원 안에 원 채우기

1. 개요

원 안에 원 채우기는 주어진 원 안에 가능한 많은 원을 배치하는 문제이다. 이 문서에서는 덮는 원의 반지름, 밀도, 최적성, 그리고 각 경우에 대한 원의 배치 그림을 표로 정리하여 1개에서 20개까지의 원을 채우는 경우를 보여준다. 최적 해가 여러 개인 경우 모두 표시하며, 특수한 경우와 강성 최적 포장, 밀도와 관련된 특이 사항에 대해서도 설명한다.

2. 해의 목록 (1 ≤ n ≤ 20)

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📌 열 고정 해제

$n$	덮는 원의 반지름 $r$	밀도 $n\backslash !/r^2$	최적성	$n$개의 원의 배치
1	1	1.000...	자명하게 최적임.
2	2	0.500...	자명하게 최적임.
3	$1+\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$ 2.155...	0.6466...	자명하게 최적임.
4	$1+\backslash sqrt\{2\}$ 2.414...	0.6864...	자명하게 최적임.
5	$1+\backslash sqrt\{2\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\backslash right)\}$ 2.701...	0.6854...	Graham(1968)에 의해 최적임이 증명됨
6	3	0.6666...	Graham(1968)에 의해 최적임이 증명됨
7	3	0.7777...	자명하게 최적임.
8	$1+\backslash frac\{1\}\{\backslash sin\backslash frac\{\backslash pi\}\{7\}\}$ 3.304...	0.7328...	Pirl(1969)에 의해 최적임이 증명됨
9	$1+\backslash sqrt\{2\backslash left(2+\backslash sqrt\{2\}\backslash right)\}$ 3.613...	0.6895...	Pirl(1969)에 의해 최적임이 증명됨
10	3.813...	0.6878...	Pirl(1969)에 의해 최적임이 증명됨
11	$1+\backslash frac\{1\}\{\backslash sin\backslash frac\{\backslash pi\}\{9\}\}$ 3.923...	0.7148...	Melissen(1994)에 의해 최적임이 증명됨
12	4.029...	0.7392...	Fodor(2000)에 의해 최적임이 증명됨
13	$2\; +\; \backslash sqrt\{5\}$ 4.236...	0.7245...	Fodor(2003)에 의해 최적임이 증명됨
14	4.328...	0.7474...	Ekanayake 및 LaFountain(2024)에 의해 최적임이 증명됨.
15	$1\backslash !+\backslash !\backslash sqrt\{6\backslash !+\backslash !\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\backslash !+\backslash !4\; \backslash sqrt\{1\backslash !+\backslash !\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\}\}$ 4.521...	0.7339...	Pirl(1969)에 의해 최적임이 추측됨.
16	4.615...	0.7512...	Goldberg(1971)에 의해 최적임이 추측됨.
17	4.792...	0.7403...	Reis(1975)에 의해 최적임이 추측됨.
18	$1+\backslash sqrt\{2\}+\backslash sqrt\{6\}$ 4.863...	0.7609...	Pirl(1969)에 의해 최적임이 추측됨, Graham, Lubachevsky, Nurmela, 및 Östergård (1998)에 의해 추가적인 배치가 이루어짐.
19	$1+\backslash sqrt\{2\}+\backslash sqrt\{6\}$ 4.863...	0.8032...	Fodor(1999)에 의해 최적임이 증명됨
20	5.122...	0.7623...	Goldberg (1971)에 의해 최적임이 추측됨.

3.

4.

5.

6. 특수한 경우

강성을 갖는 최적 포장은 26개만 있는 것으로 생각된다.

* n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 19에 대해 증명되었다.
* n = 15, 16, 17, 18, 22, 23, 27, 30, 31, 33, 37, 61, 91에 대해 추측된다.

이 중, n = 2, 3, 4, 7, 19, 37에 대한 해는 1보다 큰 임의의 작은 숫자보다 더 큰 포장 밀도를 달성한다. (더 높은 밀도 기록은 모두 흔들림을 가지고 있다.) 여기서 굵은 숫자는 소수이다.

6.1. 강성 최적 포장

강성을 갖는 최적 포장은 26개만 있는 것으로 생각된다.

* n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 19에 대해 증명되었다.
* n = 15, 16, 17, 18, 22, 23, 27, 30, 31, 33, 37, 61, 91에 대해 추측된다.

이 중, n = 2, 3, 4, 7, 19, 37에 대한 해는 1보다 큰 임의의 작은 숫자보다 더 큰 포장 밀도를 달성한다. (더 높은 밀도 기록은 모두 흔들림을 가지고 있다.) 여기서 굵은 숫자는 소수이다.

6.2. 밀도와 관련된 특이 사항

n = 2, 3, 4, 7, 19, 37인 경우, 1보다 큰 임의의 작은 숫자보다 더 큰 포장 밀도를 달성하는 해가 존재한다. 더 높은 밀도 기록은 모두 흔들림을 가지고 있다.