벡터 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 부분 공간과 기저
- 2.2. 선형 변환
3. 분류
4. 연산
5. 성질
6. 예
7. 관련 개념
참조

1. 개요

벡터 공간은 체 K에 대한 가군으로, 집합 V와 벡터 덧셈, 스칼라 곱셈 연산을 포함하는 튜플 (V, +, ·)로 정의된다. 벡터 공간은 아벨 군의 공리, K의 가군의 공리를 만족하며, 실수체 R에 대한 벡터 공간은 실수 벡터 공간, 복소수체 C에 대한 벡터 공간은 복소수 벡터 공간이라고 한다. 벡터 공간은 부분 공간, 기저, 선형 변환 등의 개념을 가지며, 몫공간, 직접곱, 직합, 텐서곱과 같은 연산을 통해 새로운 공간을 생성할 수 있다. 또한, 벡터 공간은 차원에 따라 완전히 분류되며, 노름 공간, 내적 공간, 힐베르트 공간, 아핀 공간 등 다양한 관련 개념을 통해 확장된다.

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벡터 공간
기본 정보
영어	vector space
별칭	선형 공간
정의
개요	선형대수학에서 벡터를 원소로 가지는 집합에 덧셈과 스칼라 곱셈이라는 두 연산이 정의되어 있으며, 이 두 연산이 특정 공리들을 만족하는 대수 구조
표현	덧셈은 두 벡터 v, w에 대해 v + w로 표현 스칼라 곱셈은 스칼라 c와 벡터 v에 대해 cv로 표현
주요 연산	벡터 덧셈: v + w 스칼라 곱셈: cv
예시	v + 2w
공리
벡터 덧셈	덧셈의 닫힘성: 임의의 벡터 v, w에 대해 v + w는 V의 원소 덧셈의 교환 법칙: 임의의 벡터 v, w에 대해 v + w = w + v 덧셈의 결합 법칙: 임의의 벡터 u, v, w에 대해 (u + v) + w = u + (v + w) 덧셈의 항등원: 모든 벡터 v에 대해 v + 0 = v를 만족하는 영벡터 0이 존재 덧셈의 역원: 모든 벡터 v에 대해 v + (−v) = 0을 만족하는 반대 벡터 (−v)가 존재
스칼라 곱셈	스칼라 곱셈의 닫힘성: 임의의 스칼라 c와 벡터 v에 대해 cv는 V의 원소 스칼라 곱셈의 분배 법칙: 임의의 스칼라 c, d와 벡터 v, w에 대해 c(v + w) = cv + cw (c + d)v = cv + dv 스칼라 곱셈의 결합 법칙: 임의의 스칼라 c, d와 벡터 v에 대해 c(dv) = (cd)v 스칼라 곱셈의 항등원: 모든 벡터 v에 대해 1v = v를 만족하는 스칼라 1이 존재
역사
개념 발전	좌표를 사용하지 않는 방법으로 기하학적 대상을 다루기 위해 발전
추상화	19세기 말에 현재의 공리적인 정의로 추상화
주요 연구	선형 변환 행렬
특징
특징	좌표에 의존하지 않음 (좌표 불변) 선형 변환의 연구에 핵심적인 역할
관련 개념
관련 개념	가군 차원 부분 공간 기저 선형 변환 텐서 힐베르트 공간

2. 정의

체 $K$ 위의 '''벡터 공간''' $(V,+,\cdot)$ 은 $K$ 에 대한 가군으로, 다음과 같은 요소들로 구성된다.

$V$ 는 집합이며, 이 집합의 원소를 '''벡터'''라고 한다.
$+\colon V\times V\to V$ 는 '''벡터 덧셈'''이라고 하는 함수이다.
$\cdot\colon K\times V\to V$ 는 '''스칼라 곱셈'''이라고 하는 함수이다.

이러한 연산들은 다음과 같은 공리들을 만족해야 한다.

$(V,+)$ 는 아벨 군을 이룬다.
* (벡터 덧셈의 결합 법칙) 임의의 $u,v,w\in V$ 에 대하여, $(u+v)+w=u+(v+w)$
* (벡터 덧셈의 교환 법칙) 임의의 $u,v\in V$ 에 대하여, $u+v=v+u$
* (벡터 덧셈의 항등원) 임의의 $u\in V$ 에 대하여 $u+0=u$ 인 원소 $0\in V$ 가 존재한다.
* (역원의 존재) 임의의 $u\in V$ 에 대하여, $-u+u=0$ 인 원소 $-u\in V$ 가 존재한다.
$(V,+,\cdot)$ 는 $K$ 의 가군을 이룬다.
* 임의의 $a,b\in K$ 및 $v\in V$ 에 대하여, $a\cdot(b\cdot v)=(ab)\cdot v$
* 임의의 $v\in V$ 에 대하여, $1\cdot v=v$ . 여기서 $1\in K$ 는 $K$ 의 곱셈 항등원이다.
* (분배 법칙) 임의의 $a,b\in K$ 및 $u,v\in V$ 에 대하여, $(a+b)\cdot(u+v)=a\cdot u+b\cdot u+a\cdot v+b\cdot v$

실수체

\mathbb R

에 대한 벡터 공간을 '''실수 벡터 공간'''(real vector space^영어)이라고 하며, 복소수체

\mathbb C

에 대한 벡터 공간을 '''복소수 벡터 공간'''(complex vector space^영어)이라고 한다.^[1]

벡터 공간이 되기 위한 8가지 공리는 다음과 같다.^[2]

공리	명제
벡터 덧셈의 결합법칙
벡터 덧셈의 교환법칙
벡터 덧셈의 항등원	모든 $\mathbf{v} \in V$ 에 대해 $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$ 인 영벡터라고 하는 원소 $\mathbf{0} \in V$ 가 존재한다.
벡터 덧셈의 역원	모든 $\mathbf{v} \in V$ 에 대해 $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ 인 $\mathbf{v}$ 의 덧셈에 대한 역원이라고 하는 원소 $-\mathbf{v} \in V$ 가 존재한다.
스칼라 곱과 체 곱의 호환성	$a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}$ ^[3]
스칼라 곱의 항등원	$F$ 의 곱셈 항등원을 나타내는 $1$ 에 대해 $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$ 이다.
벡터 덧셈에 대한 스칼라 곱의 분배법칙	$a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}$
체 덧셈에 대한 스칼라 곱의 분배법칙	$(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$

스칼라 체가 실수이면 '''실수 벡터 공간''', 복소수이면 '''복소수 벡터 공간'''이라고 한다. 이 두 경우가 가장 일반적이지만, 임의의 체 $F$ 를 스칼라로 갖는 벡터 공간도 고려되며, 이를 $F$ -벡터 공간 또는 $F$ 위의 벡터 공간이라고 한다.

벡터 공간의 정의는 체 위의 가군으로 간단하게 표현할 수도 있다.

2. 1. 부분 공간과 기저

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$의 부분 집합 $W\subseteq V$가 다음 조건을 만족하면, $W$를 $V$의 부분 벡터 공간이라고 한다.

$0_V\in W$
임의의 $u,v\in W$에 대하여, $u+v\in W$
임의의 $a\in K$ 및 $u\in W$에 대하여, $a\cdot u\in W$

즉, 부분 벡터 공간은 $V$의 연산들을 제한시켜 새로운 더 작은 벡터 공간을 이룰 수 있는 부분 집합이다.

벡터 공간 $V$의 부분 집합 $S$에 대하여, $S$의 생성($\operatorname{Span}S$)은 $S$를 포함하는 모든 부분 공간들의 교집합이다. 만약 $S$에서, $s\in\operatorname{Span}(S\setminus\{s\})$인 원소 $s\in S$가 존재하지 않는다면, $S$가 선형 독립 집합이라고 한다. 생성이 벡터 공간 전체인 선형 독립 집합을 기저라고 한다.

선택 공리를 가정하면, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 가지며, 모든 기저들은 항상 같은 크기를 갖는다. 벡터 공간 $V$의 기저의 크기를 벡터 공간의 차원($\dim V\in\operatorname{Card}$)이라고 한다.

의 벡터 } (파랑)를 다른 기저에 의해 나타낸 것: 의 표준기저에 의한 (검정)과 다른 사교기저에 의한 (빨강)

기저는 간명한 방법으로 벡터 공간의 구조를 명확히 한다. 기저란, 적당한 첨자 집합으로 첨자를 붙인 벡터의 (유한 또는 무한) 집합 ${\displaystyle B=\{v_{i}\}_{i\in I}}$이며, 그것이 전체 공간을 생성하는 것 중에서 최소가 되는 것을 말한다. 이 조건은, 임의의 벡터 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 가 기저 원소의 유한 선형결합

${\displaystyle v=a_{1}\boldsymbol {v} _{i_{1}}+a_{2}\boldsymbol {v} _{i_{2}}+\dotsb +a_{n}\boldsymbol {v} _{i_{n}}}$

(${\displaystyle a_{k}}$가 스칼라이고 ${\displaystyle \boldsymbol {v} _{i_{k}}}$가 기저 ${\displaystyle B}$의 원소, ${\displaystyle k=1,\cdots ,n}$)로서 표현되는 것을 의미하며, 또 최소성은 ${\displaystyle B}$가 일차독립성을 갖도록 하기 위한 것이다. 여기서 벡터의 집합이 일차독립이라는 것은, 그 어떤 원소도 나머지 원소의 선형결합으로 표현되는 것이 아닐 때를 말하며, 이것은 또 방정식

${\displaystyle a_{1}\boldsymbol {v} _{i_{1}}+a_{2}\boldsymbol {v} _{i_{2}}+\dotsb +a_{n}\boldsymbol {v} _{i_{n}}=\boldsymbol {0} }$

이 만족되는 것이, 모든 스칼라 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$가 영(0)에 등가일 경우에 한정된다고 해도 같은 것이다. 기저의 일차독립성은 ${\displaystyle V}$의 임의의 벡터가 기저 벡터에 의한 표현(그러한 표현이 가능한 것은 기저가 전체 공간 ${\displaystyle V}$를 생성하는 것으로부터 보장된다)이 유일함을 보장한다.^[4] 이것은 기저 벡터를 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$에서의 기본 벡터 ${\displaystyle x,y,z}$나 고차원의 경우의 유사한 대상을 일반화한 것으로 봄으로써, 벡터 공간의 관점에서의 좌표화로서 서술할 수 있다.

2. 2. 선형 변환

선형 변환은 두 벡터 공간 사이의 함수로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 사상이다. 즉, 임의의 벡터 x, y ∈ *V* 와 임의의 스칼라 *a* ∈ *F* 에 대해 다음이 성립한다.

:

f(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = f(\boldsymbol{x}) + f(\boldsymbol{y}), \quad f(a\boldsymbol{x}) = af(\boldsymbol{x})

^[25]

두 벡터 공간 사이에 가역 선형 변환이 존재하면 두 공간은 '''동형'''이라고 한다. 예를 들어, 평면 위의 유향 선분(화살표)의 벡터 공간과 수의 순서쌍의 벡터 공간은 동형이다.

벡터 '''v'''를 그 좌표 x와 y로 기술하는 것은 벡터 공간의 동형이다

고정된 벡터 공간 사이의 선형 사상 *V* → *W* 전체는 그 자체로 선형 공간을 이루며, 또는 로 표기된다.^[28] *V*에서 계수체 *F*로의 선형 사상 전체의 공간은 *V*의 쌍대 벡터 공간 *V*^∗이라고 불린다.^[29]

행렬은 선형 변환의 정보를 기술하는데 유용한 개념이다.^[30] 행렬은 스칼라의 직사각형 배열로 표기된다. 임의의 *m* × *n* 행렬 *A*는 *F*^*n*에서 *F*^*m*로의 선형 변환을 나타낸다.

정방 행렬 *A*의 행렬식 det(*A*)은 *A*에 대응하는 선형 변환이 동형인지 아닌지를 측정하는 스칼라이다. 동형이 되려면 행렬식의 값이 0이 아니어야 한다.^[31]

3. 분류

선택 공리를 가정하면, 주어진 체 K 위의 벡터 공간은 그 차원에 따라 완전히 분류된다.^[23] 이는 선택 공리를 필요로 하며, 선택 공리가 없으면 모든 벡터 공간이 차원을 갖는다는 것을 보일 수 없다.

벡터 공간은 차원에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

유한 차원 벡터 공간(유한 벡터 공간): 유한 개의 벡터들의 집합으로 생성되거나, 영벡터만으로 이루어진 벡터 공간이다.^[23]
무한 차원 벡터 공간: 유한 차원 벡터 공간이 아닌 벡터 공간이다.^[24]

4. 연산

같은 체 $K$ 위의 벡터 공간에 대해 다음과 같은 연산들을 정의할 수 있다.

실수 $x$ 와 $y$ 의 순서쌍 $(x, y)$ 는 벡터 공간의 한 예시이다. 두 순서쌍의 합과 스칼라와 순서쌍의 곱은 다음과 같이 정의된다.^[1]

: $\begin{align}(x_1 , y_1) + (x_2 , y_2) &= (x_1 + x_2, y_1 + y_2), \\a(x, y) &= (ax, ay).\end{align}$

이는 직교좌표를 통해 화살표로 표현할 수 있다.

주어진 벡터 공간을 이용하여 새로운 벡터 공간을 생성하는 여러 표준적인 선형대수적 구성들이 존재한다.

'''직접곱''': 색인 집합 $I$ 의 각 원소 $i$ 에 대해 벡터 공간 $V_i$ 의 원소 $\mathbf{v}_i$ 를 지정하는 모든 튜플 $\left(\mathbf{v}_i\right)_{i \in I}$ 의 집합으로, 덧셈과 스칼라 곱셈은 성분별로 수행된다.
'''직합''': 직접곱의 변형으로, 유한 개의 영이 아닌 벡터만 있는 튜플만 허용된다. 색인 집합 $I$ 가 유한하면 직접곱과 일치하지만, 무한하면 다르다.
'''텐서곱''': $V \otimes_F W$ 또는 $V \otimes W$ 로 표기하며, 선형 사상을 여러 변수로 확장하는 다중 선형 대수의 중심 개념 중 하나이다. 텐서곱은 이중선형 사상 $g$ 의 '보편적인' 수용체인 특정 벡터 공간으로, 텐서라고 하는 기호들의 유한한 (형식적인) 합으로 구성된다.^[6]

:

\mathbf{v}_1 \otimes \mathbf{w}_1 + \mathbf{v}_2 \otimes \mathbf{w}_2 + \cdots + \mathbf{v}_n \otimes \mathbf{w}_n,

위 식은 다음 규칙을 따른다.

:

\begin{alignat}{6}a \cdot (\mathbf{v} \otimes \mathbf{w}) ~&=~ (a \cdot \mathbf{v}) \otimes \mathbf{w} ~=~ \mathbf{v} \otimes (a \cdot \mathbf{w}), && ~~\text{ 여기서 } a \text{는 스칼라이다.} \\(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) \otimes \mathbf{w} ~&=~ \mathbf{v}_1 \otimes \mathbf{w} + \mathbf{v}_2 \otimes \mathbf{w}  &&  \\\mathbf{v} \otimes (\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2) ~&=~ \mathbf{v} \otimes \mathbf{w}_1 + \mathbf{v} \otimes \mathbf{w}_2.  &&  \\\end{alignat}

4. 1. 몫공간

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$와 그 부분 공간 $W$가 주어졌을 때, $V$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

:$v \sim w \iff v - w \in W$

이 동치 관계에 대한 동치류는 다음과 같다.

:$[v]_\sim = v + W = \{v + w : w \in W\} \qquad (v \in V)$

'''몫공간'''(quotient space) $V/W$는 이 동치류들의 몫집합이다.

:$V/W = \{v + W : v \in V\}$

그 위의 벡터 공간 연산은 다음과 같이 정의된다.

:$(v + W) + (w + W) = (v + w) + W$

:$a \cdot (v + W) = a \cdot v + W$

이 정의는 동치류의 대표원을 선택하는 방식과 무관하며, 이 연산들은 집합으로서의 연산과 일치하지 않는다.

임의의 부분공간 $W \subseteq V$가 주어지면, 몫공간 $V/W$ ("$V$ 모듈로 $W$")는 다음과 같이 정의된다. 집합으로서, $V/W$는 다음과 같이 구성된다.

:$\mathbf{v} + W = \{\mathbf{v} + \mathbf{w} : \mathbf{w} \in W\}$

여기서 $\mathbf{v}$는 $V$의 임의의 벡터이다. 이러한 두 원소 $\mathbf{v}_1 + W$와 $\mathbf{v}_2 + W$의 합은 $(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) + W$이고, 스칼라 곱셈은 $a \cdot (\mathbf{v} + W) = (a \cdot \mathbf{v}) + W$로 주어진다. 이 정의의 핵심은 $\mathbf{v}_1 + W = \mathbf{v}_2 + W$ if and only if $\mathbf{v}_1$과 $\mathbf{v}_2$의 차가 $W$에 있다는 것이다.^[5] 이러한 방식으로, 몫공간은 부분공간 $W$에 포함된 정보를 "잊어버린다".

부분공간과 대응되는 개념으로 '''상공간'''이 있다.^[4] 임의의 부분공간 $W \subset V$에 대해, ("$V$를 $W$로 나눈") 상공간 $V/W$는 다음과 같이 정의된다. 먼저 집합으로서 $V/W$는 $\mathbf{v}$를 $V$의 임의의 벡터로 하여 $\mathbf{v} + W = \{\mathbf{v} + \mathbf{w} | \mathbf{w} \in W\}$ 형태의 집합 전체로 이루어진다. 그 두 원소 $\mathbf{v}_1 + W$ 및 $\mathbf{v}_2 + W$의 합은 $(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) + W$이고, 또한 스칼라 배의 곱은 $a(\mathbf{v} + W) = (a\mathbf{v}) + W$로 주어진다. 이 정의의 핵심은 $\mathbf{v}_1 + W = \mathbf{v}_2 + W$이 되는 동치 관계가 $\mathbf{v}_1$와 $\mathbf{v}_2$의 차가 $W$에 들어가는 것이다.^[28] 이 방법으로 상공간은 부분공간 $W$에 포함된 정보를 “잊어버린” 것이 된다.

4. 2. 직접곱

K

위의 벡터 공간들의 집합

\{V_i\}_{i\in I}

이 주어졌을 때, 이들의 '''직접곱'''

:

\prod_{i\in I}V_i

은 집합으로서

V_i

들의 곱집합이다. 이 위에는 자연스러운

K

-벡터 공간의 구조가 존재한다. 즉,

:

(a_i)_{i\in I}+(b_i)_{i\in I}=(a_i+b_i)_{i\in I}

:

c\cdot(a_i)_{i\in I}=(c\cdot a_i)_{i\in I}

이는 벡터 공간의 범주에서의 곱이며, 대수 구조로서의 직접곱이다. 즉, 자연스러운 사영 사상

:

\pi_i\colon\prod_{i\in I}V_i\to V_i

이 존재하며, 이는 선형 변환을 이룬다.

벡터 공간의 ''직접곱''

\textstyle{\prod_{i \in I} V_i}

는 색인 집합

I

의 각 색인

i

에 대해

V_i

의 원소

\mathbf{v}_i

를 지정하는 모든 튜플

\left(\mathbf{v}_i\right)_{i \in I}

의 집합으로 구성된다. 덧셈과 스칼라 곱셈은 성분별로 수행된다.

I

로 첨자가 매겨진 벡터 공간의 집합

V_i

의 '''직적'''

\prod_{i \in I} V_i

은 순서쌍

(\boldsymbol{v}_i)_{i \in I} = (\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \dotsc) \quad (\boldsymbol{v}_i \in V_i)

전체의 집합에 덧셈과 스칼라 곱셈을 성분별 연산으로 정의한 것이다.^[1]

4. 3. 직합

K

위의 벡터 공간들의 집합

\{V_i\}_{i\in I}

이 주어졌을 때, 이들의 '''직합'''은 다음과 같다.

:

\bigoplus_{i\in I}V_i=\left\{a\in \prod_{i\in I}V_i\colon|\{i\in I\colon a_i\ne0\}|<\aleph_0\right\}\subseteq\prod_{i\in I}V_i

즉, 직접곱에서 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 쌍대곱이며, 가군의 직합의 특수한 경우이다. 자연스러운 포함 사상

:

\iota_i\colon V_i\hookrightarrow\bigoplus_{i\in I}V_i

가 존재하며, 따라서 각

V_i

는

\bigoplus_{i\in I}V_i

의 부분 공간을 이룬다.

유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약

S_i\subset V_i

가

V_i

의 기저라면,

:

\bigcup_{i\in I}\iota_i(S_i)\subset\bigoplus_{i\in I}V_i

는

\bigoplus_{i\in I}V_i

의 기저를 이룬다. 따라서,

:

\dim\bigoplus_{i\in I}V_i=\sum_{i\in I}\dim V_i

이다. 여기서 우변은 기수의 합이다.

4. 4. 텐서곱

tensor product|텐서곱^영어은 다중선형대수에서 선형 사상을 다변수로 확장하는 개념이다.

V \times W

에서

X

로의 사상

g : V \times W \to X

는 두 변수

\mathbf{v}

와

\mathbf{w}

에 대해 선형일 때 이중선형이라고 한다. 즉, 고정된

\mathbf{w}

에 대해 사상

\mathbf{v} \mapsto g(\mathbf{v}, \mathbf{w})

는 선형이며, 고정된

\mathbf{v}

에 대해서도 마찬가지이다.

텐서곱은 이중선형 사상

g

의 보편적인 수용체인 특정 벡터 공간으로 다음과 같이 정의된다. 텐서라고 하는 기호들의 유한한 (형식적인) 합으로 구성된 벡터 공간으로 정의된다.

:

\mathbf{v}_1 \otimes \mathbf{w}_1 + \mathbf{v}_2 \otimes \mathbf{w}_2 + \cdots + \mathbf{v}_n \otimes \mathbf{w}_n,

다음 규칙을 따른다.^[6]

:

\begin{alignat}{6}a \cdot (\mathbf{v} \otimes \mathbf{w}) ~&=~ (a \cdot \mathbf{v}) \otimes \mathbf{w} ~=~ \mathbf{v} \otimes (a \cdot \mathbf{w}), && ~~\text{ 여기서 } a \text{는 스칼라이다.} \\(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) \otimes \mathbf{w} ~&=~ \mathbf{v}_1 \otimes \mathbf{w} + \mathbf{v}_2 \otimes \mathbf{w}  &&  \\\mathbf{v} \otimes (\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2) ~&=~ \mathbf{v} \otimes \mathbf{w}_1 + \mathbf{v} \otimes \mathbf{w}_2.  &&  \\\end{alignat}

이러한 규칙은

V \times W

에서

V \otimes W

로의 사상

f

(튜플

(\mathbf{v}, \mathbf{w})

를

\mathbf{v} \otimes \mathbf{w}

로 사상)이 이중선형임을 보장한다. 가환도식은 텐서곱의 보편 성질을 보여준다.

보편성은 임의의 벡터 공간

X

와 임의의 이중선형 사상

g : V \times W \to X

이 주어지면,

f

와의 합성이

g

와 같은 고유한 사상

u

가 존재함을 나타낸다. 즉,

u(\mathbf{v} \otimes \mathbf{w}) = g(\mathbf{v}, \mathbf{w}).

이다.^[29]

벡터 공간들의 집합

\{V_i\}_{i\in I}

의 텐서곱은 다중 선형 사상에 대한 보편 성질을 만족하는 벡터 공간이다.^[44]

두 벡터 공간

V

,

W

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot\dim W

여기서

\cdot

은 기수의 곱셈이다.

5. 성질

체 ''K'' 위의 벡터 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.^[1]

체 ''K'' 위의 벡터 공간 ''V''의 집합의 크기는 다음과 같다.

:

|V|=\begin{cases}|K|^{\dim_KV}&\kappa<\aleph_0\\\max\

6. 예

유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 은 $n$ 차원 실수 벡터 공간이다.^[1]
체 $K$ 위의 $m\times n$ 행렬의 집합은 $mn$ 차원 $K$ -벡터 공간을 이룬다.^[1]
임의의 위상 공간 $X$ 위의 모든 연속 실함수의 집합 $\mathcal C(X,\mathbb R)$ 는 실수 벡터 공간을 이룬다.^[1]
체 $K$ 위의 벡터 공간 V와 어떤 집합 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 에서 $V$ 로의 함수 $f\colon X\to V$ 들의 집합은 $F$ 위의 벡터 공간을 이룬다. 이는 $V$ 의 $|X|$ 개 직접곱 $V^{\times|X|}$ 과 동형이다.^[1]
체 $K$ 에 대하여, 다항식환 $K[x]$ 및 형식적 거듭제곱 급수환 $Fx$ 는 $K$ 위의 벡터 공간이다.^[1]
임의의 체의 확대 $L/K$ 의 경우, $L$ 은 $K$ 위의 벡터 공간을 이루며, 벡터 공간으로서의 차원은 체의 확대의 차수이다.^[1]
유한체 $\mathbb F_{p^n}$ 은 $\mathbb F_p$ 위의 $n$ 차원 벡터 공간이다.^[1]
$\mathbb C$ 는 $\mathbb R$ 위의 2차원 벡터 공간이다.^[1]
$\mathbb R$ 는 $\mathbb Q$ 위의 $2^{\aleph_0}$ 차원 벡터 공간이다.^[1]
모든 대수적 수체는 $\mathbb Q$ 위의 벡터 공간이다.^[1]

7. 관련 개념

노름 공간, 바나흐 공간, 내적 공간, 힐베르트 공간, 위상 벡터 공간 등은 벡터 공간에 추가적인 구조를 부여한 공간이다.^[1] 벡터 공간은 환 위의 가군의 특수한 경우이며, 자유 가군은 벡터 공간과 비슷한 성질을 보인다. 벡터 공간의 개념은 아핀 공간 및 사영 공간과 연관되어 있다.

벡터의 "측정"은 벡터의 길이를 측정하는 노름 또는 벡터 사이의 각도를 측정하는 내적을 지정하여 수행된다. 노름과 내적은 각각 $| \mathbf v|$ 와 $\lang \mathbf v , \mathbf w \rang$ 로 표시된다. 이러한 데이터를 갖는 벡터 공간은 각각 ''노름 벡터 공간''과 ''내적 공간''으로 알려져 있다.^[2]

수렴에 대한 문제는 서로 가까운 원소에 대해 논의할 수 있는 구조인, 호환되는 위상을 갖는 벡터 공간 $V$ 를 고려하여 다룬다.^[3] 이러한 ''위상 벡터 공간''에서 벡터의 급수를 고려할 수 있다.

특정 무한 급수의 극한의 존재를 보장하는 한 가지 방법은 모든 코시 수열이 극한을 갖는 공간으로 제한하는 것이다. 이러한 벡터 공간을 완비라고 한다. 바나흐 공간과 힐베르트 공간은 각각 노름과 내적에 의해 주어지는 위상을 갖는 완비 위상 벡터 공간이다.^[4]

스테판 바나흐가 도입한 바나흐 공간은 완비된 노름 벡터 공간이다.^[5]

완비 내적 공간을 다비트 힐베르트의 업적을 기념하여 ''힐베르트 공간''이라고 부른다.^[6]

참조

_[1] 일반
_[2] 일반
_[3] 일반
_[4] 일반
_[5] 일반
_[6] 일반
_[7] 일반
_[8] 일반
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_[17] 웹사이트 線形代数学 IⅠ 授業1: ベクトル空間 https://www.math.nag[...] 名古屋大学 2014
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_[23] 웹사이트 基底の存在と次元 http://www.ocw.titec[...] 東京工業大学 2013
_[24] 웹사이트 基底の存在と次元 http://www.ocw.titec[...] 東京工業大学 2013
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_[44] 저널 On genuine infinite algebraic tensor products 2013

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