암스트롱의 공리
1. 개요
암스트롱의 공리는 관계형 데이터베이스에서 함수 종속성을 추론하기 위한 규칙 집합이다. 반사성, 증가성, 이행성의 세 가지 기본 공리와 분해, 결합, 합집합, 유사 이행성, 자기 결정, 확장성의 추가 규칙으로 구성된다. 암스트롱 공리는 건전하고 완전하며, 주어진 함수 종속성 집합으로부터 모든 함수 종속성을 생성할 수 있다. 암스트롱 관계는 주어진 함수 종속성 집합을 만족하는 관계이며, 암스트롱 공리는 데이터베이스 설계 및 정규화 과정에서 중요한 역할을 한다.
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2. 암스트롱 공리 (기본 규칙)
암스트롱 공리는 주어진 함수 종속성(FD) 집합으로부터 유도될 수 있는 모든 함수 종속성을 생성하는 규칙들의 집합이다. 이 규칙들은 정당(sound)하고 완전(complete)하다.
* 정당성(Soundness): 암스트롱 공리를 통해 생성된 함수 종속성은 잘못된 함수 종속성을 포함하지 않는다. 즉, 주어진 FD 집합 F로부터 F+에 속하는 FD들만 생성된다.
* 완전성(Completeness): 암스트롱 공리는 주어진 함수 종속성 집합 F에 대해 F+ (F의 폐포)에 속하는 모든 FD들을 생성할 수 있다.
관계형 스키마 R(U)에서 U는 속성 집합을 나타내며, X, Y, Z는 U의 부분 집합이다. XY는 X와 Y의 합집합을 의미하며, 이는 데이터베이스 이론에서 널리 사용되는 표기법이다.
2.2. 증가성 (Augmentation)
만약 X → Y이면, 임의의 속성 집합 Z에 대해 XZ → YZ이다. 이는 종속 관계에 있는 속성이 기본적인 종속 관계를 변경하지 않는다는 것을 의미한다.
3. 추가 규칙 (보조 규칙)
암스트롱 공리로부터 유도될 수 있는 규칙들은 다음과 같다. 이러한 규칙들은 잘못된 함수 종속을 생성하지 않으므로 건전(sound)하며, 주어진 함수 종속 집합 F에 대해 모든 F+를 생성할 수 있으므로 완전(complete)하다.
* 분해: X → YZ이면, X → Y이고 X → Z이다.
* 결합: X → Y이고 A → B이면, XA → YB이다.
* 합집합: X → Y이고 X → Z이면, X → YZ이다.
* 유사 이행성: X → Y이고 YZ영어 → W이면, XZ → W이다.
* 자기 결정: 모든 속성 집합 I영어에 대해, I영어 → I영어이다.
* 확장성: X → Y이면, X → XY이다.
3.6. 확장성 (Extensivity)
만약 X → Y이면, X → XY이다.
확장성은 다른 공리들과 함께 증가성을 통해 증명될 수 있다는 점에서 증가성을 공리로서 대체할 수 있다.