십삼각형

3. 정십삼각형의 작도

13은 피어폰트 소수이지만 페르마 소수는 아니므로, 정십삼각형은 자와 컴퍼스만으로는 작도할 수 없다. 그러나 뉴시스 작도나 각의 삼등분선을 이용하면 작도가 가능하다.^[1]

자와 컴퍼스를 사용하여 정십삼각형을 근사적으로 작도하는 방법도 있다.

정십삼각형은 종이 접기를 통해서도 작도할 수 있다.^[5]

3. 1. 작도 불가능성

3. 2. 뉴시스 작도

3. 3. 근사적인 작도

3. 4. 종이접기를 이용한 작도

4. 정십삼각형의 활용

정십삼각형은 체코의 20코루나 주화^[3]와 튀니지의 200밀림 동전 디자인에 사용되었다.

십삼각별은 13개의 변을 가진 별 다각형이다. 슐레플리 기호로 {13/2}, {13/3}, {13/4}, {13/5}, {13/6}과 같이 나타낼 수 있는 5개의 정규 형태가 있으며, 13은 소수이므로 십삼각별은 어떤 복합 도형도 아니다.

정십삼각형은 12-단순체의 페트리 다각형이다.

4. 1. 주화 디자인

4. 2. 십삼각별

그림	내각
{13/2}	≈124.615°
{13/3}	≈96.9231°
{13/4}	≈69.2308°
{13/5}	≈41.5385°
{13/6}	≈13.8462°

4. 3. 페트리 다각형

A12

5. 추가 정보(수학적 표현)

정십삼각형에서 중심각과 외각은 27.692307…°이고, 내각은 152.307692…°이다. 한 변의 길이가 ''a''인 정십삼각형의 면적 ''S''는 다음과 같다.

:$S\; =\; \backslash frac\{13\}\{4\}a^2\; \backslash cot\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{13\}\; \backslash simeq\; 13.1858\; \backslash ,a^2$

$\backslash cos\; (2\backslash pi/13)$을 제곱근과 세제곱근으로 나타내면^[4],

:$\backslash cos\backslash frac\{2\backslash pi\}\{13\}\; =\; \backslash frac\; \{-1+\backslash sqrt\{13\}\}\{12\}+\backslash frac\; \{1\}\{6\}\backslash sqrt[3]\{\backslash frac\; \{26-5\backslash sqrt\{13\}+3i\backslash sqrt\{39\}\}\{2\}\}+\backslash frac\; \{1\}\{6\}\backslash sqrt[3]\{\backslash frac\; \{26-5\backslash sqrt\{13\}-3i\backslash sqrt\{39\}\}\{2\}\}\; =\; 0.8854560...$

실수 근으로 표현된 삼각 상수 목록에서

:$\backslash cos\backslash frac\{2\backslash pi\}\{13\}\; =\backslash frac\{\backslash sqrt\{13\}-1+\backslash sqrt[3]\{104-20\backslash sqrt\{13\}-12i\backslash sqrt\{39\}\}+\backslash sqrt[3]\{104-20\backslash sqrt\{13\}+12i\backslash sqrt\{39\}\}\}\{12\}$

;구하는 방법

다음과 같이 α, β를 놓는다.

:$\backslash begin\{align\}$

\alpha =& 2\cos\frac{2\pi}{13}+2\cos\frac{8\pi}{13}+2\cos\frac{6\pi}{13} \\

\beta =& 2\cos\frac{4\pi}{13}+2\cos\frac{10\pi}{13}+2\cos\frac{12\pi}{13} \\

\end{align}

합과 차의 제곱을 구하면

:$\backslash begin\{align\}$

\alpha + \beta = -1 \\

\left(\alpha - \beta \right)^2 = 13 \\

\end{align}

α-β를 구하면 (α > β에서)

:$\backslash alpha\; -\; \backslash beta\; =\; \backslash sqrt\{13\}$

따라서

:$\backslash begin\{align\}$

2\cos\frac{2\pi}{13}+2\cos\frac{8\pi}{13}+2\cos\frac{6\pi}{13} =& \frac{-1+\sqrt{13}}{2} \\

2\cos\frac{4\pi}{13}+2\cos\frac{10\pi}{13}+2\cos\frac{12\pi}{13} =& \frac{-1-\sqrt{13}}{2} \\

\end{align}

한편

:$\backslash begin\{align\}$

\left( 2\cos\frac{2\pi}{13} + \omega \cdot 2\cos\frac{8\pi}{13} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{6\pi}{13} \right)^3 =& -2+2\sqrt{13} + 6 \cdot \frac{3-\sqrt{13}}{2} + 3\omega \cdot (-2) + 3\omega^2 \cdot (-2+\sqrt{13}) = \frac {26-5\sqrt{13}-3\sqrt{39} i}{2} \\

\left( 2\cos\frac{2\pi}{13} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{8\pi}{13} + \omega \cdot 2\cos\frac{6\pi}{13} \right)^3 =& -2+2\sqrt{13} + 6 \cdot \frac{3-\sqrt{13}}{2} + 3\omega^2 \cdot (-2) + 3\omega \cdot (-2+\sqrt{13}) = \frac {26-5\sqrt{13}+3\sqrt{39} i}{2} \\

\end{align}

양변의 세제곱근을 구하면

:$\backslash begin\{align\}$

2\cos\frac{2\pi}{13} + \omega \cdot 2\cos\frac{8\pi}{13} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{6\pi}{13} =& \sqrt[3]{ \frac {26-5\sqrt{13}-3\sqrt{39} i}{2} } \\

2\cos\frac{2\pi}{13} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{8\pi}{13} + \omega \cdot 2\cos\frac{6\pi}{13} =& \sqrt[3]{ \frac {26-5\sqrt{13}+3\sqrt{39} i}{2} } \\

\end{align}

참조

_[1] 간행물 Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 192–194 (p. 193 Fig.4) http://apollonius.ma[...] 1988-03
_[2] 서적 The Symmetries of Things 2008
_[3] 서적 2007 Standard Catalog of World Coins Krause Publications 2006
_[4] 웹사이트 z¹³=1 の解法　と　cos(2π/13) の値 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室 https://ameblo.jp/ti[...]
_[5] 웹사이트 平成 24 年度　上越教育大学公開講座 折紙の数学 https://www.juen.ac.[...]