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역쌍곡선함수 적분표

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목차

1. 개요

역쌍곡선 함수 적분표는 주요 역쌍곡선 함수들의 적분 공식들을 모아 놓은 문서이다. 역쌍곡사인 함수, 역쌍곡코사인 함수, 역쌍곡탄젠트 함수, 역쌍곡코탄젠트 함수, 역쌍곡시컨트 함수, 역쌍곡코시컨트 함수 등 다양한 역쌍곡선 함수와 관련된 적분 공식들을 제공하며, 각 공식에서 C는 적분 상수를 나타낸다.

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역쌍곡선함수 적분표
역쌍곡선 함수 적분표
기본 형태
∫ sinh⁻¹(x/a) dxx sinh⁻¹(x/a) - √(x² + a²) + C
∫ cosh⁻¹(x/a) dxx cosh⁻¹(x/a) - √(x² - a²) + C (x > a 인 경우)
∫ tanh⁻¹(x/a) dxx tanh⁻¹(x/a) + a/2 ln|a² - x²| + C
∫ coth⁻¹(x/a) dxx coth⁻¹(x/a) + a/2 ln|x² - a²| + C
∫ sech⁻¹(x/a) dxx sech⁻¹(x/a) + a sin⁻¹(x/a) + C
∫ csch⁻¹(x/a) dxx csch⁻¹(x/a) + a ln[x/a + √(1 + x²/a²)] + C
부정적분 포함 형태
∫ sinh⁻¹(ax) dxx sinh⁻¹(ax) - √(1 + a²x²)/a + C
∫ cosh⁻¹(ax) dxx cosh⁻¹(ax) - √(a²x² - 1)/a + C
∫ tanh⁻¹(ax) dxx tanh⁻¹(ax) + ln(1 - a²x²)/(2a) + C
∫ coth⁻¹(ax) dxx coth⁻¹(ax) + ln(a²x² - 1)/(2a) + C
∫ sech⁻¹(ax) dxx sech⁻¹(ax) - arctan(x/√(1 - a²x²))/a + C
∫ csch⁻¹(ax) dxx csch⁻¹(ax) + ln(x + √(1 + a²x²))/(a·abs(x)) + C

2. 역쌍곡선 함수 적분 공식

다음은 주요 역쌍곡선 함수들의 적분 공식들이다. 여기서 C는 적분 상수를 나타낸다.


  • 역쌍곡사인 함수 (arsinh)
  • 역쌍곡코사인 함수 (arcosh) (en: arcosh)
  • 역쌍곡탄젠트 함수 (artanh)
  • 역쌍곡코탄젠트 함수 (arcoth)
  • 역쌍곡시컨트 함수 (arsech)
  • 역쌍곡코시컨트 함수 (arcsch)

2. 1. 역쌍곡사인 함수 (arsinh)

다음은 역쌍곡사인 함수(arsinh)의 적분 공식들이다.

:\int\operatorname{arsinh}(ax)\,dx= x\operatorname{arsinh}(ax)-\frac{\sqrt{a^2x^2+1}}{a}+C

:\int x\operatorname{arsinh}(ax)\,dx= \frac{x^2\operatorname{arsinh}(ax)}{2}+ \frac{\operatorname{arsinh}(ax)}{4a^2}- \frac{x \sqrt{a^2x^2+1}}{4a}+C

:\int x^2\operatorname{arsinh}(ax)\,dx= \frac{x^3\operatorname{arsinh}(ax)}{3}- \frac{\left(a^2x^2-2\right)\sqrt{a^2x^2+1}}{9a^3}+C

:\int x^m\operatorname{arsinh}(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\operatorname{arsinh}(ax)}{m+1}- \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{\sqrt{a^2x^2+1}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int\operatorname{arsinh}(ax)^2\,dx= 2x+x\operatorname{arsinh}(ax)^2- \frac{2\sqrt{a^2x^2+1}\operatorname{arsinh}(ax)}{a}+C

:\int\operatorname{arsinh}(ax)^n\,dx= x\operatorname{arsinh}(ax)^n- \frac{n\sqrt{a^2x^2+1}\operatorname{arsinh}(ax)^{n-1}}{a}+ n(n-1)\int\operatorname{arsinh}(ax)^{n-2}\,dx

:\int\operatorname{arsinh}(ax)^n\,dx= -\frac{x\operatorname{arsinh}(ax)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}+ \frac{\sqrt{a^2x^2+1}\operatorname{arsinh}(ax)^{n+1}}{a(n+1)}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}\int\operatorname{arsinh}(ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

2. 2. 역쌍곡코사인 함수 (arcosh)

arcosh영어는 역쌍곡코사인 함수이다.

:\int\operatorname{arcosh}(a\,x)\,dx=

x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)-

\frac{\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}{a}+C

:\int x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)dx=

\frac{x^2\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{2}-

\frac{\operatorname{arcosh}(a\,x)}{4\,a^2}-

\frac{x\,\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}{4\,a}+C

:\int x^2\,\operatorname{arcosh}(a\,x)dx=

\frac{x^3\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{3}-\frac{\left(a^2\,x^2+2\right)\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\,\operatorname{arcosh}(a\,x)dx=

\frac{x^{m+1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{m+1}\,-\,

\frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^2\,dx=

2\,x+x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^2-

\frac{2\,\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{a}+C

:\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^n\,dx=

x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^n\,-\,

\frac{n\,\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n-1}}{a}\,+\,

n\,(n-1)\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n-2}\,dx

:\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^n\,dx=

  • \frac{x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\,

\frac{\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,+\,

\frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

2. 3. 역쌍곡탄젠트 함수 (artanh)

:\int\operatorname{artanh}(ax)\,dx=

x\operatorname{artanh}(ax)+

\frac{\ln\left(1-a^2x^2\right)}{2a}+C

:\int x\operatorname{artanh}(ax)\,dx=

\frac{x^2\operatorname{artanh}(ax)}{2}-

\frac{\operatorname{artanh}(ax)}{2a^2}+\frac{x}{2a}+C

:\int x^2\operatorname{artanh}(ax)\,dx=

\frac{x^3\operatorname{artanh}(ax)}{3}+

\frac{\ln\left(1-a^2x^2\right)}{6a^3}+\frac{x^2}{6a}+C

:\int x^m\operatorname{artanh}(ax)\,dx=

\frac{x^{m+1}\operatorname{artanh}(ax)}{m+1}-

\frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{1-a^2x^2}\,dx\quad(m\ne-1)

2. 4. 역쌍곡코탄젠트 함수 (arcoth)

:\int\operatorname{arcoth}(ax)\,dx= x\operatorname{arcoth}(ax)+ \frac{\ln\left(a^2x^2-1\right)}{2a}+C

:\int x\operatorname{arcoth}(ax)\,dx= \frac{x^2\operatorname{arcoth}(ax)}{2}- \frac{\operatorname{arcoth}(ax)}{2a^2}+\frac{x}{2a}+C

:\int x^2\operatorname{arcoth}(ax)\,dx= \frac{x^3\operatorname{arcoth}(ax)}{3}+ \frac{\ln\left(a^2x^2-1\right)}{6a^3}+\frac{x^2}{6a}+C

:\int x^m\operatorname{arcoth}(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\operatorname{arcoth}(ax)}{m+1}+ \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{a^2x^2-1}\,dx\quad(m\ne-1)

2. 5. 역쌍곡시컨트 함수 (arsech)

\int \operatorname{arsech}(ax) \, dx = x \operatorname{arsech}(ax) - \frac{2}{a} \operatorname{arctan} \sqrt{\frac{1 - ax}{1 + ax}} + C

\int x \operatorname{arsech}(ax) \, dx = \frac{x^2 \operatorname{arsech}(ax)}{2} - \frac{(1 + ax)}{2a^2} \sqrt{\frac{1 - ax}{1 + ax}} + C

\int x^2 \operatorname{arsech}(ax) \, dx = \frac{x^3 \operatorname{arsech}(ax)}{3} - \frac{1}{3a^3} \operatorname{arctan} \sqrt{\frac{1 - ax}{1 + ax}} - \frac{x(1 + ax)}{6a^2} \sqrt{\frac{1 - ax}{1 + ax}} + C

\int x^m \operatorname{arsech}(ax) \, dx = \frac{x^{m + 1} \operatorname{arsech}(ax)}{m + 1} + \frac{1}{m + 1} \int \frac{x^m}{(1 + ax) \sqrt{\frac{1 - ax}{1 + ax}}} \, dx \quad (m \ne -1)

2. 6. 역쌍곡코시컨트 함수 (arcsch)

:\int\operatorname{arcsch}(ax)\,dx=

x\operatorname{arcsch}(ax)+

\frac{1}{a}\operatorname{arcoth}\sqrt{\frac{1}{a^2x^2}+1}+C

:\int x\operatorname{arcsch}(ax)\,dx=

\frac{x^2\operatorname{arcsch}(ax)}{2}+

\frac{x}{2a}\sqrt{\frac{1}{a^2x^2}+1}+C

:\int x^2\operatorname{arcsch}(ax)\,dx=

\frac{x^3\operatorname{arcsch}(ax)}{3}-

\frac{1}{6a^3}\operatorname{arcoth}\sqrt{\frac{1}{a^2x^2}+1}+

\frac{x^2}{6a}\sqrt{\frac{1}{a^2x^2}+1}+C

:\int x^m\operatorname{arcsch}(ax)\,dx=

\frac{x^{m+1}\operatorname{arcsch}(ax)}{m+1}+

\frac{1}{a(m+1)}\int\frac{x^{m-1}}{\sqrt{\frac{1}{a^2x^2}+1}}\,dx\quad(m\ne-1)


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