2\backslash rangle=\backslash sum\_j\backslash sqrt\{q\_j\}|\backslash varphi\_j\backslash rangle\; \backslash otimes\; |b\_j\backslash rangle$

여기서 $\backslash \{|a\_i\backslash rangle\backslash \}$와 $\backslash \{|b\_j\backslash rangle\backslash \}$는 각각 보조 공간의 정규 직교 기저이다. 이 두 순화는 보조 공간에 작용하는 유니터리 변환에 의해서만 달라진다. 즉, $|\backslash Psi^1\_\{SA\}\backslash rangle\; =\; (I\backslash otimes\; U\_A)|\backslash Psi^2\_\{SA\}\backslash rangle$를 만족하는 유니터리 행렬 $U\_A$가 존재한다. 따라서 $|\backslash Psi\_\{SA\}^1\backslash rangle\; =\; \backslash sum\_j\; \backslash sqrt\{q\_j\}|\backslash varphi\_j\backslash rangle\backslash otimes\; U\_A|b\_j\backslash rangle$가 성립한다. 이는 순화 시스템에서 서로 다른 측정을 수행함으로써 섞인 상태의 다양한 앙상블을 얻을 수 있음을 의미한다.