에구치-핸슨 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 좌표계 및 계량 텐서
- 2.2. 기번스-호킹 가설 풀이
3. 성질
- 3.1. 홀로노미
- 3.2. 호지 수
4. 역사
참조

1. 개요

에구치-핸슨 공간은 위상수학적으로 2차원 구면의 여접다발인 공간이다. 복소수 좌표를 사용하여 계량 텐서를 정의할 수 있으며, 이는 퍼텐셜에 대한 기번스-호킹 가설 풀이로 구성된다. SU(2) 홀로노미를 가지며, 칼라비-야우 다양체이자 초켈러 다양체이다. 호지 수를 가지며, 유일한 2차 호몰로지는 반 자기 쌍대이다. 에구치 도루와 앤드루 핸슨이 1978년에 발견했으며, 에우제니오 칼라비도 거의 동시에 독립적으로 발견했다.

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에구치-핸슨 공간
개요
종류	칼라비-야우 다양체
차원	4차원
홀로노미 그룹	Sp(1) = SU(2)
관련 개념	중력 순간 아티야-히친-싱어 정리 게이지 이론 끈 이론
수학적 구조
좌표	복소수 좌표 (z₁, z₂)
켈러 퍼텐셜	r² + a²
켈러 계량	((r² + a²) δij - z̄ᵢ zⱼ) / (r² + a²)² dzᵢ ⊗ dz̄ⱼ
r 함수	(∑ᵢ \|zᵢ\|²)¹/²
a 파라미터	크기 모듈러스
특성	비콤팩트, 점근적으로 국소적으로 유클리드 공간 (ALE)
물리학적 의미
응용 분야	끈 이론의 배경 초대칭 양자장론 게이지 이론의 순간자
해석	D-브레인의 기하학적 해 중력 순간으로의 해석 아티야-히친-싱어 정리와의 관계
관련 인물
이름의 유래	에구치 데루마사, 앤드루 핸슨

2. 정의

에구치-핸슨 공간은 기번스-호킹 가설 풀이로 구성할 수 있다.

2. 1. 좌표계 및 계량 텐서

에구치-핸슨 공간은 위상수학적으로

\mathrm T^*\mathbb S^2

(2차원 구면의 여접다발)이다. 복소수 좌표

z_1,z_2

에 대하여, 계량 텐서는 다음과 같다.

:

g_{i\bar\jmath}=\sqrt{a^4/r^4+1}\left(\delta_{i\bar\jmath}+z_i\bar z_{\bar j}/(r^2(1+r^4/a^4))\right)

여기서

r^2=|z_1|^2+|z_2|^2

이고,

a

는 순간자의 크기를 나타내는 매개 변수다. 이 좌표에서

(z_1,z_2)=(-z_1,-z_2)

로 간주하면,

r=0

에서 특이점이 없음을 보일 수 있다.

2. 2. 기번스-호킹 가설 풀이

에구치-핸슨 공간은 다음 퍼텐셜에 대한 기번스-호킹 가설 풀이로 구성될 수 있다.

:

V(\vec r) = \frac1{\|\vec r||} + \frac1{\|\vec r-\vec r_0\|}

3. 성질

에구치-핸슨 공간은 SU(2)=USp(2) 홀로노미를 가지므로, 칼라비-야우 다양체이자 초켈러 다양체이다.

에구치-핸슨 공간의 호지 수는 다음과 같다.

		1
	0		0
0		1		0
	0		0
		1

여기서 유일한 2차 호몰로지는 반 자기 쌍대(anti-self-dual^영어)이다. 즉, 반(反) 자기 쌍대 2차 미분 형식 (양-밀스 순간자)이 존재한다.

3. 1. 홀로노미

에구치-핸슨 공간은 SU(2)=USp(2) 홀로노미를 가진다. 따라서 이는 칼라비-야우 다양체이자 초켈러 다양체이다.

에구치-핸슨 공간의 호지 수들은 다음과 같다.

		1
	0		0
0		1		0
	0		0
		1

여기서 유일한 2차 호몰로지는 반 자기 쌍대(anti-self-dual^영어)이다. 즉, 반(反) 자기 쌍대 2차 미분 형식 (양-밀스 순간자)이 존재한다.

3. 2. 호지 수

에구치-핸슨 공간의 호지 수는 다음과 같다.

		1
	0		0
0		1		0
	0		0
		1

여기서 유일한 2차 호몰로지는 반 자기 쌍대(anti-self-dual^영어)이다. 즉, 반(反) 자기 쌍대 2차 미분 형식 (양-밀스 순간자)이 존재한다.

4. 역사

에구치 도루(江口徹|에구치 도루^일본어)와 앤드루 핸슨(Andrew J. Hanson^영어)이 1978년에 발견하였다.^[4]^[5]^[6] 이와 거의 동시에 에우제니오 칼라비도 같은 공간을 독자적으로 발견하였다.^[7]

참조

_[1] 논문 Selfdual solutions to Euclidean gravity http://www.slac.stan[...]
_[2] 논문 Métriques kählériennes et fibrés holomorphes http://www.numdam.or[...]
_[3] 서적 String Theory Volume II: Superstring Theory and Beyond Cambridge University Press 1998
_[4] 저널 Asymptotically flat self-dual solutions to euclidean gravity http://www.cs.indian[...] 1978-04-10
_[5] 저널 Self-dual solutions to Euclidean gravity http://www.cs.indian[...] 1979-07
_[6] 저널 Gravitational instantons http://www.cs.indian[...] 1979-12
_[7] 저널 Métriques kählériennes et fibrés holomorphes 1979

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