정다각형

3. 넓이

정$n$각형의 넓이는 다음과 같다.

:$A=\backslash frac\{n\}\{4\}\; \backslash cot\; (\backslash frac\; \{\backslash pi\}\; \{n\})\; t^2$

여기서 t는 한 변의 길이를 의미한다. 이 공식은 정다각형의 넓이가 둘레의 절반과 변심거리(중심에서 한 변에 수직으로 내린 선분의 길이로, 내접원의 반지름과 동일)의 곱과 같다는 것을 보여준다.

이 넓이들은 각각 둘레의 길이가 같은 원의 넓이보다 약 0.26만큼 작다. 인 경우, 그 차이는 약간 더 크며, $n$이 커짐에 따라 이 차이는 줄어들어 극한값은 π/12가 된다.

반지름이 $r$인 원에 내접하는 정$n$각형의 넓이 $S\_n$은 다음과 같다.

:$S\_n\; =\; r^2\; n\; \backslash sin\; (\backslash frac\{\backslash pi\}\{n\})\; \backslash cos\; (\backslash frac\{\backslash pi\}\{n\})$

또한, $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; n\; \backslash sin\; (\backslash frac\{\backslash pi\}\{n\})\; =\; \backslash lim\_\{t\; \backslash to\; 0^+\}\; \backslash frac\{\backslash sin\; (\backslash pi\; t)\}\{t\}\; =\; \backslash pi$이므로, 정$n$각형의 변의 개수가 무한히 커지면 넓이는 $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}S\_n\; =\; r^2\; \backslash pi$가 되어 원의 넓이와 같아진다.

변 ''s'' = 1, 외접반지름 ''R'' = 1, 또는 아포테마 ''a'' = 1인 정다각형의 경우, 면적은 다음 표와 같다.^[10]

주어진 둘레를 갖는 모든 ''n''각형 중에서 면적이 가장 큰 것은 정다각형이다.^[19]

정 ''n''각형의 면적 ''A''는 변 ''s'', 외접반지름 ''R'', 아포테마 ''a'', 둘레 ''p''를 갖는 볼록 정다각형에 대해 다음과 같이 주어진다.^[8][9]

:$A\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}nsa\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}pa\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{4\}ns^2\backslash cot\backslash left(\backslash tfrac\{\backslash pi\}\{n\}\backslash right)\; =\; na^2\backslash tan\backslash left(\backslash tfrac\{\backslash pi\}\{n\}\backslash right)\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}nR^2\backslash sin\backslash left(\backslash tfrac\{2\backslash pi\}\{n\}\backslash right)$

4. 볼록하지 않은 정다각형

별 다각형은 정다각형의 개념을 확장한 것이다. 별 다각형은 볼록하지 않고 단순하지도 않으므로, "오목 다각형"이라고 할 수 없다. (단순하면서 볼록하지 않은 다각형을 오목한 다각형이라고 한다.) 별 다각형의 대표적인 예로 오각별이 있는데, 이는 정오각형의 꼭짓점들을 하나씩 걸러 변으로 연결하여 만들어진다.^[21]

비볼록 정다각형은 정규 별 다각형이다. 가장 흔한 예는 오각별인데, 오각형과 꼭짓점을 공유하지만 꼭짓점을 교대로 연결하여 만든다.

''n''각형 별다각형의 슐레플리 기호는 {''n''/''m''}으로 나타내며, 여기서 ''m''은 다각형의 ''밀도'' 또는 "별 모양"을 나타낸다. 예를 들어 ''m''이 2이면 두 번째 점마다 연결되고, ''m''이 3이면 세 번째 점마다 연결된다. 다각형의 경계는 중심을 ''m''번 감는다.^[21]

12변 이하의 (비퇴화) 정규 별은 다음과 같다.

• 오각별 – {5/2}
• 칠각별 – {7/2}, {7/3}
• 팔각별 – {8/3}
• 구각별 – {9/2}, {9/4}
• 십각별 – {10/3}
• 십일각별 – {11/2}, {11/3}, {11/4}, {11/5}
• 십이각별 – {12/5}

• 사각형 – {4/2}
• 육각형 – {6/2}, {6/3}
• 팔각형 – {8/2}, {8/4}
• 구각형 – {9/3}
• 십각형 – {10/2}, {10/4}, {10/5}
• 십이각형 – {12/2}, {12/3}, {12/4}, {12/6}

{6/2}에 대한 두 가지 해석

Grünbaum {6/2} 또는 2{3}[22]	콕서터 2{3} 또는 {6}[2{3}]{6}
이중으로 감긴 육각형	삼각형의 복합체로서의 육각별

• 20세기 대부분의 기간 동안 (예를 들어 콕서터, 1948), /2는 볼록 {6}의 각 꼭짓점을 두 단계 떨어진 이웃과 연결하여 두 개의 삼각형의 정규 복합체 또는 육각별을 얻는 것을 의미했다. 콕서터는 복합체 {p/k}에 대한 정규 복합체를 {kp}[k{p}]{kp}로 명확히 표기했으며, 육각별은 {6}[2{3}]{6}으로 표시된다.^[23] 콕서터는 또한 정규 짝수 변 다각형의 교대로서 육각별과 같은 ''2''{n/2}를 사용하며, 일치하는 해석과 구별하기 위해 선행 인자에 이탤릭체를 사용한다.^[24]
• Grünbaum (2003)과 같은 많은 현대 기하학자들은 이것이 잘못되었다고 간주한다.^[22] 그들은 /2를 사용하여 각 단계에서 {6} 주위를 두 칸 이동하여 각 모서리 점에서 두 개의 꼭짓점이 겹치고 각 선분에는 두 개의 모서리가 있는 "이중 감긴" 삼각형을 얻는다고 보았다. 이는 추상 다포체의 현대 이론에 더 잘 들어맞을 뿐만 아니라, 푸앵소(Poinsot, 1809)가 별다각형을 만든 방식과 더 일치한다.

5. 다면체

모든 면이 정다각형이고, 어떤 두 꼭짓점을 잡아도 그중 하나를 다른 하나로 보내는 합동변환이 존재하는 다면체를 고른 다면체라고 한다.^[29] 균일 다면체는 정다각형을 면으로 가지며, 임의의 두 꼭짓점에 대해 서로를 다른 꼭짓점으로 맵핑하는 등거리 변환이 존재한다(정다각형의 경우와 마찬가지).

준정다면체는 각 꼭짓점을 중심으로 두 종류의 면이 교대로 나타나는 균일 다면체이다.

정다면체는 한 종류의 면만 갖는 균일 다면체이다.

정다면체를 면으로 가지는 나머지 (비균일) 볼록 다면체는 존슨의 다면체로 알려져 있다.

정삼각형을 면으로 갖는 다면체는 델타면체라고 한다.

6. 작도 가능성

일부 정다각형은 자와 컴퍼스로 쉽게 작도할 수 있지만, 모든 정다각형을 작도할 수 있는 것은 아니다. 고대 그리스 수학자들은 3, 4, 5개의 변을 가진 정다각형을 작도하는 방법과 주어진 정다각형의 변의 수를 두 배로 늘린 정다각형을 작도하는 방법을 알고 있었다.^[20]

정$n$각형의 작도 가능성은 가우스-방첼 정리로 설명된다. 정$n$각형은 $n$이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱으로 표현될 때 작도 가능하다. 페르마 소수는 $2^\{\backslash left(2^n\backslash right)\}\; +\; 1$ 형태의 소수이다.

카를 프리드리히 가우스는 1796년에 정십칠각형의 작도 가능성을 증명했다.

정$n$각형이 작도 가능한지는 공통 각도의 코사인이 작도 가능수인지, 즉 네 가지 기본 산술 연산과 제곱근 추출을 통해 표현될 수 있는지에 따라 결정된다.

정''p''각형(''p''는 3 이상의 소수) 중에서 작도가 가능한 것은 꼭짓점의 개수 ''p''가 페르마 소수 (3, 5, 17, 257, 65537)인 경우뿐이며, 각각 정삼각형, 오각형, 십칠각형, 이백오십칠각형, 육만오천오백삼십칠각형이다. 꼭짓점의 개수가 소수가 아닌 경우, 그 수를 소인수분해했을 때 홀수의 약수가 페르마 소수뿐이고 같은 수가 중복되지 않거나, 홀수의 인수가 존재하지 않는 (2의 거듭제곱) 경우에만 작도가 가능하다.

6. 1. 작도 가능성의 비교 (일본어 위키백과)

정''p''각형(''p''는 3 이상의 소수), 정(2''n'' + 1)각형의 작도에 필요한 값 cos(2π/2n+1)은 ''n''차 방정식의 해로 구할 수 있다^[28]。

7. 빗면 정다각형 (영어 위키백과)

3차원 공간에서 '''정규 빗면 다각형'''은 균일 각기둥의 측면 모서리로 정의되는 두 개의 평행 평면 사이를 지그재그로 움직이는 비평면 경로로 볼 수 있다. 모든 모서리와 내부 각도는 같다.

정육면체는 정규 빗면 육각형을 포함하며, 이는 정육면체의 대각선 축에 수직인 두 평면 사이를 지그재그로 움직이는 6개의 빨간색 모서리로 볼 수 있다.

n-각기둥의 지그재그 측면 모서리는 이 17각형 각기둥에서 볼 수 있듯이 정규 빗면 2n-각형을 나타낸다.

8. 정규 별 다각형 (영어 위키백과)

비볼록 정다각형은 정규 별다각형이다. 가장 흔한 예는 오각형과 꼭짓점을 공유하지만 교대로 꼭짓점을 연결하는 오각별이다.

''n''각형 별다각형의 경우, 슐레플리 기호는 다각형의 ''밀도'' 또는 "별 모양" ''m''을 {''n''/''m''}으로 나타낸다. 예를 들어 ''m''이 2이면 두 번째마다 점이 연결된다. ''m''이 3이면 세 번째마다 점이 연결된다. 다각형의 경계는 중심을 ''m''번 감는다.^[21]

12변 이하의 (비퇴화) 정규 별은 다음과 같다.

• 오각별 – {5/2}
• 칠각별 – {7/2} 및 {7/3}
• 팔각별 – {8/3}
• 구각별 – {9/2} 및 {9/4}
• 십각별 – {10/3}
• 십일각별 – {11/2}, {11/3}, {11/4} 및 {11/5}
• 십이각별 – {12/5}

• 사각형 – {4/2}
• 육각형 – {6/2}, {6/3}
• 팔각형 – {8/2}, {8/4}
• 구각형 – {9/3}
• 십각형 – {10/2}, {10/4}, {10/5}
• 십이각형 – {12/2}, {12/3}, {12/4}, {12/6}

슐레플리 기호의 정확한 유도에 따라, 퇴화된 도형의 성격에 대한 의견이 다르다. 예를 들어 {6/2}는 두 가지 방법으로 처리할 수 있다.

• 20세기 대부분의 기간 동안 /2를 사용하여 볼록 {6}의 각 꼭짓점을 두 단계 떨어진 근접 이웃과 연결하여 두 개의 삼각형의 정규 복합체 또는 육각별을 얻었다. 콕서터는 {kp}[k{p}]{kp} 표기법을 사용하여 복합체 {p/k}에 대한 이 정규 복합체를 명확히 하며, 따라서 육각별은 {6}[2{3}]{6}으로 표시된다.^[23]
• Grünbaum (2003)과 같은 많은 현대 기하학자들은 이것이 잘못되었다고 간주한다.^[22] 그들은 /2를 사용하여 각 단계에서 {6} 주위를 두 칸 이동하여 각 모서리 점에서 두 개의 꼭짓점이 겹치고 각 선분에는 두 개의 모서리가 있는 "이중 감긴" 삼각형을 얻는 것으로 본다.

9. 정다각형의 쌍대성 (영어 위키백과)

모든 정다각형은 합동에 대해 자체 쌍대이며, 홀수 ''n''에 대해서는 항등에 대해 자체 쌍대이다.

또한, 정다각형으로 구성된 정다각형 별 모양(화합물)도 자체 쌍대이다.

10. 타원 기하학과 쌍곡 기하학 (일본어 위키백과)

타원 기하학에서 가장 적은 각을 갖는 것은 정2각형이다. 이각형은 반드시 정2각형이 된다.

이 기하학상의 정삼각형은 내각의 합이 180°보다 크며, 유클리드 기하학상의 뢰로의 삼각형과 같은 도형이다.

참조

_[1] 학위논문 Origami-Constructible Numbers https://getd.libs.ug[...] University of Georgia 2017
_[2] 논문 Regular polytope distances http://forumgeom.fau[...]
_[3] 학술지 Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids https://www.rgnpubli[...] 2020
_[4] 서적 Advanced Euclidean Geometry Dover Publ.
_[5] 서적 The Math Book Sterling
_[6] 학술지 The converse of Viviani's theorem
_[7] 문서 Mathematical recreations and Essays
_[8] 웹사이트 Math Open Reference http://www.mathopenr[...] 2014-02-04
_[9] 웹사이트 Mathwords http://www.mathwords[...]
_[10] Maple Results for ''R'' = 1 and ''a'' = 1 obtained with Maple
_[11] 수식
_[12] 수식
_[13] 수식
_[14] 수식
_[15] 수식
_[16] 수식
_[17] 수식
_[18] 수식
_[19] 서적 A Distorted View of Geometry Mathematical Association of America
_[20] 서적 Famous Problems of Geometry and How to Solve Them Dover Publications
_[21] 서적 Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number https://books.google[...] World Scientific
_[22] 문서 Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra? http://www.math.wash[...]
_[23] 문서 Regular polytopes
_[24] 문서 The Densities of the Regular Polytopes II
_[25] 문서 On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass https://www.cambridg[...]
_[26] 학술지 折り紙による5次方程式の解法 : 3重折りによる5乗根,角の5等分,正11角形の作図 https://hdl.handle.n[...] 福井大学教育地域科学部
_[27] 학술지 Construction of a regular hendecagon by two-fold origami https://cms.math.ca/[...]
_[28] Youtube 折り紙で正十三角形が作図できて正十一角形が作図できない理由【数学 解説 / #豊穣ミノリ / VTuber】 0El57qRGlOs
_[29] 문서