원통셸 방법

1. 개요

원통셸 방법은 xy 평면의 단면을 y축을 중심으로 회전하여 생성된 회전체의 부피를 계산하는 데 사용되는 적분 기술이다. 함수 f(x)로 정의된 단면을 구간 [a, b]에서 회전시킬 때, 부피는 2π∫[a,b] x f(x) dx로 계산된다. 회전축이 x축이거나 다른 경우에도 유사한 공식을 적용할 수 있으며, 이는 극좌표계에서 중적분 계산을 통해 유도된다. 원통셸 방법은 원판 적분법보다 복잡한 형태의 부피 계산에 유용하게 사용될 수 있다.

2. 정의

xy평면에서 단면을 y축을 따라 회전하여 만든 회전체의 부피를 구하는 경우를 생각해 보자. 단면 함수가 폐구간 [a, b]에서 양의 값을 가지는 함수 f(x)의 그래프라고 가정하면, 부피 공식은 다음과 같다.

:$2\; \backslash pi\; \backslash int\_a^b\; x\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$

함수가 y의 함수로 정의되고 회전축이 x축이면 공식은 다음과 같이 바뀐다.

:$2\; \backslash pi\; \backslash int\_a^b\; y\; f(y)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}y$

함수가 x=h 또는 y=k를 회전축으로 잡을 경우, 공식은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{cases\}$
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (x-h) f(x)\,{\rm d}x, & \text{if}\ h \le a < b\\
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (h-x) f(x)\,{\rm d}x, & \text{if}\ a < b \le h
\end{cases}

:$\backslash begin\{cases\}$
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (y-k) f(y)\,{\rm d}y, & \text{if}\ k \le a < b\\
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (k-y) f(y)\,{\rm d}y, & \text{if}\ a < b \le k
\end{cases}

이 식은 극좌표계에서 중적분을 계산하여 도출할 수 있다.

3. 공식 유도

원통셸 방법의 공식은 다음과 같이 유도할 수 있다.

xy 평면에서 y축을 따라 회전하여 생긴 회전체의 부피를 구하는 경우를 생각해보자. 단면 함수가 폐구간 [a, b]에서 양의 값을 가지는 함수 f(x)의 그래프라고 가정하면, 부피 공식은 다음과 같다.

:$2\; \backslash pi\; \backslash int\_a^b\; x\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$

함수가 y의 함수로 정의되고 회전축이 x축일 경우 공식은 다음과 같이 바뀐다.

:$2\; \backslash pi\; \backslash int\_a^b\; y\; f(y)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}y$

함수가 x=h 또는 y=k를 회전축으로 잡을 경우, 공식은 다음과 같이 바뀐다.
:$\backslash begin\{cases\}$
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (x-h) f(x)\,{\rm d}x, & \text{if}\ h \le a < b\\
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (h-x) f(x)\,{\rm d}x, & \text{if}\ a < b \le h
\end{cases}
그리고
:$\backslash begin\{cases\}$
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (y-k) f(y)\,{\rm d}y, & \text{if}\ k \le a < b\\
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (k-y) f(y)\,{\rm d}y, & \text{if}\ a < b \le k
\end{cases}

이 식은 극좌표계에서 중적분 계산으로 도출할 수 있다.

4. 예시

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닫힌 구간 [1, 2]에서 다음과 같이 정의된 회전체의 부피를 구하는 방법을 알아보자.

:$y\; =\; (x-1)^2(x-2)^2$

이 경우 원판 적분법을 사용하면 x를 y에 대해 풀어야 한다. 이 회전체는 가운데에 구멍이 뚫린 형태이므로 바깥 부분과 안쪽 부분의 부피를 각각 구한 후, 바깥 부분 부피에서 안쪽 부분 부피를 빼야 한다.

반면 원통셸 방법을 사용하면 공식은 다음과 같이 간단하게 정리된다.

:$2\; \backslash pi\; \backslash int\_1^2\; x\; (x-1)^2(x-2)^2\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$

다항식을 전개한 후 적분하면 우리가 찾는 부피는 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{10\}$이다.

4.1. 원판 적분법과의 비교

원판 적분법을 사용하여 부피를 구하려면 더 많은 작업이 필요하다. 먼저, y = (x − 1)²(x − 2)²를 x에 대해 풀어야 한다. 또한, 부피가 중간에 비어 있기 때문에 외부 고체를 정의하는 함수와 내부 빈 공간을 정의하는 함수, 이렇게 두 개의 함수가 필요하다. 각 함수를 적분한 다음, 빼서 원하는 부피를 얻어야 한다.

반면 원통셸 방법을 사용할 경우 공식은 다음과 같이 정리된다.

:$2\; \backslash pi\; \backslash int\_1^2\; x\; (x-1)^2(x-2)^2\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$

다항식을 전개한 후 적분하면 되므로 과정이 간단하다. 이 식을 계산하면 부피는 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{10\}$가 된다.