원통셸 방법

3. 공식 유도

원통셸 방법의 공식은 다음과 같이 유도할 수 있다.

''xy'' 평면에서 ''y''축을 따라 회전하여 생긴 회전체의 부피를 구하는 경우를 생각해보자. 단면 함수가 폐구간 [''a'', ''b'']에서 양의 값을 가지는 함수 ''f''(''x'')의 그래프라고 가정하면, 부피 공식은 다음과 같다.

:$2\; \backslash pi\; \backslash int\_a^b\; x\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$

함수가 ''y''의 함수로 정의되고 회전축이 ''x''축일 경우 공식은 다음과 같이 바뀐다.

:$2\; \backslash pi\; \backslash int\_a^b\; y\; f(y)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}y$

함수가 ''x=h'' 또는 ''y=k''를 회전축으로 잡을 경우, 공식은 다음과 같이 바뀐다.

:$\backslash begin\{cases\}$

\displaystyle 2 \pi \int_a^b (x-h) f(x)\,{\rm d}x, & \text{if}\ h \le a < b\\

\displaystyle 2 \pi \int_a^b (h-x) f(x)\,{\rm d}x, & \text{if}\ a < b \le h

\end{cases}

그리고

:$\backslash begin\{cases\}$

\displaystyle 2 \pi \int_a^b (y-k) f(y)\,{\rm d}y, & \text{if}\ k \le a < b\\

\displaystyle 2 \pi \int_a^b (k-y) f(y)\,{\rm d}y, & \text{if}\ a < b \le k

\end{cases}

이 식은 극좌표계에서 중적분 계산으로 도출할 수 있다.

4. 예시

닫힌 구간 [1, 2]에서 다음과 같이 정의된 회전체의 부피를 구하는 방법을 알아보자.

:$y\; =\; (x-1)^2(x-2)^2$

이 경우 원판 적분법을 사용하면 ''x''를 ''y''에 대해 풀어야 한다. 이 회전체는 가운데에 구멍이 뚫린 형태이므로 바깥 부분과 안쪽 부분의 부피를 각각 구한 후, 바깥 부분 부피에서 안쪽 부분 부피를 빼야 한다.

반면 원통셸 방법을 사용하면 공식은 다음과 같이 간단하게 정리된다.

:$2\; \backslash pi\; \backslash int\_1^2\; x\; (x-1)^2(x-2)^2\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$

다항식을 전개한 후 적분하면 우리가 찾는 부피는 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{10\}$이다.

4. 1. 원판 적분법과의 비교

참조

_[1] 웹사이트 Volume – Shell Method https://math.la.asu.[...] 2014-01-01
_[2] 웹사이트 Volume – Shell Method https://math.la.asu.[...] 2014-01-01