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암스트롱의 공리

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목차

1. 개요

암스트롱의 공리는 관계형 데이터베이스에서 함수 종속성을 추론하기 위한 규칙 집합이다. 반사성, 증가성, 이행성의 세 가지 기본 공리와 분해, 결합, 합집합, 유사 이행성, 자기 결정, 확장성의 추가 규칙으로 구성된다. 암스트롱 공리는 건전하고 완전하며, 주어진 함수 종속성 집합으로부터 모든 함수 종속성을 생성할 수 있다. 암스트롱 관계는 주어진 함수 종속성 집합을 만족하는 관계이며, 암스트롱 공리는 데이터베이스 설계 및 정규화 과정에서 중요한 역할을 한다.

2. 암스트롱 공리 (기본 규칙)

암스트롱 공리는 주어진 함수 종속성(FD) 집합으로부터 유도될 수 있는 모든 함수 종속성을 생성하는 규칙들의 집합이다. 이 규칙들은 정당(sound)하고 완전(complete)하다.


  • 정당성(Soundness): 암스트롱 공리를 통해 생성된 함수 종속성은 잘못된 함수 종속성을 포함하지 않는다. 즉, 주어진 FD 집합 F로부터 F+에 속하는 FD들만 생성된다.
  • 완전성(Completeness): 암스트롱 공리는 주어진 함수 종속성 집합 F에 대해 F+ (F의 폐포)에 속하는 모든 FD들을 생성할 수 있다.


관계형 스키마 R(U)에서 U는 속성 집합을 나타내며, X, Y, Z는 U의 부분 집합이다. XY는 X와 Y의 합집합을 의미하며, 이는 데이터베이스 이론에서 널리 사용되는 표기법이다.

2. 1. 반사성 (Reflexivity)

만약 Y가 X의 부분집합이면, X는 Y를 함수적으로 결정한다. (Y ⊆ X이면 X → Y)[2]

2. 2. 증가성 (Augmentation)

만약 X → Y이면, 임의의 속성 집합 Z에 대해 XZ → YZ이다.[1] 이는 종속 관계에 있는 속성이 기본적인 종속 관계를 변경하지 않는다는 것을 의미한다.[1]

2. 3. 이행성 (Transitivity)

만약 X → Y이고 Y → Z이면, X → Z이다.[1]

3. 추가 규칙 (보조 규칙)

암스트롱 공리로부터 유도될 수 있는 규칙들은 다음과 같다. 이러한 규칙들은 잘못된 함수 종속을 생성하지 않으므로 건전(sound)하며, 주어진 함수 종속 집합 F에 대해 모든 F+를 생성할 수 있으므로 완전(complete)하다.[1]


  • 분해: X → YZ이면, X → Y이고 X → Z이다.
  • 결합: X → Y이고 A → B이면, XA → YB이다.
  • 합집합: X → Y이고 X → Z이면, X → YZ이다.
  • 유사 이행성: X → Y이고 YZ|와이지영어 → W이면, XZ → W이다.
  • 자기 결정: 모든 속성 집합 I|아이영어에 대해, I|아이영어 → I|아이영어이다.
  • 확장성: X → Y이면, X → XY이다.

3. 1. 분해 (Decomposition)

만약 X → YZ이면, X → Y이고 X → Z이다.[1]

3. 2. 결합 (Composition)

만약 X → Y이고 A → B이면, XA → YB이다.[1]

3. 3. 합집합 (Union)

만약 X → Y이고 X → Z이면, X → YZ이다.[1]

3. 4. 유사 이행성 (Pseudo transitivity)

만약 X → Y이고 YZ|와이지영어 → W이면, XZ → W이다.[1]

3. 5. 자기 결정 (Self determination)

모든 속성 집합 I|아이영어에 대해, I|아이영어 → I|아이영어이다. 이는 반사율의 공리로부터 직접적으로 따른다.[1]

3. 6. 확장성 (Extensivity)

만약 X → Y이면, X → XY이다.

확장성은 다른 공리들과 함께 증가성을 통해 증명될 수 있다는 점에서 증가성을 공리로서 대체할 수 있다.[2]

4. 암스트롱 관계 (Armstrong relation)

함수 종속성 집합 ${\displaystyle F}$가 주어졌을 때, '''암스트롱 관계'''는 ${\displaystyle F^{+}}$ (F의 폐포) 내의 모든 함수 종속성을 만족시키고, 그 외의 종속성은 만족시키지 않는 관계이다. 불행히도, 주어진 종속성 집합에 대한 최소 크기의 암스트롱 관계는 고려된 속성의 수에 따라 지수 함수 크기를 가질 수 있다.[2]

5. 암스트롱 공리의 특징

암스트롱 공리는 다음과 같은 성질을 갖는다.[2]


  • 건전성(Soundness): 잘못된 함수 종속을 생성하지 않는다.
  • 완전성(Completeness): 주어진 함수 종속 집합 F에 대해 모든 F+를 생성할 수 있다.


함수 종속성 집합 F가 주어졌을 때, '''암스트롱 관계'''는 폐포 F^+ 내의 모든 함수 종속성을 만족시키고, 오직 그러한 종속성만을 만족시키는 관계이다. 불행히도, 주어진 종속성 집합에 대한 최소 크기의 암스트롱 관계는 고려된 종속성의 속성 수에 대한 지수 함수 크기를 가질 수 있다.[2]

참조

[1] 간행물 Dependency Structures of Data Base Relationships https://ipfs.io/ipfs[...] IFIP Congress 1974
[2] 논문 On the Structure of Armstrong Relations for Functional Dependencies https://researcher.w[...]


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