원추최적화

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1. 개요
2. 정의
3. 쌍대성 (Duality)
- 3.1. 원뿔 선형 계획법 (Conic LP)
- 3.2. 반정부호 계획법 (Semidefinite Program)
참조

1. 개요

원추 최적화는 실수 벡터 공간에서 정의된 볼록 함수를 볼록 뿔 위에서 최소화하는 문제이다. 아핀 변환 제약 조건 하에서 함수 값을 최소화하는 점을 찾는 것으로, 양의 사분 공간, 양의 반정부호 행렬, 2차원 원뿔 등이 볼록 뿔의 예시로 사용된다. 원추 최적화 문제는 선형 계획법, 반정부호 계획법, 2차원 원뿔 계획법 등으로 축소될 수 있으며, 쌍대성 개념을 통해 원뿔 선형 계획법과 반정부호 계획법의 쌍대 문제를 정의할 수 있다.

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원추최적화
원추 최적화
분야	최적화
유형	볼록 최적화
관련 항목

2. 정의

실수 벡터 공간 ''X''가 주어지고, 볼록 함수이며 실수 값을 갖는 함수

: $f:C \to \mathbb R$

가 볼록 뿔 $C \subset X$ 위에 정의되며, 일련의 아핀 변환 제약 조건 $h_i(x) = 0 \$ 에 의해 정의된 아핀 부분 공간 $\mathcal{H}$ 가 주어졌을 때, 원추 최적화 문제는 $C \cap \mathcal{H}$ 에서 $f(x)$ 의 값이 가장 작은 점 $x$ 를 찾는 것이다.

$C$ 의 예시로는 양의 사분 공간 $\mathbb{R}_+^n = \left\{ x \in \mathbb{R}^n : \, x \geq \mathbf{0}\right\}$ , 양의 반정부호 행렬 $\mathbb{S}^n_{+}$ , 그리고 '''2차원 원뿔''' $\left \{ (x,t) \in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R} : \lVert x \rVert \leq t \right \}$ 가 있다. 종종 $f \$ 는 선형 함수이며, 이 경우 원추 최적화 문제는 각각 선형 계획법, 반정부호 계획법, 2차원 원뿔 계획법으로 축소된다.

3. 쌍대성 (Duality)

원뿔 최적화 문제의 특정한 경우, 쌍대 문제에 대한 닫힌 형식 표현식을 얻을 수 있다.

3. 1. 원뿔 선형 계획법 (Conic LP)

실수 벡터 공간 ''X''와 볼록 뿔

C \subset X

위에 정의된 볼록 함수이자 실수 값을 갖는 함수

f:C \to \mathbb R

가 주어졌을 때, 아핀 변환 제약 조건

h_i(x) = 0 \

에 의해 정의된 아핀 부분 공간

\mathcal{H}

에서

C \cap \mathcal{H}

에 속하는

f(x)

의 최솟값을 갖는 점

x

를 찾는 것이 원추 최적화 문제이다.

원뿔 선형 계획법(Conic LP)은 다음 최소화 문제로 정의된다.

:

c^T x \

:제약 조건

Ax = b, x \in C \

이 문제의 쌍대 문제는 다음과 같다.

:

b^T y \

:제약 조건

A^T y + s= c, s \in C^* \

여기서

C^*

는

C \

의 쌍대 원뿔을 나타낸다.

원뿔 선형 계획법에서는 약한 쌍대성은 성립하지만, 강한 쌍대성은 반드시 성립하지 않는다.

3. 2. 반정부호 계획법 (Semidefinite Program)

부등식 형태의 반정부호 계획법의 쌍대 문제는 다음과 같이 주어진다.

최대화: 행렬 GZ의 대각합 (tr|트레이스^영어(GZ))
제약 조건: tr|트레이스^영어(F_iZ) + c_i = 0, i = 1, ..., n
Z ≥ 0

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