복소수

1. 개요

복소수는 실수와 허수 단위 i를 사용하여 a + bi 형태로 표현되는 수이다. 복소수는 실수부와 허수부로 구성되며, 복소 평면(아르강 도표) 상의 점으로 나타낼 수 있다. 복소수는 직교 형식, 극형식, 지수 형식으로 표현 가능하며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등의 연산이 가능하다. 복소수는 다양한 수학 및 과학 분야에서 활용되며, 특히 복소해석학은 복소수를 변수로 하는 함수를 연구하며, 신호 처리, 제어 이론, 전자기학, 양자역학 등 여러 분야에 응용된다. 복소수는 대수적으로 닫힌 체이며, 대수적 수와 초월수로 분류된다.

2. 정의

복소수체는 실수체에 허수 단위 i를 추가하여 구성되며, 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

복소수체의 가장 기본적인 정의는 실수 순서쌍 (a, b)의 집합으로 정의하고, 덧셈과 곱셈 연산을 다음과 같이 정의하는 것이다.
* $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\backslash qquad\; a,b,c,d\backslash in\backslash mathbb\; R$
* $(a,b)\backslash cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\backslash qquad\; a,b,c,d\backslash in\backslash mathbb\; R$
여기서 허수 단위 $i$는 $(0,1)$로 정의되며, $i^2\; =\; -1$을 만족한다.

복소수체는 다음과 같이 여러 가지 방법으로 정의될 수 있으며, 이들은 서로 동형이다.
* 행렬 대수 $\backslash operatorname\{Mat\}(2;\backslash mathbb\; R)$의 부분 대수:
:
* 실수체 $\backslash mathbb\; R$의 이차 형식 $Q\backslash colon\; x\backslash mapsto\; -x^2$에 대한 클리퍼드 대수 $\backslash operatorname\{Cliff\}(\backslash mathbb\; R,Q;\backslash mathbb\; R)$
* 몫환:
:$\backslash mathbb\; R[x]/(x^2+1)=\backslash \{a+bx+(x^2+1)\backslash colon\; a,b,\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash \}$
* 실수체 $\backslash mathbb\; R$의 대수적 폐포 $\backslash bar\backslash mathbb\; R$

2.1. 기본 정의

field of complex numbers^영어 $\backslash mathbb\; C$는 $\backslash mathbb\; R$-대수 $\backslash mathbb\; R$의 케일리-딕슨 대수 $\backslash operatorname\{CD\}(\backslash mathbb\; R)$에서 체의 구조만을 기억하여 얻는 체이다.

복소수는 $a\; +\; bi$ 형태의 표현으로, 여기서 $a$와 $b$는 실수이고, $i$는 허수 단위이다. 예를 들어, $2\; +\; 3i$는 복소수이다.

복소수 $a\; +\; bi$에서 실수 $a$는 '실수부', 실수 $b$는 '허수부'라고 한다. 복소수 $z$의 실수부는 $\backslash operatorname\{Re\}(z)$, $\backslash mathcal\{Re\}(z)$, 또는 $\backslash mathfrak\{R\}(z)$로, 허수부는 $\backslash operatorname\{Im\}(z)$, $\backslash mathcal\{Im\}(z)$, 또는 $\backslash mathfrak\{I\}(z)$로 표시한다. 예를 들어, $\backslash operatorname\{Re\}(2\; +\; 3i)\; =\; 2$, $\backslash operatorname\{Im\}(2\; +\; 3i)\; =\; 3$이다.

복소수 $z$는 실수 순서쌍 $(\backslash Re\; (z),\backslash Im\; (z))$과 동일시될 수 있으며, 이는 복소 평면 또는 아르강 도표의 점의 좌표로 해석될 수 있다.

실수 $a$는 허수부가 0인 복소수 $a\; +\; 0i$로 간주될 수 있다. 순수 허수 $bi$는 실수부가 0인 복소수 $0\; +\; bi$이다. $a\; +\; 0i\; =\; a$, $0\; +\; bi\; =\; bi$, 및 $a\; +\; (-b)i\; =\; a\; -\; bi$로 쓰는 것이 일반적이다. 예를 들어, $3\; +\; (-4)i\; =\; 3\; -\; 4i$이다.

모든 복소수의 집합은 $\backslash Complex$ (블랙보드 볼드) 또는 $\backslash mathbb\{C\}$ (직립 볼드)로 표시된다.

전자기학 및 전기 공학과 같은 일부 분야에서는 $i$가 전류를 자주 나타내므로, $i$ 대신 $j$를 사용하고, 복소수는 $a\; +\; bj$ 또는 $a\; +\; jb$로 작성한다.

1835년 해밀턴에 의해 음수의 제곱근을 사용하지 않는 복소수의 정의가 주어졌다.

실수의 순서쌍 $(a,\; b)$ 및 $(c,\; d)$에 대해 합과 곱을
:$(a,\; b)\; +\; (c,\; d)\; =\; (a\; +\; c,\; b\; +\; d)$
:$(a,\; b)\; \backslash times\; (c,\; d)\; =\; (ac\; -\; bd,\; ad\; +\; bc)$
로 정의할 때, $(a,\; b)$를 복소수라고 한다. 실수 $a$는 $(a,\; 0)$으로 표시되고, 허수 단위 $i$는 $(0,\; 1)$에 해당한다. 이 때, $\backslash mathbb\{R\}^2$는 $+,\; \backslash times$에 관해 체가 되며, 영원은 $(0,\; 0)$, 단위원은 $(1,\; 0)$이다.

2.2. 선형대수학적 정의

복소수체는 2×2 실행렬의 부분 대수로 표현될 수 있다. 복소수 $a\; +\; bi$는 다음과 같은 형태의 2×2 행렬로 나타낼 수 있다.

:$$
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}


여기서 a와 b는 실수이다. 이러한 두 행렬의 합과 곱도 다시 이러한 형태이므로, 이 행렬들은 2×2 행렬의 환의 부분환을 이룬다.

다음 사상은 복소수체에서 이 행렬의 환으로의 환 동형사상이며, 이 행렬들이 체를 이룬다는 것을 증명한다.

:$a+ib\backslash mapsto\; \backslash begin\{pmatrix\}$
a & -b \\
b & \;\; a
\end{pmatrix}

이 동형사상은 복소수의 절댓값의 제곱을 해당 행렬의 행렬식과, 복소수의 켤레복소수를 행렬의 전치 행렬과 연결한다.

복소수 곱셈의 기하학적 설명은 복소수와 이러한 행렬 사이의 대응 관계를 사용하여 회전 행렬의 관점에서 표현할 수도 있다. 행렬이 벡터 (x, y)에 작용하는 것은 x + iy에 a + ib를 곱하는 것과 같다. 특히, 행렬식이 1인 경우, 행렬은 다음과 같은 형태를 갖는 실수 t가 존재한다.

:$\backslash begin\{pmatrix\}$
\cos t & - \sin t \\
\sin t & \;\; \cos t
\end{pmatrix}.

이 경우, 벡터에 대한 행렬의 작용과 복소수 $\backslash cos\; t+i\backslash sin\; t$에 의한 곱셈은 모두 각도 t의 회전이다.

복소수 $z\; =\; a\; +\; bi$의 표현 행렬을 A라고 하면, A의 행렬식은 다음과 같다.

:$det\; A\; =\; a^2\; +\; b^2\; =\; |z|^2$

이는 대응하는 복소수의 절댓값의 제곱이다.

복소수의 이 행렬 표현은 자주 사용되지만, 허수 단위 i에 대응하는 행렬을 다른 것으로 바꿔도 복소수의 다른 행렬 표현을 무수히 생각할 수 있다.

2.3. 가환대수학적 정의

복소수체의 대수적인 구조는 체와 다항식의 개념을 통해 자연스럽게 구성할 수 있다.

복소수체는 실수체 위의 다항식환의 몫환으로 표현될 수 있다. 구체적으로, 복소수체 $\backslash mathbb\; C$는 다음과 같은 몫환과 동형이다.
:$\backslash mathbb\; R[x]/(x^2+1)=\backslash \{a+bx+(x^2+1)\backslash colon\; a,b,\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash \}$
이 경우, 실수 단위와 허수 단위는 각각 다음과 같다.
:$1=1+(x^2+1)$
:$i=x+(x^2+1)$

체란 사칙연산이 가능하고 잘 알려진 계산법칙을 만족하는 것이다(예: 유리수체 등). 실수 전체의 집합 $\backslash mathbb\; R$은 체이다. 또한, 계수체가 $\backslash mathbb\; R$인 다항식 전체의 집합 $\backslash mathbb\{R\}[X]$는 통상적인 덧셈, 곱셈에 대해 환을 이룬다(다항식환이라고 불린다)는 점에 유의한다.

잉여환 $\backslash mathbb\{R\}[X]/(X^2\; +\; 1)$은 $\backslash mathbb\; R$을 포함하는 체임을 보일 수 있다. 이 확대체에서 $X,\; -X$(에 속하는 잉여류)는 $-1$의 제곱근이다. 이 잉여환의 임의의 원소는, 다항식의 나눗셈 정리에 의해 $a\; +\; bX$($a,\; b$는 실수)의 형태를 대표원으로 유일하게 가진다. 따라서, $\backslash mathbb\{R\}[X]/(X^2\; +\; 1)$는 $\backslash mathbb\; R$ 위의 2차원 벡터 공간이며, $(1,\; X)$(에 속하는 잉여류)는 그 기저이다.

$\backslash mathbb\{R\}[X]/(X^2\; +\; 1)$의 원소(잉여류) $a\; +\; bX$($a,\; b$는 실수)를 실수 순서쌍 $(a,\; b)$에 대응시키면, 앞 절에서 언급한 체를 얻을 수 있다. 이 두 체는 체 동형이다.

2.4. 체론적 정의

복소수체 $\backslash mathbb\; C$는 실수체 $\backslash mathbb\; R$의 대수적 폐포 $\backslash bar\backslash mathbb\; R$와 동형이다. 이 경우, 실수 단위는 자명하며, 허수 단위는 방정식 $x^2+1=0$의 두 근 가운데 아무 하나를 취하면 된다.

3. 표기

복소수는 직교 형식, 극형식, 지수 형식 등 다양한 방법으로 표현될 수 있다.

* 직교 형식: 복소수 $z$는 실수 $x$, $y$를 사용하여 $z\; =\; x\; +\; iy$와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 $x$는 실수부, $y$는 허수부라고 하며, 복소수의 덧셈과 뺄셈에서 편리하게 쓰인다.

* 극형식: 복소 평면 상의 점을 원점으로부터의 거리와 각도를 이용하여 나타내는 방식이다. 복소수 $z$는 $z\; =\; r(\backslash cos\backslash theta\; +\; i\backslash sin\backslash theta)$와 같이 표현된다. 여기서 $r$은 절댓값, $\backslash theta$는 편각이라고 하며, 복소수의 곱셈과 나눗셈에서 편리하게 쓰인다.

* 지수 형식: 오일러 공식 $e^\{i\backslash theta\}=\backslash cos\backslash theta+i\backslash sin\backslash theta$에 따라, 복소수 $z$는 $z\; =\; re^\{i\backslash theta\}$와 같이 표현된다. 복소수의 곱셈과 나눗셈에서 편리하게 쓰인다.

복소수 $z$의 직교 형식, 극형식, 지수 형식이 $z=x+iy=r(\backslash cos\backslash theta+i\backslash sin\backslash theta)=re^\{i\backslash theta\}$ ($x,y,r,\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R,\backslash ;r\backslash ge0$)와 같을 때, 다음과 같은 단항 연산들을 정의할 수 있다.

* 실수부: $\backslash operatorname\{Re\}z=x=r\backslash cos\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R$
* 허수부: $\backslash operatorname\{Im\}z=y=r\backslash sin\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R$
* 절댓값: $|z|=\backslash sqrt\{x^2+y^2\}=r\backslash in[0,\backslash infty)$
* 편각: $\backslash operatorname\{arg\}z=\backslash operatorname\{atan2\}(y,x)=\backslash theta\backslash ,\backslash operatorname\{mod\}\backslash ,2\backslash pi\backslash in(-\backslash pi,\backslash pi]$
* 켤레 복소수 ($z\backslash ne0$): $\backslash bar\; z=x-iy=re^\{-i\backslash theta\}\backslash in\backslash mathbb\; C$

이러한 기호들을 사용하여 복소수의 세 가지 형식을 다시 쓰면 $z=\backslash operatorname\{Re\}z+i\backslash operatorname\{Im\}z=|z|(\backslash cos\backslash operatorname\{arg\}z+i\backslash sin\backslash operatorname\{arg\}z)=|z|e^\{i\backslash operatorname\{arg\}z\}$와 같다.

3.1. 복소평면

복소수는 데카르트 좌표계나 극좌표계를 갖춘 2차원 유클리드 평면의 점 또는 벡터와 일대일 대응하는데, 이러한 평면을 복소평면이라고 한다. 복소평면은 카를 프리드리히 가우스의 이름을 따서 가우스 평면, 또는 장-로베르 아르강의 이름을 따서 아르강 도표라고도 불린다.

복소수 (는 실수)는 실수쌍 에 일대일 대응하므로, 복소수 집합 는 를 로 간주하여 좌표 평면으로 생각할 수 있다.

복소 평면에서 좌표는 실수부에, 좌표는 허수부에 대응하며, 축(가로축)을 실축(real axis), 축(세로축)을 허축(imaginary axis)이라고 부른다.

복소수 에 대하여
:
라고 하면, 는 거리 공간이 된다. 이 거리는 좌표 평면에서의 유클리드 거리에 대응한다. 복소 평면은 복소수 계산을 시각화할 수 있으며, 수직선의 개념을 확장한 것이다.

복소수 (는 실수)에서, 직교 좌표계 에 대응하는 극좌표계를 라고 할 때,
:
(삼각 함수 표시)
로 나타낼 수 있다. 이 표시식을 극형식 (polar form)이라고 한다. 는 의 절대값, 는 의 편각이다. 을 제외하고, 이 표시는 유일하다.

극형식으로부터 원래의 직교 좌표를 복원하려면, 삼각 함수 표시를 전개하면 된다.

오일러 공식을 사용하면, 이를
:
라고 쓸 수 있으며, 순허수 지수 함수를 사용하여
:
라고 쓰기도 한다.

전기 공학에서 진폭 과 위상 를 갖는 정현 신호를 나타내는 데에는 페이저 표시
:
가 자주 사용된다.

3.2. 직교 형식

복소수 $z$의 직교 형식(直交形式, cartesian form^영어)은 다음과 같다.

:$z=x+iy\backslash qquad\; x,y\backslash in\backslash mathbb\; R$

여기서 $x$를 실수부, $y$를 허수부라고 한다. 실수부와 허수부는 각각 복소수의 두 좌표축에 대한 사영과 같다. 복소수의 직교 형식은 복소수의 덧셈과 뺄셈에서 편리하게 쓰인다.

3.3. 극형식

복소수 $z$의 극형식(極形式, polar form^영어)은 다음과 같다.
:$z=r(\backslash cos\backslash theta+i\backslash sin\backslash theta)\backslash qquad\; r\backslash ge0,\backslash ;\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R$ (단, $\backslash cos\backslash theta=\backslash frac\{x\}\{\backslash sqrt\{x^2+y^2\}\}$, $\backslash sin\backslash theta=\backslash frac\{y\}\{\backslash sqrt\{x^2+y^2\}\}$)
여기서 $r$는 절댓값, $\backslash theta$는 편각이다. 절댓값은 복소수와 원점 사이의 거리와 같으며, 편각은 복소수와 원점의 연결선과 $x$축의 사잇각과 같다.

오일러 공식
:$e^\{i\backslash theta\}=\backslash cos\backslash theta+i\backslash sin\backslash theta$
에 따라, 복소수 $z$의 지수 형식(指數形式, exponential form^영어)을 얻을 수 있으며, 이는 다음과 같다.
:$z=re^\{i\backslash theta\}\backslash qquad\; r\backslash ge0,\backslash ;\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R$

복소수의 극형식과 지수 형식은 복소수의 곱셈과 나눗셈에서 편리하게 쓰인다.

--

복소수를 실수부와 허수부로 나타내는 것과는 별개로, 복소 평면상의 점 $P$를 원점 $O$로부터의 거리와, $OP$ 선분과 양의 실축이 이루는 각을 반시계 방향으로 측정한 쌍($P$의 극좌표)으로 나타내는 방법이 있다. 이를 통해 복소수의 극형식 개념이 도입된다.

복소수 $z\; =\; x\; +\; yi$ ($x$, $y$는 실수)에서, 직교 좌표계 $(x,\; y)$에 대응하는 극좌표계를 $(r,\; \backslash varphi)$ ($r\; \backslash ge\; 0$)라고 할 때,
:$z\; =\; r(\; \backslash cos\; \backslash varphi\; +\; i\backslash sin\; \backslash varphi\; )$ (삼각 함수 표시)
로 나타낼 수 있다. 이 표시식을 극형식이라고 한다. $r$은 $z$의 절댓값, $\backslash varphi$는 $z$의 편각이다. $0$을 제외하고, 이 표시는 유일하다.

극형식으로부터 원래의 직교 좌표를 복원하려면, 삼각 함수 표시를 전개하면 된다.

오일러 공식을 사용하면, 이를
:$z\; =\; re^\{i\backslash varphi\}$
라고 쓸 수 있으며, 순허수 지수 함수를 사용하여
:$z\; =\; r\; \backslash operatorname\{cis\}(\backslash varphi)$
라고 쓰기도 한다.

페이저 표시
:$z\; =\; r\; \backslash angle\; \backslash varphi$
는 전기 공학에서 진폭 $r$과 위상 $\backslash varphi$를 갖는 정현 신호를 나타내는 데 자주 사용된다.

실수 $\backslash theta$, 정수 $n$에 대하여,
:$(\backslash cos\; \backslash theta\; +\; i\backslash sin\; \backslash theta)^n\; =\; \backslash cos\; n\backslash theta\; +\; i\backslash sin\; n\backslash theta$
이 성립한다(드 무아브르의 정리). 오일러 공식에 의해
:$(e^\{i\backslash theta\})^n\; =\; e^\{in\backslash theta\}$
:$(\backslash exp\; i\backslash theta)^n\; =\; \backslash exp\; in\backslash theta$
라고 표현할 수도 있다. $n$이 정수가 아닐 때는 일반적으로 성립하지 않는다.

3.4. 지수 형식

오일러 공식
:$e^\{i\backslash theta\}=\backslash cos\backslash theta+i\backslash sin\backslash theta$
에 따라, 복소수 $z$의 지수 형식(指數形式, exponential form^영어)을 얻을 수 있으며, 이는 다음과 같다.
:$z=re^\{i\backslash theta\}\backslash qquad\; r\backslash ge0,\backslash ;\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R$
복소수의 극형식과 지수 형식은 복소수의 곱셈과 나눗셈에서 편리하게 쓰인다.

오일러 공식을 사용하면,
:$z\; =\; re^\{i\backslash varphi\}$
라고 쓸 수 있으며, 순허수 지수 함수를 사용하여
:$z\; =\; r\; \backslash operatorname\{cis\}\; (\backslash varphi)$
라고 쓰기도 한다.

페이저 표시
:$z\; =\; r\; \backslash angle\; \backslash varphi$
는 전기 공학에서 진폭 $r$과 위상 $\backslash varphi$를 갖는 정현 신호를 나타내는 데 자주 사용된다.

실수 $\backslash theta$, 정수 $n$에 대하여,
:$(\backslash cos\backslash theta\; +\; i\backslash sin\backslash theta)^n\; =\; \backslash cos\; n\backslash theta\; +\; i\backslash sin\; n\backslash theta$
이 성립한다(드 무아브르의 정리). 오일러 공식에 의해
:$(e^\{i\backslash theta\})^n\; =\; e^\{in\backslash theta\}$
:$(\backslash exp\; i\backslash theta)^n\; =\; \backslash exp\; in\backslash theta$
라고 표현할 수도 있다. $n$이 정수가 아닐 때는 일반적으로 성립하지 않는다.

3.5. 실수부, 허수부, 절댓값, 편각, 켤레 복소수

복소수의 연산 및 성질을 나타내는 데 사용되는 기본적인 개념은 다음과 같다.

복소수 $z$는 직교 형식으로 표현할 수 있다.
:$z=x+iy\backslash qquad\; x,y\backslash in\backslash mathbb\; R$
여기서 $x$는 실수부, $y$는 허수부라고 하며, 각각 복소수의 두 좌표축에 대한 사영과 같다.

복소수 $z$는 극형식으로도 표현할 수 있다.
:$z=r(\backslash cos\backslash theta+i\backslash sin\backslash theta)\backslash qquad\; r\backslash ge0,\backslash ;\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R$ (단, $\backslash cos\backslash theta=\backslash frac\{x\}\{\backslash sqrt\{x^2+y^2\}\}$, $\backslash sin\backslash theta=\backslash frac\{y\}\{\backslash sqrt\{x^2+y^2\}\}$)
여기서 $r$는 절댓값, $\backslash theta$는 편각이라고 한다.

오일러 공식
:$e^\{i\backslash theta\}=\backslash cos\backslash theta+i\backslash sin\backslash theta$
을 이용하면, 복소수 $z$를 지수 형식으로 나타낼 수 있다.
:$z=re^\{i\backslash theta\}\backslash qquad\; r\backslash ge0,\backslash ;\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R$

복소수 $z$의 직교 형식, 극형식, 지수 형식이 다음과 같다고 하자.
:$z=x+iy=r(\backslash cos\backslash theta+i\backslash sin\backslash theta)=re^\{i\backslash theta\}\backslash qquad\; x,y,r,\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R,\backslash ;r\backslash ge0$

이때, 다음과 같은 단항 연산들을 정의할 수 있다.

* $z$의 실수부는 실수 단위 1에 붙는 계수이다.
*: $\backslash operatorname\{Re\}z=x=r\backslash cos\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R$
* $z$의 허수부는 허수 단위 $i$에 붙는 계수이다.
*: $\backslash operatorname\{Im\}z=y=r\backslash sin\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R$
* $z$의 [[절댓값]]은 원점까지의 거리이며, 피타고라스 정리에 따라 다음과 같다.
*: $|z|=\backslash sqrt\{x^2+y^2\}=r\backslash in[0,\backslash infty)$
* $z$의 [[편각 (수학)|편각]]은 가로축과의 사잇각이다.
*: $\backslash operatorname\{arg\}z=\backslash operatorname\{atan2\}(y,x)=\backslash theta\backslash ,\backslash operatorname\{mod\}\backslash ,2\backslash pi\backslash in(-\backslash pi,\backslash pi]$
* $z\backslash ne0$의 [[켤레 복소수]]는 가로축에 대해 반사하여 얻는 복소수이다.
*: $\backslash bar\; z=x-iy=re^\{-i\backslash theta\}\backslash in\backslash mathbb\; C\backslash qquad\; z\backslash ne0$

위의 기호들을 사용하여 복소수의 세 가지 형식을 다시 쓰면 다음과 같다.
:$z=\backslash operatorname\{Re\}z+i\backslash operatorname\{Im\}z=|z|(\backslash cos\backslash operatorname\{arg\}z+i\backslash sin\backslash operatorname\{arg\}z)=|z|e^\{i\backslash operatorname\{arg\}z\}$

복소수의 실수부와 허수부는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$\backslash operatorname\{Re\}z=|z|\backslash cos\backslash operatorname\{arg\}z=\backslash frac\{z+\backslash bar\; z\}2$
:$\backslash operatorname\{Im\}z=|z|\backslash sin\backslash operatorname\{arg\}z=\backslash frac\{z-\backslash bar\; z\}\{2i\}$

복소수의 실수부와 허수부에 대해 다음 성질들이 성립한다.
* $\backslash operatorname\{Re\}(z\backslash pm\; w)=\backslash operatorname\{Re\}z\backslash pm\backslash operatorname\{Re\}w$
* $\backslash operatorname\{Im\}(z\backslash pm\; w)=\backslash operatorname\{Im\}z\backslash pm\backslash operatorname\{Im\}w$
* $\backslash operatorname\{Re\}(zw)=\backslash operatorname\{Re\}z\backslash operatorname\{Re\}w-\backslash operatorname\{Im\}z\backslash operatorname\{Im\}w$
* $\backslash operatorname\{Im\}(zw)=\backslash operatorname\{Re\}z\backslash operatorname\{Im\}w+\backslash operatorname\{Im\}z\backslash operatorname\{Re\}w$

복소수의 절댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$|z|=\backslash sqrt\{(\backslash operatorname\{Re\}z)^2+(\backslash operatorname\{Im\}z)^2\}=\backslash sqrt\{z\backslash bar\; z\}$

복소수의 절댓값은 노름을 이루며, 다음 성질들이 성립한다.
* $|z|\backslash ge0$
* $|z|=0\backslash iff\; z=0$
* $|z+w|\backslash le|z|+|w|$
* $|z+w|=|z|+|w|\backslash iff\; z\backslash bar\; w\backslash in[0,\backslash infty)$
* $|zw|=|z||w|$
* $\backslash left|\backslash frac\; zw\backslash right|=\backslash frac$

실수와 달리, $\backslash Complex$는 순서체가 아니다. 즉, 덧셈과 곱셈과 호환되는 관계를 정의할 수 없다. 실제로, 모든 순서체에서 임의의 원소의 제곱은 필연적으로 양수이므로 $\backslash Complex$에 대한 순서의 존재를 배제한다. $\backslash C$에서 사원수 $\backslash mathbb\; H$로 넘어가면 교환 법칙이 성립하지 않으며, 팔원수는 (교환 법칙이 성립하지 않는 것 외에도) 결합 법칙도 성립하지 않는다. 실수, 복소수, 사원수 및 팔원수는 모두 $\backslash mathbb\; R$ 위의 노름 나눗셈 대수이다. Hurwitz의 정리에 따르면, 이것이 유일하며, 케일리-딕슨 구성의 다음 단계인 십육원수는 이러한 구조를 갖지 못한다.

초복소수는 $\backslash mathbb\; R,$ $\backslash mathbb\; C,$ $\backslash mathbb\; H,$ 및 $\backslash mathbb\{O\}$을 일반화한다. 예를 들어, 이 개념에는 분할 복소수가 포함되며, 이는 링 $\backslash mathbb\; R[x]/(x^2-1)$의 원소이다(복소수의 경우 $\backslash mathbb\; R[x]/(x^2+1)$과 반대). 이 링에서 방정식은 4개의 해를 갖는다.

복소수는 실수체 위의 실수 단위, 허수 단위의 선형 결합이지만, 여기에 새로운 단위를 유한 개 더하여 가환체(일반적인 사칙 연산이 가능한 수의 체계)를 만들 수 없다. 실수체에서 확장하여 를 얻는 과정은 케일리-딕슨 구성법이라고 불린다. 이 과정을 밀고 나가면, 더 고차원의 사원수체, 팔원수체를 얻을 수 있다. 이들의 실수체 위의 선형 공간으로서의 차원은 각각이다. 이 문맥에서 복소수는 "이원수"(binarions)라고도 불린다.

주의해야 할 점은, 실수체에 케일리-딕슨 구성을 적용함으로써 순서에 관한 성질이 상실된다는 것이다. 더 고차원으로 진행하면 실수나 복소수에 관해 잘 알려진 성질이 상실될 것이다. 사원수는 유일한 비가환체이며(즉, 어떤 두 사원수에 대해 가 된다), 팔원수에서는 (비가환일 뿐만 아니라) 곱셈에 관한 결합 법칙도 상실된다(즉, 어떤 팔원수에 대해 가 된다). 일반적으로, 실수체 상의 노름多元體는 동형에 의한 차이를 제외하고, 실수체, 복소수체, 사원수체, 팔원수체의 4 종류밖에 없다. 케일리-딕슨 구성의 다음 단계에서 얻어지는 십육원수 환에서는 이 구조가 사라진다.

체, 및 이들의 유한 차원 확대체는 모두 국소체이다.

7. 성질

복소수체는 체의 공리, 대수적 폐체 등 중요한 성질들을 만족한다.

복소수 의 켤레 복소수는 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash overline\; z\; =\; x-yi.$
기하학적으로, 는 실수 축에 대한 의 반사이다. 두 번 켤레 복소수를 취하면 원래의 복소수가 된다. 즉, $\backslash overline\{\backslash overline\{z\}\}=z.$이다. 복소수가 자신의 켤레 복소수와 같을 때에만 실수이다.

모든 복소수 에 대해, 곱
:$z\; \backslash cdot\; \backslash overline\; z\; =\; (x+iy)(x-iy)\; =\; x^2\; +\; y^2$
는 음이 아닌 실수이다. 이를 통해 z의 절댓값(또는 크기)을 제곱근으로 정의할 수 있다.
:$$|z|=\backslash sqrt\{x^2+y^2\}.$$
피타고라스 정리에 의해, $|z|$는 복소 평면에서 복소수 z를 나타내는 점에서 원점까지의 거리이다.

켤레 복소수를 사용하여, 0이 아닌 복소수 $z\; =\; x\; +\; yi$의 역수는 다음과 같이 계산할 수 있다.
:$$$$
\frac{1}{z}
= \frac{\bar{z}}{z\bar{z}}
= \frac{\bar{z}}{|z|^2}
= \frac{x - yi}{x^2 + y^2}
= \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.

의 편각(때로는 "위상" 라고도 함)은 양의 실수 축과 반지름 사이의 각도이며, 라디안으로 표현된 로 표기한다. 각도는 $2\backslash pi$의 정수 배수를 더하는 것까지 정의되는데, 원점을 중심으로 $2\backslash pi$(또는 360°)만큼 회전하면 복소 평면의 모든 점이 변하지 않기 때문이다.

복소수는 다음과 같은 형태의 행렬로도 나타낼 수 있다.
:$$$$
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & \;\; a
\end{pmatrix}.

여기서 항목 와 는 실수이다. 이러한 두 행렬의 합과 곱도 다시 이러한 형태이므로, 이 행렬들은 행렬의 환의 부분환을 이룬다. 복소수 곱셈의 기하학적 설명은 복소수와 이러한 행렬 사이의 대응 관계를 사용하여 회전 행렬의 관점에서 표현할 수도 있다.

복소 지수 함수 또는 는 급수
:$\backslash exp\; z:=\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash displaystyle\; \backslash frac\{z^n\}\{n!\}\; =\; 1\; +\; z\; +\; \backslash frac\{z^2\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{z^3\}\{6\}\; +\; \backslash cdots$
로 정의된다. 이 급수의 수렴 반경은 이므로, 복소 지수 함수는 상의 정칙 함수(전체 함수)이다.

임의의 실수 에 대해 다음 등식(오일러 공식)이 성립한다.
:$\backslash exp\; i\backslash varphi\; =\; \backslash cos\; \backslash varphi\; +\; i\backslash sin\; \backslash varphi$

일반적인 복소 변수 로 확장한 코사인 함수 , 사인 함수 는 다음 식으로 정의할 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
\cos z &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \\
\sin z &= \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}
\end{align}
코사인 함수, 사인 함수는 전체 함수이다.

, 등의 쌍곡선 함수도 마찬가지로 복소 지수 함수에 의해 정의할 수 있다.

실함수의 경우와 달리, 복소수 에 관한 방정식
:$\backslash exp\; z\; =\; w$
는 임의의 영이 아닌 복소수 에 대해 무한 개의 복소수 해를 가진다. 그러한 해 , 즉 의 복소대수함수 는
:$\backslash log\; w\; =\; \backslash ln|w|\; +\; i\backslash arg\; w$
로 나타낼 수 있다. 단, 는 실함수로서의 자연로그이며, 는 전술한 편각이다.

복소수의 복소수 거듭제곱 는
:$z^\backslash omega\; =\; \backslash exp(\backslash omega\; \backslash log\; z)$
로 정의된다. 로그 함수는 다가 함수이므로, 그 결과로 복소수의 복소수 거듭제곱도 일반적으로 다가 함수가 된다.

7.1. 체 구조

복소수 전체로 이루어진 집합 는 가환체가 된다. 즉, 다음 사실이 성립한다.

* 닫힘: 임의의 두 복소수의 합과 곱은 다시 복소수가 된다.
* 역원의 존재: 임의의 복소수 z에 덧셈 역원 -z가 존재하며, 그것 또한 복소수이다.
* 역수의 존재: 임의의 0이 아닌 복소수에 대해 곱셈 역원 1/z가 존재한다.
* 추가로 몇 가지 법칙을 만족한다. 복소수 z₁, z₂, z₃에 대해
합의 교환 법칙: z₁ + z₂ = z₂ + z₁
합의 결합 법칙: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
곱의 교환 법칙: z₁z₂ = z₂z₁
곱의 결합 법칙: (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃)
** 분배 법칙: z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃

이러한 성질들은, 실수 전체로 이루어진 집합 가 가환체라는 사실을 바탕으로, 앞서 제시한 기본적인 합과 곱의 정의식으로부터 증명할 수 있다.

실수와 달리, 허수에는 통상적인 대소 관계 (z₁ < z₂)가 없다. 즉, 복소수체 는 순서체가 되지 않는다. 이는, 제곱하면 음수가 되는 수 (예: 허수 단위 i)가 존재하기 때문이다.

7.2. 위상적 특징

복소수체 $\backslash Complex$는 해석학 및 위상수학에서 중요하게 다루는 근접성과 연속성과 같은 성질을 갖추고 있다. 이러한 성질을 통해 $\backslash Complex$는 수렴 개념을 허용하는 위상을 갖춘 위상체로 설명할 수 있다.

$\backslash Complex$는 다음 세 가지 조건을 만족하는 영이 아닌 원소의 부분 집합 (양의 실수 집합)를 포함한다.

* 는 덧셈, 곱셈 및 역원에 대해 닫혀 있다.
* 와 가 의 서로 다른 원소이면 또는 가 에 속한다.
* 가 의 공집합이 아닌 임의의 부분 집합이면, 이며, 여기서 는 $\backslash Complex$에 속한다.

또한, $\backslash Complex$는 모든 영이 아닌 에 대해 가 에 속하는 비자명한 대합 자기 동형 사상 (복소 공액)을 갖는다.

이러한 속성을 가진 모든 체 는 집합 를 기저로 취함으로써 위상을 부여할 수 있으며, 여기서 는 체에 속하고 는 에 속한다. 이 위상을 갖춘 는 위상적 체로서 $\backslash Complex$와 동형이다.

유일한 연결된 국소 콤팩트 위상체는 $\backslash R$과 $\backslash Complex$이다. 영이 아닌 복소수가 연결되어 있는 반면, 영이 아닌 실수는 그렇지 않기 때문에 $\backslash Complex$는 $\backslash R$과 구별된다.

0이 아닌 복소수의 전체 는 복소수체 의 곱셈군 이며, 에서의 거리 공간으로서의 부분 위상 공간으로 보아 위상군을 이룬다. 또한, 절댓값 인 복소수 전체로 이루어진 군(원주군)는 그 부분 위상군이며, 사상

:$\backslash mathbb\{R/Z\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{U\};\backslash ;\; x\; +\; \backslash mathbb\{Z\}\; \backslash mapsto\; e^\{2\backslash pi\; ix\}$
및 사상
:$\backslash mathbb\{C\}^*\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}\_+^*\; \backslash times\; \backslash mathbb\{U\};\backslash ;\; re^\{i\backslash theta\}\; \backslash mapsto\; (r,e^\{i\backslash theta\})$
는 위상군으로서의 동형이다. 여기서, 는 몫 위상군, 는 양의 실수 전체가 곱셈에 대해 이루는 군이며, 는 위상 군의 곱을 나타낸다.

7.3. 대수적 특징

복소수체는 표수가 0이고, 대수적으로 닫혀 있으며, 초월 차수가 연속체 농도와 같다.

* 표수: 0이다. 이는 1을 아무리 여러 번 더해도 0이 되지 않음을 의미한다.
* 초월 차수: 소체 ℚ에 대한 초월 차수는 연속체 농도와 같다.
* 대수적 폐체: 복소수 계수를 갖는 모든 대수 방정식은 복소수 해를 갖는다. (대수학의 기본 정리)

이러한 성질을 만족하는 모든 체는 복소수체와 동형이다. 예를 들어, p-진수 체 ℚ_p의 대수적 폐포도 이 세 가지 성질을 만족하므로 복소수체와 동형이다.

복소수체는 복소 퓌쇠 급수의 체와도 동형이지만, 이 동형 사상을 명시적으로 구성하려면 선택 공리가 필요하다. 이러한 대수적 특성 때문에 복소수체는 자기 자신과 동형인 진부분체를 무수히 많이 포함한다.

8. 복소함수

복소수를 변수로 하는 함수는 복소해석학의 주요 연구 대상이다.

일반적으로 2차원 그래프로 표현되는 실수 함수와 달리, 복소 함수는 4차원 그래프를 가지며, 이를 표현하기 위해 여러 방법이 사용된다. 예를 들어 3차원 그래프에 색을 추가하여 4차원을 나타내거나, 복소 평면에서 복소 함수의 동적 변환을 애니메이션으로 만들기도 한다.

복소해석학은 실수해석학에서는 볼 수 없는 몇 가지 특징을 보인다. 예를 들어, 두 정칙 함수가 복소 평면의 매우 작은 일부에서만 일치하더라도, 전체에서 일치하는 경우가 있다. (항등 정리)

8.1. 복소해석학

복소변수 함수 연구는 복소해석학으로 알려져 있으며, 응용 수학뿐만 아니라 다른 수학 분야에서도 실용적인 가치를 지닌다. 종종, 실해석학이나 심지어 정수론의 명제에 대한 가장 자연스러운 증명은 복소해석학의 기법을 사용한다(예를 들어 소수 정리 참조).

일반적으로 2차원 그래프로 표현되는 실수 함수와 달리, 복소 함수는 4차원 그래프를 가지며, 4차원을 암시하기 위해 3차원 그래프를 색상 코딩하거나 복소 평면의 복소 함수의 동적 변환을 애니메이션화하여 유용하게 표현할 수 있다.

8.2. 수렴

복소수열은 실수부와 허수부가 모두 수렴할 때 수렴한다고 한다. 이는 실수의 절댓값을 복소수의 절댓값으로 대체하는 (ε, δ)-극한의 정의와 동등하다. 더 추상적인 관점에서, 거리를 갖는 $\backslash mathbb\{C\}$는 다음과 같다.
$$\backslash operatorname\{d\}(z\_1,\; z\_2)\; =\; |z\_1\; -\; z\_2|$$
이는 완비 거리 공간이며, 특히 두 복소수 $z\_1$와 $z\_2$에 대해 삼각 부등식이 성립한다.
$$|z\_1\; +\; z\_2|\; \backslash le\; |z\_1|\; +\; |z\_2|$$

8.3. 복소 지수 함수

복소 지수 함수 또는 는 급수
:$\backslash exp\; z:=\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash displaystyle\; \backslash frac\{z^n\}\{n!\}\; =\; 1\; +\; z\; +\; \backslash frac\{z^2\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{z^3\}\{6\}\; +\; \backslash cdots$
로 정의된다. 이 급수의 수렴 반경은 이므로, 복소 지수 함수는 상의 정칙 함수(전체 함수)이다.

임의의 실수 에 대해 다음 등식이 성립한다.
:$\backslash exp\; i\backslash varphi\; =\; \backslash cos\; \backslash varphi\; +\; i\backslash sin\; \backslash varphi$ (오일러 공식)

일반적인 복소 변수 로 확장한 코사인 함수 , 사인 함수 는 다음 식으로 정의할 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
\cos z &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \\
\sin z &= \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}
\end{align}
코사인 함수, 사인 함수는 전체 함수이다. 전체 함수인 확장의 방법은, 일치 정리에 의해 유일하다.

, 등의 쌍곡선 함수도 마찬가지로 복소 지수 함수에 의해 정의할 수 있다.

물리학에서 진동이나 파동 등 서로 밀접한 관련이 있는 두 개의 실수 물리량을 복소수의 형태로 조합하여 표현하는 것이 편리한 경우가 많아 자주 사용된다.

8.4. 복소 로그 함수

자연 로그는 역함수로 정의되어, 임의의 양의 실수 t에 대해 $\backslash exp(x)\; =\; t$를 만족하는 고유한 실수 x가 존재한다. 즉,
:$\backslash ln\; \backslash colon\; \backslash R^+\; \backslash to\; \backslash R\; ;\; x\; \backslash mapsto\; \backslash ln\; x$는 지수 함수의 역함수이다. 복소수의 경우에는 상황이 다른데, 함수 방정식과 오일러 항등식에 의해
:$\backslash exp(z+2\backslash pi\; i)\; =\; \backslash exp\; z\; \backslash exp\; (2\; \backslash pi\; i)\; =\; \backslash exp\; z$
가 성립하기 때문이다. 예를 들어, $e^\{i\backslash pi\}\; =\; e^\{3i\backslash pi\}\; =\; -1$이므로, $i\backslash pi$와 $3i\backslash pi$ 모두 $-1$의 복소 로그 값이 될 수 있다.

일반적으로 0이 아닌 임의의 복소수 w에 대해, 방정식
:$\backslash exp\; z\; =\; w$
를 만족하는 임의의 수 z를 w의 복소 로그라 하고, $\backslash log\; w$로 표시한다. 이 z는
:$z\; =\; \backslash log\; w\; =\; \backslash ln|w|\; +\; i\backslash arg\; w$
로 나타낼 수 있다. 여기서 $\backslash arg$는 인수로 위에서 정의되었고, $\backslash ln$은 (실수) 자연 로그이다. $\backslash arg$는 다중값 함수이므로 $2\backslash pi$의 배수까지 고유하며, $\backslash log$도 다중값이다. $\backslash log$의 주요 값은 허수 부분을 구간 $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$로 제한하여 취하며, 이는 복소 로그가 $\backslash R^+\; +\; \backslash ;\; i\; \backslash ,\; \backslash left(-\backslash pi,\; \backslash pi\backslash right]$(그림에서 $S\_0$로 표시됨)의 값을 갖는 전단사 함수가 되도록 한다.
:$\backslash ln\; \backslash colon\; \backslash ;\; \backslash Complex^\backslash times\; \backslash ;\; \backslash to\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash R^+\; +\; \backslash ;\; i\; \backslash ,\; \backslash left(-\backslash pi,\; \backslash pi\backslash right]$

$z\; \backslash in\; \backslash Complex\; \backslash setminus\; \backslash left(\; -\backslash R\_\{\backslash ge\; 0\}\; \backslash right)$, 즉 $z$가 음이 아닌 실수(양수 또는 비실수)인 경우, 복소 로그의 주요 값은 로 얻어진다. 이는 음의 실수를 제외하고 해석 함수이지만, 주요 값이 $\backslash ln\; z\; =\; \backslash ln(-z)\; +\; i\backslash pi$인 음의 실수 $z\; \backslash in\; -\backslash R^+$에서는 연속인 함수로 확장될 수 없다.

복소 지수 $z^\backslash omega$는
:$z^\backslash omega\; =\; \backslash exp(\backslash omega\; \backslash ln\; z)$
로 정의되며, $\backslash omega$가 정수가 아닌 경우 다중값을 갖는다. $\backslash omega\; =\; 1/n$ (단, $n$은 자연수)인 경우, 앞서 언급한 $n$제곱근의 비고유성이 나타난다. $z\; >\; 0$가 실수이고 $\backslash omega$가 임의의 복소수일 때, 실수 로그 $\backslash ln\; x$를 사용하여 선호하는 지수 함수를 정의할 수 있다.

복소수는 실수와 달리 수정되지 않은 거듭제곱 및 로그 항등식을 일반적으로 만족하지 않는데, 이는 단일 값 함수로 단순하게 취급할 때 특히 그렇다. 거듭제곱 및 로그 항등식의 실패를 참고하면, 예를 들어
:$a^\{bc\}\; =\; \backslash left(a^b\backslash right)^c$
는 성립하지 않는다. 이 방정식의 양변은 복소 지수의 정의에 의해 다중값이며, 좌변의 값은 우변의 값의 부분집합이다.

실함수와 달리, 복소수 $z$에 관한 방정식
:$\backslash exp\; z\; =\; w$
는 임의의 0이 아닌 복소수 $w$에 대해 무한 개의 복소수 해를 갖는다. 이러한 해 $z$, 즉 $w$의 복소대수함수 $\backslash log\; w$는
:$\backslash log\; w\; =\; \backslash ln|w|\; +\; i\backslash arg\; w$
로 나타낼 수 있다. 여기서 $\backslash ln$은 실함수로서의 자연로그이고, $\backslash arg$는 앞서 설명한 편각이다. 이 값은 편각과 마찬가지로 $2\backslash pi$의 정수배만큼의 차이를 제외하고 유일하므로, 복소대수함수 또한 다중가함수이다. 따라서 주치를 사용하며, 허수부 $\backslash arg\; w$를 구간 $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$로 하는 경우가 많다.

8.5. 복소수의 복소수 거듭제곱

복소 로그 함수를 통해 정의되며, 다가 함수이다. 복소수의 복소수 거듭제곱 $z^\omega$는 다음과 같이 정의된다.

:$z^\backslash omega\; =\; \backslash exp(\backslash omega\; \backslash log\; z)$

로그 함수는 다가 함수이므로, 복소수의 복소수 거듭제곱도 일반적으로 다가 함수가 된다. 특히 $\omega = \frac{1}{n}$ (n은 자연수) 형태일 때는, 복소수 $z$의 $n$제곱근 $\sqrt[n]{z}$를 나타내며, 값은 유일하게 정해지지 않는다.

로그 함수의 적절한 가지를 택하여 일가 함수로 취급할 때, 실수의 실수 거듭제곱에 대해 성립했던 지수 법칙이나 로그 법칙은 복소수의 복소수 거듭제곱에서는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어,

:$a^\{bc\}\; =\; (a^b)^c$

는 $a$, $b$, $c$가 복소수인 경우에는 일반적으로 성립하지 않는다. 이 식의 양변을 다가 값을 갖는 것으로 간주하는 경우, 좌변 값의 전체는 우변 값의 전체가 이루는 집합의 부분 집합이 된다.

8.6. 정칙 함수

복소해석학에서, 정칙 함수(正則函數, holomorphic function^영어)는 복소수 평면의 열린 집합에서 정의된 복소 미분 가능한 함수를 말한다. 복소 미분 가능성은 실수 미분 가능성보다 훨씬 강력한 조건인데, 이는 여러 방향으로 $z\_0$에 접근할 수 있는 자유가 있기 때문이다.

예를 들어, 함수
:$f(z)\; =\; \backslash overline\; z$
는 $\backslash R^2\; \backslash to\; \backslash R^2$ 함수로 미분 가능하지만 복소 미분 가능하지는 않다.

실수 미분 가능한 함수는 코시-리만 방정식을 만족하는 경우에만 복소 미분 가능하다. 이는 때때로 다음과 같이 요약된다.
:$\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; \backslash overline\; z\}\; =\; 0.$

복소해석은 실수해석에서는 나타나지 않는 몇 가지 특징을 보여준다. 예를 들어, 항등 정리는 두 개의 정칙 함수와 가 $\backslash mathbb\{C\}$의 임의로 작은 열린 부분 집합에서 일치하면 서로 일치한다고 주장한다. 유형 함수는 정칙 함수를 사용하여 $f(z)/(z\; -\; z\_0)^n$로 지역적으로 쓸 수 있는 함수이며, 여전히 정칙 함수의 일부 특징을 공유한다. 다른 함수는 $z\; =\; 0$인 $\backslash sin(1/z)$와 같이 본질적 특이점을 갖는다.

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9. 응용

복소수는 신호 처리, 제어 이론, 전자기학, 유체 역학, 양자역학, 지도 제작, 진동 분석 등 다양한 과학 분야에서 응용된다.

* 신호 처리: 주기적으로 변하는 신호를 편리하게 설명하기 위해 사용된다. 실수 신호를 주기 함수의 합으로 표현하는 푸리에 분석에서 주기 함수는 복소수 함수 형태로 표현된다.
* 제어 이론: 라플라스 변환을 사용하여 시스템을 시간 영역에서 복소 주파수 영역으로 변환하여 분석한다. 근궤적, 나이퀴스트 선도, 니콜스 선도 기법 등에서 복소 평면이 활용된다.
* 전자기학: 전기 공학에서 푸리에 변환을 사용하여 전압과 전류를 분석한다. 저항, 축전기, 인덕터를 임피던스라는 단일 복소수로 결합하여 회로를 분석하는 페이저 미적분이 사용된다.
* 유체 역학: 2차원 포텐셜 흐름을 설명하는 데 복소 함수가 사용된다.
* 양자 역학: 양자역학의 수학적 공식화에서 복소 힐베르트 공간이 사용되며, 슈뢰딩거 방정식과 하이젠베르크의 행렬역학 등 기본 공식에 복소수가 사용된다.
* 상대성 이론: 시공간에 대한 계량 텐서의 일부 공식에서 시간 성분을 허수로 간주하면 공식이 간단해진다. 텐서의 일반화인 스피너에도 복소수가 필수적이다.

복소 공액은 직선에 대한 반사보다 일반적인 반사를 연구하는 반전 기하학에 사용되며, 전기 회로의 네트워크 분석에서 최대 전력 전달 정리를 찾을 때 등가 임피던스를 구하는 데 사용된다.

9.1. 기하학

복소수는 데카르트 좌표계나 극좌표계를 갖춘 2차원 유클리드 평면의 점, 그리고 리만 구의 점과 일대일 대응한다. 이러한 관계를 통해 복소수는 평면 기하학의 도형, 프랙탈 등을 표현하고 분석하는 데 사용된다.

복소수를 이용한 대표적인 예시는 다음과 같다.

* 만델브로 집합
* 마든 정리

9.1.1. 도형

데카르트 좌표계나 극좌표계를 갖춘 2차원 유클리드 평면의 점은 복소수와 일대일 대응한다. 이러한 평면을 복소평면이라고 한다. 복소평면의 점은 리만 구의 점과 일대일 대응하며, 복소평면에 무한대점 하나를 추가하면 리만 구와 일대일 대응을 갖는 확장된 복소수를 얻는다.

평면 상의 공선이 아닌 세 점 $u,\; v,\; w$는 삼각형 $\backslash \{u,\; v,\; w\backslash \}$의 도형을 결정한다. 복소 평면에 점들을 위치시키면, 삼각형의 도형은 복소수 연산으로 표현될 수 있다.

:$$S(u,\; v,\; w)\; =\; \backslash frac\; \{u\; -\; w\}\{u\; -\; v\}.$$

삼각형의 도형 $S$는 복소 평면이 평행 이동 또는 확대/축소(아핀 변환)에 의해 변환될 때, 닮음을 묘사하며 동일하게 유지된다.

9.1.2. 프랙탈 기하학

만델브로 집합은 복소 평면에서 형성되는 프랙탈의 한 예이다. 이는 수열 $f\_c(z)=z^2+c$를 무한히 반복할 때 발산하지 않는 모든 위치 $c$를 표시하여 정의된다. 줄리아 집합은 $c$가 일정하게 유지된다는 점을 제외하고 동일한 규칙을 따른다.

9.1.3. 삼각형

마든 정리(Marden's theorem)에 따르면, 복소 평면에서 삼각형의 꼭짓점을 각각 $a$, $b$, $c$로 나타낼 때, 삼차 방정식 $(x-a)(x-b)(x-c)=0$의 도함수를 구하고, 이 이차 도함수를 0으로 두는 방정식의 해는 슈타이너 내접 타원의 두 초점 위치를 나타내는 복소수이다. 여기서 슈타이너 내접 타원은 삼각형 안에 있으며 삼각형 세 변의 중점에 접하는 타원이다.

평면 상의 공선이 아닌 세 점 $u,\; v,\; w$는 삼각형 $\backslash \{u,\; v,\; w\backslash \}$의 도형을 결정한다. 복소 평면에 점들을 위치시키면, 삼각형의 도형은 복소수 연산으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$S(u,\; v,\; w)\; =\; \backslash frac\; \{u\; -\; w\}\{u\; -\; v\}.$$
삼각형의 도형 $S$는 복소 평면이 평행 이동 또는 확대/축소(아핀 변환)에 의해 변환될 때 닮음을 묘사하며, 동일하게 유지된다. 따라서 각 삼각형 $\backslash \{u,\; v,\; w\backslash \}$는 동일한 도형을 가진 삼각형의 닮음 클래스에 속한다.

9.2. 대수적 수론

위에 언급했듯이, 비상수 다항식 방정식(복소수 계수)은 $\backslash mathbb\{C\}$에서 해를 갖는다. 더욱 강력하게, 방정식이 유리수 계수를 갖는 경우에도 마찬가지이다. 이러한 방정식의 근을 대수적 수라고 하며, 이는 대수적 수론에서 주요 연구 대상이다. 모든 대수적 수도 포함하는 $\backslash mathbb\{Q\}$의 대수적 폐포인 $\backslash overline\{\backslash mathbb\{Q\}\}$과 비교할 때, $\backslash mathbb\{C\}$는 기하학적 관점에서 쉽게 이해할 수 있다는 장점이 있다. 이러한 방식으로 대수적 방법을 사용하여 기하학적 문제를 연구할 수 있으며, 그 반대도 가능하다. 대수적 방법, 특히 체론의 기법을 단위근을 포함하는 수체에 적용하여, 정구각형을 자, 컴퍼스만 사용하여 작도하는 것은 불가능하다는 것을 보일 수 있는데, 이는 순수한 기하학적 문제이다.

또 다른 예는 가우스 정수이다. 즉, 형태 (x와 y는 정수)의 수이며, 이를 사용하여 제곱의 합을 분류할 수 있다.

9.3. 해석적 정수론

해석적 정수론에서는 정수나 유리수를 복소수로 간주하여 해석적 방법을 사용한다. 이는 복소수 값을 갖는 함수에 정수론적 정보를 담아 연구하는 방식으로 이루어진다. 예를 들어, 리만 제타 함수 ζ(s)^영어는 소수의 분포와 관련이 있다.

9.4. 이상 적분

응용 분야에서 복소수는 복소수 값을 갖는 함수를 사용하여 특정 실수 값의 이상 적분을 계산하는 데 자주 사용된다. 이를 수행하는 여러 방법이 있으며, 경로 적분법을 참조하라.

9.5. 동역학 방정식

미분 방정식에서, 먼저 특성 방정식의 모든 복소수 근을 찾은 다음, 형태의 기본 함수로 시스템을 풀려고 시도하는 것이 일반적이다. 마찬가지로, 차분 방정식에서도 차분 방정식 시스템의 특성 방정식의 복소수 근을 사용하여 형태의 기본 함수로 시스템을 풀려고 시도한다.

9.6. 선형대수학

는 대수적으로 닫힌 체이므로, 모든 공집합이 아닌 복소수 정사각 행렬은 적어도 하나의 (복소수) 고유값을 갖는다. 반면, 실수 행렬은 항상 실수 고유값을 갖는 것은 아닌데, 예를 들어 회전 행렬 (0° 또는 180°가 아닌 각도로 평면을 회전하는 경우)은 고정된 방향이 없으므로 실수 고유값을 갖지 않는다. (복소수) 고유값의 존재와 그에 따른 고유값 분해의 존재는 행렬 거듭제곱과 행렬 지수를 계산하는 데 유용한 도구이다.

복소수는 종종 원래 실수에서 구상된 개념을 일반화한다. 예를 들어, 켤레 전치는 전치 행렬을 일반화하고, 에르미트 행렬은 대칭 행렬을 일반화하며, 유니타리 행렬은 직교 행렬을 일반화한다.

복소수 α {{=}} a + bi^영어 를, 상의 (좌로부터의) 작용으로 보면, 그것에 대응하는 상에서의 일차 변환의 표현 행렬을 생각할 수 있다.

다음의 대응
:$a+bi\; \backslash leftrightarrow\; \backslash begin\{pmatrix\}$
a &-b \\
b &a
\end{pmatrix} \quad (a,b \in \mathbb{R})
에 의해, 복소수는 실 이차 정방 행렬로 표현할 수 있다. 특히, 실수 단위 , 허수 단위 는
:$1\backslash leftrightarrow\; \backslash begin\{pmatrix\}$
1 &0 \\
0 &1
\end{pmatrix} ,\quad i\leftrightarrow \begin{pmatrix}
0 &-1 \\
1 &0
\end{pmatrix}
이다. 이 대응에 의해 복소수의 덧셈 및 곱셈은, 이 대응에 의해 통상의 행렬의 덧셈 및 행렬의 곱셈에 대응한다. 복소 켤레는 전치 행렬에 대응한다.

극형식 표시를 a + bi {{=}} r(cos θ + i sin θ)^영어라고 하면,
:$\backslash begin\{pmatrix\}$
a &-b \\
b &a
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
r\cos \theta &-r\sin \theta \\
r\sin \theta &r\cos \theta
\end{pmatrix} =r \,\begin{pmatrix}
\cos \theta &-\sin \theta \\
\sin \theta &\cos \theta
\end{pmatrix}
는 각도 의 회전 행렬의 스칼라 배이며, 이것은 복소수의 곱이 상에서 원점을 중심으로 하는 닮음 확대와 회전의 합성을 일으키는 것에 대응한다.

복소수 의 표현 행렬을 라고 하면, 의 행렬식
:
는 대응하는 복소수의 절대값의 제곱이다.

9.7. 제어 이론

제어 이론에서 시스템은 종종 라플라스 변환을 사용하여 시간 영역에서 복소 주파수 영역으로 변환된다. 시스템의 영점 및 극점은 복소 평면에서 분석된다. 근궤적, 나이퀴스트 선도, 니콜스 선도 기법은 모두 복소 평면을 사용한다.

근궤적 방법에서 영점과 극점이 왼쪽 또는 오른쪽 반평면에 있는지, 즉 실수부가 0보다 큰지 또는 작은지가 중요하다. 선형 시불변(LTI) 시스템의 극점이 다음과 같은 경우:

* 오른쪽 반평면에 있으면 불안정하다.
* 모두 왼쪽 반평면에 있으면 안정하다.
* 허수 축에 있으면 한계 안정성을 갖는다.

시스템에 오른쪽 반평면에 영점이 있으면 비최소 위상 시스템이다.

복소수 와 실수 에 의해 정의되는, 일변수 의 함수 는 시간 에 대해 주기적으로 변화하는 양을 나타내는 것으로 볼 수 있다. 주기적으로 변화하며, 어떤 종류의 미분 방정식을 만족하는 양을 나타내는 이러한 표시는 페이저 표시라고 불리며, 전기 공학·전자 공학에서의 회로 해석이나, 기계 공학·로봇 공학에서의 제어 이론, 토목·건축 계열에서의 진동 해석에 사용된다.

9.8. 신호 분석

복소수는 주기적으로 변하는 신호를 편리하게 설명하기 위해 신호 분석 및 기타 분야에서 사용된다. 실제 물리량을 나타내는 주어진 실수 함수(종종 사인과 코사인으로 표현됨)의 경우, 실수부가 원래의 양인 해당 복소수 함수가 고려된다. 주어진 주파수의 정현파의 경우, 해당 복소수의 절댓값은 진폭이고, 인수는 위상이다.

주어진 실수의 신호를 주기 함수의 합으로 표현하기 위해 푸리에 분석을 사용하는 경우, 이러한 주기 함수는 종종 다음과 같은 형식의 복소수 값을 갖는 함수로 작성된다.

:$$x(t)\; =\; \backslash operatorname\{Re\}\; \backslash \{X(\; t\; )\; \backslash \}$$

:$$X(\; t\; )\; =\; A\; e^\{i\backslash omega\; t\}\; =\; a\; e^\{\; i\; \backslash phi\; \}\; e^\{i\backslash omega\; t\}\; =\; a\; e^\{i\; (\backslash omega\; t\; +\; \backslash phi)\; \}$$

여기서 ω는 각 주파수를 나타내고 복소수 A는 위에서 설명한 대로 위상과 진폭을 인코딩한다.

이러한 사용법은 디지털 신호 처리 및 디지털 영상 처리로도 확장되어, 푸리에 분석(및 웨이블릿 분석)의 디지털 버전을 사용하여 압축, 복원 및 기타 방식으로 디지털 오디오 신호, 정지 이미지 및 비디오 신호를 전송, 처리한다.

진폭 변조 AM 라디오의 두 측파대와 관련된 또 다른 예는 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\cos((\omega + \alpha)t) + \cos\left((\omega - \alpha)t\right)
& = \operatorname{Re}\left(e^{i(\omega + \alpha)t} + e^{i(\omega - \alpha)t}\right) \\
& = \operatorname{Re}\left(\left(e^{i\alpha t} + e^{-i\alpha t}\right) \cdot e^{i\omega t}\right) \\
& = \operatorname{Re}\left(2\cos(\alpha t) \cdot e^{i\omega t}\right) \\
& = 2 \cos(\alpha t) \cdot \operatorname{Re}\left(e^{i\omega t}\right) \\
& = 2 \cos(\alpha t) \cdot \cos\left(\omega t\right).
\end{align}

9.9. 물리학

복소수는 신호 처리, 제어 이론, 전자기학, 유체 역학, 양자역학, 지도 제작, 진동 분석 등 다양한 과학 분야에서 응용된다.

유체역학에서 복소 함수는 2차원 포텐셜 흐름을 설명하는 데 사용된다. 양자역학에서는 복소수가 수학적 공식에 사용되며, 복소 힐베르트 공간은 가장 표준적인 공식화의 맥락을 제공한다. 슈뢰딩거 방정식과 하이젠베르크의 행렬역학은 양자역학의 기본 공식이며 복소수를 사용한다. 특수 상대성 이론 및 일반 상대성 이론에서 시공간에 대한 계량 텐서의 몇 가지 공식은 시공간 연속체의 시간 성분을 허수로 간주하면 더 간단해진다. (이 접근 방식은 더 이상 고전적인 상대성 이론에서는 표준으로 사용되지 않지만, 윅 회전을 통해 양자장론에서 필수적인 방식으로 사용된다.) 복소수는 상대성 이론에서 사용되는 텐서의 일반화인 스피너에 필수적이다.

물리학에서 진동이나 파동 등 서로 밀접하게 관련된 두 개의 실수 물리량을 복소수의 형태로 조합하여 표현하는 것이 편리한 경우가 많아 자주 사용된다.

9.9.1. 전자기학 및 전기 공학

전기 공학에서, 푸리에 변환은 변화하는 전압과 전류를 분석하는 데 사용된다. 저항, 축전기, 인덕터의 처리는, 후자 두 개에 허수, 주파수 의존적 저항을 도입하고 세 가지를 모두 임피던스라고 하는 단일 복소수로 결합함으로써 통일될 수 있다. 이 접근 방식은 페이저 미적분이라고 한다.

교류 회로의 전압은 진동하기 때문에, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$V(t)\; =\; V\_0\; e^\{j\; \backslash omega\; t\}\; =\; V\_0\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash omega\; t\; +\; j\; \backslash sin\backslash omega\; t\; \backslash right\; ),$$

측정 가능한 값을 얻기 위해, 실수부를 취한다.

:$$v(t)\; =\; \backslash operatorname\{Re\}(V)\; =\; \backslash operatorname\{Re\}\backslash left\; [\; V\_0\; e^\{j\; \backslash omega\; t\}\; \backslash right\; ]\; =\; V\_0\; \backslash cos\; \backslash omega\; t.$$

복소수 값을 갖는 신호는, 실수 값을 갖는 측정 가능한 신호의 해석적 신호 표현이라고 한다.

전기 공학에서, 허수 단위는 로 표시되는데, 이는 일반적으로 전류를 나타내는 데 사용되는 또는, 더 구체적으로, 순간 전류를 나타내는 데 사용되는 와 혼동을 피하기 위해서이다.

9.9.2. 유체 역학

유체역학에서 복소 함수는 2차원 포텐셜 흐름을 설명하는 데 사용된다.

9.9.3. 양자 역학

복소수는 양자역학의 수학적 공식에 사용되며, 복소 힐베르트 공간은 가장 표준적인 공식화의 맥락을 제공한다. 슈뢰딩거 방정식과 하이젠베르크의 행렬역학은 양자역학의 기본 공식이며 복소수를 사용한다.

물리학에서 진동이나 파동 등 서로 밀접하게 관련된 두 개의 실수 물리량을 복소수의 형태로 조합하여 표현하는 것은 편리하기 때문에 자주 사용된다.

양자역학에서 복소수는 본질적이며, 물체의 위치와 운동량은 푸리에 변환을 통해 동등하게 취급된다. 파동 함수들이 이루는 복소 힐베르트 공간과 그 위의 작용소들이 이론의 틀을 제공한다.

9.9.4. 상대성 이론

특수 상대성 이론 및 일반 상대성 이론에서 시공간 연속체의 시간 성분을 허수로 간주하면 시공간에 대한 계량 텐서의 몇 가지 공식이 더 간단해진다. (이 접근 방식은 더 이상 고전적인 상대성 이론에서는 표준으로 사용되지 않지만, 윅 회전을 통해 양자장론에서 필수적인 방식으로 사용된다.) 복소수는 상대성 이론에서 사용되는 텐서의 일반화인 스피너에 필수적이다.

10. 역사

복소수의 개념은 16세기 타르탈리아, 제롤라모 카르다노와 같은 이탈리아 수학자들이 삼차 방정식과 사차 방정식의 근에 대한 공식을 발견하면서 처음 나타났다. 당시 수학자들은 실수해를 구하려 했지만, 이 과정에서 음수의 제곱근을 다루는 것이 필요함을 알게 되었다. 그러나 당시에는 음수에 대한 이해도 부족했기에 복소수는 수로 인정받지 못했다.

17세기에 르네 데카르트가 "허수"라는 용어를 처음 사용했다. 18세기 아브라함 드무아브르와 레온하르트 오일러는 복소수에 대한 연구를 진행했다. 드무아브르의 공식과 오일러의 공식이 그들의 업적을 보여준다.

1799년 카스파르 베셀이 복소수를 기하학적으로 표현하면서 복소수의 존재성이 완전히 받아들여졌다. 카를 프리드리히 가우스는 베셀의 발견을 널리 알렸고, 복소수는 중요한 수의 확장으로 인정받게 되었다. 그러나 복소수의 기하학적 표현은 1685년 존 월리스의 저서에도 이미 나타나 있었다.

16세기 이탈리아 수학자 카르다노와 봄벨리는 삼차 방정식 해의 공식을 연구하면서 음수의 제곱근을 취해야 할 필요성을 알게 되었다.

17세기 르네 데카르트는 '허'(imaginary)라는 단어를 사용해 허수라 칭했고, 허수에 대한 부정적 시각을 강화했다. 이후 존 월리스가 기하학적 해석을 시도했고, 요한 베르누이, 오일러, 달랑베르 등에 의해 허수를 사용한 해석학, 물리학 연구가 이루어졌다.

복소 평면은 1797년 노르웨이 수학자 카스파르 베셀(Caspar Wessel)의 논문에서 처음 등장했다고 알려졌으나, 덴마크어로 쓰여 1895년에야 발견되었다. 1806년 장-로베르 아르강(Jean-Robert Argand)의 복소 평면 팜플렛은 르장드르를 통해 퍼졌지만, 곧 잊혀졌다.

1814년 코시가 복소 해석을 시작하여, 복소수를 변수로 하는 해석 함수와 복소선 적분을 다루었다.

1831년 가우스가 복소 평면을 발표하며, '가우스 평면'으로 알려지게 되었다. 이로써 허수에 대한 부정적 시각은 사라지고 복소수가 수용되었다. 가우스는 1796년 이전에 이미 복소 평면 개념에 도달했으며, 1799년 학위 논문에서 대수학의 기본 정리를 증명하며 복소수의 중요 특징을 보였으나, 개념을 명확히 드러내지는 않았다.

10.1. 초기 역사

알렉산드리아의 헤론이 피라미드의 절단에 대한 부피를 계산할 때 음수의 제곱근이 처음 나타났다. 타르탈리아나 제롤라모 카르다노와 같은 16세기 이탈리아 수학자들이 삼차와 사차 다항방정식의 근에 대한 공식을 발견했을 때 더 명확히 나타났다. 그 당시의 수학자들은 실수해만을 구하려고 하였지만, 음수의 제곱근을 다루는 과정이 필요함을 곧 알 수 있었다. 당시에는 음수에 대한 이해도 부족했으므로 복소수는 수로서 인정되지 못했다.

17세기에 르네 데카르트가 "허수"라는 용어를 처음 사용하였다. 18세기에 아브라함 드무아브르와 레온하르트 오일러는 복소수에 대한 업적을 남겼다. 드무아브르의 공식과 복소해석학에서의 오일러의 공식에서 그들의 업적을 볼 수 있다. 1799년 복소수를 기하학적인 표현으로 나타냄으로써 복소수의 존재성이 완전히 받아들여졌다. 이것은 수년 후에 카를 프리드리히 가우스가 발견하여 널리 알려졌고, 결국 복소수가 매우 중요한 수의 확장으로 받아들여졌다. 그러나 복소수의 기하학적 표현에 대한 생각은 1685년 존 월리스의 에도 나타났다.

10.2. 발전 과정

1세기 그리스의 수학자이자 발명가인 알렉산드리아의 헤론이 피라미드의 절단에 대한 부피를 계산하면서 음수의 제곱근이 처음으로 나타났다. 이후 16세기 타르탈리아나 제롤라모 카르다노와 같은 이탈리아 수학자들이 삼차 및 사차 다항방정식의 근에 대한 공식을 발견하면서 복소수의 개념이 좀 더 명확하게 드러났다. 당시 수학자들은 실수해만을 구하려고 했지만, 이 과정에서 음수의 제곱근을 다루는 것이 필요함을 알게 되었다. 그러나 그 당시에는 음수에 대한 이해도 부족했기 때문에 복소수는 수로 인정받지 못했다.

17세기에 르네 데카르트가 "허수"라는 용어를 처음 사용하였다. 18세기에는 아브라암 드무아브르와 레온하르트 오일러가 복소수에 대한 연구를 진행했다. 드무아브르의 공식은 다음과 같다.

:$(\backslash cos\; \backslash theta\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash theta)^\{n\}\; =\; \backslash cos\; n\; \backslash theta\; +\; i\; \backslash sin\; n\; \backslash theta\; \backslash ,$

오일러의 공식은 다음과 같다.

:$\backslash cos\; \backslash theta\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; e\; ^\{i\; \backslash theta\}\; \backslash ,$

1799년 카스파르 베셀이 복소수를 기하학적으로 표현하면서 복소수의 존재성이 완전히 받아들여졌다. 카를 프리드리히 가우스는 베셀의 발견을 널리 알렸고, 복소수는 매우 중요한 수의 확장으로 인정받게 되었다. 그러나 복소수의 기하학적 표현에 대한 개념은 1685년 존 월리스의 저서에도 나타나 있었다.

16세기 이탈리아 수학자 카르다노와 봄벨리는 삼차 방정식 해의 공식을 연구하면서 음수의 제곱근을 취해야 할 필요성을 인지했다. 당시에는 음수조차 인정되지 않아 회피하려 했지만, 불가능했다.

17세기 르네 데카르트는 '허'(imaginary)라는 단어를 사용해 허수라 칭했다. 데카르트는 작도 불가능성과 연결해 논하며 허수에 대한 부정적 시각을 강화했다.

이후 존 월리스가 기하학적 해석을 시도했고, 요한 베르누이, 오일러, 달랑베르 등에 의해 허수를 사용한 해석학, 물리학 연구가 다수 이루어졌다.

복소 평면은 1797년 노르웨이 수학자 카스파르 베셀(Caspar Wessel)의 논문에서 처음 등장했다고 알려졌으나, 덴마크어로 쓰여 1895년에야 발견되었다. 1806년 장-로베르 아르강(Jean-Robert Argand)의 복소 평면 팜플렛은 르장드르를 통해 퍼졌지만, 곧 잊혀졌다.

1814년 코시가 복소 해석을 시작, 복소수를 변수로 하는 해석 함수와 복소선 적분을 다루었다.

1831년 가우스가 복소 평면을 발표하며, '가우스 평면'으로 알려지게 되었다. 이로써 허수에 대한 부정적 시각은 사라지고 복소수가 수용되었다. 가우스는 1796년 이전에 이미 복소 평면 개념에 도달했으며, 1799년 학위 논문에서 대수학의 기본 정리를 증명하며 복소수의 중요 특징을 보였으나, 개념을 명확히 드러내지는 않았다.

10.3. 정립

18세기에 아브라암 드무아브르와 레온하르트 오일러는 복소수에 대한 연구를 진행했다. 드무아브르 공식은 다음과 같다.
:$(\backslash cos\; \backslash theta\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash theta)^\{n\}\; =\; \backslash cos\; n\; \backslash theta\; +\; i\; \backslash sin\; n\; \backslash theta\; \backslash ,$
오일러 공식은 다음과 같다.
:$\backslash cos\; \backslash theta\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; e\; ^\{i\; \backslash theta\}\; \backslash ,$
1799년 카스파르 베셀이 복소수를 기하학적으로 표현하면서 복소수는 완전히 받아들여졌다. 카를 프리드리히 가우스는 베셀보다 이전인 1796년에 이미 복소 평면의 개념을 발견했고, 1831년에 발표하여 복소 평면은 가우스 평면으로 알려지게 되었다. 가우스의 학위 논문은 대수학의 기본 정리를 증명한 것으로, 복소수의 중요성을 보여준다.

1814년 오귀스탱 루이 코시는 복소수를 변수로 사용하는 해석 함수와 복소선 적분을 연구하며 복소해석학을 시작했다.